anriel lengkap armanila

8/19/2019 Anriel Lengkap Armanila

1/50

TUGAS MATA KULIAH ANALISA RIEL

(TERJEMAHAN BAB IV)

OLEH

ARMANILA

1404578

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKAKELAS P2TK

SEKOLAH PASCA SARJANA

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

BANDUNG

2015

1


2/50

IV KEKONTINUAN FUNGSI

Sebagai permulaan pelajaran paa !eban"a!an !ela# pen$ing ari %ung#i&%ung#i!an i

anal"#i#' engan nama %ung#i&%ung#i!an "ang !elanju$an ialam al ini' i*ampur!an

a#iln"a&a#iln"a ari bagian&bagian II an III an !ealam #ebua Te+remaa "ang mana

apa$ iper$imbang an u$ili$i

Bagian ,- ujian&ujian !elanju$an paa #ebua $i$i! an per!enalan&per!enalan pen$ing

i$u !ela# %ung#i&%ung#i!an linear Bagian %unamen$al ,, i$u ari !elanju$an i !+mpa! an

mengubung!an #e$e$ a#iln"a&a#iln"a memper+le ialam bagian ini' #elain Te+remaa

,./' iguna!an engan mengulangi ari bu!u Si#a ari Bagian ,. beberapa #anga$

per$an"aan&per$an"aan "ang menari!' $e$api a#iln"a&a#iln"a aala $ia! $erap i !emuian

bagian&bagian

Bagian ,- Si%a$i%a$ 0ung#i K+n$inu

Anggapla f aala #ebua %ung#i engan +main D i#i i R p an engan jara! beri#i i

Rq. Kami $ia! a!an membu$u!an i$u 1 D

2 R p a$au i$u p 2 q. A!an ie%eni#i!an

!elanju$an alam #"ara$"ara$ an !emuian beberapa & "ang al$erna$i% #ebagai an !+ni#i&

!+ni#i "ang *u!up

,-/ Mi#al!an a sebua $i$i! paa +main D ari %ung#i f. f aala !elanju$an paa a ji!a

un$u! #e$iap per#e!i$aran V f(a).

Si%a$&Si%a$ 0ung#i K+n$inu

$i#ini aala #e+rang per#e!i$aran U di a (!e$ergan$ungan&!e$ergan$ungan "ang mana i V)

#eper$i i$u ji!a x

3 beraa un$u!U ∩D

, !emuian f(a;) berada pada V. (melia$ 0igur

,-/) Ji!a D1 aala #ebua impunan bagian

D1 ' f aala !elanju$an i D1 alam

al i$u aala !elanju$an paa #e$iap $unju!an D1

4iberi!an #e!arang ua #e$ara pern"a$aan&pern"a$aan "ang apa$ $ela iguna!an #ebagai

2


3/50

,-, Te+rema memMisalkankan sebuah jadilah sebuah titik pada domain D❑ difungsi f.

pernataan!pernataan berikut adalah setara"

(a) f aala kelanjutan pada a.

(b) #ika e adalah positif apapun bilangan nata, keberadaan!keberadaan disana sebuah

positif berbilangan #ebua δ (ϵ ) itu jika x∈ D dan | x−a|¿ - an mem++n!an !+ni#i (b) un$u! memper+le

#ebua δ (ϵ)>0 engan !eaga! la"a!an n"a$a i (b) Karena ari *+n7ergen

( xn ) un$u! a, ' (δ ( ϵ )) #eper$i i$u ji!a n ≥ N (δ (ϵ )) ' !emuian | xn−a|


4/50

per#e!i$aran V o f(a) #eper$i i$u un$u! per#e!i$aran apapun U di a, i#ana apa!a elemen xu

!epun"aan un$u! U ∩D $e$api #eper$i i$uf ( xu ) $ia! !epun"aan !e V+ Un$u! ma#ing&

ma#ing bilangan n memper$imbang!an per#e!i$aran U n #ebua pengar$ian +le U n 2

{ x ∈ R p :| x−a|


5/50

(,-/) V 1∩ D=f −1(V )

BUKTI Ji!a V/ aala #e+rang per#e!i$aran a pua# ini' !emuian !ami apa$ ambil U 2 V/

an memua#!an ,-/ 4engan ber$en$angan' ji!a ,-/ ipua#i' !emuian !ami apa$ ambil

V 1=U ∈f −1(V ) un$u! memper+le (,-/)

8E4

Sebelum lebi lanju$' a!an iberi beberapa *+n$+ !eban"a!an ari *+n$+&*+n$+ aala

un$u! al "ang R p 2 Rq 2 R

Bagian ,- =R5=ERTIES L5KAL 0UNGSI&0UNGSIKAN "ang KELANJUTAN

,-> 95NT5H&95NT5H D 2 R an Mi#al!an f ?$e$ap? %ung#i mene%eni#i!an menjai

#ama un$u! bilangan n"a$a $ un$u! #emua bilangan&bilangan "ang n"a$a x .

ma!a f aala !elanju$an paa #e$iap $unju!an R3 alam %a!$a' !ami apa$ mengambil

per#e!i$aran U ari ,-/ menjai #ama !e R un$u! $i$i! apapun a i D 4engan #erupa'

%ung#i g $ere%eni#i +le

g() 2 /' - @ ≤

/'

2 ,' , @ @ .'

aala !elanju$an paa $i$i! ma#ing&ma#ing ialam +mainn"a

(b) mi#al!an D 2 R an Mi#al!an f ?!eien$i!an? %ung#i mene%eni#i!an +le

f ( x )= x , x∈ R (melia$ 0igur ,-,) Ji!a sebuah aala #ebua pemberian bilangan real'

ϵ >0 an Mi#al!an δ (ϵ)=ϵ Kemuian' ji!a | x− z|


6/50

|f ( x )− f (a)|=| x2−a2|=| x−a|| x+a| . ϵ engan membua$ | x−a| engan *u!up !e*il

Ji!a a 2 -' !emuian !ami memili δ (ϵ )=√ ϵ . Ji!a a - -' !emuian iper+le #ebua

ba$a#an un$u! | x+a| +n #ebua per#e!i$aran a. un$u! *+n$+' ji!a | x−a|


7/50

4iarap!an un$u! men*ari #ebua ba$a#an un$u! !+e%i#ien | x−a| "ang mana "ang #a

alam #e+rang per#e!i$aran a ≠0 Ji!a | x−a|


8/50

( f ( yn )) $ia! *+n7erge un$u! f(b), begi$u f aala $ia! aa !elanju$an paa b5le #ebab

i$u' %ung#i 4iri*le$ aala tidak ada kelanjutan pada titik apapun.

() Mi#al!an D= { x ∈ R : x>0} Un$u! apapun bilangan $ia! ma#u! a!al x>0 '

ie%ini#i!an f ( x )=0 3 un$u! #eber#i%a$ !enilaian bilanganan ari %+rmulir m /n , engan

bilangan&bilangan alami m' n mempun"ai $ia! aa %a!$+r !e*uali /' !ami mene%eni#i!an

f (mn )=1/n . Kami a!an menunju!!an i$u f aala !elanju$an paa #e$iap bilangan

irra#i+nal i D

an $ia! !+n$inu paa #e$iap bilangan ber#i%a$ !enilaian i D

beri!u$&

beri!u$ pern"a$aan la$$er engan mengambil #ebua uru$an bilangan irra#i+nal *+n7erging

un$u! iberi!an bilangan ber#i%a$ !enilaian an mema!ai Kri$eria&!ri$eria 4i#*+n$inui$"

Mi#al!an a jaila #ebua bilangan irra#i+nal an ϵ >0 3 !emuian i#ana aala #ebua

alami berbilangan n #eper$i i$u 1/n


9/50

Mi#al!an (a, b) jaila #ebua $unju! !e#uli$an i R ,3 !ami a!an menunju!!an i$u f aala

!elanju$an paa $i$i! ini Un$u! mela!u!an ini' !ami aru# un$u! $ampil!an ba6a !ami

apa$ membua$ *epa$ ‖f ( x . y )−f (a ,b )‖={ (2 x+ y−2a−b )2+( x−3 y−a+3b)2 }1

2

arbi$raril" !e*il engan memili ( x , y ) engan *u!up $u$up un$u! (a, b). Seja!

