BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Dalam makalah ini anda akan mempelajari tentang operasi pada bilangan

real meliputi: operasi pada bilangan bulat dan pecahan, operasi pada bilangan

berpangkat, menerapkan operasi pada bilangan irasional (bentuk akar),

operasi pada logaritma. Sistem bilangan real, operasi pada bilangan bulat dan

pecahan, konversi bilangan-bilangan bulat dan bilangan pecahan ke atau dari

bentuk persen, pecahan desimal, pecahan campuran. Pada modul ini juga

mempelajari masalah perbandingan (senilai dan berbalik nilai), skala, dan

persen, serta yang terakhir adalah penerapan bilangan real dalam

menyelesaikan masalah kejuruan.

1.2 Tujuan

Setelah mempelajari makalah ini diharapkan dapat:

1. Memahami tentang sistem bilangan real dan operasinya meliputi: operasi

penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pada bilangan bulat dan

pecahan.

2. Memahami tentang konversi bilangan, perbandingan, skala, dan persen serta

dapat menyelesaikan soal yang berkaitan dengan konversi bilangan,

perbandingan, skala, dan persen.

3. Menerapkan bilangan real dalam menyelesaikan masalah kejuruan.

4. Menerapkan konsep skala, perbandingan, perbandingan senilai dan

perbandingan berbalik nilai.

5. Menerapkan pangkat tak sebenarnya untuk memecahkan masalah.

6. Menerapkan konsep ligaritma untuk memecahkan masalah.

7. Menggunakan tabel logaritma untuk mencari nilai suatu logaritma suatu

bilangan.

8. Menggunakan tabel logaritma untuk mencari nilai suatu anti logaritma suatu

bilangan.

1

BAB 2

PEMBAHASAN

2.1 Sistem Bilangan Real

Bilangan real mempunyai arti mentah yaitu bilangan nyata. Bilangan

nyata yang dimaksud di sini adalah semua bilangan yang secara tertulis dapat

dipelajari dan diajarkan secara aksiomatik

Bilangan real tersusun dari bilangan-bilangan lainnya,yaitu sebagai berikut :

a. Bilangan asli

Bilangan asli adalah suatu bilangan yang di awali dengan angka 1.

bilangan asli mempunyai sifat sebagai berikut:

1. Bilangan asli terkecil adalah 1,tetapi tidak ada bilangan yang terbesar

2. Apabila terdapat dua bilangan asli,misalnya a dan b,maka berlaku tiga

keadaan,yaitu : a>b, a=b, a<b.

3. Operasi-operasi pada matematika pada bilangan asli seperti pada

penjumlahan,perkalian,dan perpangkatan akan menghasilkan bilangan asli

juga.sifat seperti ini di sebut sifat tertutup.

b. Bilangan cacah

Bilangan cacah adalah gabungan antara bilangan asli dan nol.bilangan ini di

lambangkan dengan huruf C atau dapat di tulis dalam bentuk C={0,1,2,3,4,5.....}.

Sifat-sifat bilangan cacah :

1. Bilangan cacah terkecil adalah nol dan tidak ada bilangan cacah yang

terbesar.

2. Bilangan nol pada bilangan cacah di artikan sebagai banyaknya anggota

suatu himpunan kosong,yaitu n ( = 0.

c. Bilangan bulat

Bilangan bulat adalah gabungan dari bilangan cacah dan bilangan negatif.

Pada bilangan bulat berlaku sifat – sifat sebagai berikut:

1. Bilangan bulat tidak memiliki bilangan terkecil dan terbesar.

2. Bilangan bulat terdiri dari bilangan negatif, bilangan nol, dan bilangan positif.

2

d. Bilangan rasional

Adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dengan , dengan a, b B dan b 0

serta b bukan faktor dari a. Bilangan a dan b disebut penyebut. Dalam

matematika, bilangan rasional dilambangkan dengan huruf Q dan dapat ditulis

dalam bentuk Q = { │a, b B, dan b 0 }.

e. Bilangan irasional

Adalah suatu bilangan yang tidak dapat di nyatakan sebagai dengan a, b dan b

0. Dalam matematika, bilangan irasional dilambangkan dengan huruf I.

Berdasarkan definisi bilangan irasional tersebut, maka 2 = 1,414213562, = 3,

141592654, log 7 = 0,84509804, e = 2,718281828 merupakan contoh – contoh

bilangan irasional.

f. Bilangan real

Bilangan real adalah gabungan antara bilangan rasional dan irasional. Dalam

matematika, bilangan real dilambangkan dengan huruf R. Berdasarkan definisi

bilangan real, maka bilangan irasional dapat dinotasikan

I = { x ( x │ ( R – Q ) }.

