DERET FOURIER

1. PENDAHULUAN

Masalah yang melibatkan getaran atau osilasi sering terjadi dalam fisika dan rekayasa.

kamu dapat memikirkan contoh Kamu telah bertemu/melihat peristiwa garpu tala bergetar,

bandul, berat badan yang melekat pada musim semi, Wates gelombang,gelombang suara, arus

listrik bolak-balik, dll. Selain itu, ada lebih banyak contoh yang kamu akan temukan ketika kamu

melanjutkan untuk mempelajari fisika.Beberapa dari mereka misalnya, konduksi panas, medan

listrik dan magnet, cahaya tidak muncul dalam dasar kerja untuk memiliki sesuatu berosilasi

tentang mereka, tapi akan berubah jika kamu lebih bekerja maju untuk melibatkan sinus dan

cosinus yang digunakan dalam menggambarkan gerak harmonik sederhana dan gerak gelombang.

Dalam bab I kita membahas penggunaan deret kuasa untuk perkiraan banyak masalah

rumit fungsi.Di, seri disebut deret Fourier, yang istilah yang sinus dan cosinus, lebih berguna dari

deret pangkat.Di kekuatan bab ini kita akan melihat bagaimana untuk menemukan dan

menggunakan deret Fourier. Kemudian, dalam bab 13 (bagian 2 sampai 4), kita akan

mempertimbangkan beberapa masalah fisika yang Fourier berusaha memecahkan ketika ia

menemukan deret Fourier.

2. SEDERHANA HARMONISA GERAK DAN GERAK GELOMBANG;

CATATAN FUNGSI

Kami akan membutuhkan banyak notasi dan terminologi yang digunakan dalam

membahas gerak harmonik sederhana dan gelombang gerak. Mari kita bahas dua topik singkat.

Unsur P bergerak dengan kecepatan konstan berputar

mengelilingi dengan jari-jari A. Pada waktu yang sama, unsure

Q bergerak naik dan turun (bergerak bolak-balik) melalui garis

lurus memotong RS di daerah koordinat P dan Q selalu sama.

Jika ω adalah kecepatan anguler terhadap P dengan rad/sekon,

dan (Gambar 2.1) θ = 0 ketika t = 0, kemudian beberapa

waktu t

(2.1) θ = ωt .

Pada koordinat y terhadap Q (yang mana sama dengan koordinat y terhadap P) adalah

Nama : NPM : 094211Kelas : Fisika IID

(2.2) y = A sin θ = A sin ωt .

Gerakan mundur dan maju di Q disebut Gerak Harmonik Sederhana. Dengan definisi, sebuah

obyek yang melakukan gerak harmonic jika mengalami perpindahan dari keseimbangannya dapat

ditulis A sin ωt [atau A cos ωt atau A sin (ωt+φ ), tetapi dua fungsi ini berbeda dari A sin ωt

hanya mengubah mulanya; fungsi ini dapat disebut fungsi sinus]. Kamu dapat memikirkan

beberapa contoh fisik dari jenis getaran sederhana: sebuah bandul/buaian, garpu tala, nilai gerak

naik-turun (gerak bolak-balik) pada akhir sebuah getaran.

Pada koordinat x dan y dari unsure P pada gambar 2.1 adalah

(2.3) x = A cos ωt , y = A sin ωt .

Apabila kita bayangkan P pada titik z = x + iy dalam bilangan kompleks, kita dapat mengganti

2.3 dengan persamaan tunggal untuk menjelaskan gerak P:

(2.4) z = x + iy = Acos ωt+i sin ωt

= Ae lcos

Ini sering bernilai ketika menggunakan notasi bilangan kompleks untuk menjelaskan gerak Q;

kemudian kita mengetahui bahwa posisi sebenarnya Q sama dengan bagian bilangan imajiner

dari z (atau dengan perbedaan kondisi permulaan bagian bilangan real z). sebagai contoh,

kecepatan Q di bagian imajiner

(2.5)

dzdt

= ddt

( Ae lcos )=Aiωel cos=Aiω (cosωt+sin ωt ).

[Pada bagian imajiner 2.5 adalah A cos ωt , yang mana

dydt dari 2.2.]

Ini berguna untuk menggambarkan sebuah grafik x atau y di 2.2 dan 2.3 seperti fungsi t.

Bilangan 2.2 mewakili beberapa fungsi sin ωt , cos ωt , sin( ωt+φ) apabila kita mengubah

awalnya dengan tepat. Pada angka A disebut amplitude getaran atau amplitude fungsi. secara

phisik itu adalah penggantian/jarak yang maksimum Q dari posisi keseimbangan nya. Periode

gerak harmonik sederhana atau periode fungsi adalah waktu untuk melakukan getaran lengkap,

yaitu adalah, 2π/ω ( Lihat Gambar 2.2).

Kita bisa tulis kecepatan Q dari ( 2.5) sbb:

(2.6) dydt

= Aω cos ωt = B cos ωt .

Di sini B adalah nilai maksimum kecepatan dan disebut kecepatan amplitudo Catatan bahwa

kecepatan [itu] mempunyai periode yang sama ketika penggantian/jarak [itu]. Jika massa partikel

Q adalah m, maka energy kinetic adalah:

(2.7) energy kinetik = 12

m dydt

² = ½ m B2 cos2 ωt .

Kita sedang mempertimbangkan suatu osilator harmonik diidealkan yang tidak hilangkan energi.

Kemudian total energi ( kinetik + potensial) harus sebanding dengan nilai yang paling besar dari

energy kinetic yaitu adalah ½ mB2. Sehingga kita dapat :

( 2.8) Total energy = ½ m B2

Pesan bahwa energi adalah sebanding tegak lurus ( percepatan) amplitudo; kita akan

menyimpulkan hasil ini yang kemudiannya ketika kita mendiskusikannya.

Gelombang adalah contoh penting yang lain dari suatu peristiwa getaran. Gagasan

matematik untuk gerak gelombang adalah bermanfaat dalam banyak bidang; sebagai contoh, kita

memperbincangkan tentang gelombang air, gelombang suara, dan gelombang radio. Mari kita

mempertimbangkan, sebagai contoh sederhana, gelombang air di mana bentuk permukaan air

adalah ( dengan tidak realistic!) suatu kurva-sinus. Kemudian jika kita mengambil suatu foto

(saat tertentu t= 0) tentang permukaan air, persamaan dari gambar-an ini yang dapat ditulis

( sehubungan dengan kampak sesuai).

(2.9) y = A sin 2 πx

λ

Di mana x menghadirkan jarak horisontal dan λ adalah jarak antara puncak gelombang. Pada

umumnya λ disebut panjang gelombang , tetapi mathematically [itu] adalah bentuk kesamaan

fungsi periode fungsi x. Sekarang mengira, kita mengambil foto lain ketika gelombang sudah

bergerak maju dengan suatu jarak vt ( v adalah kecepatan gelombang dan t adalah waktunya

antara gambar ). Gambar 2.3 pertunjukan dua foto melapiskan. Amati bahwa nilai y di titik x

pada grafik memberi label t, adalah sama seperti nilai y di titik (x – πι) pada grafik label t= 0.

Jika ( 2.9) adalah persamaan gelombang pada t= 0, kemudian

(2.10) y = A sin 2 πχ

λ ( x−vt )

Hadirkan gelombang pada waktu t. merupakan gelombang pada waktu t. kita bisa menafsirkan

(2.10) dengan cara lain. Misalkan anda berdiri pada satu titik di dalam air [tetap x pada (2.10)].

Dan mengamati gerakan naik turun air, yaitu, y di (2.10) sebagai fungsi t (untuk tetap x). Ini

adalah gerak harmonik sederhana A λ amplitudo dan periode / v, Anda melakukan sesuatu analog

dengan ini ketika Anda berdiri diam dan mendengarkan suara (gelombang suara melewati telinga

Anda dan Anda amati frekuensi mereka) atau saat Anda mendengarkan radio (gelombang radio

penerima lulus dan itu bereaksi terhadap frekuensi).

kita melihat bahwa dalam (2.10) sebagai fungsi periodik salah satu dari x (t tetap) atau t

(x tetap); kedua interpretasi berguna. Itu tidak membuat perbedaan dalam matematika dasar,

tetapi yang tertulis yang kami gunakan untuk variable.untuk independen menyederhanakan notasi

kita biasanya akan menggunakan x sebagai variabel, tetapi jika masalah fisik panggilan untuk itu,

Anda dapat mengganti x dengan t.

sinus dan cosinus adalah fungsi periodik; sinx sekali Anda telah ditarik dari x = 0 ke x =

2π, sisa grafik dari x =- ∞ ke x = ± ∞ hanya pengulangan di atas dan lebih dari grafik 0 sampai

2π. Nomor 2π adalah periode dosa x. Sebuah fungsi periodik tidak perlu menjadi sederhana atau

sinus kosinus, tetapi mungkin akan ada semacam grafik yang rumit yang berulang (gambar 2.4).

Interval pengulangan adalah periode. Sebagai contoh, jika kita jelaskan,getaran dari bandul detik,

jangka waktunya adalah 2 detik Interval pengulangan adalah periode. Sebagai contoh, jika kita

jelaskan getaran dari bandul detik. periode tersebut adalah 2 detik (waktu untuk satu osilasi

lengkap back-dan-sebagainya). Kebalikan periode adalah frekuensi, jumlah osilasi per detik,

untuk bandul detik, frekuensi adalah 1 / 2 per detik. Ketika annpuncers radio mengatakan,

"beroperasi pada frekuensi 780 kilohertz," mereka berarti bahwa gelombang radio mencapai

780.000 Anda per detik, atau periode thatthe satu gelombang adalah (1 / 780, 000) sec. Menurut

definisi, functionf (x) periodik jika f (x + p) = f (x) untuk setiap: p nomor periode. Periode dosa x

adalah 2π karena dosa (x +2 π) = sin x; sama, periode sin 2πx adalah 1

                

sin 2π (x = 1) = sin (2πx +2 π) = sin 2πx

dan periode sin (πx/l) adalah 2l sehingga (π / ln) (x +2 l) = sin (πx / l). Secara umum, periode 2πx

sinus / T = T.

