tks 4007 matematika iii deret fourier - zacoeb.lecture.ub...

1

TKS 4007 Matematika III

Deret Fourier (Pertemuan XVI)

Dr. AZ

Jurusan Teknik Sipil

Fakultas Teknik

Universitas Brawijaya

Lendutan Pelat Segiempat (Rectangular Slabs Deflection)

x

y z

x

y z

Mx Mx

My

My

Persamaan umum pelat klasik :

PDP Tk. 4, linier, non homogen

D

q

yx

w

y

w

x

w

22

4

4

4

4

4

2

Variabel terikat : w (lendutan)

Variabel bebas : x dan y (jarak)

Beban luar : q (data)

Kekakuan lentur : D (data)

2

3

13

2

EhD

2

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Kirchhoff – Love)

Persamaan umum pelat klasik :

Dalam bentuk operator laplace 2D :

Penyelesaian :

D

q

yx

w

y

w

x

w

22

4

4

4

4

4

.2

qwD 22

),(),(),( yxwyxwyxw ph

dengan :

wh(x,y) = penyelesaian homogen (ruas kanan = 0)

wp(x,y) = penyelesaian khusus/integral parsial (PDP non homogen)

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Kirchhoff – Love) – cont’d

Metode Kirchhoff–Love adalah model matematika yang digunakan

untuk menentukan tegangan dan deformasi pada pelat tipis 2D akibat

gaya dan momen. Metode ini merupakan lanjutan dari teori balok Euler-

Bernoulli yang dikembangkan oleh Love (Inggris) pada tahun 1888

dengan menggunakan asumsi yang diusulkan oleh Kirchhoff seperti

berikut :

• Garis lurus normal ke pertengahan permukaan tetap lurus setelah

deformasi.

• Garis lurus normal ke pertengahan permukaan tetap normal pada

pertengahan permukaan setelah deformasi.

• Ketebalan plat tidak berubah selama deformasi.

3

Contoh :

Pelat segi empat dengan tumpuan sederhana dan beban sinusoidal.

y

b

a

x

R

R R

R

a

b

Persamaan beban :

dengan q0 = intensitas beban di tengah pelat

b

y

a

xqq

sinsin0


Persamaan umum pelat menjadi :

b

y

a

x

D

q

y

w

yx

w

x

w sinsin2 0

4

4

22

4

4

4

Kondisi batas untuk x = 0 dan x = a :

Lendutan,w = 0

Momen ujung, Mx = 0

Kondisi batas untuk y = 0 dan y = b :

Lendutan,w = 0

Momen ujung, My = 0


4

Persamaan lendutan pelat yang memenuhi kondisi batas :

b

y

a

xcw

sinsin

Konstanta c harus dihitung dengan memperhatikan kondisi batas,

sehingga didapatkan :

2

22

4

0

11

1

ba

D

qc

Sehingga persamaan lendutan pelat menjadi :

b

y

a

x

ba

D

qw

sinsin

11

12

22

4

0


Penyelesaian dengan deret Fourier :

Secara praktis di lapangan, beban sinusoidal tidak ada (yang ada adalah

beban merata, beban terpusat, dan beban segitiga) harus

diekspansikan dulu ke dalam deret Fourier.

q0

beban sinusoidal

beban merata

beban terpusat

beban segitiga

Lendutan Pelat Segiempat (Deret Fourier Sinus)

5

Penyelesaian dengan deret fourier ganda dikembangkan oleh Navier

(Prancis) pada tahun 1820.

Persamaan beban :

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Navier)

yxfqz ,

Persamaan beban dalam bentuk deret fourier ganda (sinus) :

b

yn

a

xmAyxf

m n

mn

sinsin,

1 1

dengan Amn adalah koefisien Fourier yang harus dicari sesuai dengan

bentuk bebannya.

dxdyb

xn

a

xmyxf

abA

a b

mn

sinsin),(

4

0 0

Persamaan lendutan untuk keempat sisi tumpuan berupa sendi :

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Navier) – cont’d

b

yn

a

xm

ba

A

Dyxw

m n

mn

sinsin

11

1,

1 12

22

4

Untuk beban merata f(x,y) = P0 :

beban merata

q0

z

x/y

mn

q

dxdyb

xn

a

xm

ab

q

dxdyb

xn

a

xmq

abA

a b

a b

mn

2

0

0 0

0

0 0

0

16

sinsin4

sinsin4

6

Selanjutnya persamaan lendutan pelat segiempat dengan keempat

sisi tumpuan berupa sendi menjadi :

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Navier) – cont’d

b

yn

a

xm

bamn

A

D

qyxw

m n

mn

sin.sin

11

16,

1 12

22

6

0

Untuk kondisi pelat segiempat dengan keempat sisi tumpuan

berupa sendi dan akibat beban merata, lendutan maksimum terjadi

di tengah bentang, pada x = a/2 dan y = b/2 :

1 12

22

12

6

0max

11

116

m n

nm

bamn

D

qw

Penyelesaian dengan deret fourier tunggal dikembangkan oleh Levy

(Prancis) pada tahun 1899.