{ p2+q2}1/2

≤√ 2 {| p||q|} ' i$u aala engan n"a$a *u!up un$u! i$unju!!an ba6a !ami apa$

membua$ #"ara$"ara$ |2 x+ y−2a−b|,| x−3 y−a+3b|

arbi$raril" !e*il engan memili (, ) engan *u!up $u$up un$u! (a, b). alam %a!$a' emi

Segi$iga Ine;uali$"'

|2 x+ y−2a−b|=|2 ( x−a )+( y−b)|≤2| x−a|+| y−b|

Se!arang'

| x−3 y−a+3b|≤| x−a|+3| y−b|≤ 4‖( x , y )−(a ,b)‖

5le #ebab i$u' ji!a ϵ >0 ' !ami apa$ ambil

2

4 √ ¿

δ (ϵ )=ϵ /¿

an menjai pa#$i i$u ji!a #ika

‖f ( x , y )−f (a ,b)‖


10/50

Ji!a $i$i! (, ) aala i alam #ebua !ejauan / (a, b), !emuian | x|≤|a|+1 6en*e

| x+a|≤2|a|+1 an | y|≤|b|+1 begi$u pula | y+b|≤2|b|+1. 4emi!ian iapa$

| x2+ y2−a2−b2|≤| x−a|(2|a|+1)+| y−b|(2|b|+1)

≤2(|a|+|b|+1)‖( x , y )−(a ,b)‖

4alam al "ang #erupa' !ami iapa$

|2 xy−2ab|=2| xy− xb+ xb−ab|≤2| x|| y−b|+2|b|| x−a|

|a|+|b|+1‖( x , y )−(a ,b)‖≤2¿

5le #ebab i$u' !ami #e$

|a|+|b|+1¿2¿2√ ¿

{1, ε¿

δ (ϵ )=inf ¿

3

Ji!a ‖( x , y )−(a ,b)‖


11/50

4engan #erupa' ji!a $ aala #ebua !en"a$aan bilangan an ji!a ! aala #ebua %ung#i

engan +main D (! ) i R p an jara! i R' ie%eni#i!an pr+u!&pr+u! $f un$u! x i

D ( f ) an !f un$u! x i D(!)∩ D( f ) emi rumu#&rumu#

"f ( x ) , ! ( x ) f ( x )

Ku#u#n"a' ji!a ! ( x )≠0 un$u! x∈ D0 ' !emuian ie%eni#i!an ;u+$ien$ f /! un$u!

x i D (f ) ∩ D0 La!u!an +le

f ( x)/!( x )

ini' !ami #e!arang $inggal a#iln"a

,-C TE5REMA #ika fungsi!fungsikanf , ,!

apakah kontinu pada sebuah titik,

kemudian kombinasi!kombinasi aljabar

f +, f −, f . , "f ,!f ,dan f /!

adalah juga kelanjutan pada titik ini.

4i#ana aala "ang lain !+mbina#i aljabar i$u aala #ering !ebergunaan Ji!a f ie%eni#i i

D ( f ) i R p un$u! R, ie%eni#i!an |f | i%ung#i engan range bilangan real i R paa

x i D( f ) Ji!a |f ( x)|

,- TE5REMA Ji!a f adalah kelanjutan pada sebuah titik, kemudian |f | adalah juga

kontinu disana.

BUKTI 4ari Segi$iga Ine;uali$"' iapa$

||f ( x)|−|f (a)||≤|f ( x )−f (a)| ,

ari "ang mana a#iln"a lang#ung

8E4

11


12/50

Mi#al!an f mempun"ai +main D ( f ) i R 2 an jara! i R q an Mi#al!an #ua!a

+main D ( ) i R q an jara! i Rr . alam ,,' ie%eni#i!an !+mp+#i#i #=$ f un$u!

+main D (# )= { x∈ D ( f ) : f ( x )∈ D ( ) } an un$u! x i D (# ) engan #e$

# ( x )= [ f ( x ) ] . 4emi!ian #=$ f aala #ebua %ung#i meme$a!an D (# ) , "ang

mana!a #ebua impunan bagian D ( f )⊆ R p

, !ealam R r Kami pen"u#unan #e!arang

!elanju$an ari %ung#i ini

,-D TE5REMA #ika f adalah kelanjutan pada a dan g adalah kelanjutan pada b 2 f(a),

kemudian $ampuran∘f adalah kelanjutan pada a.

BUKTI Mi#al!an 3 jaila #e+rang per#e!i$aran $i$i! "=(b) . Seja! aala

!elanju$an paa b, i#ana aala per#e!i$aran V di b #eper$i i$u ji!a un$u! V ∩ D() ,

!emuian

( y )∈% . Seja! f aala !elanju$an paa a, !eberaaan&!eberaaan i#ana

per#e!i$aran a i U #eper$i i$u ji!a x !epun"aan&!epun"aan un$u! U ∩ D ( f ) , aa

f ( x ) i V.

5le #ebab i$u' ji!a x !epun"aan&!epun"aan un$u! U ∩D(0 f ) ' !emuian f()

apa!a V ∩ D ( ) an [ f ( x )] !epun"aan&!epun"aan un$u! 3. Tunju!!an Ini i$u

#=$ f aala !elanju$an paa a.

8E4

Bagian ,/ 0ung#i&%ung#i linear

%ung#i&%ung#i ie%eni#i!an alam #ebua bagian R p !ealam Rq. #e!arang #ebua

!e#eeranaan $e$api pen$ing #unggu #anga$ #pe#ial ma*am %ung#i' engan nama %ung#i&

%ung#i!an linear 4i !eban"a!an ari apli!a#i&apli!a#i' +main #eper$i %ung#i aala #emua

R 2 , an lalu a!an memba$a#ial ini

12


13/50

,/'/ #ebua %ung#i f engan +main R p an jara! i R ; i!a$a!an un$u! linear (,//)

f (ax+by )=af ( x )+bf ( y)

ji!a' un$u! #emua

a, bda&am R dan x , y di R p

ari (,//) ari inu*#i "ang ji!a

a,b,',"dimanan∈ Nbi&anan(ea&dan x , y ,', zdimann e&emen di R p

ma!a

f ( ax+by+'+"z )=af ( x )+bf ( y )+'"f ( z )

Sering %ung#i&%ung#i!an linear ipanggil perubaan ben$u!&perubaan ben$u! linear

I$u aala engan memba*a melia$ ba6a %ung#i&%ung#i!an alam 9+n$+&*+n$+ ,-'C(b)

an ,-C(i) apa!a %ung#i&%ung#i!an linear un$u! al p 2 q 2 / an p 2 q 2 ,' engan mua

meng+rma$i alam %a!$a' i$u aala $ia! aa !e#uli$an un$u! + !eban"a!an ari %ung#i

umum linear ari R p un$u! Rq.

,/, TE5REMA #ika f adalah sebuah fungsi linear dengan domain R p dan range di Rq ,

kemudian disana apakah pq bilangan real (" i) ) ,1≤ i ≤ q ,1≤ ) ≤ p 3 seperti #a"a$+pi

jika x=( x1 , x2 ,' x p ) adalah titik apapun di R 2 , dan jika y=( y1 , y2,' , y p )= f ( x )

adalah $itra na dibaah f, kemudian

y1="11 x1+"12 x2+'+"1 p x p ,

y2="21 x1+"22 x2+'+"2 p x p ,

''''''''''., ,

yq="q1 x1+"q2 x2+' ..+"qp x p .

4engan bertentangan, jika (5 ij ) adalah sebuah kumpulan pq bilangan real, kemudian fungsi

ang tugas!tugas ke x

di R p elemen di R q menurut (,/,) aala sebuah fungsi linear

dengan domain R 2 dan jarak di R q.

BUKTI Mi#al!ane1, e2 ,',e p elemen&elemen ari R p iberi!an +le el 2 (/'-' - - '-)' e0

2 (-'/' - '-)' ' e p 2 (-'-' - - /) Kami menguji *i$ra&*i$ra ari 7e*$+r# ini iba6a %ung#ilinear f. menuga i$u merasakan

13


14/50

f ( e1 )= ("11, "21 ,',"q1 ) ,

f ( e2 )= ("12, "22 ,', , "q2 ) ,

'''''''

f ( e p )=("1 p , "2 p ,',"qp)

4emi!ian bilangan n"a$a 5 ij aala !++rnina$ i $ ari $i$i! f(ei )6 Sebua elemen arbi$rar"

x=( x1 , x2 ,',x p ) di R p apa$ iung!ap aga! #eerana alam #"ara$"ara$ 7e*$+r# el' e0 ,

' e p ; alam %a!$a

x= x1e1+ x2e2+'+ x p

e p

Seja! f apa!a linear' i$u

e

f (¿¿ 2)+'+ x p f (e p)f ( x)= x1 f (e1)+ x2 ¿

Ji!a mema!ai & (,/.)' iapa$

f ( x )= x1 ( "11 ," 21 ,',"q1 )+ x2 ("12 , "22 ,',"q2 )+'+ x p("1 p , "2 p ,',"qp)

"1 p x p , "2 p x p,',"qp x p=("11 x1+"12 x2+'+"1 p x p )+("21 x1+"22 x2+'+"2 p x p )+'+("q1 x1+"q2 x2+'+"qp x p)¿ ("11 x1 ," 21 x1 ,',"q1 x1)+ ("12 x2, "22 x2 ,',"q2 x2)+'+¿

i$unju!!an Ini ba6a !++rnina$&!++rnina$ ari f() iberi!an emi rela#i&rela#i (,/,)'

#ebagaimana in"a$a!an

4engan ber$en$angan' i$u aala engan mua $erperi!#a engan !elang#ungan peri$ungan

i$u ji!a rela#i&rela#i (,/,) iguna!an un$u! memper+le !++rnina$&!++rnina$ yi di y ari

!++rnina$&!++rnina$ x idi x , !emuian %ung#i penga#iln"a !epua#an&!epua#an rela#i&

rela#i i$u (,//) an linear juga a!an mengilang!an peri$ungan ini' #eja! i$u aala luru#&

maju

8E4

I$u #earu#n"a i#ebu$ ba6a re*$angular arra" ari bilangan&bilangan

(,/


15/50

[ "11"12' .."1 p

"21"22 '.."2 p''''''''

"q1 "q2 ''"qp]

$e$ap q bari#&bari# an p $iang&$iang' aala #ering memanggil ma$ri *+rre#p+ning un$u!

