bab 1
DESCRIPTION
KalkulusTRANSCRIPT
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 LATAR BELAKANG
Dalam makalah ini anda akan mempelajari tentang operasi pada bilangan
real meliputi: operasi pada bilangan bulat dan pecahan, operasi pada bilangan
berpangkat, menerapkan operasi pada bilangan irasional (bentuk akar),
operasi pada logaritma. Sistem bilangan real, operasi pada bilangan bulat dan
pecahan, konversi bilangan-bilangan bulat dan bilangan pecahan ke atau dari
bentuk persen, pecahan desimal, pecahan campuran. Pada modul ini juga
mempelajari masalah perbandingan (senilai dan berbalik nilai), skala, dan
persen, serta yang terakhir adalah penerapan bilangan real dalam
menyelesaikan masalah kejuruan.
1.2 Tujuan
Setelah mempelajari makalah ini diharapkan dapat:
1. Memahami tentang sistem bilangan real dan operasinya meliputi: operasi
penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pada bilangan bulat dan
pecahan.
2. Memahami tentang konversi bilangan, perbandingan, skala, dan persen serta
dapat menyelesaikan soal yang berkaitan dengan konversi bilangan,
perbandingan, skala, dan persen.
3. Menerapkan bilangan real dalam menyelesaikan masalah kejuruan.
4. Menerapkan konsep skala, perbandingan, perbandingan senilai dan
perbandingan berbalik nilai.
5. Menerapkan pangkat tak sebenarnya untuk memecahkan masalah.
6. Menerapkan konsep ligaritma untuk memecahkan masalah.
7. Menggunakan tabel logaritma untuk mencari nilai suatu logaritma suatu
bilangan.
8. Menggunakan tabel logaritma untuk mencari nilai suatu anti logaritma suatu
bilangan.
1
BAB 2
PEMBAHASAN
2.1 Sistem Bilangan Real
Bilangan real mempunyai arti mentah yaitu bilangan nyata. Bilangan
nyata yang dimaksud di sini adalah semua bilangan yang secara tertulis dapat
dipelajari dan diajarkan secara aksiomatik
Bilangan real tersusun dari bilangan-bilangan lainnya,yaitu sebagai berikut :
a. Bilangan asli
Bilangan asli adalah suatu bilangan yang di awali dengan angka 1.
bilangan asli mempunyai sifat sebagai berikut:
1. Bilangan asli terkecil adalah 1,tetapi tidak ada bilangan yang terbesar
2. Apabila terdapat dua bilangan asli,misalnya a dan b,maka berlaku tiga
keadaan,yaitu : a>b, a=b, a<b.
3. Operasi-operasi pada matematika pada bilangan asli seperti pada
penjumlahan,perkalian,dan perpangkatan akan menghasilkan bilangan asli
juga.sifat seperti ini di sebut sifat tertutup.
b. Bilangan cacah
Bilangan cacah adalah gabungan antara bilangan asli dan nol.bilangan ini di
lambangkan dengan huruf C atau dapat di tulis dalam bentuk C={0,1,2,3,4,5.....}.
Sifat-sifat bilangan cacah :
1. Bilangan cacah terkecil adalah nol dan tidak ada bilangan cacah yang
terbesar.
2. Bilangan nol pada bilangan cacah di artikan sebagai banyaknya anggota
suatu himpunan kosong,yaitu n ( = 0.
c. Bilangan bulat
Bilangan bulat adalah gabungan dari bilangan cacah dan bilangan negatif.
Pada bilangan bulat berlaku sifat – sifat sebagai berikut:
1. Bilangan bulat tidak memiliki bilangan terkecil dan terbesar.
2. Bilangan bulat terdiri dari bilangan negatif, bilangan nol, dan bilangan positif.
2
d. Bilangan rasional
Adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dengan , dengan a, b B dan b 0
serta b bukan faktor dari a. Bilangan a dan b disebut penyebut. Dalam
matematika, bilangan rasional dilambangkan dengan huruf Q dan dapat ditulis
dalam bentuk Q = { │a, b B, dan b 0 }.
e. Bilangan irasional
Adalah suatu bilangan yang tidak dapat di nyatakan sebagai dengan a, b dan b
0. Dalam matematika, bilangan irasional dilambangkan dengan huruf I.
Berdasarkan definisi bilangan irasional tersebut, maka 2 = 1,414213562, = 3,
141592654, log 7 = 0,84509804, e = 2,718281828 merupakan contoh – contoh
bilangan irasional.
f. Bilangan real
Bilangan real adalah gabungan antara bilangan rasional dan irasional. Dalam
matematika, bilangan real dilambangkan dengan huruf R. Berdasarkan definisi
bilangan real, maka bilangan irasional dapat dinotasikan
I = { x ( x │ ( R – Q ) }.
