asnia yulinda utami 4311413040

7/24/2019 Asnia Yulinda Utami 4311413040

1/90

TUGAS PORTOFOLIO

MATEMATIKA DASAR

NAMA : ASNIA YULINDA UTAMI

NIM : 4311413040

PRODI : KIMIA

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2013


2/90

BAB I

SISTEM BILANGAN REAL

1. BILANGAN REAL

Himpunan bilangan real adalah himpunan bilangan yang merupakan gabungan darihimpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional

1.1 Bilanan Ra!i"nal

Adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentukdi mana a, b Z, dengan b 0.

Notasinya: Q = {xx = dengan a, b Z, dengan b 0!"ontoh :Himpunan#himpunan berikut ada di dalam himpunan bilangan rasional :Himpunan bilangan asli,N = {$,%,&,...!Himpunan bilangan bulat,Z = {'#%,#$,0,$,%,'!1.2 Bilanan I##a!i"nal $Ta% Ra!i"nal&

Adalah suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk .

Notasinya: iR = {xR x tidak dapat dinyatakan dalam bentuk !"ontoh : (, e, log ).*

+ika ilangan -eal dinyatakan dalam suatu diagram dapat berbentuk sebagai berikut:

1. 3 D'!i(al B'#)lan *an Ta% B'#)lan

esimal bilangan rasional adalah berakhir atau berulang dengan pola yang sama.

"ontohnya : = 0.&/), atau 0.&/)0000000'.

R

Q

Z

N


3/90

= $.$$$$$'1etiap bilangan rasional dapat ditulis sebagai desimal berulang dan sebaliknya"ontoh : x = 0.$&2$&2$&2'. y = 0.%/$%/$%/$'..

B)%+i%an , *an - ('#'#'!'n+a!i%an /ilanan #a!i"nal esimal bilangan irrasional tidak berulang dan sebaliknya."ontoh : 0.$0$00$000$0000$'.

1.4 Ga#i! Bilanan

1etiap bilangan real berkorespondensi dengan satu dan hanya satu titik pada sebuah garisbilangan, yang disebut garis bilangan real.

-2. SISTEM BILANGAN REALHimpunan bilangan real yang dilengkapi dengan si3at#si3at bilangan disebut sistembilangan real.1i3at#si3at bilangan real dibagi men4adi : si3at#si3at al4abar5 si3at#si3at urutan, dan si3atsi3atkelengkapan.2.1 Sia+!ia+ Ala/a# Bilanan R'al

1i3at 6 si3at al4abar menyatakan bah7a % bilangan real dapat ditambahkan, dikurangkan,dikalikan, dibagi 8ke"uali dengan 09 untuk memperoleh bilangan real yang baru."ontoh:

% ) = /) # 0,; = ;,2

; x = &

& : ; =

.2.1.1 Sia+!ia+ Laanan $Field& :)%)( K"()+a+i :,5- 6 -5, 7 ,-6-,

)%)( A!!"!ia+i :

,5$-58& 6 $,5-&589 ,$-8&6$,-&8)%)( Di!+#i/)+i :,$-58& 6 ,-5,8

El'('n'l'('n i*'n+i+a! :, 5 0 6 , 7 , 1 6 ,

Bali%an $In;'#!& :,5$,& 6 0 7 , 6 1

-4 -1 0 1


4/90

2.1.2 Sia+!ia+ U#)+an Bilanan R'al

ilangan real a disebut bilangan positi3, 4ika a nilainya lebih dari 0, ditulis a < 0. - i%a *an =an-a i%a ,8 > -8

@i%a 8 n'a+i9 , > - i%a *an =an-a i%a ,8 ? -8

2.1.3 Sia+!ia+ K'l'n%aan Bilanan R'al

1i3at kelengkapan dari himpunan bilangan real se"ara garis besar menyatakan bah7aterdapat "ukup banyak bilangan 6 bilangan real untuk mengisi garis bilangan real se"aralengkap sehingga tidak ada setitikpun "elah diantaranya?ontoh :Nyatakanlah apakah masing#masing yang berikut benar atau salah@a. #% #)

b.

3. INTERVAL BILANGAN REAL

nterBal adalah suatu himpunan bagian dari garis bilangan real yang mengandung palingsedikit % bilangan real yang berbeda dari semua bilangan real yang terletak diantarakeduanya.>ntuk setiapx, a, bR,a. Ca, bD = {x a Ex E b! disebut interval tutupb. Ca, b9 = {x a Ex b! disebut interval setengah tertutup atau terbuka". 8a, bD = {x a x E b! disebut interval setengah terbuka atau tertutupd. 8a, b9 = {x a x b! disebut interval terbuka1elain interBal#interBal di atas 4uga terdapat interBal#interBal tak hinggaa. 86F, bD = {x x E b!b. 86F, b9 = {x x b!". Ca, F9 = {x x G a!d. 8a, F9 = {x x < a!e. 86F, F9 = {x xR!

4. PERTIDAKSAMAAN

enyelesaikan pertidaksamaan dalamxberarti men"ari interBal atau interBal#interBaldari bilangan yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.?ara menyelesaikan pertidaksamaan:a. tambahkan kedua sisi dengan bilangan yang sama,b. kalikan kedua sisi dengan bilangan positi3,


5/90

a

a

a

ba

ba

". kalikan kedua sisi dengan bilangan negati3, tapi tanda ketidaksaman berubah.

BAB 2

PERTIDAKSAMAAN

enyelesaikan pertidaksamaan dalamxberarti men"ari interBal atau interBal#interBaldari bilangan yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.?ara menyelesaikan pertidaksamaan:a. tambahkan kedua sisi dengan bilangan yang sama,b. kalikan kedua sisi dengan bilangan positi3,". kalikan kedua sisi dengan bilangan negati3, tapi tanda ketidaksaman berubah.?ontoh:1elesaikan pertidaksamaan berikut dan gambarkanlah kumpulan solusinya pada garisbilangan real@

a. )x6 & E / # &x

b. < %

". % E ;

A.2. N"+a!iSi(/"l

Si(/"lN"+a!i Ga#i! Bilanan

x < a

x G a

x a

x E a

a E x E b

x a atau

x G b

1imbol < artinya I lebih dari J1imbol G artinya I lebih dari atau sama dengan J1imbol artinya I kurang dari J1imbol E artinya I kurang dari atau sama dengan J

A.3. Sia+!ia+ P'#+i*a%!a(aan

$. >ntuk setiap bilangan real x, y, K berlaku 4ika x < y dan y < K maka x < K.

a


6/90

-1

?ontoh : x= $0, y = ) dan K = % maka $0 < ), ) < % maka $0 < %x= $, y = 0 dan K = # ; maka $ < 0, 0 < # ; maka $ < # ;

%. >ntuk setiap dua bilangan real x dan y dan a sembarang bilangan , maka berlaku :

+ika x < y maka

x : a < y : a

x # a < y # a

?ontoh : x=/, y=), a=&/ntuk setiap dua bilangan real x dan y dan a sembarang bilangan , maka berlaku :

untuk a < 0 8positi39, +ika x < y, maka?ontoh : x=), y=% dan a=&, berlaku

ax = ay

yxa a


7/90

e3inisi nilai mutlak :x = #x apabila x 0M apabila x G 0

+adi x 0 untuk setiap bilangan realx dan x = 0 4ika dan hanya 4ikax = 0.

x| dapat 4uga dide3inisikan sebagai:1e"ara eometri:x| menyatakan 4arak darix ke titik asal.x y = 4arak diantarax dany

.1 Sia+!ia+ Nilai M)+la%

O #a = aO ab = abO a b E a bO =O x a4ika dan hanya 4ika # a x a

O x < a4ika dan hanya 4ikax < a ataux #aO x y 4ika dan hanya 4ika

Nilai mutlak suatu bilangan adalah pan4angP4arak bilangan tersebut dari bilangan 0. +adi, nilaimutlak ) adalah ), nilai mutlak / adalah /, nilai mutlak 0 adalah 0, dan seterusnya.

Nilai mutlakRx

, ditulis dengan notasix

, dide3inisikan sebagai:%xx =

.

e3inisi di atas dapat pula dinyatakan sebagai:


8/90

1e"ara geometris, nilai mutlakax

dapat diartikan sebagai 4arak dari ake x. 1ebagai

"ontoh, 4ika/&=x

maka artinyaxber4arak / unit di sebelah kanan atau di sebelah kiri &

+adi, penyelesaian/&=x

adalah{ }$0,;

.R

engan mengingat 1i3at $.$./ 8b9, kiranya mudah dipahami si3at berikut:

. +ika0a

, maka:axaxax === atau

.

1ebagai "ontoh,;atau;berarti; === xxx

&

)atau

&

)

)&atau)&)&

==

===

xx

xxx

1e"ara sama,

%atau);%atau$0%

/&%atau/&%berarti/&%

== ==

===

xxxx

xxx


9/90

+adi, penyelesaian adalah{ })atau% xxRx

.R

BAB 4

AKAR KUADRAT DAN KUADRAT

PERSAMAAN KUADRAT

Lersamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang berbentuk :

ax% bx " = 0, dengan a, b, "

- dan a 0


10/90

".$

20&

=+x

x

kalikan kedua ruas dengan9$8 x

209&98$8 =+ xx

02&%%

=+ xx

09T98/8 =+ xx

9/8 x= 0 atau

9T8 +x= 0

x

= / ataux

=T

+adi, HL = {T

, /!

%. elengkapkan entuk Quadrat 1empurna?ontoh 1oal:

1elesaikan persamaan0$% % =++ xx

dengan melengkapkan kuadrat.

Lenyelesaian:0$% % =++ xx

$% % =+ xx

$9;8%% =+ xx

%$% ; =+ xx

%$%%% 9%89%8; =++ xx

tiap ruas ditambah dengan 8%$

b9%

%/%9%8 =+x

%/% =+x

+adi,

%/% +=x

atau%/% =x

&. enggunakan -umus abc-umus untuk menentukan akar#akar persamaan kuadrat atau sering disebut dengan-umus abcadalah:

MATERI


11/90

a

acbbx

%

;%

%,$

=

?ontoh soal:

unakan rumus untuk menentukan akar#akar persamaan0$)% =+ xx

Lenyelesaian:0$)% =+ xx

aka,a = $b = 6 " = $)

1ubstitusi nilai a, b, " ke rumus abc

1ehingga,

9$8%

9$)98$8;9898 %

%,$

=x

%

202;%,$

=x

%

%$

+=x

atau%

%%

=x

)$=x atau &%=x

PERSAMAAN KUADRAT9 FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN

KUADRAT

Lersamaan Quadrata. entuk >mum Lersamaan Quadrat

isalkan a,b," U - dan a 0 maka persamaan yang berbentuk0% =++ cbxax

dinamakan persamaan kuadrat dalam peubahx.

alam persamaan kuadrat0% =++ cbxax

, a adalah koe3isien darix%, b adalahkoe3isien dari x dan " adalah suku tetapan.