%ung#i linear f. 4i#ana aala #ebua #a$ua$u *+rre#p+nen*e ian$ara %ung#i&%ung#i!an

linear R p !ealam Rq an q p ma$ri*e# bilangan real #ebagaimana $ela melia$' $ina!an

ari f aala #epenun"a menjela#!an alam #"ara$"ara$ ma$rin"a $ia! a!an i*ari i$u

perlu un$u! i!embang #ala #a$u ari perpanjangan

ma$ri*e#' a!an $e$api' $e$api a!an mengenai ma$ri!# (,/) ‖ y‖=‖f ( x )‖≤ {∑i=1

q

∑ )=1

p

|"i)|2}1/2‖ x‖

,/. TE5REMA #ika f adalah sebuah fungsi linear dengan domain R 2 dan jarak di R q ,

kemudian keberadaan!keberadaan disana sebuah positif tetap seseperti itu jika , % adalah

apapun dua %e$tors di R p ,

(,/C) ‖f (u )−f (* )‖≤ +‖u−*‖

7leh sebab itu, a fungsi linear di R p untuk R q adalah kelanjutan pada setiap titik.

15


16/50

BUKTI alam per+lean & (,/>) an ba6a i#ana !eberaaan&!eberaaan #ebua !e$e$apan

A #eper$i i$u ji!a x aala elemen apapun R p !emuian ‖f ( x)‖≤ +‖ x‖ alangan

Se!arang x=u−* an mengguna!an lineari$" f un$u! memper+le

f ( x )=f (u−* )=f (u )−f ( * ) . Un$u! i$u' (,/C) a#iln"a&a#iln"a I$u aala jela# ba6a ini

rela#i #ebali!n"a !elanju$an ari f, un$u! !ami apa$ membua$ ‖f (u )−f (* )‖


17/50

BUKTI =er$ama' a!an menuga i$u (a) pegangan&pegangan an Mi#al!an 9 jaila #ebua

pembu!aan impunan bagian Rq. Ji!a sebuah !epun"aan&!epun"aan un$u! f −1() ,

!emuian #eja! 9 aala #e+rang per#e!i$aran f(a), i$u beri!u$&beri!u$ ari !elanju$an ari f

paa a ba6a i#ana aala #ebua #e$ $erbu!a U(a) #eper$i i$u ji!a x Dϵ (f ) ∩U (a ) ,

!emuian f ( x) ϵ . =ili U(a) un$u! ma#ing&ma#ing a i f −1() an Mi#al!an G/ ari

#e$e$ U(a). 5le Te+rema .(*)'

#e$ 9 aala membu!a an1∩ D ( f )=f

−1() . 4ari #e!arang (a) #ebali!n"a (b)

Kami a!an per$unju!!an #e!arang i$u (b) #ebali!n"a (a) Ji!a a aala #ebua $unju! arbi$rar"

D ( f ) an 9 aala #ebua per#e!i$aran $erbu!a f(a), !emuian !+ni#i (b) #ebali!n"a

ba6a i#ana !eberaaan&!eberaaan #ebua #e$ $erbu!a G/ i R p #eper$i i$u

1∩ D ( f )=f −1() ' Seja! f (a )∈, , i$u beri!u$&beri!u$ i$u a∈.1 begi$u G/ aala

#e+rang per#e!i$aran a . Ji!a x∈1∩ D (f ) !emuian f ( x )∈ 6en*e f aala

!elanju$an paa a. ugaan&ugaan Ini !+ni#i i$u (b) #ebali!n"a (a)

Kami bu!$i #e!arang !e#e$araan ari !+ni#i&!+ni#i (b) an (*) !ami =er$ama mengama$i i$u

ji!a 8 aala apapun impunan bagian Rq an ji!a 5 2 Rq:8, !emuian iapa$

f −1 (- )∩ f −1 (/ )=∅ an

(,//) D (f )=f −1(-)∪ f −1(/ )

Ji!a 8 aala #ebua impunan bagian R p #eper$i i$u -1∩ D

(f )=f −1 an / 1= R p{- ¿1 ,

ma!a / 1∩f −1 ( - )=∅ an

(,,,) D( f )=(-1∩ D ( f ))∪ (/ 1∩ D( f ) )=f

−1(-)∪(/ 1 ∩ D ( f ))

rumu#&rumu# (,,/) an (,,,) aala ua repre#en$a$i+n# 4(%) #ebagai ari f −1 (- ) engan

#e$ "ang lain engan "ang mana al i$u $ia! pun"a $i$i!&$i$i! "ang umum

5le #ebab i$u' iapa$ / 1 ∩ D (f )=f −1(/ )

17


18/50

menuga i$u (b) pegangan&pegangan an i$u i$u$up!an i Rq. menerap!an pereba$an

an"a #ele#ai ialam al "ang 8 2 Rq: an 5 2 . Kemuian B an B/ aala membu!a

#e$e$ i Rq an R p , engan mua meng+rma$i' begi$u 5 l 2 Rq:8 i$u$up!an i R

p.

i$unju!!an Ini i$u (b) #ebali!n"a (*)

Un$u! melia$ i$u (*) #ebali!n"a (b)' mengguna!an pereba$an ia$a# engan 8 2 Rq:9, G

i#ini aala #ebua #e$ $erbu!a i Rq.

8E4

ialam al "ang D ( f )=¿ R p , a#iln"a penaulu #impli%ie# un$u! beberapa lua#

,,, 95R5LLAR: Misalkan f didefenisi di semua R p dan dengan jarak di R q. 61emudian

berikut staternents adalah setara"

(a) f aala kelanjutan di R p.

(b) #ika G adalah membukana Rq , kemudian f −1 ( ) adalah membukana R p.

(*) #ika ditutupkan di Rq , kemudian f −1 ( H ) aala tutup di R p.

I$u #earu#n"a menega#!an ba6a Kelanju$an "ang Gl+bal Te+rema ,,/ la!u!an tidak

menga$a!an i$u ji!a f aala !elanju$an an ji!a G aala #ebua #e$ $erbu!a i R 2 , !emuian

*i$ra "ang lang#ungf ( x )= {f ( x ) : x∈ } aala membu!an"a Rq. alam umum' #ebua

bu$u %ung#i !elanju$an $ia! mengirim membu!a #e$e$ un$u! membu!a #e$e$ a$au

menu$up #e$e$ un$u! menu$up #e$e$ un$u! *+n$+' %ung#i f i 4(%) 2 R un$u! R' $ere%eni#i

f ( x )= 1

1+ x2

aala !elanju$an i R (alam %a!$a' ulu lia$ alam 9+n$+&*+n$+ ,->(a) an (*) ba6a

%ung#i&%ung#i!an f 1 ( x )=1 ' dan f 2 ( x )= x2

, dari x∈ R ' aala !elanju$an paa #e$iap

$unju! 4ari Te+rema />C' i$u beri!u$&beri!u$ i$u

f 3 ( x )=1+ x2, x∈ R '

!elanju$an paa #e$iap $unju! an' #eja!f 3 $ia! perna !ebina#aan&!ebina#aan' ini

Te+rema #ama #ebali!n"a ba6a %ung#i f iberi!an ia$a# aala !elanju$an i R Ji!a G

aala #e$ pembu!aan G 2 (&/' /)' !emuian f(9) 2 ¿ , "ang mana!a $ia! membu!a i

18


19/50

R 4engan #erupa' ji!a aala #e$ "ang $er$u$up H = { x∈ R : x≥1 } ' !emuian f() 2 (-'

1

2 ' "ang mana!a $ia! menu$up i R 4engan #erupa' %ung#i f pe$a&pe$a #e$ i$u R' "ang

mana!a pembu!aan berua an $u$up i R' !ealam #e$ f(R) 2 (-' /' "ang mana!a

pembu!aan $ia! maupun $u$up i R

,,. 9AGAR KEHUBUNGAN #ika H ⊆ D ( f ) , di R p

kemudian f kontinu di , maka

f() $onne$ted di R

p

.

BUKTI mengumpama!an i$u f(R) aala mengubung!ann"a Rq , begi$u pula !eberaaan

i#ana membu!a #e$e$ A, 8 i Rq #eper$i i$u + ∩# ( H ) an - ∩ #( H ) apa!a i#j+in$

bu!an&!eberen$ian #e$e$ !+#+ng i# (H) emi Kelanju$an "ang Gl+bal Te+rema ,,/'

!eberaaan i#ana membu!a #e$e$ A , B/ i R% #eper$i i$u

A/ ∩

2 #−1

(A), B/∩

2 #−1

(8).

in$er#e*$i+n# Ini aala bu!an&!+#+ng an beri!u$&beri!u$ i#j+in$ne## mere!a ari

i#j+in$ne## ari #e$e$ + ∩# ( H ) an - ∩ #( H ) . a#um#i ba6a ari + ∩# ( H ) an

- ∩ # ( H ) is h() #ebali!n"a ba6a um+n A ∩ H dan-1∩ H aala . 5le #ebab

i$u' !e$iaubungan f()&h() #ebali!n"a !e$ia!ubungan .