3
KETERANGAN:
A = Bilangan asli yaitu {1,2,3,…}
C = Bilangan cacah yaitu {0,1,2,3,…}
B = Bilangan bulat yaitu { …,-2,-1,0,1,2,…}
Q = Bilangan rasional misal
I = Bilangan irasional bukan bilangan rasional misal: 0,143964032…
R = Bilangan real terdiri dari bilangan asli, cacah, bulat, rasional dan irasional
M = bilangan imajiner bukan bilangan real misal: ? 1 , log (–1), dan lain-lain
2.2 Sifat-sifat operasi dasar pada bilangan real
A. Pada penjumlahan:
1. a+b = b+a, untuk setiap a,b bilangan real disebut sifat komutatif pada
penjumlahan.
2. (a+b)+c = a+(b+c), untuk setiap a,b,c bilangan real disebut sifat asosiatif
pada penjumlahan.
3. Ada bilangan nol yang merupakan bilangan real sedemikian hingga 0+a =
a+0 = a; untuk setiap a bilangan real disebut sifat identitas, di mana 1
sebagai elemen identitas penjumlahan.
4. Untuk setiap a bilangan real terdapat –a anggota bilangan real sedemikian
hingga a+(-a) = (-a) + a = 0 disebut sifat invers.
B. Pada perkalian:
1. a.b = b.a, untuk setiap a,b bilangan real disebut sifat komutatif pada
perkalian.
2. (a.b).c = a.(b.c), untuk setiap a,b,c bilangan real disebut sifat asosiatif
4
pada perkalian.
3. Ada a yang tidak sama dengan nol, bilangan real maka ada sedemikian
hingga.
a. = .a=1 untuk setiap a bilangan real disebut sifat identitas, di mana 1
elemen identitas sedangkan adalah invers perkalian dari a.
4. a.(b+c) = a.b + a.c dan (b+c) a = b.a + c.a untuk setiap a,b,c bilangan
real disebut sifat distributif.
2.3 OPERASI PADA BILANGAN BULAT
Sifat-sifat operasi pada bilangan bulat :
1. Operasi penjumlahan pada himpunan bilangan bulat ,memiliki sifat sebagai
berikut :
a. Tertutup
Untuk setiap a,b B di dapat c B,akan berlaku a+b=c.
b. Komutatif
Untuk setiap a,b B akan berlaku a+b=b+a.
c. Assosiatif
Untuk setiap a,b,c B akan berlaku (a+b)+c =a+(b+c).
d. Elemen identitas
Elemen identitas dari penjumlahan adalah 0, sehingga setiap a B akan
berlaku a+0=0+a=a.
e. Invers tambah (lawan)
Untuk setiap a B adalah invers tambah,yaitu –a,sehingga berlaku a+(-
a)=(-a)+a=0
2. Operasi pengurangan pada himpunan bilangan bulat,memiliki sifat
tertutup.contohnya: -6-(-8)=-6+8=2,dengan -6, -8,2 B
3. Operasi perkalian pada himpunan bilangan bulat,memiliki sifat sebagai
berikut:
5
a. Tertutup
Untuk setiap a,b B di dapat c B, akan berlaku axb=c
b. Komutatif
Untuk setiap a,b B akan berlaku axb=bxa
c. Assosiatif
Untuk setiap a,b,c B akan berlaku (axb)xc=ax(bxc)
d. Elemen identitas
Untuk elemen identitas perkalian,yaitu 1, sehingga setiap a B akan
berlaku ax1=1xa=a
e. Distributif terhadap penjumlahan
Untuk setiap a,b,c B berlaku ax(b+c)=(axb)+(axc)=0
f. Distributif terhadap pengurangan
Untuk setiap a,b,c B berlaku ax(b-c)=(axb)-(axc)
4. Operasi pembagian pada himpunan bilangan bulat,tidak memiliki sifat-sifat
tertentu.secara umum operasi pembagian dari bilangan bulat di berikan
sebagai berikut.