?ontoh:$. x%6 ;, nilai a = $, b= 0, " = #;


12/90

%. x% %x = 0 nilai a = $, b =%, " = 0&. x%6 )x % = 0 nilai a = %, b = #), " = %;. x% x 6 % = 0 nilai a = $, b =%, " = #%

b. ?ara enyelesaikan Lersamaan QuadratLersamaan

0% =++ cbxaxdapat diselesaikan dengan "ara menentukan nilai

pengganti x yang memenuhi persamaan itu, dan disebut penyelesaian atau akar

dari persamaan kuadrat0% =++ cbxax

.

>ntuk menyelesaikan 8menentukan akar#akar9 persamaan kuadrat ada beberapa"ara, diantaranya adalah dengan "ara:$. em3aktorkan%. elengkapkan bentuk kuadrat sempurna

&. enggunakan rumus kuadrat

$. em3aktorkan?ontoh:1elesaikan persamaan kuadrat berikut ini@

a. x%6 T = 0

b.0%&% ==+ xx

".0$% % =xx

+a7ab:a. x%6 T = 0

09&98&8 =+ xx

&= xatau

&=x

b.0%&% ==+ xx

0%&%

=++ xx

=raian di atas membuktikan berlakunya rumus kuadrat.

isalkan a, b, " bilangan rela dan0a

maka akar#akar persamaan kuadrat0% =++ cbxax

ditentukan oleh:

a

acbbx

%

;%

$%

=

?ontoh:

1elesaikan persamaan kuadrat berikut ini@


16/90

a.0%&% =++ xx

b.0%2& % =+ xx

+a7ab :

a.0%&% =++ xx

=< a = $, b = &, " = %

= xx

adalah x #$ atau x < ;.

+adi himpunan penyelesainnya adalah${

+

x

x

iB.

0%

;%

%

xx

x

Siap pertidaksamaan di atas memuat Bariabel x pada bagian penyebut dari suatu pe"ahan.Lertidaksamaan dengan "iri demikian disebut pertidaksamaan pe"ahan ataupertidaksamaan rasional.

Lenyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan rasional dapat ditentukandengan menggunakan garis bilangan. 1ebagai "ontoh, penyelesaian pertidaksamaanrasional


26/90

0&

$ntuk menentukan nilai yang benar perlu diperhatikan letak titikP,apakah di k7adran atau , ataukah dik7adran atau [. Apabila dipilih nilai yang lain,

maka

%% yxr +=.

BAB

GRAFIK

etode gra3ik adalah satu "ara yang dapat digunakan untuk meme"ahkan masalah optimalisasidalam programasi linier. Qeterbatasan metode ini adalah Bariabel yang bisa digunakan terbatas8hanya dua9, penggunaan & Bariabel akan sangat sulit dilakukan.

F)n!i P'(/a+a!

a. x G %


33/90

b. y E ;

". x = %0

G#ai% F)n!i Lini'#

>ntuk 3ungsi yang lebih kompleks 8% Bariabel9 kita terlebih dahulu menentukan garis 3ungsinya.?ontoh % :%x ;y E %0

>ntuk mempermudah penyelesaian 3ungsinya, tanda pertidaksaman 8E9 men4adi persamaan8=9 , sehingga :%x ;y = %0.

Sentukan titik potong terhadap sumbu x : %x &.0 = %0 %x = %0 x = $0 sehingga titik yang berpotongan dengan sumbu x 8$0,09.


34/90

Sentukan titik potong terhadap sumbu y : %.0 ;.y = %0 ;y = %0 y = ) sehingga titik yang berpotongan dengan sumbu y80,)9

Qita kembali ke 3ungsi pertama %x ;y E %0, daerah E adalah daerah yang diarsir.

?ontoh &:

ila 3ungsi pembatasnya )x &y G $).

?ontoh ;:

ila 3ungsi pembatasnya ;x %y = $2


35/90

M'(a%!i()(%an F)n!i Lini'#

1etelah kita dapat menentukan daerah pembatas, kita dapat melan4utkan dengan menentukanbeberapa 3ungsi pembatas.

?ontoh ) :

1eorang pengusaha menghadapi 3ungsi tu4uan dan kendala seperti di ba7ah ini :

aksimumkan 3ungsi tu4uan : K = ;000x )000y

Serhadap 3ungsi kendala : )x &y E $)0

%x &y E $%0

x, y G 0

maka yang kita buat gra3iknya adalah gra3ik#gra3ik kendalanya.

)x &y E $)0 _ )x &y = $)0 bila x = 0 :

0 &y = $)0 y = )0 80,)09

bila y = 0 :)x 0 =$)0 x = &0 8&0,09

%x &y E $%0 _ %x &y = $%0 bila x = 0

0 &y = $%0 y = ;0 80,;09

bila y = 0%x 0 = $%0 M = 20 820,09


36/90

Qarena kedua garis kendala bertanda E maka daerah pembatasnya adalah yang berada diba7ahkedua garis tersebut 8daerah yang diarsir9. 1edangkan daerah diluar daerah pembatas tidak dapatditerima karena diluar dari kendala 8sumberdaya tidak memenuhi9. 1ehingga pengusaha tersebuthanya bisa berproduksi dengan kombinasi x dan y yang berada di dalam daerah pembatasnya.

ila kita namakan titik#titik di daerah pembatas dengan a, b, ", dan d, kita dapat menentukankoordinat masing#masing titik tersebut :

a. berada di pun"ak garis kendala %, sehingga koordinatnya 80,;09b. berada pada perpotongan kendala $ dan %, sehingga koordinatnya merupakan persamaan

dari kedua kendala tersebut :kendala $, )x &y E $)0 )x &y = $)0

kendala %, %x &y E $%0 %x &y = $%0

Qita dapat men"ari titik perpotongan dengan menggunakan metode eliminasi,


37/90

$0 x&0&x

$%0&y%x$)0&y)x

==

=+=+

ila x = $0)8$09 &y = $)0 )0 &y = $)0 &y = $00 ^ = &&,&erarti b berada pada titik 8$0, &&,&9

". berada di dasar gra3ik kendala , sehingga koordinatnya 8&0,09d. kita letakkan disembarang tempat di dalam daerah pembatas, misalnya 8$0,$09

kembali ke 3ungsi tu4uan kita yaitu : K = ;000x )000y

1ekarang kita sudah memiliki titik a, b, ", dan d lalu kita masukkan ke empat titik tersebut kedalam 3ungsi tu4uan kita.

a 80,;09 _ K = ;000809 )0008;09

K = 0 %00000

K = %00000

b 8$0, &&,&9 _ K = ;0008$09 )0008&&,&9

K = ;0000 $22)00

K = %02)00

" 8&0,09 _ K = ;0008&09 )000809

K = $%0000 0

K = $%0000

d 8$0,$09 _ K = ;0008$09 )0008$09

K = ;0000 )0000

K = T0000karena tu4uan kita adalah memaksimumkan 3ungsi tu4uan, maka titik yang kita ambil adalah titikyang memiliki nilai tu4uan paling besar yaitu b.

aka 3ungsi K = ;000x )000y

engan kendala )x &y E $)0

%x &y E $%0,


38/90

Akan maksimum pada titik 8$0, &&,&9.

1ehingga pengusaha tersebut akan memperoleh hasil maksimum bila memproduksi x sebanyak$0 unit dan y sebanyak &&,& unit.

M'(ini()(%an F)n!i Lini'#

?ontoh di atas digunakan untuk men"ari nilai maksimum dari 3ungsi tu4uan yang telah kitatetapkan. >ntuk men"ari nilai minimum 8misalnya untuk meminimumkan biaya atau kerugian9"ara yang kita gunakan sama, hanya sa4a kita men"ari nilai tu4uan 8K9 yang paling ke"il. >ntukkasus minimisasi, tanda dari 3ungsi kendala adalah G.

M'n'n+)%an T))an *an K'n*ala

1etelah kita mempela4ari bagaimana men"ari nilai maksimum 8minimum9 3ungsi tu4uan dengan3ungsi yang telah diketahui, kita lan4utkan dengan bagaimana menentukan persamaan#persamaan3ungsi tu4uan dan kendala, apabila yang kita hadapi adalah soal "erita.

BAB

PERSAMAAN LINIER

Lersamaan linier dalam n peubah$x

,%x

,&x

,'.nx

adalah persamaan yang dapat dinyatakan

dalam bentuknnxaxaxa +++ %%$= b, dimana

naaa ,,, %$

dan b adalah konstanta 6

konstanta riil. 1ebuah himpunan berhingga dari persamaan 6 persamaan linier dalam peubah$x

,%x

,&x

,'.nx

dinamakan sistem persamaan linier.

1ebuah persamaan linier yang tidak mempunyai penyelesaian disebut tidak konsisten,sedangkan yang paling sedikit mempunyai satu penyelesaian disebut konsisten.


39/90

1ebuah sistem persamaan linier dikatakan homogen 4ika semua suku konstanta samadengan nol, system tersebut mempunyai bentuk

0

0

0

%%$$

%%%%%%$

$%$%$$$

=+++

=+++=+++

nnnnn

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

Siap 6 tiap sistem persamaan linier homogen adalah system yang konsisten, karena$x

,%x

,&x

,

'.nx

= 0 selalu merupakan penyelesaian. Lenyelesaian$x

,%x

,&x

,'.nx

= 0 dikatakanpenyelesaian triBial. +ika ada penyelesaian lain selain penyelesaian tersebut maka penyelesaiandisebut penyelesaian taktriBial.

T'"#'(a 1

+ika adalah matriks n x n, maka pernyataan 6 pernyataan berikut ekiBalen :

a. A inBertibelb. AM = 0 hanya mempunyai penyelesaian triBial". A ekiBalen baris terhadap n

ukti :

8a

b

9 Anggap A inBertibelisalkan Moadalah penyelesaian bagi AM = 0. +adi A Mo = 0.

engan mengalikan kedua ruas dengan A#$maka

A#$8A Mo9 = A#$0

8AA#$9M0= 0

M = 0

Mo = 0.

+adi AM = 0 mempunyai penyelesaian triBial

8cb

9 isalkan AM = 0 adalah bentuk matriks dari system


40/90

0

0

0

%%$$

%%%%%%$

$%$%$$$

=+++

=+++=+++

nnnnn

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

an anggap system tersebut hanya mempunyai penyelesaian triBial. 1istem persamaantersebut bersesuaian dengan bentuk eselon baris tereduksi deri matriks yang diperbesarakan men4adi

0

0

0

%$

%%$

$$$

nn

n

n

aa

aa

aa

atriks yang diperbesar dengan tidak memperhatikan urutan operasi baris elementer

0$0

00000$

+ika kolom terakhir tidak diperhatikan, dapat disimpulkan bah7a A dapat direduksiterhadap ndengan urutan operasi baris elementer yaitu A ekiBalen baris pada n.