8E4

,,< Te+rema B+lan+ Nilai In$ermei$ S Misalkan ⊆ D(f ) jadilah sebuah koneksi

himpunan bagian R p dan Misalkan f dilarangan dan kelanjutan di dan dengan nilai!nilai

di R #ika k adalah apapun bilangan nata puas

in% {f ( x ) : x∈ H }


20/50

BUKTI Ji!a ∉ f ( H ), ma!a += {0 ∈ R : 0 } begi$u pula

A an 8 apa!a i#j+in$ membu!a #e$e$ i R emi Kelanju$an "ang Gl+bal Te+rema //.

Si%a$i%a$ K+mpa!

Kami penem+n#$ra#ian #e!arang ba6a pen$ing !eaga! la"a!an !+mpa! ipeliara iba6a

peme$aan !elanju$an ialam peni#!u#ian un$u! mengi!u$i' !ami $ia! mengumpama!an

#ebua !ea!raban "ang $u$up engan Bagian ' an !ami a!an $a6ar ua bu!$i&bu!$i

a#iln"a&a#iln"a u$ama un$u! i#e!arang i#ini Kami memanggil ba6a i$u aala #ebua

!+n#e!6en#i pen$ing B+rel&Heine Te+rema //. i$u #ebua impunan bagian 1 R 2 apa!a

*+mpa*$ ji!a an an"a ji!a i$u aala berua menu$up an larangan i R p. 4emi!ian

a#iln"a #elanju$n"a apa$ menjai + !embali engan ber!a$a i$u ji!a 1 i$u$up an

ilarangan i R p an ji!a f aala !elanju$an i 1 an engan jara! i Rq, !emuian f(1)

i$u$up an ilarangan i R q.

,,> #i%a$i%a$ K+mpa! #ika 1 apakah kompak dan f apakah $lmtinuous di 1, kemudian

f(1) apakah $ompa$t.

BUKTI =ERTAMA Kami mengumpama!an i$u 1 i$u$up an ilarangan i R p an a!an

$ampil!an that f(1) i$u$up an ilarangan i Rq

. Ji!a f(1) $ia! ilarangan' un$u! ma#ing&

ma#ing n ∈ N !eberaaan&!eberaaan i#ana #ebua $i$i! x n i 1 engan

‖f ( xn)‖≥ n . Seja! 1 ilarangan' uru$an X =( xn) ) ilarangan3 ari #e!arang i$u beri!u$&

beri!u$ ari Oeier#$ra##&B+lan+ Te+rema /


21/50

uru$an 2 ( n ) mempun"ai #ebua #ub#e;uen*e 6 2 ( n (k)) "ang mana !+n7ergen un$u!

#ebua elemen 5 a $eriri&$eriri pembu!a impunan bagian# R 2 ; !ami

menun$u$ ba6a ari #e$e$ ini i#i&i#i 1. Un$u!' ji!a ∈ 1, !emuian f() ii#i!an i f(1);

ari #e!arang f() !epun"aan&!epun"aan un$u! beberapa #e$ 9a an +le pembangunan

!epun"aan&!epun"aan un$u! #e$ *+rre#p+ning 8isa. Seja! 1 apa!a *+mpa*$' al i$u

ii#i!an ialam ari #ebua !e$erba$a#an bilangan $eraap #e$e$ i e an *i$ra n"a fe1)

ii#i!an ialam ari *+rre#p+ning bilangan $erba$a# ari #e$e$ i

Seja! pegangan&pegangan ini un$u! #ebua arbi$rar" engan !ema#"uran membu!a #e$&

#e$ menu$up f(1) ' #e$ f(1) apa!a *+mpa*$ i R q. 8E4

Ke$i!a jara! ari %ung#i aala R' #elanju$n"a Te+rema aala + !embali !aang&!aang

engan ber!a$a i$u sebuah fungsi ang kelanjutan dalam sebuah pen$apaian!pen$apaian set

$ompa$t kemaimumanna dan nilai!nilai ang minimum.

,,C Te+rema Nilai Ma!#imum an Nilai Minimum

Misalkan f menjadi kelanjutan dalam sebuah set $ompa$t 1 di R p dan dengan nilai!nilai di

R q. 1emudian disana adalah titik!titik ? dan ? di 1

0(Q) 2 #up (%() 1 ∈ K) ' %(Q)2 in% P%() 1 ∈ K

Bu!$i =er$ama 1 Seja! K $erle$a! i R p ' mengi!u$i $e+rema ba6a %(K) $erba$a# i R

Mi#al!an M 2 #up %(K) an mi#al!an(n) merupa!an bari#an paa K' #eemi!ian ingga

0(n) M /n ' n∈ N

21


22/50

5le Te+rema B+l'an+ Oeier#$ra## Te+rema /C


23/50

5le 9+r+llar" ,, aa Q ∈ S #eemi!ian ingga ‖f ( x)‖ 2 m 2in% P

‖f ( x)‖: x 2 } % inje!$i%' m2 ‖f ( x¿)‖ - Karenan"a ‖f ( x)‖ m-un$u! #emua ∈

S Se!arang ji!a u ∈ R p ' uW-' !emuian u ‖u‖ paa S an +le % iapa$ 1

1

‖u‖‖f (u)‖=‖f ( u‖u‖)‖ m'

4imana ba6a ‖f ( x)‖ m ‖u‖ un$u! #emua u ∈ R p

Sebali!n"a Anggap ‖f ( x)‖≥ m‖ x‖ un$u! #emua ∈ R p Ji!a % (/) 2 % (, ) ' ma!a

iapa$ 1

x1− x2f ¿≥ m‖ x1− x2‖

0=‖f ( x1 )−f ( x2)‖=¿

4engan / 2 , ' #ebelum % aala inje!$i%

Sa$u ari !+n#e!uen#i paling men*+l+! paa $e+rema ,,> aala ji!a % aala !+n$inu an

inje!$i% paa +main !+mpa! ' !emuian %ung#i in7er# % &/ aala $eru# meneru#

,, Ke!+n$inuan paa %ung#i In7er# Mi#al!an K aala #ub#e$ !+mpa! paa R p an

mi#ala!an % #ebua %ung#i I nje!$i% !+n$inu engan +main K an a#il %(K) paa R ;

Kemuian %ung#i in7er# aala !+n$inu engan +main %(K) an a#il K

Bu!$i 1 4ianggap K K+mpa!' Te+rema ,,> men"ira$!an ba6a %(K) aala !+mpa! an

!arenan"a $er$$u$up 0 inje!$i% +le ip+$e#i# ' %ung#i in7er# ie%ini#i!an g 2 % &/ Mi#al!an H

impunan $er$u$up paa R Q an H∩ K' Himpunan ini $erba$a# an $er$u$up (Te+rema C *)

Te+rema Heine B+rel mema#$i!an ba6a H ∩ K impunan bagian !+mpa! i R Q 5le

Te+rema ,,> igambar!an ba6a H/ 2 %(H ∩ K) aala !+mpa! an !arenan"a $er$u$up i

R Q Se!arang ji!a g 2 % &/!emuian

H/ 2 %(H ∩ K) 2 g&/(H)

H/ aala #ebua impunan bagian paa %(K) 2 4(g) per#amaann"a apa$ i$uli# 1

H/ ∩ 4(g) 2 g&/(H)

4ari $e+rema Gl+nal K+n$inu ,,/(*) ' iapa$ ba6a g2% &/ aala !+n$inu

23


24/50

,,/- 4e%ini#i' Ji!a 4 ⊆ R Q' !emuian !umpulan ari #emua %ung#i !+n$inu paa 4 !e RQ

in+$a#i!an engan 9 p;(4) Ke$i!a p an ; $ia! i!e$aui ' !i$a n+$a#i!an !umpulan ini

an"a engan 9(4) an B9(4)

Bagian per$ama ari a#il aala !+n#e!uen#i paa Te+rema ,-C' an bagian !euamembu!$i!an *ara "ang #ama ba6a Lemma /D ibu!$i!an

,,// Te+rema (a) Ruang 9 p;(4) an B 9 p;(4) aala ruang 7e*$+r alam +pera#i 7e*$+r

(% Fg)() 2 %() F g() ' (*%)() 2 *%() ' un$u! ∈ 4

(b) ruang B 9 p;(4) aa 9 p;(4)la ruang n+rm iba6a n+rm

‖f ‖ D ={‖f ( x )‖: x∈ D} ¿

Ten$u #aja paa #pe*ial !a#u# imana 4 aala impunan bagian !+mpa! paa R Q ' !emuian

9 p;(4) 2 B 9 p;(4)