Bentuk persamaan lendutan :

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy)

dengan Ym = f(x,y)

1

sin),(m

ma

xmYyxw

sendi sendi

a

b

y

x

Asumsi tumpuan pada x = 0 dan

x = a adalah sendi yang sejajar

sumbu, sehingga diperlukan

adanya penyesuaian sistim

koordinat.

7

Persamaan umum lendutan :

Lendutan Pelat Segiempat (Metode Levy) – cont’d

D

q

y

w

yx

w

x

w

2

4

22

4

2

4

2

)(),(

),(

xwyxw

wwyxw

PH

PH

Catatan :

wP adalah lendutan pelat ke arah sumbu x saja dengan asumsi tumpuan

sisi y = b/2 di x, sehingga :

D

q

x

wP

2

4

Proses integrasi 4x dan 4c dengan kondisi batas di x = 0 dan x = a :


13

3

cxD

q

x

wP

21

2

2

2

2cxcx

D

q

x

wP

32

213

26cxcx

cx

D

q

x

wP

43

22314

2624cxcx

cx

cx

D

qwP

8

Dengan c1, c2, c3, c4 dihitung untuk kondisi batas pada x = 0 dan x = a :


)2(24

)(334xaaxx

D

qxwP

Selanjutnya, ekspansikan dalam deret Fourier tunggal :

sehingga :

1

sin)(m

mPa

xmAxw

Dm

qa

dxa

xmxw

aA

a

Pm

55

4

0

4

sin)(2

Maka penyelesaian wP(x) :


a

xm

mD

qaxw

m

P

sin

14)(

155

4

Penyelesaian wH(x,y) :

024

4

22

4

4

4

y

w

yx

w

x

w HHH

1

sin),(m

mHa

xmYyxw

0sin21

4

44

2

2

2

22

4

4

a

xm

a

ym

y

y

a

m

y

y

m

mmm

9

Persamaan diferensial biasa (ordinary differential equation) orde

4, linier, homogen dengan penyelesaian umum :

dengan : dan


024

44

2

2

2

22

4

4

a

ym

y

y

a

m

y

y mmm

a

ym

a

ymD

a

ymC mm

coshsinh

a

ym

a

ymB

a

ymA

D

qayy mmm

sinhcosh)(

4

yyeey

2

1sinh yy

eey

2

1cosh

Penyederhanaan persamaan tersebut

atas dasar garis simetris sumbu z :


w(x,y) = w(x,-y) dengan w = lendutan

z

y

w(x,y)

w(x,y) = w(x,-y)

mungkin

Untuk fungsi ganjil :

w

b

y z

z y

½ b ½ b

sendi sendi

y

x

*

w(x,y) = -w(x,-y)

tidak mungkin y

z

w(x,y)

* simetri terhadap sumbu z, tumpuan terhadap sumbu x simetris (sendi).

Untuk fungsi genap :

10

Solusi persamaan homogen :


a

ym

a

ymD

a

ymC

a

ym

a

ymB

a

ymA

D

qayy mmmmm

coshsinhsinhcosh)(

4

genap genap ganjil ganjil

Evaluasi:

x

y

y = cos x genap x

y

y = sin x ganjil

x

y

y = x ganjil

x

y

y = x2 ganjil

Karena kondisi batas yang digunakan adalah fungsi genap, maka

persamaannya menjadi :

Koefisien Am dan Bm dihitung dengan kondisi batas pada y = b/2,

tumpuan simetris terhadap sumbu x setelah digabung dengan solusi non

homogen, sehingga persamaan lendutan total adalah :

dengan m = 1,3,5


a

ym

a

ymB

a

ymA

D

qayy mmm

sinhcosh)(

4

a

xm

a

ym

a

ymB

a

ymA

mD

qayxw mm

m

sinhsinhcosh

4),(

55

4

11

Hanya berlaku untuk fungsi genap dengan kondisi batas pada +b/2 :

dan


0w

Persamaan tersebut diturunkan, kemudian disubstitusikan ke kondisi

batas dan ambil permisalan :

sehingga :

dan

ma

bm

20sinhcosh

455

mmmmm BAm

0sinhcosh)2( mmmmmm BBA

02

2

y

w

m

mmm

mA

cosh

2tanh255

m

mm

B cosh

255

Nilai Am dan Bm disubstitusikan ke persamaan lendutan total :


b

y

mD

qayxw m

m

mm

m

2cosh

cosh2

2tanh1

14,

5,3,155

4

a

xm

b

y

b

y m

m

m

sin

2sinh

2

cosh2

Lendutan maksimum pada x = a/2 dan y = 0 :

m

mm

m

m

mD

qaw

cosh2

2tanh1

)1(4

5,3,15

2

1

5

4

max

Catatan : untuk desain, nilai m yang digunakan hanya sampai suku ke

5, sedangkan suku ke 7 dan setelahnya dapat diabaikan

pengaruhnya/nilainya kecil

12

Terima kasih dan

Semoga Lancar Studinya!

tks 4007 matematika iii deret fourier - zacoeb.lecture.ub...

Documents