MASALAH, BAGIAN 2.

Dalam masalah 1 sampai 6 menemukan amplitudo, periode, frekuensi, dan amplitudo kecepatan

untuk gerak partikel yang jarak s dari asal adalah fungsi yang diberikan.

1. S= 3 cos 5t

2. S=2 sin(4t-1)

3. S=1/2 cos (πt-8)

4. S=5 sin (t-π)

5. S= 2 sin 3t cos 3t

6. S= 3sin (2t+π/8)+ 3sin (2t-π/8)

PERMASALAHAN, Bagian ke 2

Pada soal 7-10 anda diberi sebuah fungsi kompleks z=f(t).Tunjukkan bahwa partikel yang

koordinatnya (a) x= Re z,(b) y= Im z mengalami gerak harmonic sederhana,dan temukan

amplitude,periode,frekuensi,kecepatan amplitude dari gerakan tersebut!

7. z= 5e it 8. z=2e –k/2 9.z= 2e ixt 10. z=-4e k2t+3xi

11. Muatan q pada kapasitor a dalam sebuah rangkaian a-c sederhana berubah dengan waktu

berdasarkan persamaan q= 3 sin (120πt+π/4).Temuka ampitudo,periode,dan frekuensi dari

osilasi ini.Dari pengertian,kuat arus dalam rangakaian saat t adalah I: dq/dt. Tunjukkan bahwa

I sebagai fungsi sinus dari t, dan temukan amplitudo,periode,dan frekuensi.

12.Ulangi soal 11 : (a) jika q= Re 4e 30iπt, (b) jika q= Im 4e 30iπt

θ

t

x m

13. Sebuah bandul sederhana dengan massa m ditahan,seperti pada gambar denga sebuah benang

(massa diabaikan).Buktikan bahwa untuk osilasi-osilasi kecil (θ kecil),0 dan x adalah fungsi

sinus dari waktu.

Petunjuk: tulislah pertidaksamaan F=ma untuk m.Gunakan perkiraan sin θ =0 untuk θ

kecil,dan buktikan bahwa V=A sin ωt adalah pemecahan dari persamaanmu.Tentukan A dan

ω!

14. Perpindahan x dari 2 bandul sederhana (lihat soal 13) adalah 4 sin (πt/4) .Mereka mulai

bersama di x=0.Berapa lama ini akan terjadi sebelum mereka bersama lagi di x= 0?

Petunjuk : Temukan periode dan gambarlah kedua gerakan tersebut.

15. Seperti soal 14, jarak x dari 2 bandul sederhana adalah x= -2 cos (t/2) dan 3 sin(t/3).Mereka

tidak bersama saat t= 0.Buatlah gambar untuk menemukan kapan mereka pertama kali

bersama.

16.Seperti soal 14,biarkan jarak menjadi 3 sin(t/√2) dan sin t.Bandul-bandul tersebut mulai mulai

bersama di x=0.Gambarlah untuk memperkirakan kapan mereka akan bersama lagi.Kamu

bisa menggunakan kalkulator.

17. Buktikan persamaan (2.10) untuk sebuah gelombang dapat ditulis :

Y= A sin 2π/λ (x-vt)= A sin 2π(x/ λ – 1/T)

= A sin ω (x/v - t) = A sin (2 πx/ λ- 2πft) = A sin 2π/T(x/v -t)

X adalah panjang gelombang,f adalah frekuensi,v adalah kecepatan gelombang, T periode,

dan ω: 2πf disebut frekuensi anguler.Buktikan bahwa v = if.

Pada soal 18-20,tentukan amplitude,periode,frekuensi,kecepatan gelombang,dan panjang

gelombang dari gelombang tersebut.Gambarkan dalam sebuah fungsi x untuk setiap nilai t, dan

sebuah fungsi t untuk setiap nilai x.

18. y= 2 sin 2/3 π(x-3t) ; t = 0,t = ½; x=0,x=1

19. y=cos 2π (x- ½ t), t=0,1,2 ; x =0, ½ ,1

20. y= 3 sin π(x- ½t) ; t=0,1,2 ;z=0,1,2

21. Tulislah persamaan untuk sebuah gelombang dengan panjang gelombang 4,amplitude 20 dan

kecepatan 6.(Lihat soal 17).Buatlah gambar dari y sebagai fungsi t untuk x= 0,1,2,3 dan y

sebagai sebuah fungsi

Dari x untuk t = 0,1/6,1/3, ½. jika gelombang ini merupakan bentuk sebuah tali panjang yang

sedang terguncang bolak-balik di salah satu ujung eilotof menemukan partikel kecepatan dari

para ropeas fungsi x dan t. (Perhatikan bahwa kecepatan ini telah mencatat hubungannya

dengan kecepatan gelombang yang tingkat di mana puncak-puncak gelombang bergerak

maju)

22. Mengerjakan soal 21 untuk periode amplitude 6, gelombang 6, grafik 3,skes panjang

gelombang sebagai suatu fungsi x ketika t = 0, 1, 2, 3, dan sebagai berfungsi utama ketika x

= ½, 1, 3/2, 2.

23. Menulis persamaan untuk gelombang suara sinusoidal I amplitudo dan frekuensi 440 hertz

(1 hertz berarti 1 siklus per detik.). (Ambil kecepatan suara 350 m/sec)

24. Kecepatan suara dalam air laut sekitar 1530 m/sec. Menulis persamaan untuk sebuah

gelombang suara sinusoidal dalam Osean, I amplitudo dan frekuensi 1000 hertz.

25. Menulis dan persamaan untuk gelombang radio sinusoidal amplitude 10 dan frekuensi 600

kilohertz. Petunjuk : kecepatan gelombang radio kecepatan cahaya = 3.10 m/sec.

3. APLIKASI DARI SERI FOURIER

Kami telah mengatakan bahwa getaran garpu tala adalah contoh gerak harmonik

sederhana. Ketika kita mendengar not yang dihasilkan, kita mengatakan bahwa sebuah

gelombang suara telah lulus melalui udara dari garpu tala untuk pendengaran. Sebagai garpu tala

bergetar adalah mendorong terhadap molekul udara, bergantian menciptakan tokoh daerah

tekanan tinggi dan rendah. (gambar 3.1)

Jika kita mengukur tekanan sebagai fungsi dari x dan t dari garpu berjalan sebagai, kita

menemukan bahwa tekanan adalah dari (2.1). Jika kita mengukur tekanan di mana kita sebagai

fungsi t sebagai gelombang berlalu, kita menemukan bahwa tekanan adalah fungsi periodik dari t.

gelombang suara adalah gelombang sinus murni frekuensi tertentu dalam bersamaan. Dalam

gelombang suara dihasilkan, tekanan tidak akan menjadi fungsi sinus tunggal tetapi jumlah fungsi

sinus serval. Jika kunci piano Anda tidak mendapatkan sejumlah nada (harmonisa) frekuensi 2, 3,

4, ..., kali frekuensi dasar. frekuensi yang lebih tinggi berarti periode pertengahan sortir. Jika sin

n dan cos n hubungan ke harmonik yang lebih tinggi.. Kombinasi yang fundamental dan

harmonik merupakan fungsi periodik rumit dengan periode fundamental (masalah 5). Mengingat

fungsi rumit, kita bisa bertanya bagaimana untuk menuliskannya sebagai jumlah istilah sesuai

dengan Mengingat fungsi yang rumit, kita bisa mengetahui bagaimana menulis itu sebagai jumlah

dari istilah sesuai dengan berbagai harmonik. Secara umum mungkin memerlukan semua

harmonisa, yang merupakan rangkaian tak terbatas. Istilah ini disebut deret Fourier. Memperluas

fungsi dalam seri Fourier maka jumlah untuk memecahnya ke dalam berbagai harmonisa.

Bahkan, proses ini kadang-kadang disebut analisis harmonik.

Ada aplikasi untuk bidang lain selain suara. Gelombang radio, cahaya tampak, dan sinar

X adalah contoh dari jenis gerak gelombang. Di mana "gelombang" sesuai dengan berbagai

kekuatan medan listrik dan magnet. Tepat persamaan matematika yang sama berlaku bagi

gelombang air dan gelombang suara. Kita kemudian bisa mengetahui frekuensi cahaya (ini

berhubungan dengan warna) berada dalam Bearn cahaya yang diberikan dan dalam proporsi

apapun. Untuk menemukan jawabannya, kami akan memperluas fungsi yang diberikan dengan

menggambarkan gelombang dalam deret Fourier.

Anda mungkin telah melihat kurva sinus digunakan untuk mewakili arus bolak-balik (AC)

atau tegangan listrik. Ini adalah fungsi periodik, tapi begitu juga fungsi ditunjukkan pada Gambar

3.2. Semua ini mungkin merupakan sinyal (tegangan atau arus) yang harus diterapkan pada

sebuah sirkuit listrik

.

Gambar 3.2

Kemudian kita bisa mengetahui gambar frekuensi a-c. Dimana frekuensi tersebut

membuat sebuah sinyal yang diberikan dalam suatu proporsi. Ketika sinyal listrik dilewatkan

melalui jaringan (misalnya radio), beberapa harmonik bisa hilang. Hal ini disebabkan karena

sebagian besar sinyal yang lewat dengan intensitas relatif. Untuk mengetahui keharmonikan

dalam suatu sinyal yang diberikan, kami memperluas itu dalam serangkaian Fourier.

Persyaratanmya adalah dengan memberikan koefisien besar sehingga bisa dinamakan sebagai

harmonisa penting atau frekuensi.