BAGIAN ,. 1 K+n$inui$a# Seragam an Ti$i! Te$ap

Mi#al!an % ie%ini#i!an +le #ub#e$ 4(%) paa R Q !e R Q !emuian apa$ ilia$ ari

pern"a$aan beri!u$ 1

(i) % !+n$inu paa #e$iap $i$i! i 4(%)

(ii) 4iberi!an ε - an u ∈ 4(%) ' imana δ(ε'u)- ' #eemi!ian ingga ji!a aa paa 4(%) an

‖ x−u‖≤ δ !emuian ‖f ( x )− f (u)‖≤ ε

Se#ua$u "ang in+$a#i!an i#ini $ergan$ung δ' #e*ara umum paa !eua ε an u !emuian δ

$ergan$ung paa u aala re%le!#i paa %a!$a ba6a %ung#i % mung!in beruba aala nilai

*epa$ e!a$ $i$i! $i$i! $er$en$u

Se!arang #ebua %ung#i #eemi!ian ingga ba6a bilangan δ apa$ ipili beba# paa

$i$i! u paa 4(%) an $ergan$ung an"a paa ε Sebagai *+n$+ ' ji!a %() 2 , ' ma!a

%() %(u) 2 ,&u

4an juga !i$a apa$ memili δ(ε'u) 2 e, un$u! #emua nilai paa u

4engan !a$a lain ' ji!a g() 2/ u$! - ' !emuian

( x )− (u )=u− x

ux

Ji!a -δu an | x−u ≤ δ | ' !emuian 1

24


25/50

| ( x )−(u)≤ δ u(u−δ )|4an ma!a !e$ia!#amaan $ia! bi#a ibu!$i!an' per#amaan un$u! 2u&δ ' ji!a !i$a ingin

membua$ g()&g(u)≤∈ ' ma!a nilai $erbe#ar un$u! δ ' bi#a iapa$ 1

δ ( ε ,u )= εu2

1+εu

Ma!a ji!a u-' !emuian g !+n$inu paa u !arena !i$a bi#a pili δ(ε'u) 2 εu,(/Fεu) an nilai

$erbe#ar "ang apa$ ipili 1

inf { ε u2

1+εu :u>0}=0

Tia! apa$ iper+le a δ(ε'u) -' engan inepenen$ pemilian u paa #emua $i$i! u-

Se!arang !i$a ba$a#i g !e +main "ang lebi !e*il' %a!$an"a mi#al!an X- an ie%ini#i!an

() 2 / un$u! a Kemuian anali#i# juga ibua$ un$u! menunju!!an apa!a apa$

iguna!an nilai "ang #ama paa δ(ε'u)' bagaimanapun ' !ali ini +main lebi !e*il an

inf { ε u2

1+εu :u ≥ a}= ε a

2

1+εa>0

Ji!a ie%ini#i!an δ(ε'u) 2 εu,(/Fεu)' !emuian iguna!an nilai ini un$u! #emua $i$i! ua

,./ 4e%ini#i' Mi#al!an % mempun"ai +main 4(%) paa R = an a#il paa R ; i!a$a!an %

!+n$inu $ia! #eragam paa impunan A ⊆ 4(%) un$u! #e$iap ε- ' aa #ebua δ(ε)-

#eemi!ian ingga ji!a an u aa paa A an ‖ x−u‖≤ δ (ε ) !emuian

‖f ( x )− f (u)‖≤ ε

Jai jela# ji!a % !+n$inu #eragam paa A' !emuian ini !+n$inu paa #e$iap $i$i! paa

A Se*ara umum ' #ebali!n"a $ia! berla!u

25


26/50

,., Lemma' !+ni#i "ang iperlu!an an memaai ba6a %ung#i % aala !+n$inu $ia!

#eragam paa A ⊆ 4(%) ba6a aa ε-- an ua bari#an 2(n )' : 2 ("n)paa A #eemi!ian

ingga ji!a n ∈ N' !emuian ‖ xn− yn‖≤1/n an

x

yf (¿¿n)

f (¿¿n)−¿¿≤ ε0¿

,.. Te+rema K+n$inu Sergam Mi#al!an % %ung#i !+n$inu paa K engan engan +main

4(%) paa R = an a#il i R ; Ji!a K ⊆ 4(%) aala !+mpa!' !emuian % aala !+n$inu

#eragam i K

Bu!$i per$ama 1 Mi#al!an % !+n$i+nu $a! #eragam i K engan Lemma ,., aa ε-- an

ua bari#an (n) an ("n)i K #eemi!ian ingga n ∈ N' !emuian

,./ ‖ xn− yn‖≤1/n

x

yf (¿¿n)

f (¿¿ n)−¿¿≤ ε0¿

K !+mpa! paa R = ' bari#an $erba$a#' +le Te+rema B+lan+ Oeier#$ra## Te+rema /C< aa

#ubbari#an (n(!)) paa (n) engan !+n7ergen !e angg+$a K $er$u$up' limi$ paa K an %

!+n$inu paa Jela#la ubungan #ub bari#an ("n(!)) paa ("n) juga !+n7ergen !e angg+$a

Menuru$ Te+rema ,-, ba6a !eua bari#an (%(n(!))) an (%("n(!)))!+n7ergen !e %()

Bu!$i Keua 1 Anggap % !+n$inu i #e$iap $i$i! paa impunan !+mpa! bera#ar!an $e+rema

,-, (b) iberi!an ε- an u paa K imana aa bilangan δ( Y ε'u) - ' #eemi!ian ingga

ji!a ∈ K an ‖ x−u‖ δ( Y ε'u)' !emuian ‖f ( x )− f (u)‖ Y ε Un$u! #e$iap u paa

K ' memben$u! b+la bu!a G(u)& P ∈ R = 1 ‖ x−u‖ δ( Y ε'u)' !emuian impunan K

‖ x−u‖ δ( Y ε'u)' !emuian K beraa alam gabungan impunan ϑ2 PG(u) 1 u ∈ K'

un$u! #e$iap $i$i! u i K imana aala #ebua b+la bu!a G(u) ialamn"a K aala

26


27/50

!+mpa! ' ialam gabungan ari bilangan ingga paa impunanϑ' i!a$a!an G(u/)'Z'

G(u N)' ie%ini#i!an

δ(ε) 2 Y in% Pδ( Y ε' u/)' Z ' δ( Y ε' u N)

Anggap ba6a ' u beraa paa K an emi!ian ‖ x−u‖ δ( ε) Kemuian aa bilangan

a#li ! engan / ≤ ! ≤ N #eemi!ian ingga beraa paa impunan G(u/)' emi!ian

‖ x−u‖ Y δ( Y ε' u! )' δ (ε) ≤ Y δ ( Y ε' u!) aala #bb 1

‖u−u ‖≤‖u− x‖+‖ x−u ‖


28/50

Bu!$i 1 Anggap aa !+n#$an$a 9 engan -9/ #eemi!ian ingga

‖f ( x ) 'f ( y)‖≤ / ‖ x− y‖ un$u! #emua ' " paa R = Mi#al!an / ' $i$i! paa R = an

impunan , %(/)' impunan inu!$i% 1

(,..) nF/ 2 % (n) ' n ∈ N

A!an i$unju!!an per#amaan (n) !+n7ergen !e $i$i! $e$ap uni! u paa % an iper!ira!an

!+n7ergen

=era$i!an 1

‖ x3− x2‖−‖f ( x2 )−f ( x1)‖≤/ ‖ x2− x1‖

Se*ara inu!$i% 1

(,.)‖ xm− xn‖≤

/ n−1

1−/ ‖ x2− x1‖

- 9 / ' bari#an (9n&/) !+n7ergen !e n+l Sebelumn"a (n) aala bari#an 9au*" Ji!a u

lim (n) ' !emuian ini jela# ari (,..) ba6a u $i$i! $e$ap paa % 4ari (,.>) an Lemma

(/>D) ' iper!ira!an 1

(,.C) ‖u− xn‖≤ /

n−1

1−/ ‖ x2− x1‖ ' !+n7ergen

A!irn"a i$unju!!an an"a aa #a$u $i$i! $e$ap paa % 0a!$an"a ' ji!a u ' 7aala ua $i$i!

$e$ap paa %' !emuian

‖u−*‖−‖f (u )−f (*)‖≤ / ‖u−*‖

U W 7' !emuian ‖u−*‖≠0 ' ubungan ini menunju!!an / @ 9' berbea engan ip+$e#i#

ba6a 9 /

28


29/50

,. Te+rema Anggap ba6a % aala !+n$ra!#i engan !+n#$an$a 9 ie%ini#i!an un$u!