3

KETERANGAN:

A = Bilangan asli yaitu {1,2,3,…}

C = Bilangan cacah yaitu {0,1,2,3,…}

B = Bilangan bulat yaitu { …,-2,-1,0,1,2,…}

Q = Bilangan rasional misal

I = Bilangan irasional bukan bilangan rasional misal: 0,143964032…

R = Bilangan real terdiri dari bilangan asli, cacah, bulat, rasional dan irasional

M = bilangan imajiner bukan bilangan real misal: ? 1 , log (–1), dan lain-lain

2.2 Sifat-sifat operasi dasar pada bilangan real

A. Pada penjumlahan:

1. a+b = b+a, untuk setiap a,b bilangan real disebut sifat komutatif pada

penjumlahan.

2. (a+b)+c = a+(b+c), untuk setiap a,b,c bilangan real disebut sifat asosiatif

pada penjumlahan.

3. Ada bilangan nol yang merupakan bilangan real sedemikian hingga 0+a =

a+0 = a; untuk setiap a bilangan real disebut sifat identitas, di mana 1

sebagai elemen identitas penjumlahan.

4. Untuk setiap a bilangan real terdapat –a anggota bilangan real sedemikian

hingga a+(-a) = (-a) + a = 0 disebut sifat invers.

B. Pada perkalian:

1. a.b = b.a, untuk setiap a,b bilangan real disebut sifat komutatif pada

perkalian.

2. (a.b).c = a.(b.c), untuk setiap a,b,c bilangan real disebut sifat asosiatif

4

pada perkalian.

3. Ada a yang tidak sama dengan nol, bilangan real maka ada sedemikian

hingga.

a. = .a=1 untuk setiap a bilangan real disebut sifat identitas, di mana 1

elemen identitas sedangkan adalah invers perkalian dari a.

4. a.(b+c) = a.b + a.c dan (b+c) a = b.a + c.a untuk setiap a,b,c bilangan

real disebut sifat distributif.

2.3 OPERASI PADA BILANGAN BULAT

Sifat-sifat operasi pada bilangan bulat :

1. Operasi penjumlahan pada himpunan bilangan bulat ,memiliki sifat sebagai

berikut :

a. Tertutup

Untuk setiap a,b B di dapat c B,akan berlaku a+b=c.

b. Komutatif

Untuk setiap a,b B akan berlaku a+b=b+a.

c. Assosiatif

Untuk setiap a,b,c B akan berlaku (a+b)+c =a+(b+c).

d. Elemen identitas

Elemen identitas dari penjumlahan adalah 0, sehingga setiap a B akan

berlaku a+0=0+a=a.

e. Invers tambah (lawan)

Untuk setiap a B adalah invers tambah,yaitu –a,sehingga berlaku a+(-

a)=(-a)+a=0

2. Operasi pengurangan pada himpunan bilangan bulat,memiliki sifat

tertutup.contohnya: -6-(-8)=-6+8=2,dengan -6, -8,2 B

3. Operasi perkalian pada himpunan bilangan bulat,memiliki sifat sebagai

berikut:

5

a. Tertutup

Untuk setiap a,b B di dapat c B, akan berlaku axb=c

b. Komutatif

Untuk setiap a,b B akan berlaku axb=bxa

c. Assosiatif

Untuk setiap a,b,c B akan berlaku (axb)xc=ax(bxc)

d. Elemen identitas

Untuk elemen identitas perkalian,yaitu 1, sehingga setiap a B akan

berlaku ax1=1xa=a

e. Distributif terhadap penjumlahan

Untuk setiap a,b,c B berlaku ax(b+c)=(axb)+(axc)=0

f. Distributif terhadap pengurangan

Untuk setiap a,b,c B berlaku ax(b-c)=(axb)-(axc)

4. Operasi pembagian pada himpunan bilangan bulat,tidak memiliki sifat-sifat

tertentu.secara umum operasi pembagian dari bilangan bulat di berikan

sebagai berikut.

Misal : a,b,c B, b faktor dari a dan b 0, jika berlaku a:b=c, maka a=bxc.

