deret fourier 2.ppt - gunadarma...
TRANSCRIPT
KALKULUS 4
Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA.
SARMAG TEKNIK MESIN
1. Deret Fourier
1.1. Fungsi Periodik
1.2. Fungsi Genap dan Ganjil,1.3. Deret Trigonometri,1.4. Bentuk umum Deret Fourier,1.5. Kondisi Dirichlet,1.6. Deret Fourier sinus atau cosinus separuh jangkauan.
2. Integral Fourier
KALKULUS 4 - SILABUS
2. Integral Fourier
3. Fungsi Gamma dan Fungsi Beta
3.1. Fungsi Gamma
3.2. Fungsi Beta3.3. Penerapan fungsi Gamma dan fungsi Beta
4. Transformasi Laplace
4.1. Definisi dan sifat Transformasi Laplace
4.2. Invers dari transformasi Laplace4.3. Teorema Konvolusi4.4. Penerapan transformasi Laplace dalam penyelesaian P. D.
dengan syarat batas.
Teorema
Andaikan
1. f(x) terdefinisi dan bernilai tunggal, kecuali pada sejumlah hingga titik, pada interval (-L, L),
1.5. KONDISI DIRICHLET
2. f(x) periodik di luar interval (-L, L) dengan
periode 2L,
3. f(x) dan f’(x) kontinyu bagian demi bagian pada (-L, L),
TeoremaMaka deret
dengan koefisien a dan b , konvergen ke
1.5. Kondisi Dirichlet
dengan koefisien an dan bn , konvergen ke
a. f(x) jika x adalah titik dimana f(x) kontinyu,
b. jika x adalah titik dimana f(x)
diskontinyu. f(x+0) adalah limit kanan dari f(x).
f(x-0) adalah limit kiri dari f(x).
2
)0x(f)0x(f −++
Contoh:
Perhatikan fungsi
1.5. Kondisi Dirichlet
8 :Periode , 0 x 4- ,5
4x0 ,0)x(f
<<
≤≤=
Bagaimana mendefinisikan f(x) pada x = -4 , x = 0,
dan x = 4 agar konvergen ke f(x) untuk setiap x ?
Jawab: …
0 x 4- ,5 <<
Jawab:
memenuhi kondisi Dirichlet.
1.5. Kondisi Dirichlet
8 :Periode , 0 x 4- ,5
4x0 ,0)x(f
<<
≤≤=
memenuhi kondisi Dirichlet.f(x) diskontinyu pada x = -4 , x = 0, dan x = 4 .
5
4 8 12 16-4-8-12-16
0X
Jawab:Deret Fourier dari fungsi tersebut
1.5. Kondisi Dirichlet
4
xn sin )n cos (-1
n
5
1n
2
5 (x)f
ππ+
π
∞
=
+= ∑
Pada x = -4, deret tersebut konvergen ke
Pada x = 0, deret tersebut konvergen ke
2
5
2
50
2
)04(f)04(f=
+=
−−++−
2
5
2
05
2
)04(f)04(f=
+=
−−++−
Pada x = 4, deret tersebut konvergen ke
Dengan demikian f(x) dapat ditulis sebagai
1.5. Kondisi Dirichlet
2
5
2
50
2
)04(f)04(f=
+=
−−++−
-4x,2
5 =
8 :Periode ,
4x,2
5
4x0,5
0x,2
5
0x4-,0
-4x,2
5
)x(f
=
<<
=
<<
=
=
Latihan:Definisikan fungsi berikut pada titik-titik diskontinyu sedemikian hingga fungsi tersebut konvergen ke f(x) untuk setiap x
1.5. Kondisi Dirichlet
5x0 ,3 ≤≤
01 :Periode , 10 x 5 ,25
5x0 ,x)x(f .3
2 :Periode , 0 x - ,0
x0 , xosc)x(f .2
10 :Periode , 0 x 5- ,3
5x0 ,3)x(f .1
2
<<
≤≤=
π
<<π
π≤≤=
<<−
≤≤=
IDENTITAS PARSEVAL
Jika an dan bn koefisien deret Fourier yang bersesuaian dengan f(x)
dan f(x) memenuhi syarat Dirichlet, maka
1.5. Kondisi Dirichlet
maka
)b(a 2
a dx ))x(f(
L
1 2
n
2
n
1n
2
0
L
L
2++= ∑∫
∞
=−
Contoh:Perhatikan deret Fourier
1.5. Kondisi Dirichlet
4
xn sin )n cos (-1
n
5
1n
2
5 (x)f
ππ+
π
∞
=
+= ∑
Dari fungsi
1n =
8 :Periode , 0 x 4- ,5
4x0 ,0)x(f
<<
≤≤=