Sinus dan cosinus itu adalah fungsi periodik, tampaknya itu lebih mudah digunakan,

daripada deret pangkat. Ada alasan lain yang penting, darimana koefisien dari deret pangkat

diperoleh. Anda bisa melihatnya pada Bab 1 Bagian 12, dengan menemukan turunan berturut-

turut dari fungsi yang diperluas pada seri listrik.. Banyak fungsi periodik dalam prakteknya tidak

terdiferensiasi ornot kontinyu (Gambar 3.2). Untungnya, seri Fourier (seperti deret pangkat)

dapat mewakili fungsi terputus-putus atau fungsi grafik yang memiliki sudut. Namun pada

penggunaan lain diperlukan kejelian untuk memanipulasi seri Fourier tersebut. Misalnya,

biasanya anda tidak dapat membedakan istilah deret Fourier dengan istilah lain. (Untuk detail

lebih lanjut, lihat referensi pada seri Fourier)

Fungsi f(x) pada interval (a,b) untuk rataan angka dari f(x). Gambar 4.1

(4.1) Rataan f(x) pada (a,b) mendekati persamaan

f ( x1 )+f ( x2 )+.. . .+ f ( xn )n

Pendekatan akan menjadi lebih baik jika n makin besar. Misalkan selang antara x1 ,x2 ,…,adalah

Δx. Perkalian angka dan denominator mendekati rataan Δx. Pada persamaan (4.1) :

(4.2) Rataan f(x) pada (a,b) mendekati persamaan

[f ( x1 )+.. . .+ f ( xn )] Δx

nΔx

Sekarang n Δx = b – a, panjang interval dimana rataan, no matter what n dan Δx are. Jika n → ∞

dan Δx → 0, angka mendekati ∫a

b

f(x) dx dan mempunyai

Dalam aplikasi, sering terjadi rataan nilap pada sebuah kedudukan adalah nol/titik

terendah. Sebagai contoh , rataan dari sin x di atas setiap bilangan dari periods adalah nol/titik

terendah. Rataan nilai dari velocity dari suatu oscillator fungsi sederhana di atas setiap bilangan

pada getaran adalah nol/titik terendah. Dalam hal seperti ini rataan kotak pada kedudukan yang

mungkin dari bagian. Sebagai contoh, jika perubahan arus listrik mengalir melalui sebuah kabel

adlah menggambarkan suatu kedudukan sin, kotak akar dari rataan atau tepatnya nilai dari arus,

dan kamu akan mengukur dengan sebuah a-c ammeter. Dalam contoh dari oscillator fungsi

sederhana, rataan energy kinetic (rataan dari

12 m v

2) adalah

12 m waktu rataan dari v

2.

Sekarang kamu bisa menyajikan rataan nilai dari sin2

x pada sebuah periode ( say

– π to π ) dengan melihat lengkap pada persamaan (4.3) di dalam kotak dan menentukan nilainya.

Di sana sebagai casier way which adalah well harga diketahui. Dengan

menimbang/mempertimbangkan grafik dari cos2

x dan sin2

.

(4.3) Rataan f(x) pada (a,b) =

∫a

bf ( x )dx

b−a

GAMBAR GRAFIK 4.2

(Pada grafik 4.2) kamu dapat memungkinkan bahwa daerah kedua grafik tersebut sama dengan

seperempat periode dari nol sampai π2

,π2

sampai π.

(4.4) ∫−π

π

sin2 xdx=∫−π

π

cos2 x dx

(integral n ≠ 0 )

(4.5) ∫−π

π

sin2 nx dx=∫−π

π

cos2nx dx

Tapi sin2nx +cos2nx =1

(4.6) ∫−π

π

¿¿nx + cos2 x ¿dx=∫−π

π

dx=2 π

Menggunakan (4.5)

(4.7) ∫−π

π

sin2 nx dx=∫−π

π

cos2 nxdx=π

Dengan menggunakan (4.3) perhatikan:

Persamaan (4.5), nilai rata-rata dari sin2 nx sama dengan nilai rata-rata dari cos2 nx paada nilai

rata-rata sin2nx + cos2n=1 adalah 1. Semua nilai rata-rata dari cos2nx atau sin2nx adalah ½.

Permasalahan 4

1. Perhatikan jika f(x) memiliki periode p, nilai rata-rata pada f sama dengan nilai interval

yang panjangnya p

∫a

a+p

f ( x ) dx sama dengan 2 persamaan integral (a sampai p,dan p sampai a+p) dan

menggunakan variabel x=1 +p pada integral kedua.

2.ajika ∫0

π2

sin2 x dx=∫0

π2

cos2 x dx . Didapatkan dengan menggunakan variabel x=12

π−t pada salah

satu integralnya.

(4.8) nilai rata-rata dari sin2 nx= nilai rata-rata dari cos2nx

¿ 12 π

∫−π

π

sin2 nxdx= 12 π

∫−π

π

cos2 nx dx= π2 π

=12

(b) gunakan metode yang sama untuk menyatakan rata-rata dari sin2 (nπx/l) dan cos2 (nπx/l)

merupakan akhir sebuah periode.

Pada masalah 3 sampai 12, nilai rata-rata dari fungsi yang diberikan secara interval. Perhatikan

persamaan (4.8) jika diperlukan. Jika nilai rata-rata sama dengan nol, boleh di selesaikan dari

sketsa.

3. sin x+2sin2 x+3 sin 3x pada(0,2 π )

4. 1−e−x pada(0,1)

5. cos2 x2

pada(0 ,π2)

6. sin x pada (0 , π )

7. x−cos26 x pada(0 ,π6

)

8. sin 2 x pada(¿ π6

,7 π6

)¿

9. sin2 3 x pada(0,4 π )

10. cos x pada (0,3 π)

11.sin x+sin2 x pada(0,2 π)

12. cos2 7π2

pada(0 ,87)

13. menggunakan persamaan (4.3) dan persamaan yang sama untuk (4.5) sampai (4.7) bahwa

∫a

b

sin2kx dx=∫a

b

cos2 kx dx=12(b−a)

Jika k(b-a) maka dikalikan π.

Hasil dari persoalan 13 untuk mengevaluasi integral tanpa di kalkulasi.

14. (a) ∫0

4 π /3

sin2( 3x2 )dx (b) ∫

– π /2

3 π /2

cos2( x2 )dx

15. (a) ∫−1/4

11/4

cos2 πx dx (b)∫−1

2

sin2( πx3 )dx

16. (a) ∫0

2 πω

sin2 ωt dt (b) ∫0

2

cos2 2 πt dt

5. KOEFISIEN FOURIER

Kita akan megembangkan fungsi periodik pada persamaan sinus dan cosinus. Untuk

menyederhanakan rumus pertama, kita akan mulai dengan fungsi 2πdan fungsi dasar sin nx dan

cos n sama dengan sin nωtdan nωt . Kemudian kita akan melihat bagaimana kita dapat

menggunakan rumus – rumus tersebut ke periode differensial. Fungsi sin x dan cos xmemiliki

periode 2 π , sehingga sin nx dengan cos nx untuk berbagai integral n sehingga sin n (x+2 π)= sin

(nx+2 nπ) = sin nx, diberikan fungsi f(x) pada periode 2 π maka,

f ( x )=12

a0+a1 cos x+¿a2cos2 x+a3 cos3 x+…¿

+b1sin x+b2 sin 2x+¿b3sin 3 x+…¿

(5.1)

dan mendapat rumus untuk koefisien an dan bn. ( alasan untuk menulis ½a0 istilah konstan sebagai

akan [jadi] cerah nanti ini mke rumus untuk koefisien lebih sederhana ingat tetapi kamu harus

tidak melupakan ½ di seri ini !

kami menemukan rumus dari an dan bn di (5.1) kita membutuhkan integral berikut :

kami telah menunjukkan bahwa nilai rata-rata sin2 nx dan cos2 nx adalah ½. integral di (5.2) bilai

rata-rata dari 1 yang mana adalah 1. pertunjukan bahwa nilai rata-rata lain di (5.2) adalah nol,

kami dapat menggunakan rumus trigonometri untuk produk seperti sin θ cos dan kemudian

integrasikan. lebih mudah jalan menggunakan rumus untuk sinus dan kosinus bersifat exponen

gabungan dalam kaitan dengan.[lihat (7.1)] kami akan pertunjukan metode ini untuk satu integral.

(5.3) ∫−π

π

sin mx cos nxdx=¿∫−π

πelnx−e−lnx

2i− elnx+e−lnx

2 idx .¿

kami dapat lihat hasil tanpa sebenarnya mengalikan ini keluar. semua syarat-syarat di produk dari

e lnx, dimana bilangan bulat ≠ 0 ( kecuali cress-product syarat-syarat bila n=m, dan ini batal). kami

dapat menunjukan bahwa integral dari tiap sub istilah nol:

(5.4) ∫−π

π

e lnx dx= elnx

ik∫−π

π

¿ e lnx−e−lnx

ik=0

Karena e lnx=e−lnx=cos kπ (dimulai sin kπ=0¿. Integral lain pada bulan mei mengevaluasi

dengan cara yang sama (masalah 12). kami sekarang menunjukkan bagaimana menemukan an dan

bn di (5.1). menemukan a0, kami menemukan:

(5.5) ¿ 12 π

∫−π

π

f ( x ) dx=a0

21

2 π∫−π

π

dx+a11

2 π∫−π

π

cos x dx

(5.2) bilai rata-rata nilai sin mx cos nx ( melalui periode)

¿ 12 π

∫−π

π

sin mx cosnx dx=0

bilai rata-rata nilai sin mx sin nx ( melalui periode)

¿ 12 π

∫−π

π

sin mx sin nx dx=¿ { 0 , m≠ n ,12

, m=n ≠0 ,

0 ,m=n=0

¿

bilai rata-rata nilai cos mx sin cos nx ( melalui periode)

¿ 12 π

∫−π

π

cosmx cos nx dx=¿ { 0 ,m≠ n ,12

, m=n≠ 0 ,

1 , m=n=0

¿

+ a2 1

2 π∫−π

π

cos2 xdx+…+b 11

2 π∫−π

π

sin x dx+…

Dengan (5.2), semua integral di sisi kanan (5.5) adalah nol kecuali yang pertama, karena mereka

adalah integral dari mx cos nx dosa atau cos cos nx mx dengan n = 0 dan m≠0 (tat adalah , m≠n).

maka kita miliki.