6

Contoh 1.1

1. 3 (-2) = -6,dengan 3,-2,-6 B

2. (4 6) (-3) = 4 (6 (-3))

24 (-3) = 4 (-18)

-72 = -72

3. 6 (-5) = (-5) 6

-30 = -30

4. 2 (6 + (-3)) = (2 6) + (2 (-3))

2 3 = 12 + (-6)

6 = 6

5. 5 ( 8 – 4) = (5 (8) – ( 5 4)

2.4 Operasi pada Bilangan Pecahan

Pada pembahasan sebelumnya, kalian pelajari bahwa bilangan rasional merupakan

salah satu penyusun bilangan real. Bilangan rasional dinyatakan dalam bentuk

dengan a,b B dan b ≠ 0.

Dalam matematika ada bentuk bilangan yang menyerupai bilangan rasional, yaitu

dapat dinyatakan dengan dengan B, ≠ 0,dan ≠ bentuk bilangan yang

baru ini disebut bilangan pecahan, dengan disebut pembilang dan disebut

penyebut. Sama halnya dengan bilangan bulat, pada bagian ini kalian akan

mempelajari sifat – sifat operasi pada bilangan pecahan.

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Pecahan

Pada penjumlahan dan pengurangan bilangan pecahanakan berlaku hal – hal

berikut.

(i) Jika dan adalah sebuah bilangan pecahan, maka berlaku:

(ii) Jika dan adalah sebuah bilangan pecahan, maka berlaku:

7

Contoh 1.2

Hitunglah hasil dari operasi penjumlahan dan pengurangan dari

bilangan pecahan berikut ini!

a. + b. + 6

Jawab

a. + = + = = = 1

2. Perkalian dan Pembagian Bilangan Pecahan

Jika dan adalah sebuah bilangan pecahan, maka berlaku

dan

2.5 Konversi Bilangan

8

Contoh 1.3

Hitunglah dari operasi perkalian untuk pembagian dari bilangan pecahan berikut!

a. c. 8 :

b. 7 d. 5 : -2

Jawab

a. =

b.

Seperti yang telah kalian pelajari dan pahami, suatu pecahan dapat ditulis dalam

tiga macam cara, yaitu pecahan biasa, desimal, dan bentuk persen. Misalnya,

yang merupakan pecahan biasa memiliki nilai yang sama dengan 0,4 dan juga

40%. Atau dapat ditulis dalam bentuk Perubahan bentuk

menjadi bentuk 0,4 dan juga dalam bentuk 40% ini dikenal dengan istilah

konversi bilangan pecahan. Pada bagian ini, kalian akan mempelajari konversi

bilangan pecahan dari satu bentuk ke bentuk yang lain.

1. Konversi Bentuk Pecahan ke dalam Bentuk Desimal dan Persen

Perubahan bentuk pecahan menjadi bentuk desimal dapat dilakukan dengan

cara membagi pembilang dengan penyebutnya. Apabila bilangan desimal

yang telah dihasilkan dikalikan dengan 100% , maka akan menjadi bentuk

persen.

9

Contoh 1.4

Tulislah pecahan dibawah ini ke dalam bentuk desimal dan persen!

a. b. 3

Jawab

Bentuk Desimal:

a. → dengan cara 0,4

5 2,0

20

0

Jadi,

b. → dengan cara 3,2

5 16

15

10

10

2. Konversi Bentuk Desimal ke dalam Bentuk Pecahan dan Persen

Mengubah bentuk desimal menjadi bentuk pecahan hanya dapat dilakukan

pada keadaan berikut.

Bilangan dengan angka dibelakang koma terbatas 0,...dan seterusnya.

Perseribu

Perseratus

Persepuluh

3. Bilangan Desimal dengan Banyaknya Angka Koma Tak Terbatas Terulang

a. Jika banyaknya angka yang berulang satu angka, pecahannya adalah

angka yang berulang dibagi dengan 9.

b. Jika banyaknya angka yang berulang dua angka, pecahannya adalah dua

angka yang berulang tersebut dibagi dengan 99.

c. Jika banyaknya angka yang berulang tiga angka, pecahannya adalah tiga

angka yang berulang tersebut dibagi dengan 999.

Bentuk pecahan desimal dapat diubah menjadi persen dengan cara

mengalikan pecahan desimal tersebut dengan 100%.

10

Contoh 1.5

Tulislah desimal dibawah ini ke dalam pecahan dan persen!

a. 0,30 b. 6,20 c. 0,425425... d. 0,444...