( )acAnggap A ekiBalen baris pada n,

1ehingga A dapat direduksi pada ndengan urutan berhingga dari operasi 6 operasi bariselementer.

`$, `%, '.., `k, sehingga `k '`%`$A = n

1esuai si3at matriks elementer dimana inBersnya merupakan matriks elementer.

`$, `%, '.., `k inBertibel.

engan mengalikan kedua ruas dari sebelah kiri berturut 6 turut dengan`k#$'`%#$`$#$.1ehingga didapatA = $#$ `%#$'. `k#$n= `$#$ `%#$'. `k#$

^ang menyatakan A sebagai hasil kali matriks 6 matriks inBertibel.+adi A inBertibel

T'#"#'(a 2 :

1istem persamaan linier homogen m x n memiliki penyelesaian taktriBial 4ika


41/90

n


42/90

Xungsi biasanya dilambangkan dengan huru3 ke"il sepertif ataug.Yambangf : _ ` berartifadalah 3ungsi dari ke `.Xungsi yang akan dibahas di sini adalah 3ungsi dengan daerah asal R dan daerahhasil `R, yang sering dinyatakan dalam bentuk persamaan seperti

y = x2

atauf8x9 = x2

,x R.

?ontoh $.Xungsif8x9 = x2

memetakan setiap bilangan realx ke kuadratnya, yakni x2

. aerahasalnya

adalah R dan daerah hasilnya adalah C0,F9.?ontoh %.Xungsig8x9 =xmemetakan setiap bilangan real x 0 ke kebalikannya, yaknix$ .aerah asalnya sama dengan daerah hasilnya, yaitu {x R x 0 !.1.1 O'#a!i a*a F)n!i

1eperti halnya pada bilangan, kita de3inisikan operasipenjumlahan,pengurangan,perkalian, danpembagianpada 3ungsi, sebagai berikut:$ 5g&$,& 6$,& 5g$,&

$g&$,& 6$,& g$,&

$.g&$,& 6$,&.g$,&$g&$,& 6$,&g$,&9 $,& 0asalkan bentuk di ruas kanan terde3inisi. aerah asalf g adalah irisan dari daerah asalfdan daerah asalg.?ontoh

4ikaf8x9 = x2

dang8x9 =x

$ , makaf g

adalah 3ungsi yang memetakan x ke x2

x

$ , yakni 8f g98x9 = x2

x

$ .1elain keempat operasi tadi, kita dapat pula mende3inisikanpangkatp dari 3ungsif,yakni $,& 6 H$,&, asalkan bentuk di ruas kanan terde3inisi.

1eperti hal nya himpunan konsep 3ungsi memegang peranan yang penting dan digunakan se"araekstnsi3 dalam matematika. 1e"ara umum 3ungsi adalah suatu aturan yang menghubungkanunsure#unsur di dua himpunan, de3inisi 3ormalnya adalah sebagai berikut.

$F)n!i !'/aai '('+aan&

isalkan A dan adalah dua himpunan tak kosong. 1uatu 3ungsi dari A ke adalah suatu aturanyang memasangkan setiap unsure di A dengan tepat satu unsure di .

ila 3ungsi ini dilambangkan dengan 3, maka unsure y di yang merupakan pasangan unsure xdi A di beri lambing y = 38x9, 4adi kita mempunyai 3ungsi 3 : A , y = 38x9. dalam kasusini y = 38x9 dinamakan persamaan 3ungsi 3 dengan x sebagai Bariable bebas dan y sebagaiBariable tak bebas.


43/90

1elan4utnya himpunan A dinamakan *a'#a= *'ini!i8daerah asal P domain9 dari 3ungsi 3, yangdinotasikan dengan Dyaitu himpunan elemen#elemen sehingga 3ungsi 3 mempunyai nilai riil.Qemudian himpunan semua nilai#nilai y di yang mempunyai pasangan di A dinamakan *a'#a=nilai 8daerah hasil P range9 dari 3ungsi 3 yang dinotasikan dengan R , dengan kata lain domaindan range dapat di tuliskan dalam bentuk : +ika 3 : A, maka :

3= A atau 3= {x 38x9 -! dan

-3= {38x9 x 3!


44/90

!

!1

" "# $

%("#$)

%(")

& ' %(")

Gambar 41

"os 8#V9 = "os V@a*i :

C"! $J & 6 C"! J C"! 5 !in J !in

4.1 P'n'#+ian *an Sia+ T)#)nan

Lada gambar di atas, garis3menyinggung kurBa yf8x9 di titik 8x,f8x99, sedangkan garis3$ melalui titik 8x,f8x99 dan titik 8x/h,f8x/h99. +ika h mendekati nol, maka garis 3$ akan

mendekati garis3, sehingga gradien garis3$akan mendekati gradien garis3. Hal ini dapatdinyatakan dalam bentuk limit sebagai berikut:

h

xfhxfmmh

3h

39898

limlim00 $

+==

.

entukh

xfhxf

h

9898lim

0

+

dikenal sebagi turunan 3ungsi y = f8x9, yang dinotasikandengan

dx

dy

, y ,dx

df

, atauf8x9.engan demikian se"ara geometri, turunan 3ungsi merupakan gradien dari garis singgung kurBa3ungsi tersebut.

Qarena turunan dedi3inisikan dengan menggunakan limit sedangkan limit 3ungsi bisatidak ada, maka 3ungsi mungkin tidak mempunyai turunan di beberapa titik tertentu.


45/90

Gambar

1ebagai "ontoh, perhatikan 3ungsi nilai mutlakxxf =98

, yang gra3iknya diberikandalam gambar di ba7ah ini.

+ika kita memperhatikan gambar dengan "ermat, maka kita akan dapatkan bah7a gra3ik3ungsi nilai mutlak di atas berupa garis lurus, yang sebelah kanan sumbu yadalah berupa garisy. xsedangkan yang sebelah kiri sumbuyberupa garisy . &x. aris di kanan dan kiri sumbuy

mempunyai gradien yang berbeda, sehingga patut di"urigai bah7a 3ungsixxf =98

tidakmempunyai turunan di perpotongan kurBa dengan sumbuy, yaitu titik 80,09. Lembuktian bah7a

3ungsixxf =98

tidak mempunyai turunan di titik 80,09 diberikan di ba7ah ini.

Qarena

$$limlim0lim908908lim0000

====+++++ hhhh h

hh

hh

fhf

dan

$9$8limlim0

lim908908

lim0000

==

=

=+

+++ hhhh h

h

h

h

h

fhf

,

maka

h

fhf

h

fhf

hh

908908lim

908908lim

00

+++

,

sehinggah

fhff

h

908908lim908c

0

+=

tidak ada.


46/90


47/90

[ ] 98989898 xgdx

dxf

dx

dxgxf

dx

d=

4. A+)#an =a!il %ali.

+ika f dangkeduanya dapat diturunkan, maka

[ ] 989898989898 xfdx

dxgxg

dx

dxfxgxf

dx

d+=

. A+)#an =a!il /ai.

+ikaf dangkeduanya dapat diturunkan, maka

[ ]%98

98989898

98

98

xg

xgdx

dxfxf

dx

dxg

xg

xf

dx

d

=

B)%+i:

1. A+)#an '#%alian *'nan %"n!+an+a.

+ika " konstanta danf 3ungsi yang dapat diturunkan, maka

[ ]

[ ]989898

lim

998988lim

9898lim98

0

00

xfdx

dc

h

xfhxfc

h

xfhxfc

h

xcfhxcfxcf

dx

d

h

hh

=+

=

+=

+=

2. A+)#an )(la=.

+ikaf dang keduanya dapat diturunkan, maka

[ ] [ ]

[ ]

9898

9D898Clim

9D898Clim

98989D898Clim

98989D898Clim9898

00

0

0

xgdx

dxf

dx

d

h

xghxg

h

xfhxf

h

xghxgxfhxf

h

xgxfhxghxfxgxf

dx

d

hh

h

h

+=

++

+=

+++=

++++=+

3. A+)#an !'li!i=.

>ntuk latihan

4. A+)#an =a!il %ali.


48/90


[ ]

98989898

9D898Clim98

9D898Clim98lim

9D8989C8lim

9D8989C8lim

9D8989C89D8989C8lim

98989898lim9898

000

00

0

0

xfdx

dxgxg

dx

dxf

h

xfhxfxg

h

xghxghxf

h

xfhxfxg

h

xghxghxfh

xfhxfxgxghxghxf

h

xgxfhxghxfxgxf

dx

d

hhh

hh

h

h

+=

++

++=

++

++=

++++=

++=

. A+)#an

=a!il /ai.

1elan4utnya di ba7ah ini beberapa rumus dasar turunan.

N"("# F)n!i T)#)nan )n!i

$ y . k% kkonstanta y = 0% y . xn y4 .nxn#$

& y = lnxy4=

x

$

B)%+i:

$.

0lim9898

limc00

=

=+

== h

kk

h

xfhxfyky

hh

%.h

xhx

h

xfhxfyxy

nn

hh

n +=+

==

98lim

9898limc

00

$

$%

%

9$8$

0

$%

%

9$8$

0

%%

%

9$8$

0

D...Clim

D...Clim

...lim

=

+++=

+++=

++++=

n

nnnnn

h

nnnnn

h

nnnnnnn

h

nx

hhxnx

h

hhxnxhh

xhhxhnxx

s


49/90

&.h

xhx

h

xfhxfyxy

hh

ln9ln8lim

9898limcln

00

+=

+==

x

e

h

x

h

h

x

hx

x

xhx

h

x

h

h

x

h

hh

h

$ln

D9$C8limln

9$ln8lim

D$lnC

lim

ln

lim

$

$

$

0

00

0

==

+=

+=+

=

+

=


50/90

%&

%%&

%

&%pembagianaturan

&

%

928

&9.%89298$%8ccc

2,%,c2

%

+

+++=

=

+=+== +

+=

x

xxxxx

v

uvvuy

xvxxuv

uy

x

xxy

( )%&%&;

2

2$%2%c

+

+++=

x

xxxxy

4.2. A+)#an

Ran+ai.

i ba7ah ini diberikan aturan rantai yang banyak digunakan untuk menentukan turunan3ungsi.

+ikafdangkeduanya mempunyai turunan, dan h . f g adalah 3ungsi komposisi yangdide3inisikan oleh h(x! . f(g(x!!%maka hmempunyai turunan, yaitu h yang dinyatakan oleh

h (x! . f(g(x!!, g (x!

alam notasi YeibniK, 4ika y . f(u! danu . g(x!keduanya 3ungsi yang mempunyaiturunan, maka

dx

du

du

dy

dx

dy=

.