4(%) P ∈ R = 1 ‖ x‖≤ - an !emuian ‖f (0)‖≤ -(1−/ ) Ma!a bari#an

/ 2 - ' , 2 %(,) ' Z' nF/ 2 %(n)' Z

K+n7ergen !e $i$i! $e$ap uni! paa % engan impunan 4(%)

Bu!$i 1

Ji!a ∈ 4 2 4(%) ' !emuian ‖f ( x )− f (0)‖≤ / ‖ x−0‖≤ /- ' #elanju$n"a

‖f ( x)‖≤‖f (0 )‖+/- ≤ (1−/ ) -+/-−-

Sebelumn"a %(4) ⊆ 4 =er#amaan (n) bi#a ie%ini#i!an

,.D Te+rema Ti$i! $e$ap Br+u6er Mi#al!an B - an mi#al!an 4 2 P∈ R = 1 ‖ x‖ @ B

Kemuian aa %ung#i !+n$inu engan +main 4 an a#il beraa paa 4 an a!irn"a #a$u

$i$i! $e$ap

Bagian ,< 1 Bari#an 0ung#i K+n$inu 1

=er$u!aran paa limi$ an K+n$inui$a#

4ianggap limi$ paa bari#an paa %ung#i !+n$inu iarap!an !+n$inu Ini #anga$

mua un$u! melia$ ' n ∈ n' an ∈ I' mi#al!an % n() 2 n apa$ ilia$ ari /,(b) '

ba6a bari#an (% n) !+n7ergen !e % !e %ung#i % ie%ini#i!an +le

0() 2 - ' - @ /

2 /' 2 /

Me#!ipun !ara!$er #eerana paa %ung#i !+n$inu % n Limi$ %ung#i $ia! !+n$inu paa $i$i!

2 /

,


30/50

Ji!a 0 N aala !+n$inu ' aa bilangan δ & δ(ε. a % N - #eemi!ian ingga ji!a‖ x−a‖

δ an ∈4' !emuian ‖f N ( x )− f N (a)‖ ε. Sebelumn"a' un$u! #e$iap !i$a pun"a

‖f ( x )− f N (a)‖ ε ini menunju!!a n !+n$inui$a# paa %ung#i limir % paa $i$i! a i 4

,


31/50

4+main4 paa % i#j+in$ *ell I/' Z' In ' #eemi!ian ingga ji!a ' " beraa paa I ma!a

‖ x− y‖


32/50


33/50


34/50


35/50

#ebelum !+n$inui$a#3 paa !en"a$aann"a' e%ini#i %ung#i !+n$inu

!aang&!aang in"a$a!an alam limi$ ini aripaa mengguna!an e%ini#i "angi $ela

iberi!an alam Bagian ,- Sala #a$u ala#an mengapa !i$a memili un$u!

=eneli$ian !elang#ungan $erpi#a ari limi$ $er#ebu$ ba6a !i$a a!an memper!enal!an ua

e%ini#i "ang #ei!i$ berbea ari limi$ %ung#i paa #ua$u $i$i! Karena !eua e%ini#i #e*ara

lua# iguna!an' !ami a!an men"aji!an !euan"a an men*+ba un$u! mengubung!ann"a

#a$u #ama lain

Ke*uali aa "ang men"ebu$!an !u#u# un$u! #ebali!n"a' !i$a a!an men"aji!an f

menjai %ung#i engan +main 4 "ang $er!anung alam R p an nilai&nilai i R ; an !ami

a!an memper$imbang!an !ara!$er memba$a#i f paa $i$i! i#e!i$ar * ari 4 5le !arena i$u'

#e$iap ling!ungan * menganung jau lebi ban"a! p+in ari 4

,>/ 4e%ini#i

(i) Sebua elemen b ari R; i!a$a!an ele$e Limi$ i * ji!a un$u! #e$iap ling!ungan V ari

b aa ling!ungan U ari * #eingga ji!a mili! U]4 an W*' ma!a f ()) mili! V 4alam

al ini $uli#

(,>/) b2lim

"

f a$au

lim x4 "

f ( x )

(ii) Sebua elemen b ari R; i!a$a!an n+n&ele$e limi$ ari paa * ji!a

un$u! #e$iap ling!ungan V ari b aa ling!ungan U ari * #eingga

ji!a mili! U]4 ma!a f ()) mili! V 4alam al ini i $uli#

(,>,) b2lim

"

f a$au

lim x4 "

f ( x )

pen$ing un$u! mengama$i ba6a perbeaan an$ara !eua penger$ian pu#a$ paa nilai f (*)'

!e$i!a i$u aa' ianggap aa a$au $ia! =era$i!an juga perbeaan n+$a#i "ang $ela

iper!enal!an paa per#amaan (,>/) an (,>,)

=erlu i#aari ba6a #ebagian be#ar penuli# memper!enal!an an"a #a$u ari gaga#an ini'alam al ini mere!a menga*u i$u an"a #ebagai ?limi$? an umumn"a mengguna!an n+$a#i

(,>/) Karena deleted limit aala "ang paling p+puler' !ami $ela memili un$u!

mele#$ari!an #imb+li#me !+n7en#i+nal alam meruju! un$u! i$u Keuni!an bai! limi$' !e$i!a

i$u aa' "ang mua iben$u!

paami #e*ara menalam pern"a$aan beri!u$

,>, LEMMA

(a) Ji!a #ala #a$u ari limi$lim

"

f an

lim"

f ' aa' ma!a #e*ara uni! i$en$u!an

35


36/50

(b) ji!a non!deleted limit aa' ma!a deleted limit aa anlim

"

f 2

lim"

f '

(*) Ji!a * $ia! $erma#u! +main1 4 ari j' ma!a deleted limit aa

ji!a an an"a ji!a non!deleted limit aa

Bagian (b) ari lemma an"a a6a gaga#an non!deleted limit aga! lebi !e$a$ aripaa

deleted limit.

Bagian (*) menunju!!an ba6a mere!a bi#a berbea an"a alam !a#u# i mana * mili! 4

Un$u! memberi!an *+n$+ i mana gaga#an ini berbea' pera$i!an %ung#i % ari R !e R

ie%ini#i!an +le

(,>.) f ( ) 2 -' W-

2 /' 2-

Ji!a *2-' ma!a deleted limit ari f paa $2- aa an #ama engan -' #emen$ara non!deleted

limit $ia! aa

Se!arang !i$a apa$ men"a$a!an beberapa !+ni#i "ang iperlu!an an *u!up un$u!

e!#i#$en#i limi$' meninggal!an bu!$i mere!a un$u! pemba*a Haru# i#aari

ba6a bagian (*) ari !eua a#il limi$ menga*u paa limi$ beruru$an'

"ang ibaa# alam Bagian /<

,>. THE5REMA

Beri!u$ pern"a$aan' "ang ber!ai$an engan deleted limit ' "ang #e$ara

a 4eleted limit b 2lim

"

f aa

b #ika ^ @*, ada sebuah @ * sehingga jika 4 danϵ ‖ !$ ^' ma!a‖ ‖ f()!b ^‖

* Ji!a (n) a aala #e$iap uru$an i 4 #eingga nW* an * 2 lim (n)' ma!a b2lim ( f ( n))

,>< THE5REMA

Beri!u$ pern"a$aan' "ang ber!ai$an engan non&deleted limit ' "ang #e$ara

a non&deleted limit b 2lim

"

f aa

b #ika ^ @*, ada sebuah @ * sehingga jika 4 danϵ ‖ !$ ^' ma!a‖ ‖ f()!b ^‖

* Ji!a Ji!a (n) a aala #e$iap uru$an i 4 #eingga * 2 lim (n)' ma!a b2lim ( f ( n))

Ha#il #elanju$n"a menga#il!an !+ne!#i in#$ru!$i% an$ara !eua

limi$ an !+n$inui$a# f i *

36


37/50

,>> TE5REMA Ji!a * aala *la#$er p+in$ paa +main 4 ari %'

ma!a pern"a$aan beri!u$ aala #ama

a 0ung#i % !+n$inn"u i *

b deleted limit lim

"

f aa an #ama engan f($)

* non!deleted limit lim

"

f aa

Bu!$i Ji!a (a) berla!u' an V aala ling!ungan ari f($)' ma!a

aa ling!ungan U ari * #eemi!ian #eingga ji!a mili! U]4' ma!a f()

mili! V Jela#' ini berar$i ba6a Lim f aa i * an #ama engan f($)

4emi!ian pula' f() mili! V un$u! #emua W* imana ϵ U]4' i mana

alam !a#u# lim f aa an #ama engan f($) Sebali!n"a' pern"a$aan (b) an (*) engan

mua $erlia$ men"ira$!an (a) 8E4

Ji!a % an g ua %ung#i "ang deleted limit (ma#ing&ma#ing' n+nele$e)

paa *lu#$er p+in$ * ari 4 ( fBg )m2 4( f)C4( g )' ma!a jumla !euan"a fBg memili!i deleted

limit( ma#ing&ma#ing non!deleted). Limi$ paa #ua$u *lu#$er p+in$ * ari 4 (%Fg) 2

4(%)]4(g)' ma!a jumla !euan"a % F g aala #ebua deleted limit i *(ma#ing&ma#ing

non!deleted ) an

( f + )=¿ lim" f

lim"

¿ Flim

"

'

ma6in−ma6in, lim"

( f + )=lim"

f +lim"

¿)