Jawab

Bentuk Pecahan:

a. 0,30 = =

b. 6,20 = 6 + = 6 + = 6 =

c. 0,425425... =

d. 0,444... =

4. Konversi Bentuk Persen ke dalam Bentuk Pecahan dan Desimal

Pengubahan bentuk persen menjadi bentuk pecahan dapat dilakukan dengan

menggantikan tanda persen (%) menjadi perseratus kemudian dibuat

menjadi bentuk yang paling sederhana. Sedangkan untuk mengubah persen

menjadi bentuk desimal dapat dilakukan dengan menjadikan desimal dari

pecahan yang telah dihasilkan.

2.6 Perbandingan, Skala, dan Persen

11

Contoh 1.6

Tulislah bentuk persen di bawah ini ke dalam bentuk pecahan dan desimal!

a. 28% b. 2

Jawab

Bentuk Pecahan:

a. 28% = 28 =

b. 2

Bentuk Desimal:

Kalian tentu pernah melihat pameran perumahan buku? Pada pameran

tersebut, tentu terlihat model-model rumah dengan ukuran kecil yang

menggambarkan bentuk sesungguhnya dari rumah. Model rumah ini dikenal

dengan istilah market. Market sebuah gedung bertingkat merupakan bentuk tiruan

gedung bertingkat tersebut, tetapi dalam ukuran yang jauh lebih kecil. Pada

market tersebut, akan tertulis perbandingan ukuran gedung bertingkatsebenarnya

dengan ukuran gedung bertingkat pada market.

Pada bagian ini kalian akan mempelajari perbandingan, skala, dan pesen yang

sangat bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari.

1. Pengertian Perbandingan

Sering sekali kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari di masyarakat,

baik masyarakat kota maupun pedesaan, secara sengaja maupun tidak

disengaja, akan membandingkan sesuatu benda dengan benda yang lain.

Misalnya:

a. Penduduk Surakarta lebih padat daripada penduduk Wonogiri.

b. Umur Yuda lebih muda daripada umur Karim.

c. Uang Wahyu lebih banyak daripada uang Dian.

Dalam membandingakan suatu besaran dengan besarn lainnya dapat

dilakukan dengan dua cara, yaitu berdasarkan selisih dan pembagian(hasil

bagi). Untuk memperjelas cara membandingkan dua besaran, mari kita

perlihatkan tabel di bawah ini!

Tabel 1.1 Upah Karyawan

Nama Upah

Mulyono Rp 15.000,00

Samidi Rp 12.000,00

Berdasarkan Tabel 1.1, bila kita mengatakan upah Mulyono besar Rp.

3.000,00 daripada Samidi,ini berati kita telah membandingkan hasilnya

dengan cara mencari selisih, yaitu Rp 15.000,00-Rp 12.000,00. Kemudian,

bila ita menyatakan upah Mulyono adalah kali upah Samidi, maka cara

12

tersebut adalah membandingkan hasilnya dengan mencari hasil baginya,

yaitu atau 15 : 12 = 5 : 4.

2. Menentukan Perbandingan Dua Besaran yang Sejenis dan Menyederhanakan

Perbandingan

Apabila kita memperoleh dua besaran yang sejenis, maka kita dapat

menentukan perbandingangannya yang mempunyaiarti pembagian dari dua

besaran tersebut. Untuk lebih jelasnya, coba perhatikan ilustrasi berikut ini!

Misalnya:

Uang A adalah Rp 10.000,00 dan uang B Rp 5.000,00, maka

perbandingan antara uang A dan B dapat dinyatakan dalam bentuk A : B =

10.000 : 5.000 = 2 : 1 (dibaca “ A berbanding B sama dengan 2 banding 1”)

atau dapat juga ditulis dalam bentuk = .

Untuk menentikan perbandingan dua besaran yang sejenis kita

gunakan penyederhanaan pecahan. Untuk lebih jelasnya coba perhatikan

ilustrasi berikut ini!

Misalnya:

Tinggi badan A = 150 cm dan tinggi badan B = 180 cm, maka A : B =

150 : 180 = 15 : 18, dapat ditulis , dengan 15 sebagai pembilang dan 18

sebagai penyebut. Kemudian sama-sama dibagi 3, maka akan diperoleh

= = . Jadi, bentuk sederhana dari perbandingan A : B = 150 : 180

adalah 5 : 6.