B)%+i:

98c9988c

9898lim.

99889988lim

9898

lim.9898

99889988

lim

9898.

9898

99889988lim

99889988lim

9898lim98c

00

00

0

00

xgxgf

t

xgtxg

p

xgfpxgf

t

xgtxg

xgtxg

xgftxgf

t

xgtxg

xgtxg

xgftxgf

t

xgftxgf

t

thtxhxh

tp

tt

t

tt

=

++=

+++

=

+++

=

+=

+=


51/90

engan menggunakan aturan rantai dan dengan menggunakan rumus sebelumnya kitaakan dapatkan rumus#rumus di ba7ah ini.


$ y= ex y4 . ex

% y . ax

% a$ y4 . ax

ln a

& y . alogx, a


52/90

( ) ( )dx

dyy

dx

dyydy

dydx

d%%% ==

Zleh karena itu %x %y dx

dy

= 0, sehingga y

x

dx

dy=

b. +ika Bariabelxdany kita turunkan terhadap parameter t, maka akan kita peroleh

%=dt

dx

sedangkan

$% += tdt

dy

.

Qarena yang akan kita "ari adalahdx

dy

maka

dtdxdtdy

dx

dt

dt

dy

dx

dy== .

=%

$% +t

.

4.4. T)#)nan F)n!i T#i"n"('+#i *an Si%l"('+#i

-umus dasar dari turunan trigonometri adalah turunan 3ungsi sinus dan "osinus,sedangkan turunan 3ungsi trigonometri yang lainnya dan turunan 3ungsi siklometri dapatditentukan dengan rumus turunan sinus dan "osinus, si3at turunan, dan aturan rantai.

Surunan rumus sinus dan "osinus diberikan di ba7ah ini.


$ y= sinx y = "osx% y= "osx y = # sinx

B)%+i:

$.h

xhx

h

xfhxfyxy

hh

sin9sin8lim

9898limcsin

00

+=

+==


53/90

&

"1

%$ x

x

xh

h

hx

h

hhx

hh

h

"os

%

$

.$."os%%

$

.

%

%sin

lim%

%

"oslim%

%sin

%

%"os%

lim

00

0

=

=

+

=

+

=

%.h

xhx

h

xfhxfyxy

hh

"os9"os8lim

9898limc"os

00

+=

+==

x

xh

h

hx

h

hhx

hh

h

sin

%

$.$.sin%

%

$.

%

%sin

lim%

%sinlim%

%sin

%

%sin%

lim

00

0

=

=+

=

+

=


54/90

&

"

1

%$ x+

&

"

1

$%x

3.

%

%%rantaiaturan

$

$"oscse"c$tanar"tan

xyyyyyxxy

+=== ==

g.yyyyxxarcy tanse"c$se"se"

rantaiaturan = ==

$

$"ot"osc

% ==

xx

yyy

%.

a.xevvuxeuuyxey xxx ln,sin9,lnsin8,9ln8sin ;

rantaiaturan; +==+== +=

9ln8sin9ln"os89$

8;9ln"os89$

8;.c

9ln"os89$

8"osc98sin,$

&&;

xexex

exex

eudx

du

du

duy

xex

evvdx

dvv

dv

d

dx

du

xe

dx

dv

xxxxx

xxx

+++=++==

++===+=

b.

9$8%sin%9$8sin

9$"os89$sin8%.%9$8sin

%9.$"os89.$sin8%.9$8sin

9$8sin9$8sinc

9$8sin

%%%

%%%%

%%%%

%%%%

perkaliandanrantaiaturan%%

+++=

++++=

++++=

+++=

+=

xxexe

xxxexe

xxxexe

dx

xdex

dx

dey

xey

xx

xx

xx

xx

x

T)#)nan Tin%a+ Tini

+ikaf 3ungsi yang dapat diturunkan, maka turunannya 8f 9 4uga berupa 3ungsi. +ikaf mempunyai turunan, maka turunanf4 kita notasikan denganf . Notasi lain untuk turunan keduadariy=f8x9 adalah

98%

%

%

xfDdx

yd

dx

dy

dx

d==

.


55/90

>mumnya turunan ke#ndariy=f8x9 dinyatakan dengan

( ) 9898 xfDdx

ydy n

n

nn ==

.

]]

LIMIT FUNGSI

K"n!' Li(i+

isalkan = 8a,b9 suatu interBal buka di R dan " . Xungsi 38x9 dikatakan terde3inisi di ke"ualimungkin di ", artinya 38x9 terde3inisi di semua titik pada P{"! dan di " boleh terde3inisi boleh4uga tidakLi(i+ )n!i *i !a+) +i+i%

+ika nilaix "ukup dekat dengan nilai tetap a, menghasilkan nilaif8x9 "ukup dekat ke nilai tetap Y,

dan 4uga 4ika nilaif8x9 dapat dibuat seke"il mungkin dekat dengan Y dengan "ara memilih nilai xyang "ukup dekat dengan a, dan ini benar untuk semua nilaix dalam daerah asal 3ungsif ke"ualimungkin untukx = a, maka kita katakan bah7a limit 3ungsi f8x9 untukx mendekati a samadengan Y, ditulislim$,& 6 L.

x a

3.2 T'"#'(aT'"#'(a Li(i+ F)n!i

enghitung limit 3ungsi di suatu titik dengan menggunakan de3inisi dan pembuktian sepertiyang telah diuraikan di atas adalah peker4aan rumit. 1emakin rumit bentuk 3ungsinya, semakinrumit pula masalah yang dihadapi. >ntuk itu berikut ini diberikan suatu rangkaian rumus#rumus

menghitung limit di suatu titik dengan "ara sederhana. Qita mulai dengan teorema berikut: 8buktiteorema diserahkan kepada pemba"a9.

!e"rema #$2$1 (%etunggalan limit ungsi)

+ika

3xfax

=

98lim

dan

9xfax

=

98lim

maka 3 . 9

!e"rema #$2$2

8i9 +ika mdan nkonstanta, maka

nmanmxax

+=+

98lim

8ii9 Seorema akibat:aaax =lim

8iii9 Seorema akibat, 4ika msuatu konstanta maka

mmax

=

lim

8iB9

axax

=

lim


56/90

8B9

0,lim =

aaxax

(&i)

0,$$

lim =

aaxax

!e"rema #$2$# ('perasi pada limit ungsi)

isalkan f dan g adalah 3ungsi#3ungsi yang terde3inisi pada selang buka# yangmemuat ake"uali mungkin pada asendiri dan misalkan limitfdang di aada, 4ika

9xfax

=

98lim

dan

:xgax

=

98lim

, maka:

8i9

:9xgxfxgxfaxaxax

+=+=+

98lim98lim998988lim

8ii9

:9xgxfxgxfaxaxax

==

98lim98lim998988lim

8iii9

9:xgxfxgxfaxaxax

==

98lim98lim998988lim

8iB9

098lim,

98lim

98lim

98

98lim ==

xgasalkan

:

9

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

ax

8B9

nn

ax

n

ax9xfxf ==

98lim98lim

, dengan nbilangan positi3 dan

98lim xfax


57/90

Seorema :Yimit nilai mutlak 3ungsi : 4ika suatu 3ungsi mempunyai limit disuatu titik, maka nilai mutlak3ungsinya mempunyai limit dititik itu, tetapi kebalikannya tidak berlaku.

1i3at#si3at : 4ika

3xfax

=

98lim

maka

3xfax

=

98lim


58/90

2

-2

-1

1

0

&

"

%.%

2)lim

%

% +++

x

xx

x

).%

%$$

lim%

x

x

x

&.$&%

%lim &

%

$ ++

xx

xx

x

enyelesaian*

$.9988

limlim%%&& aaxxax

ax

ax

ax

axax ++

=

5 a0

98

$lim

%% aaxxax ++=

%%% &

$

9.8

$

aaaaa=

++=

%.

$9&8lim9%8

9&98%8lim

%

2)lim

%%

%

% =+=+

++

=+

++x

x

xx

x

xx

xxx

&.9$%%98$8

9%98$8lim

$&%

%lim

%$&

%

$ ++

=+

+ xxx

xx

xx

xx

xx$

$%%

%$

9$%%8

9%8lim

%$=

++=

++=

xx

x

x

;.

;%lim9%8

9%98%8lim

%

;lim

;;;=+=

+

=

x

x

xx

x

x

xxx

).%

%

%

lim%

%

$9$8lim

%%

=

xx

x

xx

xx ;

$

%

$lim9%8%

9%8lim %%

=

=

= xxxx

xx

3.3 Li(i+ Ki#i *an Li(i+ Kanan $Li(i+ S'i=a%&

1ebelum kita membahas konsep IYimit kiriJ dan Ilimit kananJ, perhatikan denganseksama 3ungsi 3 beserta gra3ik pada "ontoh berikut :


59/90

1ebagaimana halnya pada "ontoh % maka pada "ontoh ini kita amati perilaku 3ungsi 38x9 =x

x

disekitar x = 0. ilamana x "ukup dekat ke 0, maka 38x9 tidak mendekati suatu nilai tertentu,sehingga kita katakan

lim98lim

00 xxxf

xx =

tidak ada . Akan tetapi, bilamana x mendekati 0 dari arah kanan 8dari arah nilai#nilai x yang besar

dari 09, maka 38x9 akan mendekati $. dalam hal ini kita katakan bah7a 3ungsi xmempunyai Ilimit kananJ di 0 dengan nilai limit kanan $, ditulis

$

lim98lim00

==++ x

xxfxx

emikian 4uga bilamana x mendekati 0 dari arah kiri 8dari arah nilai#nilai x yang lebih

ke"il 09, maka 38x9 akan mendekati bilangan #$. alam hal ini kita katakan bah7a 3ungsi3 mempunyai Ilimit kiriJ di 0 dengan nilai limit kirinya #$, ditulis

$

lim98lim00

== x

xxfxx

ari kenyataan ini kita de3enisikan limit kanan dan limit kiri sebagai berikut :

+einisi #$#$1* 8e3inisi Yimit Qanan9isalkan f sebuah 3ungsi paling sedikit terde3inisi pada selang terbuka (a%b!% maka limitkananfdititik aditulis sebagai:

3xfax

=+

98lim

atau 8 38x9 Y bila x a94ika < 0 terdapat bilangan < 0 sedemikian sehingga

0x & a |f(x! & 3| perhatikan bah7a 0xa mengakibatkan x ) ayang berartixterletak disebelah kanan a

+einisi #$#$2*8e3inisi Yimit Qiri9isalkanfsebuah 3ungsi paling sedikit terde3inisi pada selang terbuka (c%a!% maka limit kiri fdititik aditulis sebagai:

3xfax

=

98lim

atau 8 38x9 Y bila x a#94ika < 0 terdapat bilangan < 0 sedemikian sehingga

0 a x |f(x! & 3| perhatikan bah7a 0 ax mengakibatkan x ' ayang berartixterletak disebelah kiri a


60/90

&

0 "

%(")

a

!

