DERET FOURIER

10.1. FUNGSI PERIODIK

Suatu fungsi f(x) dikatakan mempunyai periode T atau periodik dengan periode T jika untuk. setiap x berlaku f(x + T) = f(x), di mana T konstanta positif. Nilai positif terkecil T dinamakan periode terkecil atau disingkat periode f(x).

Contoh 1. Fungsi sin x mempunyai periode 2n, 4n, 6n, ... karena sin (x +2n), sin (x + 4n), sin (x + 6n), ... sarna dengan sin x. Tetapi 2nadalah periode terkecil atau periode sin x.

Contoh 2. Periode fungsi sin nx atau cos nx, di mana n bilangan bulat positif, adalah 21t1n.

Contoh 3. Periode tan x adalah n.

Contoh 4. Suatu konstanta mempunyai periode suatu bilangan positif.

Contoh lainnya dari fungsi periodik ditunjukkan dalam grafik pada Gambar lO-l(a), (b) dan (c) di bawah.

333f(x) I(x) f(x)

(a) (b) (c)

Gambar 10-1

10.2 DERET FOURIER

Misalkan f(x) didefinisikan pada selang (-L, L) dan di luar selang ini olehf(x + 2L)= f(x), yaitu diandaikan bahwa f(x) rnernpunyai periode 2L. Deret Fourier atau uraianFourier yang bersesuaian dengan f(x) ditentukan oleh

3u 00 n1tx nnx- + L (a cos - + b sin --)2 n=1 n L n L

............................(10-1)

di sini koefisien Fourier an dan bn adalah

a = - f(x) cos -- dxl' J L nzxn L -1 L

1 L nrtx

Jb = - f(x) sin -- dxn L -L L

n = 0, 1,2, ... . (10-2)

Jika f(x) rnernpunyai periode 2L, maka koefisien andan bn dapat ditentukan ekivalen(setara) dengan bentuk1 IC + 2L nsxa = - c f(x) cos -- dxn L L

[1 JC + 2Lb = - c

nsxf(x) sin -- dx

...........................(10-3)n L L

di sini c suatu bilangan riil. Dalam kasus khusus, c = -L, (3) rnenjadi (2).Untuk rnenentukan ao pada (1), kita gunakan (2) atau (3) dengan n = O.Sebagai contoh, dari (2) kita lihat bahwa 3u = - 1 J-LL f(x) dx. PerhatikanlahL

bahwa suku konstanta pada (1) sarna dengan -3u

= - 1 J-LL f(x) dx, yang rnerupakan

rata-rata f(x) pada suatu periodenya.

334

2 2LJika L = x, deret (1) dan koefisien (2) atau (3) sangat sederhana. Fungsi dalam kasus ini mempunyai periode 2x. '

10.3. SYARAT DIRICHLET

Teorema 101. Andaikan babwa :(1) f(x) terdefmisi dan bemilai tunggal kecuali mungkin di sejumlab berhingga titik pada (-L, L).(2) f(x) periodik di luar (-L, L) dengan periode 2L.(3) f(x) dan f'(x) kontinu bagian demi bagian pada (-L, L).

Maka deret (1) dengan koefisien (2) atau (3) konvergen ke : (a) f(x), bilamana x adalah suatu titik kekontinuannya.

f(x + 0) + f(x - 0)(b) bilamana x adalah suatu titik ketakkontinuannya.-2

Pada teorema ini, f(x + 0) dan f(x - 0) berturut-turut adalah limit kiri dan limit kanan dari f(x) di x dan menyatakan lim f(x + E) dan lim f(x - E) di sini E > O. Ini sering-HJ t-HJkali dituliskan lim f(x+ E) dan lim f(x - E) untuk

menyatakan bahwa E~O dari arab nilai-nilai positif. Buktinya dapat dilihat pada Soal10-18 dan 10-23.Syarat (1), (2) dan (3) yang dinyatakan pada f(x) adalah syarat cukup tetapi bukan syarat perlu, dan secara umum dalam prakteknya dipenuhi. Sekarang ini tidak diketahui syarat perlu dan cukup untuk kekonvergenan deret Fourier. Hal yang menarik adalah bahwa kekontinuan f(x) tidak sendirian menjamin kekonvergenan suatu deret Fourier.