Jika perbandingan dua pesaran A dan B yang sejenis, yaitu A : B = a : b,

maka akan memiliki arti sebagai berikut.

A : B = a : b artinya b A = a

13

A : B = a : b artinya A =

A : B = a : b artinya B =

3. Perbandingan Senilai dan Perbandingan Berbalik Nilai

Pada bagian sebelumnya, telah ,mempelajari perbandingan suatu besaran

berdasarkan selisih dan hasil bagi. Selain itu, talah kalian pelajari juga

penyederhanaan dalam perbandingan hasil bagi. Dalam bagian ini, akan

kalian pelajari dua macam perbandingan lainnya, yaitu perbandingan senilai

dan perbandingan barbalik nilai.

a. Perbandingan Senilai

Dalam perbandingan senilai , banyak contoh yang sering kita jumpai

dalam kehidupan masyarakat. Misalnya, apabila kita pergi ke SPBU untuk

membeli bensin, harga tiap 1 liter bensin di sajikan pada tabel di bawah

ini...

Tabel 1.2 Harga per Liter

Banyak

Bensin

(L)

Harga Bensin

1 Rp 4.500,00

2 Rp 9.000,00

3 Rp !3.000,00

14

Contoh 1.7

Suatu lapangan sepak bola mempunyai ukuran panjang 110 m dan lebar 60 m.

Berapakah perbandingan dari panjang dan lebarnya?

Jawab

Panjang : lebar = 110 m : 60 m = 11 : 6

4 Rp 18.000,00

5 ...

6 ...

Apabila kita perhatikan Tabel 1.2 terlihat bahwa semakin banyak

bensin yang kita beli, maka semakin besar pula uang yang kita bayarkan.

Sealain itu bisa dikatakan bahwa perbandingan harga untuk tiap liter

bensin selalu sama, yaitu 1 : 4500 = 2 : 9000 = 3 : 13500 =..., dan

seterusnya. Keadaan ini dapat dikatakn sebagai perbandingan senilai.

Untuk perhitungan perbandingan senilai, ada dua perhitungan yang dapat

dilakukan, yaitu perhitungan nilai satuan dan perhitungan perbandingan.

1) Perhitungan perbandingan senilai melalui perhitungan nilai

satuan

Dari uraian perbandingan senilai, dapat diambil pengertian bahwa jika

banyak bensin bertambah, maka harganya bertambah pula. Dari tabel

diketahui bahwa 1 liter bensin harganya Rp 4.500,00,sehingga dapat

diketahui harga 30 liter bensin, yaitu: Rp 4.500,00 30 = Rp

135.000,00.

15

Contoh 1.8

Harga 4 m bahan pakaian seragam adalah Rp 168.000,00. Berapakah

harga 9 m bahan seragam tersebut?

Jawab

Kita tentukan harga satuan, yaitu Rp 168.000,00 : 4 m = Rp42.000,00

1 m = Rp 42.000,00 (harga satuan)

Jadi, harga 9 m bahan pakain seragam adalah 9 m Rp 42.000,00 =

Rp378.000,00.

2) Perhitungan mengenai perbandingan senilai melalui perhitungan

perbandingan

Perhatikan Tabel 1.3 di bawah ini!

Tabel 1.3 Harga per Kilogram Jeruk

Banyak

Jeruk (kg)

Harga

1 Rp 4.000,00

2 Rp 8.000,00

3 Rp 12.000,00

4 ...

5 ...

Dari Tabel 1.3 terlihat bahwa perbandingan banyaknya jeruk baris

ketiga dan kedua adalah serta perbandingan harga adalah

Berdasarkan tabel tersebut,tampak bahwa harga untuk 4 kg jeruk tidak

diberikan.

Bagaimana cara mendapatkan harga jeruk sebanyak 4 kg?

Untuk menyelesaikan hal tersebut dilakukan dengan cara mengalikan

faktor Rp 12.000,00 = Rp 16.000,00;atau dengan memisahkan

harga 4 kg apel besar x, maka diperoleh

(dikali silang)

3x = 4 12.000

3x = 48.000

16

x =

x =Rp 16.000,00

Jadi, harga 4 kg jeruk adalah Rp 16.000,00.

b. Perbandingan Berbalik Nilai

Perbandingan berbalik nilai juga sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari.

Sebagai contoh, perhatikan Tabel 1.4 yang menunjukan hubungan antara banyak

pekerja bangunan sebuah rumah bawah ini.