Misal : a,b,c B, b faktor dari a dan b 0, jika berlaku a:b=c, maka a=bxc.
6
Contoh 1.1
1. 3 (-2) = -6,dengan 3,-2,-6 B
2. (4 6) (-3) = 4 (6 (-3))
24 (-3) = 4 (-18)
-72 = -72
3. 6 (-5) = (-5) 6
-30 = -30
4. 2 (6 + (-3)) = (2 6) + (2 (-3))
2 3 = 12 + (-6)
6 = 6
5. 5 ( 8 – 4) = (5 (8) – ( 5 4)
2.4 Operasi pada Bilangan Pecahan
Pada pembahasan sebelumnya, kalian pelajari bahwa bilangan rasional merupakan
salah satu penyusun bilangan real. Bilangan rasional dinyatakan dalam bentuk
dengan a,b B dan b ≠ 0.
Dalam matematika ada bentuk bilangan yang menyerupai bilangan rasional, yaitu
dapat dinyatakan dengan dengan B, ≠ 0,dan ≠ bentuk bilangan yang
baru ini disebut bilangan pecahan, dengan disebut pembilang dan disebut
penyebut. Sama halnya dengan bilangan bulat, pada bagian ini kalian akan
mempelajari sifat – sifat operasi pada bilangan pecahan.
1. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Pecahan
Pada penjumlahan dan pengurangan bilangan pecahanakan berlaku hal – hal
berikut.
(i) Jika dan adalah sebuah bilangan pecahan, maka berlaku:
(ii) Jika dan adalah sebuah bilangan pecahan, maka berlaku:
7
Contoh 1.2
Hitunglah hasil dari operasi penjumlahan dan pengurangan dari
bilangan pecahan berikut ini!
a. + b. + 6
Jawab
a. + = + = = = 1
2. Perkalian dan Pembagian Bilangan Pecahan
Jika dan adalah sebuah bilangan pecahan, maka berlaku
dan
2.5 Konversi Bilangan
8
Contoh 1.3
Hitunglah dari operasi perkalian untuk pembagian dari bilangan pecahan berikut!
a. c. 8 :
b. 7 d. 5 : -2
Jawab
a. =
b.
Seperti yang telah kalian pelajari dan pahami, suatu pecahan dapat ditulis dalam
tiga macam cara, yaitu pecahan biasa, desimal, dan bentuk persen. Misalnya,
yang merupakan pecahan biasa memiliki nilai yang sama dengan 0,4 dan juga
40%. Atau dapat ditulis dalam bentuk Perubahan bentuk
menjadi bentuk 0,4 dan juga dalam bentuk 40% ini dikenal dengan istilah
konversi bilangan pecahan. Pada bagian ini, kalian akan mempelajari konversi
bilangan pecahan dari satu bentuk ke bentuk yang lain.
1. Konversi Bentuk Pecahan ke dalam Bentuk Desimal dan Persen
Perubahan bentuk pecahan menjadi bentuk desimal dapat dilakukan dengan
cara membagi pembilang dengan penyebutnya. Apabila bilangan desimal
yang telah dihasilkan dikalikan dengan 100% , maka akan menjadi bentuk
persen.
9
Contoh 1.4
Tulislah pecahan dibawah ini ke dalam bentuk desimal dan persen!
a. b. 3
Jawab
Bentuk Desimal:
a. → dengan cara 0,4
5 2,0
20
0
Jadi,
b. → dengan cara 3,2
5 16
15
10
10
2. Konversi Bentuk Desimal ke dalam Bentuk Pecahan dan Persen
Mengubah bentuk desimal menjadi bentuk pecahan hanya dapat dilakukan
pada keadaan berikut.
Bilangan dengan angka dibelakang koma terbatas 0,...dan seterusnya.
Perseribu
Perseratus
Persepuluh
3. Bilangan Desimal dengan Banyaknya Angka Koma Tak Terbatas Terulang
a. Jika banyaknya angka yang berulang satu angka, pecahannya adalah
angka yang berulang dibagi dengan 9.
b. Jika banyaknya angka yang berulang dua angka, pecahannya adalah dua
angka yang berulang tersebut dibagi dengan 99.
c. Jika banyaknya angka yang berulang tiga angka, pecahannya adalah tiga
angka yang berulang tersebut dibagi dengan 999.
Bentuk pecahan desimal dapat diubah menjadi persen dengan cara
mengalikan pecahan desimal tersebut dengan 100%.