10.4. FUNGSI GANJIL DAN GENAPSuatu fungsi f(x) dinamakan ganjil jika f(-x) = -f(x). Jadi x', x5 - 3x3 + 2x, sin x, tan 3x semuanya adalah fungsi ganjil.Suatu fungsi f(x) dinamakan genap jika f(-x) = f(x). Jadi x", 2x6 - 4x2 + 5, cos x,eX+ e-Xsemuanya adalah fungsi genap.Fungsi yang grafiknya digambarkan pada Gambar 10-I(a) dan 10-I(b) berturut-turut adalab fungsi ganjil dan genap; tetapi pada Gambar 10-1(c) fungsinya tidak ganjil dan genap.Dalam deret Fourier yang berkaitan dengan suatu fungsi ganjil, hanya suku-sukusinus yang dapat disajikan. Dalam deret Fourier yang berkaitan dengan suatu fungsi genap, hanya suku-suku cosinus (dan mungkin suatu konstanta yang kita pandang se bagai suatu suku cosinus) yang dapat disajikan.

33810.5DERET FOURIER SINUS ATAU KOSINUS SEPARUH JANGKAUAN(HALF RANGE)

Suatu deret Fourier sinus atau cosinus separub jangkauan berturut-turut adalah suatu deret di mana yang disajikan hanya suku-suku sinus atau hanya suku-suku kosinus, maka fungsi tersebut didefinisikan pada selang (0, L) [separuh selang (-L, L), yang merupakan penjelasan untuk istilah separuh jangkauan] dan kemudian fungsi tersebut dikelompokkan sebagai ganjil atau genap, agar ia dapat didefinisikan pada separuh selang lainnya, namakanlah (-I, 0). Dalam kasus ini, diketahui :

2 nxx

JLb = - 0 f(x) sin -- dx untuk separuh jangkauan deret sinusn L L2 JL nnx

......................... (4)a = - 0 f(x) cos -- dx untuk separuh jangkauan deret cosinusn L L

IDENTITAS PARSEVAL

Identitas ini menyatakan bahwa

1 L a2 00- f_L U(x)Pdx = _0 + L (a2 + b2)L 2 n=1 n n

....................... (5)

jika an dan bn adalah koefisien Fourier yang bersesuaian dengan f(x) dan jika f(x)memenuhi syarat Dirichlet.

10.6. PENDIFFERENSIALAN DAN PENGINTEGRALAN DERET FOURIER

Pendifferensialan dan pengintegralan deret Fourier dapat dikerjakan dengan menggunakan teorema tentang deret yang berlaku secara umum untuk setiap deret. Harus diperhatikan bahwa teorema itu memberikan syarat cukup dan bukan syarat perlu. Teorema berikut ini untuk pengintegralan sering digunakan.

Teorema 10-2. Deret Fourier untuk f(x) dapat diintegralan suku demi suku dari a ke x dan deret yang dihasilkan akan konvergen seragam ke tx f(u) du

asalkan f(x) kontinu bagian demi bagian pada -L < x < L dan a, x keduanya terletak pada selang ini.NOTASI KOMPLEKS UNTUK DERET FOURIER

Dengan menggunalcan kesamaan Euler,

eiO = cos e + i sin e, e-iO = cos e - i sin e .............................(10-6)

di sini i = -.I-I deret Fourier untuk f(x) dapat ditulis sebagai00f(x) = L c einltXlL

.........................(10-7)n~ n

di mana

c = -- 1 f L f(x) e-in1tXlL dxn 2L -L

...........................(10-8)