%

Gambar !imit *iri %un+i % i a

%

ba "

%(")

!

&

0

Gambar !imit *anan %un+i % i a

Lerhatikan gambar diba7ah ini yang memperlihatkan situasi geometri untuk limit kanan danlimit kiri

andingkan kedua de3enisi ini dengan de3enisi limit 3ungsi 3 di a.3xf

ax=

98lim

4ika < 0 , < 0 sehingga0 x 6 a 38x9 6 Y

ila x a, maka x < a. Akibatnya x 6 a < 0, sehingga x 6 a = x 6 a, yang bila digantikan pada de3enisi limit akan menghasilkande3enisi limit kanan. emikian 4uga

bila x a#, maka x a. Akibatnya x 6 a 0, sehingga x 6 a = a 6 x, yang bila digantikan pada de3enisi limit akan menghasilkande3enisi limit kiri.


61/90

10

1

2

-1 "

&

& ' "2 & ' 2

Gambar .

,atatan *

Seorema ini menyatakan bah7a limit kiri dan limit kanan 3ungsi 3 di a dapat dihitung dengan"ara menghitung limit 3ungsinya di a, asalkan limit 3ungsi tersebut ada.

Seorema &.&.&.b

+ika

ada.dakti98lim

makadengan98limdan98lim %$%$

xf

333xf3xf

ax

axax

== +

=$5%$598

%

xxxxf

Sun4ukkan bah7a

98lim$

xfx

tidak ada, dan gambar gra3iknya.

enyelesaian*

f(x! .

>

$5%

$5%

x

xx

>ntuk menghitung limit kiri dari f digunakanpersamaan

$598 % = xxxf

8domain dari f di sebelah kiri dari $9.1ebaliknya untuk menghitung limit kanan dari f

digunakan persamaan$5%98 >= xxf

,1ehingga

$lim98lim %$$

== xxf

xx

sedangkan%%lim98lim

$$==

++ xxxf

karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan maka disimpulkan bah7a

98lim$

xfx

tidakada.


62/90

10

1

2

-1

&

%(") 3

-1

-2

"

Gambar 7

"1 2 3 4 / . 7

1

2

3

4

/

.

7

-1-2-3 0

Gambar

iberikan 3ungsi f(x! .


63/90

Lerhatikan bah7a gra3ik 3ungsi f adalah sebuah lengkungan yang tidak terputus pada selang8#&,$9 5 C$,&9 5 C&,295 82,TD.ari gra3ik di atas mudah diketahui bah7a :

/98lim&

=+

xfx

)98lim&

=+

xfx

$98lim$

=

xfx

;98lim2

=

xfx

;98lim$

=+

xfx

;98lim2

=+

xfx

&98lim&

=

xfx

)98limT

=

xfx

Lerhatikan bah7a, dititikx . &7% hanya ada limit kanan dan f(&7! tidak terde3inisi sedangkandititikx . an dititikx . 6%

98lim98lim$$

xfxfxx +

sehingga

98lim$

xfx

tidak ada demikian 4uga dititik

x.7%

98lim98lim&&

xfxfxx +

sehingga

98lim&

xfx

tidak ada

an dititikx.>%;98lim98lim 22 == + xfxf xx

sehingga;98lim

2=

xf

x

dan f(>! = ,atatan*

Nilai 3ungsi disuatu titik tidak mempengaruhi penentuan limit di titik tersebut.

3.4 Li(i+ Ta% ina Dan Li(i+ Di Ta% ina

3.4.1. LIMIT TAK INGGA

+einisi #$$1$1*

isalkanf suatu 3ungsi yang terde3inisi pada selang terbuka yang memuat a, ke"uali mungkinpada asendiri, maka:


64/90

10

12

3 "

-1

-2

-3

-4-1

-2

-4

2

&

x

$

x

$

Gambar

8i9 Yimit f(x! dikatakan ?membesar tanpa batas@ 89 bilamanax mendekati a, ditulissebagai:

+=

98lim xfax

4ika < 0, < 0 sedemikian sehingga9xfax >


65/90

10

1

2 3 4-1-2-3-4 -1

-2

2

4

x

$

x

$

"

&

Gambar 10

ari tabel &.;.$.$ terlihat bah7a :

Nilai f(x! akan semakin membesar tanpa batas,bilamanxsemakin dekat ke 0 dari arah kanan , dalamhal ini dikatakan

+=+ 98lim0 xfx

Nilai f(x! akan semakin menge"il tanpa batas,bilaman xsemakin dekat ke 0 dari arah kiri , dalamhal ini dikatakan

=

98lim0

xfx

+adi limit kanan f(x! dan limit kirif(x! pada x .

dikatakan tidak ada.?atatan : Yambang #dan bukan bilangan.

Serlihat bah7a tidak ada bilangan tertentu yang bisadidekati f(x! manakalaxdibuat mendekati 0.

+adixx

$lim

0

tidak ada,


66/90

10

1

2 3 "

-1-2-3

&

-1

-2

-4

%

$

x

%

$

x

Gambar 11

a, f(x! .

=

05$

05$

$

xx

xx

x

aerah asal f adalah semua bilangan riil xke"ualix.

atau 8#,09 80,9. an rangefadalah 80,9 atau y )

gra3ikfakan membesar tanpa batas bilamanaxmendekati 0, dari sebelah kiri maupun darisebelah kanan, sehingga dikatakan:

+==+

98lim98lim00

xfxfxx

eskipun dalam hal ini limit kiri dan limit kanannya sama#sama menu4u , akan tetapi bukan suatu bilangan, maka dikatakan:

+=xxx

5$

lim0

8membesar tanpa batas atau tidak ada.9

b, g(x! .

%

$

x

Lerhatikan bah7a nilaif(x! akan menge"iltanpa batas bilamanaxsemakin dekat ke nol,baik dari kiri maupun dari kanan, maka kitakatakan

=

98

$lim

%0 xx

8tidak ada!


67/90

BAB

TURUNAN

La) P'#)/a=an Nilai F)n!i7 I*' T)#)nan a*a , 6 a.

+ika sebuah benda bergerak maka benda itu memiliki ke"epatan. Lada bagian ,

telah diuraikan makna ke"epatan rata#rata gerak benda. ^aitu:kecepatan rata&rata ="aktu yang diperlukanjarak yang ditempuh =perubahan "aktuperubahan jarak .+ika benda tersebut bergerak sepan4ang lintasany =f8x9, maka perbandingan di atasmenun4ukkan perubahan nilai rata#rata:perubahan nilai rata&rata =perubahan iabel x

perubahan nilai fungsiBar

.isalkan 3ungsif : -- ditentukan oleh rumusf:xf8x9.y . f8x9 ambar di samping adalah

f8ah9 sketsa suatu kurBay =f8x9.Sitik A8a,f8a99 dan 8a/h%f8ah99f8a9 A adalah dua titik yang terletak padakurBa.Apa yang ter4adi 4ika h mendekatiZ a a/h M nilai nolLerhatikan perubahan dari A ke . >ntuk daerah asal dalam interBal axa / h,nilai 3ungsi berubah darif8a9 padax . a sampaif8a h9 padax . a / h,

Lerbandingan selisih nilai 3ungsi dan selisih nilai Bariabel merupakan perubahanrata#rata nilai 3ungsi dalam interBal axa / h untuk h0, yakni:Perubahan rata&rata =perubahan nilai iabel

perubahan nilai fungsiBar

a h a


68/90

!

!1

" "# $

%("#$)

%(")

& ' %(")

Gambar

Gambar

P'n'#+ian *an Sia+ T)#)nan

Lada gambar di atas, garis3menyinggung kurBa yf8x9 di titik 8x,f8x99, sedangkan garis3$ melalui titik 8x,f8x99 dan titik 8x/h,f8x/h99. +ika h mendekati nol, maka garis 3$ akanmendekati garis3, sehingga gradien garis3$akan mendekati gradien garis3. Hal ini dapatdinyatakan dalam bentuk limit sebagai berikut:

h

xfhxfmmh

3h

39898

limlim00 $

+==

.

entukhxfhxf

h9898lim

0+

dikenal sebagi turunan 3ungsi y = f8x9, yang dinotasikandengan

dx

dy

, y ,dx

df

, atauf8x9.engan demikian se"ara geometri, turunan 3ungsi merupakan gradien dari garis singgung kurBa3ungsi tersebut.

Qarena turunan dedi3inisikan dengan menggunakan limit sedangkan limit 3ungsi bisatidak ada, maka 3ungsi mungkin tidak mempunyai turunan di beberapa titik tertentu.

1ebagai "ontoh, perhatikan 3ungsi nilai mutlakxxf =98

, yang gra3iknya diberikandalam gambar di ba7ah ini.


69/90

+ika kita memperhatikan gambar dengan "ermat, maka kita akan dapatkan bah7a gra3ik3ungsi nilai mutlak di atas berupa garis lurus, yang sebelah kanan sumbu yadalah berupa garisy

. xsedangkan yang sebelah kiri sumbuyberupa garisy . &x. aris di kanan dan kiri sumbuy

mempunyai gradien yang berbeda, sehingga patut di"urigai bah7a 3ungsixxf =98

tidakmempunyai turunan di perpotongan kurBa dengan sumbuy, yaitu titik 80,09. Lembuktian bah7a

3ungsixxf =98

tidak mempunyai turunan di titik 80,09 diberikan di ba7ah ini.Qarena

$$limlim0

lim908908

lim0000

===

=+

++++ hhhh h

h

h

h

h

fhf

dan$9$8limlim

0lim

908908lim

0000

==

=

=+

+++ hhhh h

h

h

h

h

fhf

,maka

h

fhf

h

fhf

hh

908908lim

908908lim

00

+

++

,

sehinggah

fhff

h

908908lim908c

0

+=

tidak ada.


70/90

d. Qarena

0lim0

lim908908

lim908c0

%%

00==

=

+=

h

h

h

h

fhff

hhh

, maka

%xy=

mempunyai turunan di x = 0.

+ika kita menentukan turunan se"ara langsung dengan menggunakan de3inisi turunan,maka kita akan mendapatkan banyak kesulitan dan memakan 7aktu lama. >ntuk itu, diperlukan"ara lain di samping dengan menggunakan de3inisi se"ara langsung, yaitu dengan menggunakansi3at dan rumus turunan.

erikut diberikan beberapa si3at penting dalam pen"arian turunan suatu 3ungsi.. A+)#an '#%alian *'nan %"n!+an+a.

+ika " konstanta danf 3ungsi yang dapat diturunkan, maka

[ ] 9898 xfdx

dcxcf

dx

d=

. A+)#an )(la=.