Contoh:Berikan Identitas Parseval dari deret Fourier
1.5. Kondisi Dirichlet
4
xn sin )n cos (-1
n
5
2
5 (x)f
ππ+
π
∞
+= ∑
a0bn
L
Identitas Parseval:
4 sin )n cos (-1
n1n
2
(x)f π+
π=
+= ∑L
2
1n
24
4
2 )n cos1(n
5
2
5 dx ))x(f(
4
1
π+−
π
+= ∑∫∞
=−
∑∫∞
=−
π+−
π
+=
1n
2
22
4
4
2 )n cos 1(n
25
2
25 dx ))x(f(
4
1
Contoh:
1.5. Kondisi Dirichlet
∑∫∞
=−
π+−
π
+=
1n
2
22
4
4
2 )n cos 1(n
25
2
25 dx ))x(f(
4
1
(1) (2)
... ... dx )0( dx )5( 4
1 dx ))x(f(
4
14
0
2
0
4
2
4
4
2=+= ∫∫∫
−−
(1)
(2) ... ... )n cos 1(n
25
2
25
1n
2
22=π+−
π
+ ∑∞
=
Contoh:
1.5. Kondisi Dirichlet
dx )0( dx )5( 4
1 dx ))x(f(
4
14
0
2
0
4
2
4
4
2
∫∫∫−−
+=(1)
dx 0 dx 52 4
1
40
∫∫ +=
404
∫∫−
(-4)) -(0 4
25 x)(25
4
1 0
4- ==
25(4)4
25==
25 dx ))x(f( 4
14
4
2=∫
−
Contoh:
1.5. Kondisi Dirichlet
(2) =π+−
π
+ ∑∞
=1n
2
22)n cos 1(
n
25
2
25
)2 cos 1( 2
25 ) cos 1(
25
2
25 2
22
2
2+π+−
π
+π+−
π
+=
Untuk n ganjil, cos nπ = -1.Untuk n genap, cos nπ = 1
... )3 cos 1( 3
25
)2 cos 1( 2
) cos 1( 2
2
22
222
+π+−
π
+
+π+−
π
+π+−
π
+=
Contoh:
1.5. Kondisi Dirichlet
(2)
... )3 cos 1( 3
25
)2 cos 1( 2
25 ) cos 1(
25
2
25
2
22
2
22
2
2
+π+−
π
+
+π+−
π
+π+−
π
+=
)1)( 1( 25
)-1)( 1( 25
25
22++−++−+=
... )-1)( 1( 3
25
)1)( 1( 2
)-1)( 1( 2
2
22
222
++−
π
+
++−
π
++−
π
+=
... )2( 3
25 )0(
2
25 )2(
25
2
25 2
22
2
22
2
2+−
π
+
π
+−
π
+=
... 7
4.25
5
4.25
3
4.25
4.25
2
25
2222222+
π
+
π
+
π
+
π
+=
Contoh:
1.5. Kondisi Dirichlet
(2)
... 7
4.25
5
4.25
3
4.25
4.25
2
25
2222222+
π
+
π
+
π
+
π
+=
=π+−
π
+ ∑∞
=1n
2
22)n cos 1(
n
25
2
25
7532 ππππ
++++
π
+= ... 7
1
5
1
3
1 1
100
2
25
2222
Contoh:
1.5. Kondisi Dirichlet
(1) = (2)
++++
π
+= ... 7
1
5
1
3
1 1
100
2
2525
2222
11125 2π
Jadi
... 7
1
5
1
3
1 1
1002
25-25
222
2
++++=π
... 7
1
5
1
3
1 1
8 222
2
++++=π
8 ...
7
1
5
1
3
1 1
2
222
π=++++
Contoh:Bila diketahui
Tentukan jumlah dari deret
1.5. Kondisi Dirichlet
8 ...
7
1
5
1
3
1 1
2
222
π=++++
Tentukan jumlah dari deret
Jawab: …
... 5
1
4
1
3
1
2
1 1
2222+++++
Latihan:Bila diketahui
Buktikan bahwa
1.5. Kondisi Dirichlet
90 ...
4
1
3
1
2
1 1
2
444
π=++++
Buktikan bahwa
Bukti: …
96 ...
7
1
5
1
3
1 1
2
444
π=++++
Deret Fourier sinus separuh jangkauan adalah deret
Fourier yang hanya menyajikan bagian sinus saja.
1.6. DERET FOURIER SINUS DAN COSINUS SEPARUH JANGKAUAN
πL
xn2
Deret Fourier sinus separuh jangkauan
∫π
==
L
0
nn dx L
xnsin f(x)
L
2b , 0a
∑∞
=
π=
1n
nL
xnsin b )x(f
Deret Fourier cosinus separuh jangkauan adalah
deret Fourier yang hanya menyajikan bagian
cosinus saja.
1.6. Deret Fourier Sinus dan Cosinus Separuh Jangkauan
Deret Fourier cosinus separuh jangkauan
∫π
==
L
0
nn dx L
xn cos f(x)
L
2a , 0b
∑∞
=
π+=
1n
n0
L
xncos a
2
a)x(f
Latihan:
1. Uraikan f(x) = x , 0 ≤ x ≤ 2 dalam deret Fourier
sinus separuh jangkauan. (L = 2).
1.6. Deret Fourier Sinus dan Cosinus Separuh Jangkauan
sinus separuh jangkauan. (L = 2).
2. Uraikan f(x) = x , 0 ≤ x ≤ 2 dalam deret Fourier
cosinus separuh jangkauan. (L = 2).