Dalam menuliskan kesamaan (7), kita mengandaikan bahwa syarat Dirichlet berlaku dan selanjutnya f(x) kontinu pada x. Jika f(x) talc kontinu di x, ruas kiri (7) dig anti

f(x + 0) + f(x - 0)dengan2

10.7 FUNGSI TEGAKLURUSDua vektor A d~ B dinamalcan tegaklurus jika A B = 0 atau A,B, + AzB2 + A3B3= 0, di mana A = A,i + AJ + ~k dan 13 = B,1 + BJ + B3k. Walaupun secara ilmu ukuratau fisis jelas, gagasan ini dapat diperumum untuk vektor-vektor dengan lebih dari tigakomponen, Khususnya, kita dapat herpikir bahwa suatu fungsi, katalcanlah A(x), dipan dang sebagai suatu vektor dengan talc berhingga komponen (yaitu suatu vektor berdi mensi talc berhingga); nilai dari setiap komponen ditentukan dengan menggantikan suatu nilai khusus x pada selang (a, b). Masuk akal bahwa dalam kasus ini didefmisikan dua fungsi A(x) dan B(x) saling tegaklurus pada (a, b) jika

=Jb .A(x) B(x) dx 0a

............................(10-9)

Suatu vektor A dinamalcan suatu vektor satuan atau vektor yang dinormalkan jika panjangnya 1 satuan, yaitu jika A A = A2 = 1. Perluasan konsep ini, kita mengatalcan bahwa fungsi A(x) adalah normal atau dinormalkan pada (a, b), Jika .

af. {A(x)P dx = 1

..........................(10-10)

Dari hal di atas, jelaslah bahwa kita dapat memandang suatu himpunan fungsi {cj.>.(x)}, k = 1, 2, 3, ... yang hesifat

fab cj>m(x)cj>nd(Xx )= 0 m * n ..........................(10-11).................. (10-12)

Dalam kasus ini, setiap anggota himpunan saling tegaklurus dengan setiap anggota lain nya di himpunan itu dan juga telah dinormalkan. Kita namakan himpunan fungsi yang demikian sebagai suatu himpunan ortonormal pada (a, b).Persamaan (11) dan (12) dapat diringkaskan dengan menuliskan

Jab -,

, ,,," .....,,, , ,"" ,,

I "'\'" "--"'~,..,-I" -----------, .-. ~-----t -4----' -~~---x-10 10

Gambar 10-9

to.9. Tunjukkanlah bahwa sebuah fungsi genap dalam uraian Fouriemya tidak mempunyai suku-suku sinus.

Metode 1.Tidak terdapatnya suku-suku sinus terjadi jika bn = 0, n = 1, 2, 3, ... Untuk

1 J L nxx 1 J 0 nzx 1 I'menunjukkan ini, tulislah

b = - -L f(x) sin -- dx = - -L f(x) sin -- dx + - 0 f(x) sinn L L L L L

n1tx--dxL

.......................(.1. )

Jika dibuat transformasi x = -u pada integral pertama di mas kanan (1), maka diperoleh :

1 JO nnx 1 fL (n1tU) 1 fL- f(x) sin -- dx = - f(-u) sin - -- du = - - f(-u)L -L L LO L Ln1tUsin --duL

............................. (2)= - -- 1 JL f(u) sin

nnu

du = - - 1 JL f(x) sin nzx dx

L -L

-- L L-L

-- L

di mana kita telah menggunakan kenyataan bahwa untuk suatu fungsi genap berlakuf(-u) = f(u) dan pada langkah terakhir peubah pengintegralan u dapat digantilambang lain, khususnya dengan x. Jadi dari (1), dengan menggunakan (2), kitamemperoleh

1 L mtx 1 L mtx

J Jb = - - 0 f(x) sin -- dx + - 0 f(x) sin -- dx = 0n L L L L

Metode 2.

Lao 00 nrtx nrtxAndaikan f(x) = - + (a cos -- - b sin --)2 n=1 n L n L

Lao 00 n1tx . n1txMaka

f(-x) = - 2

+ (a cos -n=1 n L

- b sin --)n LJika f(x) genap, maka f(-x) = f(x). Karena itu

L L~ 00 nrtx . nzx ao 00 nnx . nnx- + (a cos-- + b sm--) = - + (a cos-- - b sm--)2 n=1 n L n L 2 n=1 n L n L

00 mtx ~ 00 nrtxdan juga

L b sin -- = 0, yaitu f(x) = - + L a cos--n=ln L 2 n=ln L

yang tidak mempunyai suku-suku sinus.