Tabel 1.4 Hubungan antara Banyaknya Pekerja dengan Waktu Kerja

17

Contoh 1.9

Bayu berjalan 250 langkah, maka jarak yang ditempuh adalah 300 m.

Berapakah jarak yang ditempuhnya bila ia berjalan 700 langkah?

Jawab

250 langkah = 300 m, misalnya 700 langkah =

Perbandingan senilai: (dikali silang)

250x = 700 300

250x = 210.000

x =

x = 840 m

Banyaknya

pekerja (orang)

Waktu yang

dibutuhkan (hari)

4 144

8 72

12 ...

16 ...

20 ...

Pada tabel tersebut tampak bahwa dengan bertambahnya jumlah pekerja, waktu

untuk menyelesaikan pekerjaan dengan cepat. Dengan kata lain , waktu yang

dibutuhkan untuk menyelesaikan pekerjaan lebih sedikit. Persoalan seperti

ini dikenal dengan istilah perbandingan berbalik nilai. Selain itu, dari

tabel tersebut, kita dapat menentukan waktu yang dibutuhkan bila

pekerjanya 12 orang, 16 orang, 20 orang, dan seterusnya.

Untuk perhitungan berbalik nilai ada dua macam cara yang kalian

pelajari, yaitu melalui hasil kali dan perbandingan.

1) Menghitung perbandingan berbalik nilai melalui hasil kali

Agar kalian lebih paham perbandingan berbalik nilai melalui hasil kali

ini, perhatikan diagram dibawah ini yang diperoleh dari Tabel 1.4

diatas!

Berdasarkan diagram dibawah, untuk mencari x, kita gunakan hasil

kali:

hari

18

Banyak Pekerja Hari

8

12

72

x

2) Menghitung perbandingan berbalik nilai melalui perbandingan

Berdasarkan data pada Tabel 1.4 dapat diringkas dalam diagram

berikut. Untuk menghitung nilai x, dengan perbandingan adalah

sebagai berikut.

12 : 16 = x : 48

16 x = 48 12

16 x = 576

x =

x = 36 hari.

19

Banyaknya sapi Hari

12

15

48

x

Contoh 1.10

Berapa harikah 18 orang dapat menyelesaikan suatu pekerjaan jika

27 orang dapat menyelesaikan pekerjaan itu selama 30 hari?

Jawab

27 orang dapat menyelesaikan itu selama 30 hari, maka hasilnya

adalah =27 30 = 810 orang . hari.

Jadi, 18 orang menyelesaikan pekerjaan yang sama selama

4. Skala

Apabila 1 cm pada peta menunjukan 20 km, maka 1 cm mewakili 20 km, atau

1 cm mewakilin2.000.000 cm. Nilai perbandingan ini pada peta umumnya

terlihat pada bagian pojok kiri bawah. Dari uraian tersebut dapat

diperolehhubungan sebagai berikut:

Pada suatu peta,jika skala dan jarak dua tempat pada peta diberikan, maka

berdasarkan hubungan skala pada pembahasan sebelumnya kita dapat

20

Contoh 1.11

Jamil memperkirakan dapat menyediakan makanan untuk 10 kali makan bagi

15 ekor sapinya. Jika datang 10 ekor sapi lagi ke dalam kandang, berapa

kalikah makanan yang dapat disediakan untuk semua sapi?

Jawab

Karena ditambah 10 ekor sapi dalam kandang,maka banyak sapi sekarang

(15 + 10) ekor = 25 ekor.

Misalnya banyaknya makanan yang harus disediakan untuk semua sapi

adalah x kali, maka menurut perbandingan berbalik nilai dapat dihitung

sebagai berikut.

25x = 150

x =

x = 6

Banyaknya sapi Makanan

15

25

10

x

menentukan jarak yang sebenarnya. Dengan cara yang sama, bila skala dan

jarak sebenarnya dari dua tempat diketahui, kita dengan mudah pula dapat

menentukan jarak dua tempat tersebut pada peta.

a. Menentukan salah satu ukuran yang belum diketahui dari foto (model)

objek sebenarnya yang sebangun

Dalam gambar berskala, ukuran-ukuran tertentu pada gambar memiliki

perbandingan yang sama untuk tiap-tiap ukuran yang sebenarnya.