(5.6)

12 π ∫−π

πf ( x )dx

=

a0

2

12 π ∫−π

πdx

=

a0

2 ,

a0 =

1π ∫−π

πf ( x )dx

Diberikan f (x) yang akan diperluas dalam serangkaian Fourier, sekarang kita dapat mengevaluasi

a0 dengan menghitung integral dalam (5.6)

Untuk menemukan a1 , kalikan kedua sisi (5,1) dengan cos x dan lagi menemukan nilai rata-rata

setiap istilah:

(5.7) 2

1∫−π

πf ( x )cos xdx

=

a0

21

2 π ∫−π

πcos xdx

+ a1

12 π ∫−π

πcos2

x dx

+ a2

12 π ∫−π

πcos2 x cos xdx

+ ………

+ b1

12 π ∫−π

πsin x cos xdx

+………

Kali ini, oleh (5.2), semua persyaratan di sebelah kanan adalah nol kecuali

12 π ∫−π

πcos2

x dx =

12

Penyelesaian untuk a1 , kami telah

a1 =

1π ∫−π

πf ( x )

cos x dx

Metode ini harus jelas sekarang, jadi kita berikutnya akan menemukan rumus umum untuk

sebuah an . Kalikan kedua sisi (5,1) dengan nx cos dan menemukan nilai rata-rata. setiap istilah.

(5.8)

12 π ∫−π

πf ( x )cosnxdx

=

a0

21

2 π ∫−π

πcos nxdx

+a1

12 π ∫−π

πcos x cosnxdx

+a2

12 π ∫π

πcos2 x cosnxdx+.. . .. .. . ..

+ b1

12 π ∫−π

πsin x cosnxdx+.. . .. .. .

Dengan (5.2), semua persyaratan di sebelah kanan adalah nol kecuali satu.

12 π ∫−π

πcos2nxdx=

12

Penyelesaian untuk an ,kita punya

(5.9) an =

1π ∫−π

πf ( x )cosnxdx

Sekarang kita memiliki seri, tetapi masih ada beberapa pertanyaan yang kita harus mendapatkan

jawaban. Kita menemukan, dan jika demikian, apakah kita menemukan dengan nilai dari f (x)?

Anda akan menemukan, jika Anda mencoba, bahwa untuk sebagian besar nilai x seri dalam

(5.12) tidak menanggapi salah satu tes untuk konvergensi yang kita bahas dalam bab 1.Apa

adalah jumlah seri di x = 0 di mana f (x) melompat dari 0 ke 1? Anda dapat melihat dari seri

(5.12) bahwa nilai pada x = 0 adalah ½, tapi apa hal ini harus dilakukan dengan f (x)?

Pertanyaan ini tidak akan mudah bagi kita untuk menjawab untuk diri kita, tetapi mereka

menjawab bagi kita untuk tujuan praktis paling oleh teory dari dirichelt:

Jika f (x) adalah periode 2π periodik, dan jika antara-π dan π itu adalah nilai

tunggal, memiliki jumlah maksimum dan nilai minimumterbatas, dan jumlah

terbatas diskontinuitas dan jika terbatas, ∫−π

π

|f ( x )|dx maka seri Fourier (5.1) (dengan

koefisien diberikan (5.9) dan (5.10) menyatu ke titikf (x) pertengahan di mana f (x)

kontinu, di seri Fourier melompat menyatu dengan titik tengah melompat (ini

termasuk melompat yang terjadi pada ± π untuk fungsi periodik).

Untuk melihat apa artinya semua ini, kita harus mempertimbangkan beberapa fungsi.kita

khusus telah membahas apa fungsi means.fungsi periodic f (x) adalah nilai tunggal jika hanya ada

satu nilai dari f (x) untuk setiap f(x) contoh x. jikax2+ y2=1 , y bukan fungsi bernilai tunggal x,

kita pilih hanya y =+√1−x2 atau hanya y =−√1−x2

Contoh fungsi dengan jumlah tak terbatas

maxima dan minima adalah sin

1x , yang berosilasi jauh banyak timesas x 0.jika kita

membayangkan suatu fungsi yang dibangun dari sin(

1x )dengan membuat f (x) = 1 untuk setiap x

yang sin (

1x )> 0, dan f (x) = -1 untuk setiap x, untuk setiap x yang sin(

1x ) <0, fungsi ini akan

memiliki jumlah tak terbatas tidak kontinuitas .kamu bisa melihat bahwa fungsi yang paling

Anda cenderung untuk bertemu dalam pekerjaan yang diterapkan tidak akan seperti ini, tetapi

akan memuaskan mereka dirichelt kondisi.

Akhirnya, jika y =

1x , kita menemukan

∫−x

x

|1x|dx=2∫

0

x1x

dx=2 ln x|0x=∞

Jadi fungsi ini diperintah oleh kondisi.pada dirichelt sisi lain, jika f (x) =,

1

√x maka

∫−x

x1

√|x|dx=2∫

0

xdx√ x

=4 √x|0x=4√π

Jadi fungsi periodik yang

1

√x antara-π dan π dapat diperluas dalam seri Fourier. Dalam masalah

yang paling tidak diperlukan untuk menemukan nilai dari ∫π

π

l f (x)l dx. Mari kita lihat mengapa.

Jika ƒ(x) dibatasi ( yaitu semua nilai yang terletak antar ± M ∫konstan positif), maka

∫ | ƒ ( x) | dx ≤ ∫ M dx = M 2π

Dan begitu juga terbatas , sehingga anda cukup benar bahwa fungsi anda sedang di

pertimbangkan yang diatasi ( jika bukannya konvergensi integral). Gambar 6.1 adalah contoh

fungsi yang memenuhi kondisi tesebut Dirichlet pada ( - π,π ).

Kita lihat, maka bukan bahwa tes deret Fourier untuk konvergensi seperti yang kita

lakukan pada deret pangkat. Kita bukan memeriksa fungsi kita ingin perluas, jika memenuhi

kondisi Dirichlet kita kemudian yakin bahwa deret Fourier. Ketika kita mendapatkannya, akan

berkumpul untuk mata fungsi diperluas pada melompat dimana konvergensi titik tengah

melompat. Kita sekarang dapat kebenaran bahwa seri(5.12) sebenarnya merupakan fungsi. Kami

mulai dengan ( gambar 5.1) pada semua titik diantar titik nπ.( kami telah mencatat bahwa pada nπ

di seri memberikan nilai ½ yang setengah arah antara 0 dan 1 sebagai teorema Dirichlet

mengatakan ) . antara -π dan π yang memberikan ƒ (x) adalah single nilai ( satu nilai untuk

setiap x) dibatasi antara ( +1 dan 0) memiliki jumlah terbatas maksimal dan minimal (satu dari

masing- masing) dan jumlah terbatas diskontinuitas ( pada -π , 0, dan π) dan karena itu memenuhi

kondisi Dirichlet. Theorema Dirichlet lalu meyakinkan kita bahwa seri (5.12) sebenarnya

konvergensi untuk fungsi f(x) dalam gambar 5.1 pada semua titik kecuali x = nπ.

Itu menarik untuk melihat grafik jumlah dari sejumlah istilah dari seri Fourier. Gambar 6.2

menunujukan beberapa jumlah parsial yang berbeda dari seri dalam (5.12) untuk fungsi pada

gambar 5.1 kita dapat melihat bahwa jumlah seri mendekati fungsi jauh dari melompat dan pergi

melalui titik tengah melompat yang “overshoot” dikedua sisi . itu tidak hilang seperti kita

menambahkan istilah semakin banyak seri. Itu hanya menjadi sempit dan sempit spike tinggi

sebesar sekitar 9% dari lompat fakta disebut fenomena Gibbs.

Kita harus mengatakan disini bahwa kebalikan teorema Dirichlet adalah tidak benar, jika

fungsi gagal untuk memenuhi kondisi Dirichlet . hal itu mungkin masih dengan deret Fourier .

Fungsi periodic yang mana adalah sin ( 1/x ) pada (-π,π) merupakan contoh fungsi. Namun fungsi

tersebut jarang bertemu dalam praktek.

11. untuk Cach dari periodik berfungsi utama dalam masalah 5,1-5,11, gunakan teorema Dirichlet

untuk menemukan nilai yang seri Fourier menyatu pada x = 0, ± π / 2, ± π, ± 2π. 

12. sketsa grafik jumlah tiga hal dari setiap seri dalam masalah 5.1. 5.8 dan 5.11 dan

membandingkan pendekatan ini dengan grafik dari f (x). petunjuk: sketsa setiap jangka waktu

terpisah (pada sumbu yang sama) dan menambahkan istilah grafis. 

7. KOMPLEKS BENTUK deret Fourier 

Ingat bahwa sinus cosinus nyata dan dapat dinyatakan dalam bentuk eksponensial kompleks

dengan rumus 

sin nx= e lnx−e−lnx

2 i

cos nx= elnx+e−lnx

2

persamaan pengganti jika kita (7.1) menjadi serangkaian Fourier seperti (5.12), kita mendapatkan

serangkaian hal bentuk e lnx and e−lnx.  ini adalah bentuk af kompleks seri Fourier. kita juga dapat

menemukan bentuk kompleks secara langsung, ini sering casier daripada menemukan bentuk

sinus-cosinus. kita kemudian bisa, jika ingin, bekerja kembali dengan cara lain dan

(menggunakan Euler's formula, bab 2, (9,3)) mendapatkan formulir sinus-cosinus dari bentuk

eksponensial. 

Contoh, misalkan kita kembangkan persamaan f(x) yang telah kita kerjakan sebelumnya yaitu

(5.1) yang kita dapatka dari :

Cn = 1

2 π ∫

−π

0

e−inx . 0 . dx + 1

2 π ∫

0

π

e−inx . 1 . dx

( 7.7) = 1

2 π e

−inx

−¿ l0

π = 1

−2 πin (e−inx - 1) =

1πin

dengan n = ganjil dan 0 jika n ≠ 0

C0 = 1

2 π ∫

0

π

dx = 12

Kemudian

(7.8) f(x) = ∑−∞

∞

C n e−inx =

12

+ 1iπ

( eix

1+ e3 ix

3+ e5 ix

5+…)

+ 1iπ

(e−ix

−1+ e−3 ix

−3+ e−5 ix

−5+…)

Ini menarik untuk diuj yang mana sama dengan bab sinus _ cosines yang telah kita pelajari

sebelumnya. Kita data menggunakan rumus Euler untuk setiap eksponensial, tapi ini lebih mudah

untuk mengklasifikasikan istilah seperti ini :

(7.9) f(x) = 12

+ 2π

( eix−e−ix

−1 +

13

e3 ix−e−3 ix

−3 + ……)

= 12

+ 2π

( sin x + 13

sin 3x + …. )

Yang mana ini sama dengan (5.12)

Permasalahan seri 7.