10
Contoh 1.5
Tulislah desimal dibawah ini ke dalam pecahan dan persen!
a. 0,30 b. 6,20 c. 0,425425... d. 0,444...
Jawab
Bentuk Pecahan:
a. 0,30 = =
b. 6,20 = 6 + = 6 + = 6 =
c. 0,425425... =
d. 0,444... =
4. Konversi Bentuk Persen ke dalam Bentuk Pecahan dan Desimal
Pengubahan bentuk persen menjadi bentuk pecahan dapat dilakukan dengan
menggantikan tanda persen (%) menjadi perseratus kemudian dibuat
menjadi bentuk yang paling sederhana. Sedangkan untuk mengubah persen
menjadi bentuk desimal dapat dilakukan dengan menjadikan desimal dari
pecahan yang telah dihasilkan.
2.6 Perbandingan, Skala, dan Persen
11
Contoh 1.6
Tulislah bentuk persen di bawah ini ke dalam bentuk pecahan dan desimal!
a. 28% b. 2
Jawab
Bentuk Pecahan:
a. 28% = 28 =
b. 2
Bentuk Desimal:
Kalian tentu pernah melihat pameran perumahan buku? Pada pameran
tersebut, tentu terlihat model-model rumah dengan ukuran kecil yang
menggambarkan bentuk sesungguhnya dari rumah. Model rumah ini dikenal
dengan istilah market. Market sebuah gedung bertingkat merupakan bentuk tiruan
gedung bertingkat tersebut, tetapi dalam ukuran yang jauh lebih kecil. Pada
market tersebut, akan tertulis perbandingan ukuran gedung bertingkatsebenarnya
dengan ukuran gedung bertingkat pada market.
Pada bagian ini kalian akan mempelajari perbandingan, skala, dan pesen yang
sangat bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari.
1. Pengertian Perbandingan
Sering sekali kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari di masyarakat,
baik masyarakat kota maupun pedesaan, secara sengaja maupun tidak
disengaja, akan membandingkan sesuatu benda dengan benda yang lain.
Misalnya:
a. Penduduk Surakarta lebih padat daripada penduduk Wonogiri.
b. Umur Yuda lebih muda daripada umur Karim.
c. Uang Wahyu lebih banyak daripada uang Dian.
Dalam membandingakan suatu besaran dengan besarn lainnya dapat
dilakukan dengan dua cara, yaitu berdasarkan selisih dan pembagian(hasil
bagi). Untuk memperjelas cara membandingkan dua besaran, mari kita
perlihatkan tabel di bawah ini!
Tabel 1.1 Upah Karyawan
Nama Upah
Mulyono Rp 15.000,00
Samidi Rp 12.000,00
Berdasarkan Tabel 1.1, bila kita mengatakan upah Mulyono besar Rp.
3.000,00 daripada Samidi,ini berati kita telah membandingkan hasilnya
dengan cara mencari selisih, yaitu Rp 15.000,00-Rp 12.000,00. Kemudian,
bila ita menyatakan upah Mulyono adalah kali upah Samidi, maka cara
12
tersebut adalah membandingkan hasilnya dengan mencari hasil baginya,
yaitu atau 15 : 12 = 5 : 4.
2. Menentukan Perbandingan Dua Besaran yang Sejenis dan Menyederhanakan
Perbandingan
Apabila kita memperoleh dua besaran yang sejenis, maka kita dapat
menentukan perbandingangannya yang mempunyaiarti pembagian dari dua
besaran tersebut. Untuk lebih jelasnya, coba perhatikan ilustrasi berikut ini!
Misalnya:
Uang A adalah Rp 10.000,00 dan uang B Rp 5.000,00, maka
perbandingan antara uang A dan B dapat dinyatakan dalam bentuk A : B =
10.000 : 5.000 = 2 : 1 (dibaca “ A berbanding B sama dengan 2 banding 1”)
atau dapat juga ditulis dalam bentuk = .
Untuk menentikan perbandingan dua besaran yang sejenis kita
gunakan penyederhanaan pecahan. Untuk lebih jelasnya coba perhatikan
ilustrasi berikut ini!