21

Contoh 1.12

1. Apabila skala pada sebuah peta adalah 1 : 2.000.000, bila jarak antara Jakarta dan Bogor pada peta adalah 3 cm, tentukan jarak sebenarnya!Jawab

Skala = 1 : 2.000.000 atau

Skala =

Ukuran sebenarnya =

=

= 3 cm

= 6.000.000 cm

= 60 km

Jadi, jarak antara Jakarta dan Bogor sebenarnya adalah 60 km.

2. skala pada peta 1 : 2.000.000. apabila jarak dari Solo ke Surabaya adalah 120 km, tentukan jarak pada peta!

Jawab

Skala = 1 : 2.000.000

Jarak sebenarnya = 120 km = 12.000.000

Jarak pada peta = skala ukuran sebenarnya

Apabila kita ingin mengetahui tinggi rumah sebenarnya, maka ukuran

yang lain diketahui. Dengan cara yang sama, untuk mengetahui ukuran

sebenarnya dari market, terlebuh dahulu kita harus mengetahui skala

market tersebut, dengan cara membandingkan dua objek dari kedua

bangun tersebut. Rumus perbandingannya adalah:

2.7 Penerapan Bilangan Real dalam Menyelesaikan Permasalaha

pada pembahasan sebelumnya, kalian telah mempelajari bilangan real.

Bilangan real banyak diterapkan dalam kehidupan sehari-hari.

22

Contoh 1.13

Tinggi maket sebuah rumah adalah 1,4 cm. Jika tinggi jendela pada maket

0,4 cm dan tinggi jendela sebenarnya adalah 2,1 m, maka tentukanlah tinggi

rumah sebarnya!

Jawab

(dikalikan silang)

0,4x = 1,4 . 2,1

0,4x = 2,94

x =

23

Contoh 1.14

Ahmad membawa uang Rp 4.000.000,00, lalu dari uang tersebut diberikan kepada Anis

dan dari sisanya diinfakkan. Tentukan sisa uang yang dibawa Ahmad!

Jawab

Uang Ahmad Rp 4.000.000,00 Rp 3.000.000,00

Uang sisa = Rp 4.000.000,00 – Rp 3.000.000,00 = Rp 1.000.000,00

Uang diinfakkan = dari sisa = Rp 1.200.000,00 Rp 100.000,00

BAB 3

PENUTUP

3.1 Kesimpulan :

Dalam makalah ini anda akan mempelajari tentang konsep Danoperasi pada

bilangan real meliputi: operasi pada bilangan bulat dan pecahan, operasi pada

bilangan berpangkat, menerapkan operasi pada bilangan irasional (bentuk

akar),operasi pada logaritma. Sistem bilangan real, operasi pada bilangan bulat

dan pecahan, konversi bilangan-bilangan bulat dan bilangan pecahan ke atau

dari bentuk persen, pecahan desimal, pecahan campuran. Pada modul ini juga

mempelajari masalah perbandingan (senilai dan berbalik nilai), skala, dan

persen, serta yang terakhir adalah penerapan bilangan real dalam

menyelesaikan masalah kejuruan.

3.2 Saran :

Setelah mempelajari modul ini diharapkan anda dapat:

Memahami tentang sistem bilangan real dan operasinya meliputi:

operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pada bilangan

bulat dan pecahan.

Memahami tentang konversi bilangan, perbandingan, skala, dan persen

serta dapat menyelesaikan soal yang berkaitan dengan konversi bilangan,

perbandingan, skala, dan persen.

Menerapkan bilangan real dalam menyelesaikan masalah kejuruan.

Menerapkan konsep skala, perbandingan, perbandingan senilai dan

perbandingan berbalik nilai.

Menerapkan pangkat tak sebenarnya untuk memecahkan masalah.

Menerapkan konsep ligaritma untuk memecahkan masalah.

Menggunakan tabel logaritma untuk mencari nilai suatu logaritma suatu

bilangan.

Menggunakan tabel logaritma untuk mencari nilai suatu anti logaritma

suatu bilangan.

3.3 Kritik :

Demikianlah makalah ini kami buat secara bersama-sama (kelompok) untuk

menyelesaikan tugas dari dosen yang mambahas tentang konsep bilangan real,

24

apabila didalam penyusunan makalah ini ada kekurangan baik dalam tulisan

maupun penyusunan kami mohon ma’af sebesar-sebesarnya dan untuk

memperbaiki makalah ini agar lebih sempurna kami mohon kritikan dari

pembaca, terima kasih.

25