kuliah 4 sistem linier: representasi deret fourier sinyal periodik

Sistem LinierSistem Linier

Kuliah ke-4Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik

Dwi PranantoProdi. Teknik ElektroUniversitas Panca Marga Probolinggo

Representasi deret Fourier sinyal periodikRepresentasi deret Fourier sinyal periodik

I. Tanggapan sistem LTI terhadap eksponensial kompleks

✔ Tanggapan sistem LTI terhadap masukan sinyal eksponensial kompleks adalah sinyal eksponensial kompleks yang sama, dengan perubahan amplitudo

Fungsi Eigen

Nilai Eigen Waktukontinu

Waktudiskrit

Sistem LTIWaktu-kontinu

Sistem LTIWaktu-diskrit

Waktukontinu

Waktudiskrit


Bukti:



Adalah konstanta kompleks yang mempunyai harga tergantung pada s

Adalah konstanta kompleks yang mempunyai harga tergantung pada z


Bentuk kombinasi linier




II.Representasi deret Fourier pada sinyal periodik waktukontinu

✔ Kombinasi linier dari sinyal eksponensial kompleks yang dihubungkan secara harmonik

dimana adalah koefisienkoefisien deret Fourier

dan


● Penentuan koefisienkoefisien deret Fourier

1.Kalikan kedua sisi representasi deret Fourier dengan

2.Integrasikan kedua sisi dengan interval 0 s/d T

3.Keluarkan jumlahan dan koefisien deret Fourier dari integral

4.Ubah integral eksponensial di sisi kanan dengan hubungan Euler


5.Selesaikan integral nomor 4➔ Untuk

➔ Untuk

Pandang integral sebagai luasan di bawah kurva

Sehingga


5.Nomor 3 dapat dituliskan kembali sebagai

Sehingga

atau

koefisienkoefisien deret Fourier sepanjang periode T


Representasi deret Fourier sinyal periodik waktudiskrit

Persamaan sintesis

Persamaan analitis


Contoh:

Tentukan koefisienkoefisien deret Fouriernya!

Gelombang bujur sangkar periodik


● Untuk Solusi

dengan

● Untuk

dengan


Grafik fungsi koefisien deret Fourier terhadap k


III.Sifatsifat deret Fourier waktukontinu

1.linieritas

Pasangan sinyal periodik dan koefisien deret Fourier

Dua sinyal periodik

Jika adalah kombinasi linier dari kedua sinyal,



2.Pergeseran waktu

Jika ,

Ambil

sehingga✔ Nilai koefisien deret Fourier

tidak bergantung pada pergeseran waktu



3.Waktubalikan

Jika , persamaan sintesis

Ambil

Sehingga, jika



4.Penskalaan waktu

Jika periodik dengan periode dan frekuensi , Periodik dengan periode dan frekuensi .

✔ Koefisien deret Fourier tidak berubah, representasi deret Fourier berubah karena perubahan frekuensi dasar



4.Perkalian

Jika

Hasil kali

5.Konjugasi

konsekuensinya

jika


IV.Representasi deret Fourier pada sinyal periodik waktudiskrit

k yang bervariasi pada daerah N bilangan bulat

Deret Fourier waktudiskrit

Persamaan sintesis


V.Penentuan koefisienkoefisien deret FourierUntuk menentukan koefisienkoefisien deret Fourier, kalikan kedua sisi deret Fourier dengan dan jumlahkan terhadap sukusuku N


V.Penentuan koefisienkoefisien deret FourierSehingga jika dituliskan

Koefisienkoefisien deret Fourier dapat dicari dengan

✔ Harga berulang secara periodik dengan periode

Contoh:

Persamaan analitis


Contoh soal:Gelombang bujur sangkar periodik waktudiskrit

Tentukan koefisienkoefisien deret Fourier sinyal tersebut!


solusi

Gunakan rumus jumlahan terbatas untuk menyelesaikan

Ambil , sehingga


Dan


Grafik fungsi koefisien deret Fourier terhadap k

Perhatikan keterulangan yang terlihat.

ReferensiReferensi

[1] A. V. Oppenheim, A. S. Willsky, S. H. H. Nawab, Sinyal dan Sistem

jilid 1, (Penerbit Erlangga, Jakarta, 2000)

[2] Plot grafik dibuat dengan bantuan program iPython dan

Inkscape

Referensi pemrograman Python:

(1) Python Scientific Lecture Notes, http://scipylectures.github.io/index.html

(2) The Python Tutorial, https://docs.python.org/2/tutorial/index.html

(3) Matplotlib, http://matplotlib.org/index.html

http://scipy-lectures.github.io/index.html

https://docs.python.org/2/tutorial/index.html

http://matplotlib.org/index.html

kuliah 4 sistem linier: representasi deret fourier sinyal periodik

Education