Dengan cara yang sama kita dapat menunjukkan bahwa uraian Fourier suatu fungsi ganjil tidak mempunyai suku-suku cosinus (atau suku konstan).

2 JL nnx10.10 Jika f(x) genap, tunjukkanlah bahwa (a) a = - 0 f(x) cos - dx, (b) b = 0n L L n

IL I 0 J L(a) a = - 1 L f(x) cos nrtx dx = 1 Lf(x) cos nrtx dx + 1 0 f(x) nrtx dx_._ - - - --n L- L L- L L L

1 fO nrtx 1 fL -nnu 1 J L nrtuMisalkan x = -u, maka

- -Lf(x) cos - dx = - 0 f(-u) cos (--) du = - 0 f(u) cos - duL L L L L L

1 f L nzu 1 J L nzx 2 JL nrtxkarena menurut definisi fungsi genap, f(-u) = f(u). Jadi

a = - J(u) cos -- du + - 0 f(x) cos--dx = - J(x) cos--dxn L L L L L L

(b) Langsung diperoleh dengan Metode 1 Soal 10.9.

10.11. Uraikanlah f(x) = sin x, 0 < x < 1t dalam suatu deret Fourier cosinus.Suatu deret Fourier yang terdiri dari suku-suku cosinus saja berlaku hanyauntuk fungsi genap. Karena itu kita memperluas definisi f(x) sehingga menjadi fungsi genap (bagian bergaris pada Gambar 10-10 di bawah). Dengan perluasan ini, f(x) kita definisikan pada selang yang panjangnya 21t. Ambillah periodenya 21t,kita memperoleh 2L = 21t, sehingga L = 1t.

f(x)

2 JL nnx 2 J 1tMenurut Soal 10-10, bo = 0 dan

Gambar 10-10

a = - 0 f(x) cos -- dx = - 0 sin x cos nx dxo L L 1t

= -1

Jf1t1 o {sin(x + nx) + sin(x - nx)} dx = -

cos(n + l)x + cos(n - l)x } In{- ----1t 1t n+l n-l 0= ~ { 1 - cos (n + 1)1t + cos (n - l)1t-l} = ~ {_ 1 + cos n1t _ 1 + cos n1t }1t n+l n-l 1t n+l n-l-2(1 + cos nn)= jika n ::f. 11t(n2 - 1)

Untuk: n = .1,

2 J1t 2 sin2x 11ta, = - sin x cos x dx = - = 00 -- 01t 1t 2

Untuk n = 0,

a = - 2 J1t

sin x dx = -2

11t(- cos x)

4=--o 1t0 1t 01t

2 2 00 (1 + cos nn)

1t 1t n 1M~ M=---I ~~0=2 2 -

== ~ _ ~ ( cos 2x + cos 4x + co~ 6x + ... )1t 1t 22 - 1 42 - 1 62 - 1

10.12. Uraikanlah f(x) = x, 0 < x < 2 dalam separuh jangkauan (a) deret sinus, (b) deret cosinus,(a) Perluas difinisi fungsi yang diberikan sehingga menjadi fungsi ganjil dengan periode 4 seperti di tunjukkan pada Gambar 10-11 di bawah. Perluasan inikadang-kadang dinamakan perluasan ganjil untuk f(x). Maka 2L = 4, L = 2.

,,,,,,

!(x)

,,,,, , ,

,,, , ,, ,,

, ,----~--~~--~--~,,--~--~~--~----x

,-2 , ,,,

nJ JJadi a = 0 dan

Gambar 10-11

2 L nnx 2 2 nrtxb = - 0 f(x) sin --- dx = - 0 x sin --- dxo L L 2 2

= { (x) ( -2

cos

n1tx) - (1) ( -4

sin

n1tx)} 12 -4- --

-- -- 0

= -- cos n1t

sehingga

nn 2 n21t2 2

~ -4 nrtxf(x) L -- cos n1t sin --0=1 n1t 2

n1t

== ~ (sin n1t 1_ sin 21tx + _1_ sin 31tx _. . . )1t 2 2 2 3 2

(c) Perluas defmisi f(x) sehingga menjadi fungsi genap dengan periode 4 seperti ditunjukkan pada Gambar 10-12 di bawah. Perluasan ini dinamakan perluasangenap untuk f(x). Maka 2L = 4, L = 2.