Misalnya:
Tinggi badan A = 150 cm dan tinggi badan B = 180 cm, maka A : B =
150 : 180 = 15 : 18, dapat ditulis , dengan 15 sebagai pembilang dan 18
sebagai penyebut. Kemudian sama-sama dibagi 3, maka akan diperoleh
= = . Jadi, bentuk sederhana dari perbandingan A : B = 150 : 180
adalah 5 : 6.
Jika perbandingan dua pesaran A dan B yang sejenis, yaitu A : B = a : b,
maka akan memiliki arti sebagai berikut.
A : B = a : b artinya b A = a
13
A : B = a : b artinya A =
A : B = a : b artinya B =
3. Perbandingan Senilai dan Perbandingan Berbalik Nilai
Pada bagian sebelumnya, telah ,mempelajari perbandingan suatu besaran
berdasarkan selisih dan hasil bagi. Selain itu, talah kalian pelajari juga
penyederhanaan dalam perbandingan hasil bagi. Dalam bagian ini, akan
kalian pelajari dua macam perbandingan lainnya, yaitu perbandingan senilai
dan perbandingan barbalik nilai.
a. Perbandingan Senilai
Dalam perbandingan senilai , banyak contoh yang sering kita jumpai
dalam kehidupan masyarakat. Misalnya, apabila kita pergi ke SPBU untuk
membeli bensin, harga tiap 1 liter bensin di sajikan pada tabel di bawah
ini...
Tabel 1.2 Harga per Liter
Banyak
Bensin
(L)
Harga Bensin
1 Rp 4.500,00
2 Rp 9.000,00
3 Rp !3.000,00
14
Contoh 1.7
Suatu lapangan sepak bola mempunyai ukuran panjang 110 m dan lebar 60 m.
Berapakah perbandingan dari panjang dan lebarnya?
Jawab
Panjang : lebar = 110 m : 60 m = 11 : 6
4 Rp 18.000,00
5 ...
6 ...
Apabila kita perhatikan Tabel 1.2 terlihat bahwa semakin banyak
bensin yang kita beli, maka semakin besar pula uang yang kita bayarkan.
Sealain itu bisa dikatakan bahwa perbandingan harga untuk tiap liter
bensin selalu sama, yaitu 1 : 4500 = 2 : 9000 = 3 : 13500 =..., dan
seterusnya. Keadaan ini dapat dikatakn sebagai perbandingan senilai.
Untuk perhitungan perbandingan senilai, ada dua perhitungan yang dapat
dilakukan, yaitu perhitungan nilai satuan dan perhitungan perbandingan.
1) Perhitungan perbandingan senilai melalui perhitungan nilai
satuan
Dari uraian perbandingan senilai, dapat diambil pengertian bahwa jika
banyak bensin bertambah, maka harganya bertambah pula. Dari tabel
diketahui bahwa 1 liter bensin harganya Rp 4.500,00,sehingga dapat
diketahui harga 30 liter bensin, yaitu: Rp 4.500,00 30 = Rp
135.000,00.
15
Contoh 1.8
Harga 4 m bahan pakaian seragam adalah Rp 168.000,00. Berapakah
harga 9 m bahan seragam tersebut?
Jawab
Kita tentukan harga satuan, yaitu Rp 168.000,00 : 4 m = Rp42.000,00
1 m = Rp 42.000,00 (harga satuan)
Jadi, harga 9 m bahan pakain seragam adalah 9 m Rp 42.000,00 =
Rp378.000,00.
2) Perhitungan mengenai perbandingan senilai melalui perhitungan
perbandingan
Perhatikan Tabel 1.3 di bawah ini!
Tabel 1.3 Harga per Kilogram Jeruk
Banyak
Jeruk (kg)
Harga
1 Rp 4.000,00
2 Rp 8.000,00
3 Rp 12.000,00
4 ...
5 ...
Dari Tabel 1.3 terlihat bahwa perbandingan banyaknya jeruk baris
ketiga dan kedua adalah serta perbandingan harga adalah
Berdasarkan tabel tersebut,tampak bahwa harga untuk 4 kg jeruk tidak
diberikan.
Bagaimana cara mendapatkan harga jeruk sebanyak 4 kg?
Untuk menyelesaikan hal tersebut dilakukan dengan cara mengalikan
faktor Rp 12.000,00 = Rp 16.000,00;atau dengan memisahkan
harga 4 kg apel besar x, maka diperoleh
(dikali silang)
3x = 4 12.000
3x = 48.000
16
x =
x =Rp 16.000,00
Jadi, harga 4 kg jeruk adalah Rp 16.000,00.
b. Perbandingan Berbalik Nilai
Perbandingan berbalik nilai juga sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari.