[ ] 98989898 xgdx

dxf

dx

dxgxf

dx

d+=+

. A+)#an !'li!i=.


[ ] 98989898 xgdx

dxf

dx

dxgxf

dx

d=

. A+)#an =a!il %ali.


[ ] 989898989898 xfdxdxgxgdxdxfxgxfdxd +=

10. A+)#an =a!il /ai.

+ikaf dangkeduanya dapat diturunkan, maka

[ ]%98

98989898

98

98

xg

xgdx

dxfxf

dx

dxg

xg

xf

dx

d

=

B)%+i:

. A+)#an '#%alian *'nan %"n!+an+a.

+ika " konstanta danf 3ungsi yang dapat diturunkan, maka[ ]

[ ]989898

lim

998988lim

9898lim98

0

00

xfdx

dc

h

xfhxfc

h

xfhxfc

h

xcfhxcfxcf

dx

d

h

hh

=+

=

+=

+=

. A+)#an )(la=.


71/90


[ ] [ ]

[ ]

9898

9D898Clim

9D898Clim

98989D898Clim

98989D898Clim9898

00

0

0

xgdx

dxf

dx

d

h

xghxg

h

xfhxf

h

xghxgxfhxf

h

xgxfhxghxfxgxf

dx

d

hh

h

h

+=

+++=

+++=

++++=+

. A+)#an !'li!i=.

>ntuk latihan. A+)#an =a!il %ali.


[ ]

98989898

9D898Clim98

9D898Clim98lim

9D8989C8lim

9D8989C8lim

9D8989C89D8989C8lim

98989898lim9898

000

00

0

0

xfdx

dxgxg

dx

dxf

h

xfhxfxg

h

xghxghxf

h

xfhxfxg

h

xghxghxf

h

xfhxfxgxghxghxfh

xgxfhxghxfxgxf

dx

d

hhh

hh

h

h

+=

++

++=

++

++=

++++=

++=

. A+)#an

=a!il /ai.

1elan4utnya di ba7ah ini diberikan beberapa rumus dasar turunan.N"("# F)n!i T)#)nan )n!i

$ y . k% kkonstanta y = 0% y . xn y4 .nxn#$

& y = lnxy4=

x

$

B)%+i:

;.

0lim9898limc00

==+== hkk

hxfhxfykyhh

).h

xhx

h

xfhxfyxy

nn

hh

n +=+

==

98lim

9898limc

00


72/90

$

$%

%

9$8$

0

$%

%

9$8$

0

%%

%

9$8$

0

D...Clim

D...Clim

...lim

=

+++=

+++=

++++=

n

nnnnn

h

nnnnn

h

nnnnnnn

h

nx

hhxnxh

hhxnxh

h

xhhxhnxx

s

2.h

xhx

h

xfhxfyxy

hh

ln9ln8lim

9898limcln

00

+=

+==

x

e

h

x

hh

x

hx

x

xhx

h

x

h

h

x

h

hh

h

$ln

D9$C8limln

9$ln8lim

D$lnC

lim

ln

lim

$

$

$

0

00

0

==

+=

+=+

=

+

=


73/90

=2&0$220 %&;/ ++ xxxx

b.

%&

%%&

%

&%pembagianaturan

&

%

928

&9.%89298$%8ccc

2,%,c

2

%

+

+++=

=

+=+==

+

+=

x

xxxxx

v

uvvuy

xvxxuv

uy

x

xxy

( )%&%&;

2

2$%2%c

+

+++=

x

xxxxy

A+)#an Ran+ai.

i ba7ah ini diberikan aturan rantai yang banyak digunakan untuk menentukan turunan3ungsi.

+ikafdangkeduanya mempunyai turunan, dan h . f g adalah 3ungsi komposisi yangdide3inisikan oleh h(x! . f(g(x!!%maka hmempunyai turunan, yaitu h yang dinyatakan oleh

h (x! . f(g(x!!, g (x!alam notasi YeibniK, 4ika y . f(u! danu . g(x!keduanya 3ungsi yang mempunyai

turunan, maka

dx

du

du

dy

dx

dy=

.B)%+i:

98c9988c

9898lim.

99889988lim

9898lim.

9898

99889988lim

9898.

9898

99889988lim

99889988lim

9898lim98c

00

00

0

00

xgxgf

t

xgtxg

p

xgfpxgf

t

xgtxg

xgtxg

xgftxgf

t

xgtxg

xgtxg

xgftxgf

t

xgftxgf

t

thtxhxh

tp

tt

t

tt

=

++=

+++

=

+++

=

+=

+=

engan menggunakan aturan rantai dan dengan menggunakan rumus sebelumnya kitaakan dapatkan rumus#rumus di ba7ah ini.


$ y= ex y4 . ex

% y . ax% a$ y4 . axln a

& y . alogx, a


74/90

B)%+i:

$.

xx eyyyy

yxey === == cc.$

$lnrantaiaturan

%. >ntuk latihan&. >ntuk latihan

4.3. T)#)nan F)n!i I(li!i+ *an F)n!i Pa#a('+#i%

alam pembahasan sebelumnya, kita telah membahas turunan 3ungsi eksplisit. kali inikita akanm membahas turunan 3ungsi implisit dan 3ungsi parametrik. etode yang digunakanserupa dengan turunan 3ungsi eksplisit.


75/90

dtdxdtdy

dx

dt

dt

dy

dx

dy== .

=%

$% +t

.4.. T)#)nan F)n!i T#i"n"('+#i *an Si%l"('+#i

-umus dasar dari turunan trigonometri adalah turunan 3ungsi sinus dan "osinus,sedangkan turunan 3ungsi trigonometri yang lainnya dan turunan 3ungsi siklometri dapatditentukan dengan rumus turunan sinus dan "osinus, si3at turunan, dan aturan rantai.

Surunan rumus sinus dan "osinus diberikan di ba7ah ini.N"("# F)n!i T)#)nan )n!i

$ y= sinx y = "osx% y= "osx y = # sinx

B)%+i:

$.h

xhx

h

xfhxfyxy

hh

sin9sin8lim

9898limcsin

00

+=

+==

x

xh

h

hx

h

hhx

hh

h

"os

%

$.$."os%

%

$.

%

%sin

lim%

%"oslim%

%sin

%

%"os%

lim

00

0

=

=+

=

+

=

%.hxhx

hxfhxfyxyhh

"os9"os8lim9898limc"os00

+=+==

x

xh

h

hx

h

hhx

hh

h

sin

%

$.$.sin%

%

$.

%

%sin

lim%

%sinlim%

%sin

%

%sin%

lim

00

0

=

=+

=

+

=


76/90

&

"1

%$ x

&

"

1

%$ x+

".xy se"=

d.xy "s"=

e.xy ar"sin=

3.xy ar"tan=

g.xarcy se"=

%. ?arilah turunan 3ungsi:

a.9ln8sin ; xey x +=

b.9$8sin %% += xey x

P'n-'l'!aian:

$.

h.

xx

xxxxy

x

xxy %

%

pembagianaturanse"

"os

9sin.8sin"os"osc

"os

sintan =

= ==

i.

xx

xxxxy

x

xxy %

%

pembagianaturan "s"sin

9.8"os"os98sinsinc

sin

"os"ot =

= ==

4.

xxx

xxy

xxy tanse"

"os

9sin.8$9.8"os0c

"os

$se"

%

pembagianaturan =

= ==

k.

xxx

xxyx

xy "ot"s"sin

9.8"os$9.8sin0csin

$"s"%

pembagianaturan == ==

l.

%

rantaiaturan

$

$

"os

$c"osc$sinar"sin

xyyyyyxxy

=== ==

m.

%

%%rantaiaturan

$

$"oscse"c$tanar"tan

xyyyyyxxy

+=== ==

n.yyyyxxarcy tanse"c$se"se"

rantaiaturan = ==


77/90

&

"

1

$%x

$

$"ot"osc

% ==

xx

yyy

%.

".xevvuxeuuyxey xxx ln,sin9,lnsin8,9ln8sin ;rantaiaturan; +==+== +=

9ln8sin9ln"os89$

8;9ln"os89$

8;.c

9ln"os89$

8"osc98sin,$

&&;

xexex

exex

eudx

du

du

duy

xex

evvdx

dvv

dv

d

dx

du

xe

dx

dv

xxxxx

xxx

+++=++==

++===+=

d.

9$8%sin%9$8sin

9$"os89$sin8%.%9$8sin

%9.$"os89.$sin8%.9$8sin

9$8sin9$8sinc

9$8sin

%%%

%%%%

%%%%

%%%%

perkaliandanrantaiaturan%%

+++=

++++=

++++=

+++=

+=

xxexe

xxxexe

xxxexe

dx

xdexdx

dey

xey

xx

xx

xx

xx

x

4.. T)#)nan Tin%a+ Tini

+ikaf 3ungsi yang dapat diturunkan, maka turunannya 8f 9 4uga berupa 3ungsi. +ikaf mempunyai turunan, maka turunanf4 kita notasikan denganf . Notasi lain untuk turunan kedua

dariy=f8x9 adalah98

%

%

%

xfDdx

yd

dx

dy

dx

d==

.>mumnya turunan ke#ndariy=f8x9 dinyatakan dengan

( )98

98xfD

dx

ydy

n

n

nn ==

.


78/90

a.

kxey=

b.xy ln=

P'n-'l'!aian :

$. ari "ontoh sub bab sebelumnya telah diperolehdx

dy

dari x%y%= %), yaituy

x

dx

dy =

.

Qarena

=

=

y

x

dx

d

dx

dy

dx

d

dx

yd

%

%

an mengingatyadalah 3ungsi darix, dengan aturan pembagian dan aturan rantai, diperoleh

&

%%

%%

..$...

y

xy

y

yxxy

y

dxdy

xdx

dxy

y

x

dx

d +=

=

=

+adi

&

%%

%

% .

y

xy

dx

yd +=

%.a, y= ln t,x . et

dt

dxdt

dy

dx

dt

dt

dy

dx

dy== .

=

te

t$

=

tte

$

dt

dxdt

dxdy

d

dx

dt

dt

dxdyd

dx

dy

dx

d

dx

yd

=

=

= .

%

%

=

Zleh karena

tt

tt

tet

t

et

tee

tedt

ddxdy

dt

d

%%%

$$ +=+

=

=

dan

tedt

dx=

maka

tt

t

et

t

e

et

t

dx

yd

%%

%

%

% $

$

+=

+

=

.