!(x)

-6 -4 -2

Jadi bo = 0

Gambar 10-12

= - = -2 JL nrtx 2 J 2 nnxa 0 f(x) cos -- dx 0 x cQs -- dxn L L 2 2

= { (x) ( - 2

--sin

nrtx )--

- (1) ( -4

cos

n1tx)}

12-- 0nn 2 n2n2 2

4= ---::-:(cos n1t - 1) jika n '* 0n2n2Jika n = 0, ao = t2x dx = 2.00 4 nrtxMaka f(x) = 1 + '} -- (cos n1t - 1) cos --~ n2n2 2

= 1--

8 (cos

1tX 1- + -

cos

31tx 1 51tx )-- +-cos -- + ...1t2 2 32 2 52 2

Perhatikanlah bahwa fungsi yang diketahui, f(x) = x, 0 < x < 2, dinyatakan sarna baiknya dengan dua deret yang berbeda dalam (a) dan (b).

KESAMAAN PARSEVAL

10.13. Andaikan deret Fourier yang berkaitan dengan f(x) konvergen seragarn ke f(x)pada selang (-L, L), buktikanlah kesamaan parseval

- L -L {f(x) F dx = _02_ + L (a2 + b2 )1 I L a2n n

di mana integralnya diandaikan ada.

L ~ 00 n1tx n1txJika f(x) = -- + (a cos -- + b sin --), maka dengan mengalikan2 nwl n L n L

I L ao IL 00 I L nzx IL nrtxdengan f(x) dan mengintegralkannya suku demi suku dari -L sampai L (yang dimungkinkan karena deret ini konvergen seragarn) kita memperoleh

-L {f(x) Fdx = 2 -L f(x)dx + ~} an -L f(x) cos~x + bn -L f(x) sin~x}

........................(.1)

di mana telah digunakan hasil

I L nnx IL nrtx IL-L f(x) cos~x = La., -L f(x) sin~x = Lbn, -L f(x) dx = Lao (2)

yang diperoleh dari koefisien Fouriemya.Hasil yang diinginkan diperoleh langsung dengan membagi kedua ruas (1) dengan L. Kesamaan Parseval berlaku dengan syarat yang lebih terbatas daripada yang ditetapkan di sini.

10.14. (a) Tulislah kesamaan Parseval yang bersesuaian dengan deret Fourier pada Soal10. 12(b).

1 1 1 1(b) Dari (a), tentukanlah jumlah ~ untuk deret - + - + - + ... + --+....14 24 34 n4

4

n2x(a) Di sini L = 2, a = 2, a = -- (cos n1t - 1), n ~ 0, b = 0-0 n 2 n

Maka kesamaan Parsevalnya menjadi

= - = -- L --1 J 2 1 J 2 (2)2 00 16- 2 {f(x)2dx 2 x2 dx + (cos n1t - 1)22 - 2 - 2 ...1. n4x"'

8 64111 111 x"atau - = 2 + -=::-(b) ~-=-~ n6 945

= --10.39. 1 1 1 x2 - 8Tunjukkanlah bahwa + + + ...F. 32 32 52 52 72 16

[ Petunjuk : Gunakanlah Soal 10.11]

10.40. 00 1 x4 (b) ~ 1Tunjukkanlah bahwa (a) L - ~0=1 (2n _ 1)4 - 96 ' 0=1 (2n - 1)6

=--.960

= ---10.41. 1 1 1 4X2- 39Tunjukkanlah bahwa + + ---- + ...F 22 32 22 32 42 3242 52 16

FUNGSI TEGAKLURUS

10.42. Diketahui fungsi