Sebagai contoh, perhatikan Tabel 1.4 yang menunjukan hubungan antara banyak
pekerja bangunan sebuah rumah bawah ini.
Tabel 1.4 Hubungan antara Banyaknya Pekerja dengan Waktu Kerja
17
Contoh 1.9
Bayu berjalan 250 langkah, maka jarak yang ditempuh adalah 300 m.
Berapakah jarak yang ditempuhnya bila ia berjalan 700 langkah?
Jawab
250 langkah = 300 m, misalnya 700 langkah =
Perbandingan senilai: (dikali silang)
250x = 700 300
250x = 210.000
x =
x = 840 m
Banyaknya
pekerja (orang)
Waktu yang
dibutuhkan (hari)
4 144
8 72
12 ...
16 ...
20 ...
Pada tabel tersebut tampak bahwa dengan bertambahnya jumlah pekerja, waktu
untuk menyelesaikan pekerjaan dengan cepat. Dengan kata lain , waktu yang
dibutuhkan untuk menyelesaikan pekerjaan lebih sedikit. Persoalan seperti
ini dikenal dengan istilah perbandingan berbalik nilai. Selain itu, dari
tabel tersebut, kita dapat menentukan waktu yang dibutuhkan bila
pekerjanya 12 orang, 16 orang, 20 orang, dan seterusnya.
Untuk perhitungan berbalik nilai ada dua macam cara yang kalian
pelajari, yaitu melalui hasil kali dan perbandingan.
1) Menghitung perbandingan berbalik nilai melalui hasil kali
Agar kalian lebih paham perbandingan berbalik nilai melalui hasil kali
ini, perhatikan diagram dibawah ini yang diperoleh dari Tabel 1.4
diatas!
Berdasarkan diagram dibawah, untuk mencari x, kita gunakan hasil
kali:
hari
18
Banyak Pekerja Hari
8
12
72
x
2) Menghitung perbandingan berbalik nilai melalui perbandingan
Berdasarkan data pada Tabel 1.4 dapat diringkas dalam diagram
berikut. Untuk menghitung nilai x, dengan perbandingan adalah
sebagai berikut.
12 : 16 = x : 48
16 x = 48 12
16 x = 576
x =
x = 36 hari.
19
Banyaknya sapi Hari
12
15
48
x
Contoh 1.10
Berapa harikah 18 orang dapat menyelesaikan suatu pekerjaan jika
27 orang dapat menyelesaikan pekerjaan itu selama 30 hari?
Jawab
27 orang dapat menyelesaikan itu selama 30 hari, maka hasilnya
adalah =27 30 = 810 orang . hari.
Jadi, 18 orang menyelesaikan pekerjaan yang sama selama
4. Skala
Apabila 1 cm pada peta menunjukan 20 km, maka 1 cm mewakili 20 km, atau
1 cm mewakilin2.000.000 cm. Nilai perbandingan ini pada peta umumnya
terlihat pada bagian pojok kiri bawah. Dari uraian tersebut dapat
diperolehhubungan sebagai berikut:
Pada suatu peta,jika skala dan jarak dua tempat pada peta diberikan, maka
berdasarkan hubungan skala pada pembahasan sebelumnya kita dapat
20
Contoh 1.11
Jamil memperkirakan dapat menyediakan makanan untuk 10 kali makan bagi
15 ekor sapinya. Jika datang 10 ekor sapi lagi ke dalam kandang, berapa
kalikah makanan yang dapat disediakan untuk semua sapi?
Jawab
Karena ditambah 10 ekor sapi dalam kandang,maka banyak sapi sekarang
(15 + 10) ekor = 25 ekor.
Misalnya banyaknya makanan yang harus disediakan untuk semua sapi
adalah x kali, maka menurut perbandingan berbalik nilai dapat dihitung
sebagai berikut.
25x = 150
x =
x = 6
Banyaknya sapi Makanan
15
25
10
x
menentukan jarak yang sebenarnya. Dengan cara yang sama, bila skala dan
jarak sebenarnya dari dua tempat diketahui, kita dengan mudah pula dapat
menentukan jarak dua tempat tersebut pada peta.
a. Menentukan salah satu ukuran yang belum diketahui dari foto (model)
objek sebenarnya yang sebangun
Dalam gambar berskala, ukuran-ukuran tertentu pada gambar memiliki
perbandingan yang sama untuk tiap-tiap ukuran yang sebenarnya.