1 sampai 11. Kembangkan persamaan persamaan yang sama pada permasalahan 5.1 – 5.11 di bab

Fourier dari eksponensial kompleks e inx pada interval (-π , π ) dan ujilah setiap

permasalahan ( dengan menggunakan rumus Euler ). Jawaban tersebut sama dengan

yang terdapat di pembahasan 5 !

12. Tunjukkan jika bilangan real f(x) aalah pengembangan eksponensial kompleks di bab

Fourier ∑−∞

∞

C n einx , kemudian C−n = C n, dimana C nberarti konjugasi komplek dari

Cn.

13. Jika f(x) = 12

a0 +∑1

∞

a0 cosnx + ∑1

∞

b0 sin nx = ∑−∞

∞

C n einx , menggunakan rumus Euler

untuk menemukan an dan bnyang berhubungan dengan C n dan untuk menemukan

C n dan C−n yang berhubungan dengan an dan bn .

8. Interval – Interval Yang Lain

Fungsi sin x dan cos x dan e inx mempunyai periode 2π. Kita telah mengetahui (-π , π )

sebagaiinterval dasar dari panjang 2π. Memberi f(x) pada (-π , π ) , pertama kita mempunyai

urian tersebut dari interval ini dankemudian mengulangi uraian tersebut ke dalam interval –

interval (π , 3π ) (3π , 5π (-3π , π ), dan lain – lain. Ada ( tak hingga ) beberapa interval – interval

yang lain dari panjang 2π.

Begitu pula dengan cos (nπx/l) dan einπx/l mempunyai periode 2l. Persamaan (5.1) dan (7.2)

sekarang diganti dengan

f(x) = a0/2 + a1 cos πx/l + a2 cos 2πx/l + … + b1 sin πx/l + b2 sin 2πx/l + …

= a0/2 + Σ1∞(an cos nπx/l + bn sin nπx/l)

f(x) = Σ-∞∞ cn einπx/l

Kita telah menemukan nilai rata-rata periode dari semua fungsi yang kita perlukan di sini

untuk mencari an, bn dan cn. Periode ini panjangnya 2l (-l sampai l), kemudian dalam mencari

nilai rata-rata dari batas tersebut kita ganti

1/2π ∫-ππ dengan 1/2l ∫-l

l

Mengingat bahwa rata-rata kuadrat dari salah satu sin atau cos atas periode tersebut adalah ½ dan

rata-rata dari einπx/l. e-inπx/l = 1 adalah 1. Maka rumus (5.9), (5.10) dan (7.6) untuk koefisien tersebut

menjadi

an = 1/l ∫-ll f(x) cos nπx/l dx,

bn = 1/l ∫-ll f(x) sin nπx/l dx,

cn = 1/2l ∫-ll f(x) e-inπx/l dx.

Untuk inerval utama (0, 2l) kita hanya perlu mengganti batas integral menjadi 0 sampai 2l. Dalam

Teorema Dirichlet hanya perlu mengganti π dengan l agar dapat diterapkan di sini.

Contoh.

0, 0<x<l

Diberikan f(x){ 1, l<x<2l

Nyatakan f(x) dalam eksponensial deret Fourier dengan periode 2l. [fungsinya diberikan oleh

rumus yang sama dengan (5.11) tetapi dalam interval yang berbeda]

F(x)

1

-2l -l 0 l 2l 3l 4l 5l

Gambar 8.3

Pertama kita buat sketsa grafik f(x) diulangi dengan periode 2l (gambar 8.3).

dengan persamaan (8.3), kita temukan :

Cn = 12l ∫0

1

0.dy +12l ∫

l

2 l

1 .e−inπ /l dx

=12l

e−inπx

l

−inπl

Il 2l = 1

−2inπ¿- e

−inπ¿

¿)

(8.4) =1

−2inπ ( 1- einπ¿

¿) = 0 ketika n≠ 0 dan1

−2inπ dengan n ganjil

Cn = 12l ∫

l

2 l

dx = 12

Kemudian, (8.5 ) :

f(x) = 12 -

1iπ ( e iπx /l - e−iπx /l +

13 e3 inx /l -

13 e−3 inx /l + …..)

= 12 -

2π ( sin

πxl +

13sin

3 πxl + …. )

Permasalahan. Bagian 8.

1 – 8. Dalam banyak hal 5.1 – 5.8 menjelasan tiap fungsi dengan rumus yang

diberikan tapi paa interval ( -l , l ) , {Yaitu menggantikan + π dan ±π2

dengan ±l2 }. Kembangkanlah tiap fungsi dalamsinus dan cosines Fourier

dan di dalam eksponensial kompleks seri Fourier.

Penyelesaian untuk permasalahan 2 : f(x) = 14 +

1π (cos

πxl

−13 cos

3 πxl +

15cos

5 πxl

…..) + 1π

( sin πxl

+ 22sin

2 πxl

+ 13

sin 3 πx

l +

15

sin 5 πx

l +

26

sin πxl

….)

Penyelesaian untuk permasalahan 7 : f (x) = 14 -

2l

π 2 (cos πxl

+ 19 cos

3 πxl +

125cos

5 πxl

……) + 1π

( sin πxl

- 12

sin 2 πx

l +

13

sin 3 πx

l …)

9. Tulis sampai detail tentang turunan rumus (8.3)

10. (a) Buatlah setiap beberapa periode tentang fungsi f(x) dari periode 2π yang

sama dengan x pada -π < x <π. Kembangkanlah f(x) dalam sin – cosines

Fourier dan dalam eksponensial komplek seri Fourier.

Jawab : f(x) = 2 (sin x - 12 sin 2x +

13 sin 3x -

14 sin 4x + ….. )

GAMBAR 9.2

 Fungsi ganjil salah satunya seperti x atau sin x (gambar 9.2) dimana nilai dari f (x) dan f (-x)

adalah negatif satu sama lainnya. Menurut definisi 

Perhatikan bahwa bahkan kekuasaan x bahkan, dan kekuatan aneh dari x yang aneh, bahkan, ini

adalah alasan untuk nama-nama. Anda harus memverifikasi (masalah 14) aturan berikut untuk

perkalian dua fungsi: Sebuah fungsi genap, atau fungsi ganjil kali fungsi ganjil, memberikan

fungsi genap, sebuah fungsi ganjil kali fungsi genap memberikan fungsi ganjil. Beberapa fungsi

(9.2) f(x) is odd if f(-x) =-f(x)

-l l0

Odd

-l l0

Even

genap, ada yang ganjil, dan beberapa (misalnya, e x) adalah tidak keduanya. Namun, fungsi

apapun dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi genap dan fungsi ganjil, seperti ini:

F (x) = 12

[f (x) + f (-x)] + 12

 [f (x) - f (-x)];

Bagian pertama adalah genap dan bagian kedua adalah ganjil. Misalnya

ex=12

( ex+ex )+12

(ex−ex)=cosh x+sinh x;

Cosh x adalah genap dan bahkan Sinh x adalah ganjil.

Integral dari fungsi genap atau fungsi ganjil, lebih dari interval simetris seperti (−π , π ) atau

(−l , l), dapat disederhanakan. Lihatlah grafik sin x dan berpikir abaut∫−π

π

sin xdx. Daerah negatif

dari-π ke 0 sedangkan area positif dari 0 π tho, sehingga integral adalah nol. Integral ini tetap

nol untuk setiap interval(−l , l) yang simetris tentang asal, seperti yang Anda lihat dari grafik. Hal

yang sama berlaku dari sembarang ganjil  f (x); area ke kiri dan ke kanan

menghilangkan. Selanjutnya lihat grafik kosinus dan integral ∫– π /2

π /2

cos x dx. Anda lihat bahwa area

dari-π / 2 sampai 0 adalah sama sebagai daerah dari 0 sampai π / 2. Kita bisa kemudian hanya

mencari integral dari 0 ke π / 2 dan kalikan dengan 2. Dalam integral, jika f (x) adalah genap,

integral dari f (x) dari –l to l ke dua kali integral dari 0 sampai l. Lalu kami memiliki

 

Misalkan sekarang kita diberi fungsi pada interval(0 , l). Jika kita ingin mewakili hal oleh deret

Fourier pada periode 2 l, kita harus memiliki f (x) didefinisikan ( – l , 0 ) juga. 

Contoh 9.3

Ada beberapa hal yang bisa kita lakukan. Kita bisa mendefinisikan itu menjadi nol (atau,

memasukkan, hal lain) pada (-l, 0) dan selanjutnya seperti yang telah kita lakukan sebelumnya

untuk menemukan baik secara eksponensial atau serangkaian sinus-cosinus 2l periode. Namun,

sering terjadi dalam praktek yang kita butuhkan (untuk alasan Fisika-lihat Bab 13) untuk

mendapatkan fungsi genap (atau, dalam masalah yang berbeda, fungsi ganjil). Kami pertama

sketsa fungsi yang diberikan pada (l, 0) (garis berat pada Gambar 9.3 dan 9.4). Lalu kami

memperpanjang fungsi pada (-l, 0) akan menjadi genap atau ganjil seperti yang diperlukan. Untuk

(9.3)

∫−l

l

f ( x )dx={ ¿ if f ( x ) is odd

2∫0

l

f ( x ) dx∧if f (x ) is even

0

-l l0

Odd

-l l0

Even

sketsa periode lebih, hanya ulangi sketsa (-l, l). (Jika grafik rumit, akan sangat membantu untuk

melacaknya dengan jari satu tangan sementara anda gunakan tangan yang lain untuk menyalin

persis apa yang Anda Hidupkan kertas kalkir. Putar terbalik untuk menghindari persimpangan

tangan.)