. y .

tte +

%

, x = ln 8et$9


79/90

dt

dxdt

dy

dx

dy=

=9$e8

e

e9$t%8

t

t

t%t

+

+ +

=

%tt e9$e98$t%8 ++

dt

dxdt

dxdyd

dx

dxdy

d

dx

yd

%

%

=

=

=9$te8

t

%ttt%t%tt

e

e9$e98$t%8t%e9$t%8e9$e8%

+

+ ++++++

=

t%t%t%ttt%t%t

e9$e98$t%8t%e9$e98$t%8e9$e8%

+++++++

&. a.

kxnnkxkxkxkx ekyekyekykeyey ===== 98&% ...cccccc

b.

n

nn

xny

xxy

xy

xyxy

9@$8

9$8...

@%

9$8

%.$

9$8ccc

$9$8cc

$cln

$98

&

%

&

%

%

=

=

====

BAB 10

APLIKASI TURUNAN

Ma%!i()( *an Mini()(

isalkan kita mengetahui 3ungsifdan domain 8daerah asal9 1 seperti pada ambar A. makakita akan menentukanfmemiliki nilai maksimum atau minimum pada 1. Anggap sa4a bah7anilai#nilai tersebut ada dan ingin mengetahui lebih lan4ut dimana dalam 1 nilai#nilai itu berada.Lada akhirnya kita dapat menentukan nilai#nilai maksimum dan minimum.

D'ini!i :

Andaikan 1, daerah asalf , memuat titik ?, kita katakana bah7a:

i. f8"9 adalah nilai maksimumfpada 1 4ikaf8"9Gf8x9 untuk semua x di 1

ii. f8"9 adalah nilai minimumfpada 1 4ikaf8"9Ef8x9 untuk semua x di 1

iii. f8"9 adalah nilai ekstrimfpada 1 4ika ia adalah nilai maksimum atau minimum

T'"#'(a A


80/90

$T'"#'(a E%!i!+'n!i Ma%!Min&. +ikafkontinu pada selang tertutup Ca,bD, maka f men"apainilai maksimum dan nilai minimum.

T'#a*in-a NilaiNilai E%!+#i( :

iasanya 3ungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan akan mempunyai suatuselang#sebagai daerah asalnya. Setapi selang ini boleh berupa sebarang dan sembilan tipe yangdibahas $.&. beberapa dari selang ini memuat +i+%+i+i% ))n5 beberapa tidak. isalnya# = Ca,bDmemuat titik#titik u4ung dua#duanya5 8a,b9 hanya memuat titik u4ung kiri5 8a,b9 tidak memuat titku4ung satupun. Nilai#nilai ekstrim sebuah 3ungsi yan dide3inisikan pada selang tertutup seringkali ter4adi pada titik#titik u4ung. 8Yihat ambar 9

+ika " sebuah titik pada manaf8"9 = 0 disebut " titik stasioner. Lada titik stasioner, gra3ikf mendatar karena garis singgung mendatar. Nilai#nilai ekstrim ter4adi pada titik#titik stasioner.8ambar ? 9

+ika " adalah titik dalam dari # dimana f tidak ada, disebut " titik singular. ra3ik fmempunyai sudut ta4am, garis singgung Bertikal. Nilai#nilai ekstrim dapat ter4adi pada titik#titiksingular. 8ambar 9 7alaupun dalam masalah#masalah praktis sangat langka.

T'"#'(a B

$T'"#'(a +i+i% %#i+i!&. Andaikanf dide3inisikan pada selang#yang memuat titik ". +ikaf8"9adalah titik ekstrim, maka " haruslah suatu titik kritis, yakni " berupa salah satu :

i. titik u4ung

ii. titik stasioner dari 3 838"9 = 09

iii. titik singular dari 3 83 8"9 tidak ada9

engingat teorema A dan , untuk menghitung nilai maksimum atau nilai minimum suatu3ungsi kontinufpadaselang tertutup # ,

Yangkah $ : ?arilah titik#titik kritis dari 3 pada Yangkah % : hitunglah 3 pada setiap titik kritis, yang terbesar adalah nilai maksimum dan yangterke"il adalah nilai minimum.

soal :

?arilah nilai# nilai maksimum dan minimum dari 38x9 = x% ;x pada C#&, $D

Lenyelesaian:

enurunkan 3ungsinya 38x9 = %x ;

Qemudian men"ari titik kritis 38x9 = 0

%x ; = 0

M = #%erarti titik#titik kritis yang di dapat #&, #%, $ maka :

38#&9 = #&

38#%9 = #;

38$9 = )

+adi nilai maksimum adalah ) 8di"apai pada $9 dan nilai minimum adalah #; 8di"apai pada #%9


81/90

2.K'("n"+"nan *an K'C'%)nan

D'ini!i :

Andaikanfterde3inisi pada selang#8terbuka, tertutup atau tak satupun9. Qita katakan bah7a :

i. fadalah naik pada#4ika untuk setiap pasang bilangan x$dan x%dalam#, x$ x%_38x$9 38x%9

ii. fadalah turun pada#4ika untuk setiap pasang bilangan x$ dan x%dalam#, x$< x%_ 38x$9 < 38x%9

iii. fmonoton murni pada#4ika ia naik pada# atau turun pada#

T'"#'(a A

$T'"#'(a K'("n"+"nan&. Andaikanf kontinu pada selang #dan dapat dide3erensialkan padasetiap titik dalam dari#

i. +ikaf48x9 < 0 untuk semua titik dalam x dari#%makafnaik pada#

ii. +ikaf48x9 0 untuk semua titik dalam x dari#%makafturun pada#

T)#)nan P'#+a(a *an K'("n"+"nan

ngat kembali bah7a turunan pertamaf48x9 memberi kita kemiringan dari garis singgungf dititik x, kemudian 4ikaf48x9 < 0, garis singgung naik ke kanan, serupa, 4ika f48x9 0, garissinggung 4atuh ke kanan. 8ambar A9

T)#)nan K'*)a *an K'C'%)nan1ebuah 3ungsi mungkin naik dan tetap mempunyai gra3ik yang sangat bergoyang 8ambar 9,maka kita perlu mempela4ari bagaimana garis singgung berliku saat kita bergerak sepan4anggra3ik dari kiri ke kanan. +ika se"ara tetap berla7anan arah putaran 4arum 4am, kita katakanbah7a gra3ik "ekung ke atas, 4ika garis singgung berliku searah 4arum 4am, gra3ik "ekung keba7ah

D'ini!i:

Andaikanf terde3erensial pada selang terbuka# = 8a,b9. 4ikaf4naik pada#, f 8dan gra3iknya9C'%)n %' a+a!disana5 4ikaf4turun pada#,fC'%)n %' /aa=pada#,

T'"#'(a B

$T'"#'(a %'C'%)nan&.Andaikanf terde3erensial dua kali pada selang terbuka 8a,b9.

i. +ikaf448x9 < 0 ntuk semua x dalam 8a,b9 makaf "ekung ke atas pada 8a,b9

ii. +ikaf448x9 0 ntuk semua x dalam 8a,b9 makaf "ekung ke ba7ah pada 8a,b9

Ti+i% Bali%


82/90

Andaikanfkontinu di ", kita sebut 8",f8"99 suatu titik balik dari gra3ikf4ikaf"ekung keatas pada satu sisi dan "ekung ke ba7ah pada sisi lainnya dari ". gra3ik dalam ambar ?menun4ukkan se4umlah kemungkinan.

ambar

soal :

+ika 38x9 = x& 2x% Tx & "ari dimana 3 naik dan dimana turun

Lenyelesaian:

en"ari turunan 3

38x9 = &x% $%x T

= & 8x% ;x &9

= & 8x&98M$9

Qita perlu menentukan 8x&9 8x$9 < 0 dan 8x&9 8x $9 0 terdapat titik pemisah #& dan #$,membagi sumbuxatas tiga selang 8 #F, #&9, 8#&, #$9 dan 8#$, F9. engan memakai titik u4i #;, #%,

0 didapatf f8x9 < 0 pada pertama dan akhir selang danf f8x9 0 pada selang tengah.+adi, 3 naik pada 8#F, #&D dan C#$, F9 dan turun pada C#&, #$D

ra3ik

f8#&9 = &

f8#$9 = #$

f809 = &

3.Ma%!i()( *an Mini()( L"%al

D'ini!i :

Andaikan 1, daerah asalf, memuat titik ". kita katakan bah7a :i. f("9 nilai maksimum lokalf4ika terdapat selang 8a,b9 yang memuat " sedemikian

sehinggaf8"9 adalah nilai maksimumfpada 8a,b9 1

ii. f8"9 nilai minimum lokalf4ika terdapat selang 8a,b9 yang memuat " sedemikiansehinggaf8"9 adalah nilai minimumfpada 8a,b9 1

iii. f8"9 nilai ekstrim lokalf4ika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal

Seorema titik kritis pada dasarnya berlaku sebagaimana dinyatakan dengan nilai ekstrim

diganti oleh nilai ekstrim lokal, bukti pada dasarnya sama. +ika turunan adalah positi3 pada salahsatu pihak dari titik kritis dan negatiBe pada pihak lainnya, maka kita mempunyai ekstrim lokal.

AA- AQ1.YZQAY AN N YZQAY

T'"#'(a A

$Ui T)#)nan P'#+a(a )n+)% E%!+#i( L"%al& . Andaikanf kontinu pada selang terbuka 8a,b9yang memuat titik kritis ".


83/90

i. +ikaf48x9 < 0 untuk semua x dalam 8a,"9 danf48x9 0 untuk semua x dalam 8",b9,makaf8"9 adalah nilai maksimum lokalf

ii. +ikaf48x9 0 untuk semua x dalam 8a,"9 danf48x9 0 untuk semua x dalam 8",b9,makaf8"9 adalah nilai minimum lokalf

iii. +ikaf48x9 bertanda sama pada kedua pihak ", makaf8"9 bukan nilai ekstrim lokalf.

T'"#'(a B

$Ui T)#)nan K'*)a )n+)% E%!+#i( L"%al&.Andaikanf danf44ada pada setiap titik dalamselang terbuka 8a,b9 yang memuat ", dan andaikanf48"9 = 0

i, +ikaf448"9 0,f8"9 adalah nilai maksimum lokalf

ii. +ikaf448"9 < 0,f8"9 adalah nilai minimum lokalf

soal :

?ari nilai ekstrim lokal dari 3ungsi 38x9 = x%6 x / pada 8#F,F9

penyelesaian:

3ungsi polinom kontinu dimana#mana dan turunannya, 38x9 = %x 6 , ada untuk semua x. 4adisatu#satunya titik kritis untuk 3 adalah penyelesaian tunggal dari 38x9 = 0 yakni x = ; karena38x9 = %8x#;9 0 untuk x0, 3 turun pada 8#F,;9 dank arena %8x 6 ;9


84/90

soal :

?ari 84ika mungkin9 nilai maksimum dan minimum darif8x9 =x76 &x8/Bpada 8 #F, F9.