Ha#il "ang #ama berla!u un$u! !+mbina#i aljabar lainn"a ari %ung#i' #eper$i

mua ilia$ Ha#il #ebagai beri!u$' mengenai !+mp+#i#i ua

%ung#i lebi alam an $empa$ i mana n+n&deleted limit lebi #eerana

ari deleted limit

25. TEOREMA

Mi#al!an % memili!i +main1 4( f ) i R p an ber!i#ar

R ; an g memili!i +main 4 (g) i R ; an berbagai R r ma!a g+% menjai !+mp+#i#i ari g

an % an biar!an * menjai $luster point ari 4(g+%)

a Ji!a deleted limit

b & lim" f , a & limb

37


38/50

!euan"a aa an ji!a #ala #a$u g !+n$inu i b a$au %() Wb un$u! i #ua$u ling!ungan

ari *' ma!a ele$e limi$ ari g+% aa i * an

a2lim

"

+%

b #ika non!deleted limit

b &lim

"

f , a &

limb

,

!euan"a aa' ma!a non!deleted limit ari g + f aa paa $ an

a&lim

"

o f

bu!$i

a Mi#al!an 3 merupa!an ling!ungan a i R r 3 paa a 2 lim g b'

aa ling!ungan V ari b #eper$i ba6a ji!a mili! VC4 (g) an

Wb' ma!a g()ϵ 3 ari b 2 lim f i *' aa ling!ungan U ari

* #eingga ji!a mili! UC4( f ) an W*' ma!a % ( ) ϵ VC4 5le !arena i$u' ji!a mili!

impunan !emung!inan lebi !e*il UC4 ( g * f), an -$, ma!a f()ϵ VC4 (g) Ji!a f () - b

paa beberapa ling!ungan U/ ari *' a!an mengi!u$i ba6a un$u! W * i (UCU)C4(g * f )'

ma!a (g *

f)()ϵ 3 ' #einggaa aala deleted limit ari g o

f i * Ji!a g !+n$inu i b' ma!a (g o

f)() 3ϵ un$u! i U]4( g * f) dan -$.

Un$u! membu!$i!an bagian (b)' !i$a men*a$a$ ba6a penge*ualian ibua$ alam bu!$i (a)

$ia! lagi iperlu!an 5le !arena i$u ji!a mili! UC4 (go%)' ma!a f() D VC4 (g) an' +le

!arena i$u' (g * f) ()ϵ 3 8E4

Ke#impulan paa bagian (a) ari $e+rema #ebelumn"a mung!in gagal ji!a !i$a

men"a$a!an !+ni#i g !+n$inu i b a$au "ang f()Wb i ling!ungan

$ Un$u! menu!ung pern"a$aan ini' mi#al!an f menjai %ung#i paa R un$u!

R ie%ini#i!an alam rumu# (,>.) an mi#al!an g 2 f an $ 2 - Kemuian g-% in"a$a!an

#ebagai

(gof)f() 2 /' W-

2 -' 2-

38


39/50

Selain i$u !i$a memii!ilim x4 0

f ( x)=0 , an

lim y 40

( x )=0' jela#la ba6a

lim x4 0

(3) f ( x )=1 ( 9a$a$an ba6a non!deleted limi$# $ia! aa un$u! %ung#i ini)

BATAS ATAS DI TITIK A

Un$u! #i#a bagian ini' !i$a a!an membaa# !a#u# ini

i mana ; 2 / Jai f aala %ung#i engan +main i R p an nilai&nilai i R

an p+in$ * i R p aala $luster point ari 4 Ki$a a!an menen$u!an ba$a# (limi$)

#uperi+r a$au ba$a# a$a# f i $ Se!ali lagi aa ua !emung!inan

$ergan$ung paa apa!a ianggap deleted a$au non!deleted '

an !i$a a!an membaa# !eua !emung!inan i$u Jela# ba6a !i$a bi#a

menen$u!an ba$a# rena (limi$ in%eri+r) engan *ara "ang #ama Sa$u al "ang perlu i*a$a$

i #ini aala ba6a' me#!ipun !eberaaan limi$ (ele$e +r n+$) aala rela$i% rumi$' limi$

#uperi+r ie%ini#i!an memili!i nilai "ang #e$ia!n"a me#!ipun f iba$a#i !eberaaan mere!a

ijamin

Ie&ie i bagian ini #ejajar engan gaga#an uru$an limi$ #uperi+r

i R p "ang iper!enal!an alam Bagian / Namun' !i$a a!an

menganggap !ea!raban engan apa "ang ila!u!an i #ana' !e*uali i beberapa

la$ian

25.7 !"#i$i%i. Mi#al!an % iba$a#i paa ling!ungan

$i$i! * Ji!a r-' ie%ini#i!an _(r) an (r) enganϕ

a _ (r) 2 #up P f() 1 - ‖ & * r'‖ 4'ϵ

b (r) 2ϕ #up P f() 1 ‖ & * r'‖ 4'ϵ

an impunan

*

¿¿ f =inf (( ):(>0}

lim x 4"

¿ ,

¿¿ f =inf (( ) :(>0}

lim x 4"

¿ ,

per#amaan ini ma#ing&ma#ing i#ebu$ ele$e limi$ #uperi+r an n+nele$e

limi$ #uperi+r i *

39


40/50

Seja! per#amaan ini ie%ini#i!an #ebagai infima $itra paa f i ling!ungan * $eru# menurun'

i$u mung!in $ia! jela# ba6a per#amaan ii#$ila !an?limit superior ? Lemma beri!u$n"a

menunju!!an pembenaran un$u! $ermin+l+gi ini

25.8 LEMMA. Ji!a _' aala #epee$i ie%ini#i!an alamϕ per#amaan ia$a#' ma!a

alim

x4 "

¿ f 2

(¿

lim( 40

!¿

blim

x4 "

¿ f 2

(¿

lim( 40

ϕ¿

bu!$i 4apa$ !i$a ama$i ba6a ji!a -rS' ma!a

lim x4 "

¿ f ⩽_(r) ⩽_(S)

Selanju$n"a' bera#ar!an ,>(*)' ji!a ^ -' aa #a$u r ̂ -' #ebagaimana

_(r ̂) lim x4 "

¿ f +ε

#elanju$n"a' ji!a r memenui -rr ̂ ' !i$a memili!i `_(r) &lim x4 "

¿#up f ` ^ :ang

ibu!$i!an (a) =embu!$ian un$u! (b) #ama an $ia! i$ampil!an25.& LEMMA.

a ji!a M lim sup * f ' ma!a a!an aa ling!ungan U ari 9 #eingga

f()M un$u! $- 4CU ϵ

b ji!a M lim sup * ' ma!a aa ling!ungan U ari * #eingga

f()M un$u! 4CU ϵ

bu!$i

a 4ari ,> !i$a memper+le inP_(r)1r-M Karenan"a aa #ua$u bilangan real r ̂-'

#eingga _(r ̂)M an !i$a ambil U2P R ϵ p1 &* r ‖ ‖ ^

=embu!$ian un$u! bagian b #ama #eper$i pembu!$ian bagian a

25.10 LEMMA.

Mi#al!an % an g iba$a#i paa ling!ungan ari * an mi#aln"a * aala *lu#$er p+in$ ari 4

(%Fg) Ma!a

alim

x4 "

¿ ( f + )⩽lim x 4 "

¿ f F

lim x4 "

¿

40


41/50

blim

x4 "

¿ ( f +)⩽lim x 4"

¿ f F

lim x4 "

¿

Bu!$i Menginga$ rela#i

Sup > f() B g() " A Eϵ ⩽ #up P %() 1 A F #up P g ()1 A'ϵ ϵ

Menjai jela# ba6a' mengguna!an n+$a#i #eper$i paa 4e%ini#i ,> !i$a a!an memper+le

F f B g (r) ⩽ Ff(r) B Fg(r).

Se!arang guna!an Lemma ,>D engan r- un$u! menapa$!an (a)

Ha#il men"ang!u$ !+mbina#i aljabar lainn"a a!an i$emu!an i

La$ian ,>0

Me#!ipun !i$a $ia! a!an memili!i !e#empa$an un$u! membaa# al&al $er#ebu$' alam

beberapa biang anali#i# al ini berguna un$u! memili!i generali#a#i penger$ian !+n$inui$a#

,>// 4E0INIT5N

Sua$u %ung#i % paa 4 !e R i!a$a!an upper semicontinuous paa $i$i! * i 4 alam al 1

a (,>


42/50

Ki$a memili!i impunan $erbu!a enan #i%a$ #eper$i per#amaan (,>C) ji!a 0 aala #ua$u

!+mplemen$ ari G' ma!a 0 $er$u$up i R p an memenui !+ni#i pern"a$aan $er#ebu$

Hal ini memung!in!an un$u! menunju!!ann"a pembu!$i!ann"a mengguna!an LEMMA

(la$ian ,>M) ba6a ji!a K aala bagian "ang pau ari R = an % aala upper

semi$ontinuous i K' ma!a % iba$a#i paa K an aa #ua$u $i$i! i K imana % men*apai

#upremumn"a 4engan emi!ian upper semi$ontinuous paa inpunan !+mpa! memili!i

beberapa #i%a$ "ang $ela i$e$ap!an un$u! %ung#i !+n$inu (*+n$inu# %un*$i+n#)' me#!ipun