Contoh 9.4

Untuk fungsi genap atau fungsi ganjil, rumus koefisien untuk menyederhanakan an dan bn.

Pertama misalkan f (x) adalah ganjil. Karena sin (nπx / l) adalah ganjil, f (x) sin (nπx / l) bahkan

dan f (x) cos (nπx / l) adalah ganjil. Maka an adalah integral, selama suatu interval simetris (-l,

l), suatu fungsi ganjil, yaitu f (x) cos (nπx / l) ; an Oleh karena itu nol. Tapi bn merupakan bagian

integral dari fungsi genap selama suatu interval simetris dan Oleh karena itu dua kali integrale 0

sampai l. Kita dapatkan:

bn = 2l

∫0

l

f (x )sinnπx

ldx

(9.4) If f (x) ganjil,

an = 0

Kami mengatakan bahwa kami telah memperluas f (x) dalam serangkaian sinus (an = 0 sehingga

tidak ada istilah kosinus). Demikian pula, jika f (x) bahkan, semua bn’s tersebut adalah nol, dan

an’s adalah integral dari fungsi genap. Kita dapatkan:

bn = 2l

∫0

l

f (x )cosnπx

ldx

(9.5) If f (x) genap,

an = 0

Kami mengatakan bahwa f (x) diperluas dalam seri cosinus.

Sekarang kamu telah mempelajari beberapa jenis yang berbeda dari sebuah deret fourier

yang diberikan oleh fungsi f(x) pada interval (0,L) untuk menentukan jenis mana yang diinginkan

dalam pemecahan kasus –kasus dalam fisika, ada dua hal yang perlu diperhatikan yaitu:

1. Periode, dari fungsi yang diberikan dapat menentukan berapa periodenya.

2. Dengan periode yang sudah diketahui, kita dapat menentukan fungsi ganjil atau genap

untuk penyelesaian kasus tersebut.

Sekarang kita anggap f(x) pada (0,1). Kita dapat menemukan jenis deret sinus, cosinus

atau eksponensial dari periode=1 (L=1/2).

Deret eksponensialnya :

f ( x )=∑−∞

∞

cn e2 inπx ; cn∫0

1

f ( x ) e−2 inπx dx

Pada periode =2 (L=1), didapat deret cosinus

ƒ(x)∑n=0

∞

an cosnπx dx ,an=¿2∫0

1

f ( x )cosnπx d x ;¿ bn=¿¿0

Dan mewakili fungsi genap. Bentuk yang lain, deret sinus mewakili fungsi ganjil. Sebelum

periode diketahui, kamu hanya menyebutkan sebagai fungsi cosinus saja. Setelah mengenal

periode, kamu bisa menyebutkan sebagai fungsi genap.

Contoh:

1. f ( x ) ¿0 ½<×<1 ,1 0< x<½ , ¿ carilah:

a) deret sinus Fourie

b) deret cosinus Fourier

c) Deret fourier (periode = 1)

Peneyelesaian:

a. Batas yang diberikan fungsi 0 dan 1. Perpanjangan pada interval (-1,0) membentuk fungsi

ganjil. Periode=2 (L=1). Teruskan fungsi dengan periode=2, didapat fungsi ganjil,an=¿¿ 0

dan

bn=2

L ∫

0

1

f ( x )sin nx dx=2∫0

½

sin nπx dx

= -2

nπcos nπx¿0

½= -

2nπ

( cos nπ2

- 1)

b1 = 2π

; b2 = 4

2 π ; b3 =

23 π

; b4 = 0,.......

Jadi deret sinus Fouriernya adalah

f( x )= 2π

( sin πx+ 2 sin 2 πx2

+ sin 3 πx3

+ sin 5πx5

+ 2sin 6 πx6

)

Deret Fourier sin untuk :

f(x) :f ( x )= 2

π (sin πx+ 2sin 2 πx2

+sin 3 πx3

+sin5 πx5

+ 2sin 6 πx6

+. . ..)(b) Sketsa kedudukan dari perode 2 ( Gambar 9.6 )

Dimana l = 1, bn = 0, dan

a0=2∫0

1f ( x )dx=2∫0

12 dx=1

an=2∫0

1f ( x )cos nπx fx= 2

nπsin nπx|0

12= 2

nπsin

nπ2

Selanjutnya deret Fourier cos untuk f(x) adalah

f ( x )=12+ 2

π (cos πx1

−cos 3πx3

+cos5 πx5

. . .)(c) membuat bagan suatu kedudukan dalam (0,1) dan selanjutnya dengan periode 1 (Gambar 9.7).

dimana 2l = 1, dan menjumpai cn seperti yang kita lakukan di bagian contoh 8. Seperti dalam

contoh itu, eksponen barisan ini, dimana sin – cos dari.

cn=∫0

1f ( x )c−2 inπx dx=∫0

21

e−2 in πx dx

=1−e−in π

2in π=

1−(−1 )n

2in π= {¿ 0

1in π

n≠0n

c0=∫0

12 dx=1

2

f(x) =

12+ 1

iπ (e2 iπx−e−2 iπx+ 13

e6 π ix−13

e−6 π ix+ .. ..)

=

12+ 2

π (sin 2πx+sin 6πx3

+. . .) ,

kita dapat merubah persamaan keduanya an danbn menunjukkan.

an=2∫0

12

cos2 nπx dx=0

bn ¿2∫0

1/2

sin 2nπ x dx= 1nπ

(1−cos nπ )= 1nπ

[1− (−1 )n ]

bn ¿2π

, b2=0 , b3=2

3 π,b4=0

ini adalah salah satu pilihan untuk menentukan nilai yang sangat berguna dengan meperhatikan

sesuatu yang sama dan fungsi yang ganjil .Jika kamu diberikan satu fungsi di (−1,1 ) dengan

memperhatikan sebuah deret sin-cosinus (pada periode 2/) dan yang terjadi dengan

memperhatikan fungsi yang sama,melaksanakan bentuk itu bn' s = 0 dan kamu tidak dapat keluar

tanpa melakukan itu.Juga an' s dapat menuliskan dua kali bilangan integral dri 0 sampai 1 tepat

seperti di (9.5).Begitupun jika menggunakan fungsi yang ganjil,kamu dapat meggunkan

(9.4).Pengenalan ini banyak diperoleh dari aljabar.

SOAL KE 9

Fungsi di soal 1 - 3 keduanya tidak genap juga tidak ganjil .Tulis masing-masing jumlah dari

jumlah fungsi genap dan fungsi ganjil.

1.(a) enx (b) x ex

2.(a) ln|1−x| (b) (1+x ) (sin x+cos x )

3.(a) x5−x4+x3−1 (b) 1+ex

4.Apa yang kamu ketahui tentang fungsi genap dan fungsi ganjil dengan membuktikan bagian

yang pertama dari (5.2)

Masing –masing fungsi dri soal no 5-12 menggunakan lebih dari satu periode.Untuk masing

masing fungsi,berikan bagan dan tentukan apakah ganjil atau genap.Ketika menggunakan (9.4)

atau (9.5) untuk menambahkan di penyediaan deret fourier

5.f ( x )={−1 ,−x<x<0 ,1 ,0<x<x ,

6.f ( x )={−1 ,−i<x<0 ,1 ,0<x<i .

answer : f ( x )= 4x (sin

πxi

+ 13

sin3 πx

i+ 1

3sin

5 πxi

+…)8.f ( x )=x ,− x

2<x< x

2.

23. Jika dawai biola dipetik (menarik kesamping dan melepaskannya), itu memungkinkan untuk

menemukan formula f(x,t) untuk penggantian waktu t terhadap beberapa titik x akibat getaran

dawai dari posisi kesetimbangan. Itu menunjukkan bahwa dalam menyelesaikan masalah ini

kita membutuhkan penjabaran fungsi f(x,0), yang memiliki grafik bentuk awal dari dawai,

dalam deret fourier sinus. Temukan deret ini jika dawai dengan panjang l ditarik dengan jarak

yang kecil h di pusatnya, seperti yang ditunjukkan.

f(x,0)

h

l x

24. Jika, dalam masalah 23, dawai dihentikan di pusat f(x,0) dan setengahnya dilepaskan, lalu

fungsinya dijabarkan dalam deret sinus dtunjukkan disini. Temukan deretnya. Perhatian:

catatan bahwa f(x,0) = 0 untuk ½ < x < l.

f(x,0)

h

l x

10. APLIKASI UNTUK BUNYI

Kita telah mengatakan bahwa ketika gelombang bunyi melewati udara dan kita mendengarnya,

tekanan udara dimana kita berada, berubah-ubah tiap waktu. Seandainya kelebihan tekanan di

atas (dan dibawah) tekanan atmosfer dalam gelombang bunyi diberikan melalui grafik bentuk

10.1. (Kita tidak akan dirisaukan dengan unit-unit dari p; Walaupun demikian unit-unit dalam

bentuk 10.1 akan menjadi p dalam 10-6 atmospheres).

p(t)

1 78 1

-1

524 -1

1048 0 1

1048 1

524 1

262 t dalam detik

-1 -78 -1

Bentuk 10.1

Biarkan kita bertanya frekuensi-frekuensi apa yang kita peroleh ketik kita mendengarkan bunyi

ini. Untuk mengetahuinya, kita menjabarkan p(t) dalam deret fourier. Periode dari p(t) adalah 1

262

; itu merupakan, gelombang bunyi yang menglanginya 262 kali per detik. Kita telah menyebu

periode 2l dalam rumus kita, jadi disini l = 1

524 . Fungsi-fungsi yang telah kita sebut sin (nx/l)

disini menjadi sin 524 nt. Kita dapat menghemat beberapa pekerjaan melalui pengamatan bahwa

p(t) adalah sebuah fungsi bebas; maka hanya ada bentuk sin dalam deret fourier dan kita hanya

butuh menghitung bn. Menggunakan (9.4), kita harus

(10.1)

bn = 2(524) ∫0

1/524p ( t )sin 524 nπt

dt

= 1048 ∫0

1/1048p ( t )sin524 nπt

dt - 78 (1048) ∫1/1048

1/524sin 524 nπt

dt

= 1048 (−cos nπ

2−1

524 nπ+ 7

8

cos nπ−cos nπ2

524 nπ )

=

2nπ

(−158

cosnπ2

+1+ 78

cosnπ ).