Lenyelesaian :

ff8x9 = &x86 2x = x8&x6 29

x=0 dan x= %f8%9 =

f89 =B

3ungsi memiliki nilai maksimum ; 8pada 09 dan nilai minimum 0 8pada %9

.P'n'#aan E%"n"(i%

alam mempela4ari banyak masalah ekonomi sebenarnya kita menggunakan konsep kalkulus.isalkan dalam suatu perusahaan, LS A?. +ika A? men4ual x satuan barang tahun ini, A?akan mampu membebankan harga, p8x9 untuk setiap satuan. Qita tun4ukkan bah7a p tergantungpada x. pendapatan total yang diharapkan A? diberikan oleh -8x9 = x p8x9, banyak satuan kali

harga tiap satuan.>ntuk memproduksikan dan memasarkan x satuan, A? akan mempunyai biaya total ?8x9. nibiasanya 4umlah dari biaya tetap ditambah biaya Bariable. Qonsep dasar untuk sebuahperusahaan adalah total laba L8x9, yakni slisih antara pendapatan dan biaya.

P$,& 6 R$,&


85/90

Lada M = ;00 diperoleh

iaya rata#rata = %%,; x ;00 = T20

iaya mar4inal = ;,T x ;00 = $T20

ni berarti bah7a rata#rata biaya tiap satuan adalah -p. T20 untuk memproduksi ;00satuan yang

pertama, untuk memproduksi satu satuan tambahan diatas ;00 hanya memerlukan biaya -p.$T20.

.Li(i+ *i K'+a%=inaan9 Li(i+ Ta% T'#=ina

e3inisi#de3inisi ?ermat Yimit bila x_ j F

alam analogi dengan de3inisi, kita untuk limit#limit biasa, kita membuet de3inii berikut.

D'ini!i:

8Yimit bila x _ F9. Andaikan 3 terde3inisi pada C",F9 untuk suatu bilangan ". kita katakan bah7aYim 38x9 = Y 4ika untuk masing#masing


86/90

lim &x%Px%6 %xPx% 2Px% P 2x%Px&6 )xPx% TPx% = &P2 = $P%

x_

.P'na(/a#an G#ai%


87/90

kita peroleh titik kritis #&, 0, &

38#&9 = &

3809 = 0

38&9 = $%

kemudian kita de3erensialkan kembali 3J8x9 = 8;0x$0x9P$0 = {x8;0x%#$09!P$0kita peroleh x = #%.$ x = %.$ x = 0

38#%.$9 = $.

38%.$9 = #$.

3809 = 0

.T'"#'(a Nilai Ra+aRa+a

Seorema nilai rata#rata adalah bidang kalkulus 6 tidak begitu penting, tetapi sering kalimembantu melahirkan teorema#teorema lain yang "ukup berarti. alam bahasa geometri,teorema nilai rata#rata mudah dinyatakan dan dipahami. Seorema mengatakan bah7a 4ika gra3iksebuah 3ungsi kontinu mempunyai garis singgung tak Bertikal pada setiap titik antara A dan ,maka terdapat paling sedikit satu titik ? pada gra3ik antara A dan sehingga garis singgung dititik ? se4a4at talibusur A. alam ambar $, hanya terdapat satu titik ? yang demikian, dandalam ambar % terdapat beberapa.

AA- $ dan %

T'"#'(a A

$T'"#'(a Nilai #a+a#a+a )n+)% T)#)nan&. +ika f kontinu pada selang tertutup Ca,bD danterde3erensial pada titik#titik dalam dari 8a,b9, maka terdapat paling sedikit satu bilangan " dalam8a,b9 dimana

f8b9 6f8a9 P b 6 a =f48"9atau se"ara setara, dimana

f8b9 6f8a9 =f48"9 8b#a9

T'"#'(a B

+ika X8x9 = 8x9 untuk semua 6x dalam 8a,b9, maka terdapat konstanta ? sedemikian sehinggaX8x9 = 8x9 ?

>ntuk semua x dalam 8a,b9

soal:

?ari bilangan " yang di4amin oleh teorema Nilai rata#rata untuk 38x9 = x%6 & pada C$,&D

penyelesaian :38x9 = %x

dan {38&9 6 38$9!P & 6 $ = {2 6 8#%9!P% = P% = ;

4adi kita harus menyelesaikan %? = ; maka ? = %

4a7aban tunggal adalah ? = %


88/90

2.2 BEBERAPA


89/90

biaya rata#rata = ?8x9Px= &%00&,%)x#0,000&x%P M= &%00&,%) 8$0009#0,000&8$0009%P $000= 2$)0 P $000 = 2,$)aka biaya rata#rata persatuan yaitu 2,$) x $000 = -p.2$)0

biaya mar4inal = d"Pdx= &,%)#0,0002x= &,%)#0.0002 8$0009= %,2)maka biaya mar4inalnya, %,2) x $000 = -p.%2)0 Lada x=$000 ari hasil di atas, dapat dikatakan bah7a dibutuhkan -p.2$)0 untuk memproduksi $000barang pertama dan membutuhkan -p. %,2) untuk membuat $ barang setelah barang yang ke$000, hanya dibutuhkan -p. %2)0 untuk membuat $000 barang yang sama.emikian postingan saya tentang turunan parsial. ohon maa3 bila ada kesalahan 1emogapostingan ini berman3aat. +ika anda butuh postingan yang lain, anda bisa meninggalkan "ommentdan saya akan berusaha memposting postingan yang anda butuhkan.

ELASTISITAS alam ilmu ekonomi, elastisitas adalah perbandingan perubahan proporsional dari sebuahBariabel dengan perubahan Bariable lainnya. engan kata lain, elastisitas mengukur seberapabesar besar kepekaan atau reaksi konsumen terhadap perubahan harga. Lenggunaan paling umum dari konsep elastisitas ini adalah untuk meramalkan apa yangakan barangP4asa dinaikkan. Lengetahuan mengenai seberapa dampak perubahan harga terhadappermintaan sangatlah penting. agi produsen, pengetahuan ini digunakan sebagai pedomanseberapa besar ia harus mengubah harga produknya. Hal ini sangat berkaitan dengan seberapabesar penerimaan pen4ualan yang akan ia peroleh. 1ebagai "ontoh, anggaplah biaya produksisebuah barang meningkat sehingga seorang produsen terpaksa menaikkan harga 4ual produknya.enurut hukum permintaan, tindakan menaikkan harga ini 4elas akan menurunkan permintaan.

+ika permintaan hanya menurun dalam 4umlah yang ke"il, kenaikan harga akan menutupi biayaproduksi sehingga produsen masih mendapatkan keuntungan. Namun, 4ika peningkatan harga initernyata menurunkan permintaan demikian besar, maka bukan keuntungan yang ia peroleh. Hasilpen4ualannya mungkin sa4a tidak dapat menutupi biaya produksinya, sehingga ia menderitakerugian. +elas di sini bah7a produsen harus mempertimbangkan tingkat elastisitas barangproduksinya sebelum membuat suatu keputusan. a harus memperkirakan seberapa besarkepekaan konsumen atau seberapa besar konsumen akan bereaksi 4ika ia mengubah hargasebesar sepuluh persen, dua puluh persen, dan seterusnya.`XN1 AS AS1Qoe3esien elastisitas diukur dari persentase perubahan kuantitas barang dibagi dengan persentaseperubahan harga. 1e"ara sederhana kalimat tersebut dapat dirumuskan:Atau se"ara umum, elastisitas Iy terhadap xJ adalah:`lastisitas biasa disimbolkan sebagai `, e atau epsilon ke"il, . 1elain elastisitas liniertersebut ada 4uga elastisitas non liniersumber

4. Ali%a!i T)#)nan Pa#!ial Dala( Bi*an Fi!i%a


90/90

atematika merupakan ilmu dasar dari segala ilmu yang lain,sekarng inimatematika digunakan sebagai alat penting di berbagai bidang ilmu pengetahuan,salah satunyadalam bidang pengetahuan 3isika dengan menghubungkan 3ungsi suatu turunan parsial dalambidang tersebut. 1ebelum diper4elas apa sa4a hubungan diatas kita harus tahu dulu de3inisi dari turunan

parsial itu sendiri. Surunan parsial itu adalah suatu proses melakukan di33erensial dari suatu3ungsi yang hanya melibatkan satu ma"am Bariabel dari keseluruhan Bariabel yang berkontribusiterhadap perubahan 3ungsi tersebut. erikut ini adalah "ontoh turunan parsial yang menggunakan & Bariabel. alam bidang3isika saya mengambil "ontoh rumus 4arak yang ditempuh oleh benda yaitu: - 6Q,25;0,5-0dimana y0 menyatakan 4arak a7al dari titik 0. Apabila rumus ini diturunkan men4aditurunan yang pertama y = dyPdx maka akan men4adi -6 ,5;0, dimana B0menyatakan ke"epatana7al. -umus ini masih bisa diturunkan men4adi turunan yang kedua yaitu d%yPdx%,men4adi-68konstan9, sehingga men4adi rumus per"epatan, dimana 4ika suatu benda di4atuhkandari ketinggian tertentu di atas permukaan bumi.1ehingga kita dapat mengetahui bah7a dengan turunan parsial, kita dapat membuktikan rumus#

rumus dari turunan sebelumnya. 1eperti rumus diatas dari rumus 4arak,hingga dapat rumusper"epatan. -umus#rumus itu didapat hanya dari satu rumus sa4a.engan demikian turunan parsial dibilang sebagai hubungan yang mengaitkan suatu 3ungsidengan turunan#turunannya melalui Bariabel#Bariabel yang dimaksud.

. B'!a#an T)#)nan *an Sa+)ann-a Dala( Il() Fi!i%a Fi!i%a

esaran Surunan adalah besaran yang terbentuk dari satu atau lebih besaran pokok yangada. esaran adalah segala sesuatu yang memiliki nilai dan dapat dinyatakan dengan angka. isalnya adalah luas yang merupakan hasil turunan satuan pan4ang dengan satuan meterpersegi atau m pangkat % 8mq%9. Yuas didapat dari mengalikan pan4ang dengan pan4ang. erikut ini adalah berbagai "ontoh besaran turunan sesuai dengan sistem internasional P

1 yang diturunkan dari sistem Q1 8meter # kilogram # sekonPse"ond9 :# esaran turunan energi satuannya 4oule dengan lambang +# esaran turunan gaya satuannya ne7ton dengan lambang N# esaran turunan daya satuannya 7att dengan lambang # esaran turunan tekanan satuannya pas"al dengan lambang La# esaran turunan 3rekuensi satuannya HertK dengan lambang HK# esaran turunan muatan listrik satuannya "oulomb dengan lambang ?# esaran turunan beda potensial satuannya Bolt dengan lambang [# esaran turunan hambatan listrik satuannya ohm dengan lambang ohm

k i k i 3 d d l b X

asnia yulinda utami 4311413040

Documents