21
Contoh 1.12
1. Apabila skala pada sebuah peta adalah 1 : 2.000.000, bila jarak antara Jakarta dan Bogor pada peta adalah 3 cm, tentukan jarak sebenarnya!Jawab
Skala = 1 : 2.000.000 atau
Skala =
Ukuran sebenarnya =
=
= 3 cm
= 6.000.000 cm
= 60 km
Jadi, jarak antara Jakarta dan Bogor sebenarnya adalah 60 km.
2. skala pada peta 1 : 2.000.000. apabila jarak dari Solo ke Surabaya adalah 120 km, tentukan jarak pada peta!
Jawab
Skala = 1 : 2.000.000
Jarak sebenarnya = 120 km = 12.000.000
Jarak pada peta = skala ukuran sebenarnya
Apabila kita ingin mengetahui tinggi rumah sebenarnya, maka ukuran
yang lain diketahui. Dengan cara yang sama, untuk mengetahui ukuran
sebenarnya dari market, terlebuh dahulu kita harus mengetahui skala
market tersebut, dengan cara membandingkan dua objek dari kedua
bangun tersebut. Rumus perbandingannya adalah:
2.7 Penerapan Bilangan Real dalam Menyelesaikan Permasalaha
pada pembahasan sebelumnya, kalian telah mempelajari bilangan real.
Bilangan real banyak diterapkan dalam kehidupan sehari-hari.
22
Contoh 1.13
Tinggi maket sebuah rumah adalah 1,4 cm. Jika tinggi jendela pada maket
0,4 cm dan tinggi jendela sebenarnya adalah 2,1 m, maka tentukanlah tinggi
rumah sebarnya!
Jawab
(dikalikan silang)
0,4x = 1,4 . 2,1
0,4x = 2,94
x =
23
Contoh 1.14
Ahmad membawa uang Rp 4.000.000,00, lalu dari uang tersebut diberikan kepada Anis
dan dari sisanya diinfakkan. Tentukan sisa uang yang dibawa Ahmad!
Jawab
Uang Ahmad Rp 4.000.000,00 Rp 3.000.000,00
Uang sisa = Rp 4.000.000,00 – Rp 3.000.000,00 = Rp 1.000.000,00
Uang diinfakkan = dari sisa = Rp 1.200.000,00 Rp 100.000,00
BAB 3
PENUTUP
3.1 Kesimpulan :
Dalam makalah ini anda akan mempelajari tentang konsep Danoperasi pada
bilangan real meliputi: operasi pada bilangan bulat dan pecahan, operasi pada
bilangan berpangkat, menerapkan operasi pada bilangan irasional (bentuk
akar),operasi pada logaritma. Sistem bilangan real, operasi pada bilangan bulat
dan pecahan, konversi bilangan-bilangan bulat dan bilangan pecahan ke atau
dari bentuk persen, pecahan desimal, pecahan campuran. Pada modul ini juga
mempelajari masalah perbandingan (senilai dan berbalik nilai), skala, dan
persen, serta yang terakhir adalah penerapan bilangan real dalam
menyelesaikan masalah kejuruan.
3.2 Saran :
Setelah mempelajari modul ini diharapkan anda dapat:
Memahami tentang sistem bilangan real dan operasinya meliputi:
operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pada bilangan
bulat dan pecahan.
Memahami tentang konversi bilangan, perbandingan, skala, dan persen
serta dapat menyelesaikan soal yang berkaitan dengan konversi bilangan,
perbandingan, skala, dan persen.
Menerapkan bilangan real dalam menyelesaikan masalah kejuruan.
Menerapkan konsep skala, perbandingan, perbandingan senilai dan
perbandingan berbalik nilai.
Menerapkan pangkat tak sebenarnya untuk memecahkan masalah.
Menerapkan konsep ligaritma untuk memecahkan masalah.
Menggunakan tabel logaritma untuk mencari nilai suatu logaritma suatu
bilangan.
Menggunakan tabel logaritma untuk mencari nilai suatu anti logaritma
suatu bilangan.
3.3 Kritik :
Demikianlah makalah ini kami buat secara bersama-sama (kelompok) untuk
menyelesaikan tugas dari dosen yang mambahas tentang konsep bilangan real,
24