Dari sini kita dapat memperhitungkan nilai dari bn untuk beberapa nilai n yang pertama:

(10.2)

Kemudian kita

mempunyai

(10.3)

p (t )= 14 π

(sin 524 πt1

+30 sin (524 . 2πt )

2+

sin (524 .3 πt )3

+sin (524 .5 πt )

5+

30 sin (524 .6πt )6

+sin (524 .7 πt )

7+…)

Kita dapat memahami hanya dengan melihat koefisien yang merupakan kedua bentuk

penting. Bentuk pertama yang sesuai yang menjadi dasar dengan frekuensi getaran 262 perdetik

(ini mendekati c tengah pada piano). Tetapi itu lebih rendah pada nada yang pertama (harmoni

kedua) yang cocok ke bentuk kedua dengan frekuensi nada 524 getaran perdetik (mendekati c

tinggi). Harmoni keenam (mendekati n=6) dan juga untuk harmoni n=10,14,18,22, dan 26 yang

keseluruhannya lebih menonjol (yang mana itu mempunyai koefisien yang lebih besar) daripada

dasarnya,kita dapat mengelompokkan tentang makna relatif dari bermacam-macam frekuensi.

Kembali ke diskusi osilasi harmoni sederhana,kita menunjukkan bahwa energi rata-rata

sebanding dengan amplitudo kecepatan. Itu dapat di timbulkan dari intensitas gelombang bunyi

(energi rata-rata yang termapat dari kesatuan wilayah yang dapat kamu dengar perdetik) adalah

sebanding dengan rata-rata kuadrat dari kelebihan tekanan.Kemudian untuk sinuscidal macam-

macam tekanan A sin 2πft, intensitas dasarnya adalah A2. Di deret fourier untuk p(t),macam-

macam intensitas harmoni menjadi dasar dari koefisien fourier yang sesuai/cocok (intensitas

kasar yang sesuai ke nada yang lebih keras/bising tidak tepat karena kedengaran kepekaan

frekuensinya tidak sama. Intensitas relatif dari harmoni dapat di contohkan sbb:

N= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,...

Intensitas relative = 1 225 19

0 1

25 25

149

0 1

81 9 ...

Dari sini kita dapat melihat bahwa prinsip harmoni kedua dengan frekuensi 524 (C tinggi).

MASALAH, BAGIAN 10

Di masalah 1 ke 3, graf yang menggurati mewakili satu periode dari desakan kelebihan p (t) pada

satu gelombang suara. Temukan selaras penting dan intensitas relatif mereka.

Di masalah 4 ke 10, sket memperlihatkan beberapa contoh praktis dengan sinyal elektrik

(tegangan listrik atau arus). Di masing-masing kasus kita mau mengetahui harmonik isi suatu

sinyal, yang apa frekuensi ini berisi dan di apa proporsi. Untuk menemukan ini, perluas masing-

masing funstion pada satu deret fourier sesuai. Asumsikan di masing-masing kasus itu bagian

dari graf yang diperlihatkan adalah repeared enampuluh times per kedua.

Keluaran dari satu sederhana d c generator; bentuk dari kurva adalah nilai mutlak dari satu fungsi

sinus. Biar tegangan listrik maksimum menjadi 100 v

Dikoreksi separuh gelombang; kurva adalah satu sinus funstion untuk semi siklus dan nol untuk

setengah yang lain. Biar arus maksimum menjadi 5 amp.

Tringular lambaikan; graf terdiri dari dua garis lurus siapa penyamaan kamu harus tulis! tegangan

listrik maksimum dari 100v terjadi pada tengah dari siklus.

7. Gigi gergaji 8.Gigi gergaji diperbaiki

l(t) l(t)

10 10

0

120 60 t 120 60 t

9. Gelombang persegi 10. Fungsi periodik jalan

V(t)

100 100

0 120 6 t 0 120 60 t

11. TEOREMA VARSEVAL

Sekarang kita akan menemukan relasi antara rata – rata kuadrat (atau kuadrat mutlak) dari

f(x) dan koefisien dalam deret fourier untuk f(x), dengan asumsi bahwa ∫ -xπ |f(x)|2 dx adalah

terbatas. Hasilnya adalah dikenal sebagai teorema varseval atau hubungan kelengkapan. Anda

harus memahami bahwa titik pada teorema tidak untuk mendapatkan rata – rata dari kuadrat yang

diberikan f(x)dengan menggunakan seri fouriernya. [diberikan f(x),maka mudah mendapatkan

kuadrat rata – rata hanya dengan melakukan integrasi] titik eorema ini adalah untuk menunjukan

hubungan antara rata – rata dari kuadrat f(x) dan koefisien fourier. Kita dapat memperoleh suatu

bentuk teorema parseval dari satu ekspansi berbagai fourier yang telah kita buat marilah kita

menggunakan persamaan(5.1).

(11.1) f(x) = 1/2ao + Σ∞1an cos nx + Σ∞

1 bn sin nx

kita kuadratkan f(x) dan rata – rata kuadrat lebih (-π,π):

(11.2) rata –rata [f(x)]2 adalah 1/2π ∫π-π[f(x)]2 dx.

Ketika kita kuadratkan f(x), kita mendapatkan banyak hal. untuk menghindari penulisan

sejumlah besar angka dari mereka , mempertimbangkan tipe istilah terdapat dalam [f(x)] kuadrat

dan apa yang rata – ratadari perbedaan jenis pada bilangan tersebut. Pertama, diantara kuadrat –

kuadrat pada bilangan individu dalam f(x). Menggunakan fakta bahwa rata –rata dari kuadrat

sinus dan kosinus periode adalah ½, kita memiliki:(11.3) rata – rata (1/2ao)2 adalah (1/2ao)

2

rata – rata (an cos nx)2 adalah a2n . ½

rata – rata (bn.sin nx) adalah b2n . 1/2

Maka, ada croos-product dari bentuk – bentuk 2.1/2a0an cos nx, 2.1/2a0bn sin nx, dan 2anbm

cos nx sin mx dimana m≠0 (n kita tulis dalam faktor kosinus dan m dalam faktor sinus dari setiap

batas sinus harus dikalikan dengan setiap batas kosinus.

Kemudian ada syarat hasil silang dari bentuk 2 .

12

aoan cos nx, 2.12

aobnsin nx,dan

2 .an bmcos nx sin mx dengan m≠n (kita menulis m dalam factor cosinus dan m dalam factor

sinus karena setiap syarat sinus harus dikalikan dengan setiap syarat cosinus). Pada (5.2) syarat

nilai rata-rata dari semua tipe adalah o

(11,4) Rata-rata dari [ f ( x )]2 (titik yang berlebih) = ( 1

2ao)

2

+12∑ ¿

1

∞

an

2

+12∑ ¿

1

∞

bn

2

¿¿

Ini adalah satu dari bentuk teorema parseval. Anda bias dengan mudah membuktikan (masalah 1)

bahwa teorema parseval tidak berubah jika f (x) mempunyai titik 21 sebagai pengganti 2 π dan

hasil kuadratnya adalah rata-rata melebihi titik dari panjang 21. Anda juga bisa membuktikan

(masalah 3) bahwa jika f (x) ditulis sebagai sebuah rangkaian exponential fourier yang kompleks

dan jika dalam penjumlahan, termasuk kemungkinan bahwa f (x) itu sendiri mungkin komplek,

kemudian kamu menemukan :

Rata – rata dari [ f ( x )]2 (titik yang berlebih) = ∑ ¿

−∞

∞

|6n|2 ¿

Teorema parseval’s kadang-kadang disebut dengan kelengkapan hubungan. Dalam suatu masalah

yang menggambarkan sebuah pemberian gelombang suara seperti sejumlah keselarasan, andai

kata kita telah meninggalkan salah satu dari rangkaian keselarasan itu terlihat masuk akal secara

fisik dan itu bisa dibuktikan secara matematik, bahwa dengan satu atau lebih keselarasan yang

keliru, kita tidak akan mampu untuk menggambarkan gelombang suara yang mengisi keselarasan

yang hilang. Kita mengatakan bahwa pasangan dari fungsi sin nx, cos nx adalah sebuah pasangan

yang lengkap dari fungsi diatas sedikit waktu jeda dari panjang 2π ; bahwa ada fungsi (memnuhi

kondisi Dirichlet) yang bisa dikembangkan dalam sebuah rangkaian fourier yang mempunyai

syarat ketetapan waktu sin nx dan cos nx. Jika kita mengeluarkan / menghilangkan beberapa dari

nilai n, kita akan memiliki sebuah fungsi dasar yang tidak lengkap dan tidak bisa

menggunakannya untuk mengembangkan beberapa fungus yang diberikan, sebagai contoh, andai

kata Anda membuat sebuah kesalahan dalam menemukan titiknya (itu adalah nilai dari 1) dari

fungsi yang anda berikan dan dicoba untuk menggunakan kumpulan dari fungsi yang diberikan

dari titik 2π . Anda akan mendapatkan sebuah jawaban yang salah karena anda menggunakan

sebuah kumpulan fungsi yang tidak lengkap (dengan sin x, sin 3 x, ……., massanya yang hilang).

Jika rangkaian fourier anda salah karena kumpulan dari fungsi dasar yang Anda gunakan tidak

lengkap. Dan kemudian hasilnya, Anda dapatkan dari teorema parseval (11,4) or (11,5) akan

salah juga. Sebaliknya, jika (11,14) dan (11,5) benar dari semua f (x), kemudian kumpulan dasar

dari fungsi digunakan dalam kumpulan yang lengkap. Ini sebabnya mengapa teorema Parsenal’s

sering disebut kelengkapan hubungan.

Mari kita mencari beberapa contoh dari makna fisik dan penggunaan teorema Parseval’s

Contoh 1 dalam bab 10 mengatakan bahwa intensitas (energi persentimeter kuadrat perdetik) dari

sebuah gelombang suara adalah sebanding dengan nilai rata-rata dari kuadrat tekanan yang

berlebih. Jika secara sederhana kita menulis (10,3) dengan angka pengganti dari numeric, kita

punya.

(11.6) P(t) = ∑ ¿

1

∞

bn sin 2 π nft . ¿

Untuk kasus ini, teorema Parveval’s mengatakan bahwa :

(11.7) Rata-rata dari

[ p ( t ) ]2 = ∑ ¿1

∞ bn

2

. 12

=∑ ¿

1

∞

¿¿

rata – rata dari bn2 sin2 2 π ft

Sekarang intensitas atau energi (per cm2/detik) dari gelombang bunyi adalah proporsional

menyamai rata-rata dari [p(t)]2, dan energi yang berhubungan dengan harmonik ke-n adalah

proporsional menyamai rata-rata dari b2n sin2 2nft. Dengan demikian, teori parseval mengatakan

bahwa energi total dari gelombang bunyi menyamai jumlah dari energi-energi yang berhubungan

dengan berbagai jenis harmonik.

Contoh 2. Gunakan teori parseval untuk menemukan jumlah dari deret tak hingga. Dari

permasalahan 8.15 kita memperoleh:

Fungsi f(x) dari periode 2 yang menyamai x di (-1,1)

= -

iπ (eix - e-i -

12 e2 ix +

12 e-2 ix+

13 e3 ix -

13 e-3 ix +…)

Temukan rata-rata dari [f(x)]2 di (-1,1).

Rata-rata dari [f(x)]2 =

12∫−1

1

x2 dx =

12 [

x3 3

]-11 =

13 .

Melalui teori parseval (11.5), ini menyamai ∑−∞

∞

| cn |2, jadi kita mempunyai

13 =

∑−∞

∞

| cn |2 =

1π 2 (1+1+

14 +

14 +

19 +

19 + …) =

2π 2

∑1

∞

1n 2.

Lalu kita mendapat jumlah dari deret ini

1+14 +

19 +… =

∑1

∞

1n 2 =

π2 2

•

13 =

π6 2

.

MASALAH- MASALAH, BAGIAN 11

1. Buktikan (11.4) untuk fungsi dari periode 2l Yng dijabarkan dalam deret sinus-cosinus.

2. Buktikan bahwa jika f(x) = ∑−∞

∞

cn einx, lalu nilai rata-rata dari [f(x)]2 adalah ∑−∞

∞

cn c-n.

Tunjukkan melalui masalah 7.12 bahwa untuk f(x) yang nyata, ini menjadi (11.5).

3. Jika f(x) adalah kompleks, kita biasanya menginginkan rata-rata dari nilai mutlak f(x). Ingat

kembali bahwa | f(x)|2 = f(x)• f ( x ) , dimana f ( x ) merupakan kompleks konjugat dari f(x).

Tunjukkan bahwa jika kompleks f(x)= ∑−∞

∞

cn einxl, lalu gunakakan (11.5).

4. Jika sebuah arus I mengalir melalui hambatan R, energi panas yang hilang setiap detik adalah

nilai rata-rata dari RI2. Biarka periodic (bukan sinusoidal) arus I(t) dijabarkan dalam deret

fourier I(t) = ∑−∞

∞

cn 120int. Beri pengertian secara fisika untuk teori Parseval dalam masalah

ini.

Gunakan teori Parseval dan hasil dari masalah- masalah yang ditunjukkan untuk menemukan

jumlah dari deret dalam masalah 5 sampai 9.

5. Deret 1+

13 2+

15 2+…, gunakan masalah 9.6.

6. Deret ∑n=1

∞

1n 4, gunakan masalah 9.9.

7. Deret ∑n=1

∞

1n 2, gunakan masalah 5.8.

8. deret ∑ganjil π

1

n4, menggunakan masalah 9.10

9.deret ini 1

32+ 1

152+ 1

352+…, menggunakan masalah 5.11

10. teori parseval menyatakan bahwa apabila dua fungsi memperluas deret fourier

f ( x )=12

a0∑1

∞

an cosnx+∑1

∞

bn sin nx ,

g ( x )=12

a0' +∑

1

∞

a0' cosnx+∑

1

∞

bn' sin nx ,

Kemudian rata-rata nilainya f(x)g(x) adalah 14

a0a0' + 1

2∑

1

∞

an an' + 1

2∑

1

∞

bn bn' buktikan.

12. MACAM-MACAM PERMASALAHAN

1. perpindahan (dari kesembangan) sebuah partikel melaksanakan gerak suara sederhana

mungkin salah dari y=Asin ωt atau y=A sin(ωt+∅ ) tergantung pilihan kita dari waktu aslinya.

Tunjukan bahwa rata-rata energi kinetik sebuah massa partikel m (waktu gerak lagi) adalah sama

untuk dua formula (seperti itu seharusnya terjadi sejak keduanya di buat dalam gerakan fisik yang

sama). Temukan nilai rata-rata energi kinetik dari keadaan sin(ωt+¿∅ )¿ dengan dua cara:

a. dengan pilihan batas integrasi (mungkin seperti masalah 4.1) kemudian sebuah perubahan

penurunan variabel integral untuk keadaan sin ωt .

b. dengan perluasan sin (ωt+∅ ) dengan rumus penjumlahan trigonometri dan menggunakan (5.2)

untuk menulis rata-rata.

2. simbol [x] berarti bilangan bulat kurang dari atau sama dengan x (sebagai contoh [3] = 3, [2.1]

= 2, [-4.5] = -5. Luas x−[ x ]−12

di suatu deret fungsi eksponen Fourier untuk periode 1.

Petunjuk : sekatsa fungsi.

Jawaban : i2 π (…− e−4 πix

2− e−2 πix

1+ e2 πix

1+ e4 πix

2+…)

3. kami telah mengatakan bahwa deret Fourier dapat menggambarkan terputusnya fungsi

walaupun tidak terdapat rangkaian daya. Mungkin kamu haran mengapa kita tidak dapat deret

pengganti daya untuk sin nx dan cosnx (yang mana untuk semua kumpulan x) di dalam sebuah

deret Fourier dan mengumpulkaan syarat-syarat m diperoleh sebuar rangkaian daya untuk

memutuskan sebuah fungsi. Sebagai contoh apa yang terjadi seandainya kita mencoba ini,

pertimbangkan rangkaian di masalah 9.5. tunjukkan bahwa koefisien dari x, seandainya

terkumpul, bentuk sebuah rangkaian berbeda, dengan cara yang sama, koefisien dari x3 bentuk

sebuah deret berbeda dan seharusnya.

4. diagram tersebut menunjukkan sebuah “pengendoran” gerak bolak-balik. Beban q di kapasitor

dirangkai sampai ke api tabung neon dan pemberhentian kapasitor (kita mulai yang seketika itu

juga). Kemudian lingkaran terulang sendiri lagi dan lagi

a. Beban q di kapasitor cukup berbeda persamaan:

Dimana R adalah resistansi, C adalah kapasitas, dan V adalah konstanta d-c tegangan, seperti

yang terlihat dalam diagram. Tunjukan bahwa jika q=0 ketika t=0, kemudian di waktu

selanjutnya (satu putaran sebelum tabung neon terbakat)

q=CV (1−e−tRC )

(b) misalkan tabung neon terbakar pada t=12

RC. Gambarkan q sebagai fungsi t untuk beberapa

putaran/siklus.

(c) jabarkan periode q dibagian(b) sesuai dalam deret fourier.

5. mempertimbangkan kurva f ( x )=sin x . Tunjukkan bahwa nilai rata-rata f(x) melalui

lengkungan kurva ketiga adalah 2 kali nilai rata-rata yang melalui akhir lengkungan

tersebut.

6. f (t )=eiωt on (−π , π ). Jabarkan f(t) dalam deret fourier eksponensial kompleks dari periode

2π. (asumsi ω ≠ bilangan bulat).

7. Diberikan f ( x )=|x| on (−π , π ), jabarkan f(x) sesuai dalam deret fourier dari periode 2π.

8. Tentukan dengan cara termudah untuk mendapatkan nilai rata-rata dari

a. x3−3 sinh 2 x+sin2 πx+cos3 πx on (-5,5)

b. 2 sin2 3x−4 cos x+5 x cosh2 x−x cos2 x on (-π,π)

Petunjuk : kamu harus dapat mengerjakan soal di atas dalam pikiranmu

9. Diberikan f ( x )={x ,0<¿ x<1−2,1<x<2

a. Gambarkan grafik paling tidak tiga periode dari fungsi yang di tampilkan oleh

deret sinus untuk f(x). Tanpa menemukan deret apapun, jawab pertanyaan berikut:

b. Untuk apakah nilai sin dalam x=1? ; x=2? ; x=0? ; x=-1?

c. Jika fungsi yang diberikan adalah kontinyu dengan periode 2 dan kemudian

ditampilkan kembali oleh oksponensial deret kompleks ∑n

∞

¿, berapa nilai dari

∑n=−∞

∞

|cn|2?

10. a. Gambarkan paling tidak 3 periode dari fungsi grafik yang kemudian di tampilkan

kembali oleh deret cos untuk f(x) dalam masalah 9.

b. gambarkan paling tidak 3 periode dari grafik deret Fourier eksponensial periode 2

untuk dalam masalah 9.

c. untuk apakah nilai cos dalam x=0?, x=1?, x=2?, x=-2?

d. untuk apakah nilai deret eksponensial dalam x=0?, x=1?, x=3/2?, x=-2?

11. Tentukan 3 deret Fourier di soal 9 dan 10!

12. Apa yang akan di bentuk dari frekuensi gelombang bunyi yang tampak seperti yang

ditunjukkan oleh p (t )=∑n=1

∞cos 60 nπt

100 (n−3)2+1?

13. A. Telah di beri f ( x )= π−x2

on (0 , π ) , tentukan deret sin pada periode 2π untuk f(x).

B. Gunakan hasil anda dalam mengevaluasi ∑ 1 /n2.

14. A. Tentukan deret fourier pada periode 2 untuk f ( x )=(x−1)2on (0,2 ) .

b. gunakan hasil anda untuk mengevaluasi ∑ 1 /n4.