%ung#i upper semi$ontinuous (#emi&!+n$in"u a$a#) apa$ memili!i ban"a! $i$i! i#!+n$inui$a#

A!an $erlia$ !epaa pemba*a ba6a ji!a mung!in un$u! mengembang!an gaga#an limit

superior paa #ebua $i$i! un$u! !a#u# i mana %ung#i $er#ebu$ $ia! iba$a#i engan

mengguna!an ie&ie #epanjang gari# "ang iberi!an i a!ir bagian /D #ama #eper$i

mene%ini#i!an limit superior #ebagai c Ie ini #anga$ berguna' namun a!an !i$a

guna!an #ebagai la$ian

B'(i'$ 2 )")"*'+' ,'%i- -")i, -'$/

Ki$a a!an memperlia$!an beberapa $e+rema paa bagian ini "ang $ia! a!an iguna!an

alam bu!u ini Tapi #ering iguna!an paa p+p+l+g" an anal"#i# Ha#il per$ama $en$ang

pene!a$an Te+rema e!#$en#i ari Oeier#$ra##' beri!u$n"a aala $e+rema $en$ang !+ni#i

"ang berla!u' an bagian a!ir aala anal+g engan Oeier#$ra## b+lan+& i ruang 9 p; (K)

ari %ung#i !+n$inu paa #a$u impunan !+mpa! K

Un$u! memua!an i#!u#i' !i$a per!enal!an $ermin+l+gi beri!u$ ini Ji!a % an g aala

%ung#i engan +main 4 i R p an engan nilai i R' ma!a %ung#i an ! ie%ini#i!an un$u!

#i 4 #ebagai

H() 2 #up P%()' g()' !() 2 in%P%()' g()'

:ang i#ebu$ #uprimum an in%imumma#ing&ma#ing ari %ung#i % an g Ji!a % an g !+n$inu

i 4' ma!a !eua an ! juga !+n$inu Hal ini #ejalan engan $e+rema ,- an $injauan

ba6a ji!a a' b aala bilangan real' ma!a

Sup Pa' b 21

2 PaFbFIa&bI'

in% Pa' b 21

2 PaFb&Ia&bI'

!i$a #e!arang men"a$a!an #ala #a$u ben$u! generali#a#i ari pene!a$an $e+rema

3eierstrass me#!ipun penemuan ini #ua lama an aru# menjai bagian ari la$ar

bela!ang peneli$ian maa#i#6a ma$ema$i!a pemba*a aru# menga*u paa ar$i!el "ang

42


43/50

$er*an$um alam a%$ar re%eren#i un$u! e!#$en#i' apli!a#i' an i#!u#i lebi leng!ap aripaa

"ang i#aji!an i #ini

,C/ ST5NE A==R5IMATI5N THE5REM

Mi#al!an K #ebua impunan !+mpa!i R p an mi#al!an merupa!an !umpulan %ung#iᵹ

!+n$inu i K !e R engna #i%a$1

a Ji!a %' g $erma#u! alam ᵹ' ma!a #upP%' g an in% P %' g $erma#u! ᵹ

b Ji!a a' b R an W" K' ma!a aa #ebua %ung#i % alamϵ ϵ , ᵹ #eingga %()2a' %(")2b

Ma!a #e$iap %ung#i !+n$inu paa K !e R apa$ #eraam engan pene!a$an paa K engan

%ung#i paa ᵹ

Bu!$i Mi#al!an ᵹ #ebua %ung#i !+n$inu pa K !e R' ji!a ' " $erma#u! alam K' mi#al!an

g" ϵ ᵹ #eingga g"()2 0() an g"(") 2 0(") =aa %ung#i 0' g" !+n$inu an mempun"ai nilai

#ama paa "' iberi!an ^- A!an aa ling!ungan $erbu!a U(") paa " #eingga ji!a

$erma#u! paa K]U(")' ma!a

(,C/) g"() 2 0()& ^

#elanju$n"a $e$ap un$u! #e$iap " K' pili #ua$u ling!ungan $erbu!a U(") engan #i%a$ iniϵ

4ari !e!+mpa!an paa K p a!an mengi!u$i ba6a K memua$n"a alam bilangan $erba$a#

#eper$i ling!ungann"a1 U("i)'U("n) Ji!a 2 #up (g"'' g")' ma!a al i$u a!an #ejalan

engan (,C/) ba6a

(,C,) () 0() ^ un$u! K ϵ

=aa g"() 2 0()' al i$u a!an $erlia$ ba6a () 2 0() an !arenan"a $erapa$ #ua$u

ling!ungan $erbu!a V() ari #eingga $erma#u! paa K]V()' ma!a

(,C.) () 0() F ^

=engguna!an !e!+mpa!an ari K #elanju$n"a un$u! memili bilangan $erba$a# ari

ling!ungan V(/)'V(m) an impunan 2 in% P/''m Ma!a $erma#u! paa ᵹ an

a!an #e#uai engan (,C,) ba6a

H() 0() ^ un$u! K ϵ

H() 0() F ^ un$u! Kϵ

K+mbina#i ari a#il ia$a#' !i$a per+le I() 0()I ^' K' "ang merupa!an aeraϵ

pene!a$an "ang iingin!an

=emba*a a!an apa$ mengama$i ba6a a#il penauluan "ang ibua$ $ia! iguna!an paa

Georema 3eierstrass Approimation =aa aa#il beri!u$n"a !i$a gan$i !+ni#i (a) ia$a#

engan $iga !+ni#i aljabar paa %ung#i impunan 4i#ini !i$a membua$ Georema 3eierstrass

,


44/50

_($) 2d$d' un$u! men"impul!an ba6a _ apa$ ie!a$i engan p+l"n+mial paa #e$iap

impunan !+mpa! ari bilangan real

,C, S$+ne&Oeier#$ra## Te+rem Mi#al!an K #ebua bagian impunan !+mpa! ari R = an

mi#al!an merupa!an !umpulan ari %ung#i !+n$inu paa K !e R engan #i%a$1Ϫ

a %ung#i !+n#$an e() 2 /' K' $erma#u! iϵ Ϫ

b ji!a %' g paa ' ma!a XϪ f F g $erma#u! paa un$u! #emua XϪ , i R

* ji!a %' g $erma#u! i ' ma!a %g juga $erma#u! iϪ Ϫ

ji!a W"' aala ua $i$i! i K' aa #ebua %ung#i % i #eingga %()W%(")Ϫ

ma!a #e$iap %ung#i !+n$inu i K apa$ iper+le engan pene!a$an #eragam paa K engan

%ung#i i Ϫ

bu!$i Mi#al!an a' b R an W" $erma#u! i K' menuru$ () $erapa$ %ung#i % i #eingga % ϵ Ϫ

()W%(") 4engan e() 2 e(")' mengi!u$i ba6a aa bilangan real X' #eingga

X %() F e() 2 a' X %(") F e(") 2b

#elanju$n"a' ari (b) aa #ebua %ung#i g #eingga g() 2 a an g(") 2 bϵ Ϫ

#e!arang mi#al!an aala !umpulan ari #emua %ung#i !+n$inu i K engan pene!a$anƻ

#eragam ari %ung#i Jela#la'Ϫ Ϫ

⊆' ma!a memili!i #i%a$ (b) ari $e+rema ,C/ #e!arangƻ ƻ

!i$a apa$ memperlia$!an ba6a ji!a ' ma!aϵ ƻ dd 4ariϵƻ

Sup P%' g 212 P%FgFI%&gI'

in% P%' g 21

2 P%Fg&I%&gI'

al ini a!an mengimpli!a#i!an ba6a memili!i #i%a$ ,C/ (a) an !arenan"a #e$iap %ung#iƻ

!+n$inu paa K !e R $erma#u! i ƻ

!arena !+n$inu an K aala !+mpa!' al ini #e#uai ba6a aa M-' #eingga ‖ ‖! ⩽M

Ji!a ^ -' !i$a apli!a#i!an $e+rema Oeier$re## Appr+ima$i+n ,


45/50

IIH()I & In()II⩽II&nII!

Selanju$n"a *u!up be#ar ' ma!a !i$a per+le

II () I & p+()⩽^' un$u! K ϵ

4ari ^- beruba' !i$a #impul!an ba6a dd an a#iln"a #e#uai engan $e+remaϵ ƻ

penauluan

Se!arang !i$a apa$!an' !a#u# !u#u#ari $e+rema S$+ne Oeier$re##' "ang *u!up !ua$ ari

$e+rema ,


46/50


47/50

&1

3

2

3 M⩽_,()⩽1

3

2

3 M' R ϵ p

Se$ela ila!u!an !i$a #u#un %.2 %,2_, an i$uli# ba6a %.2%&_/&_, aala !+n$inu i 4

an #up PI %.()I 1 4ϵ ⩽(2

3 ¿ ,M

4ari penauluan paa *ara ini !i$a apa$!an uru$an (_n) %ung#i "ang ie%ini#i!an paa R p

!e R #eingga un$u! #e$iap n'

(,C>) d%() [_/()F_,()FF_n()d⩽ (

2

3) nM'

Un$u! #emua i 4 #eingga

(,CC) d_n()d⩽

2

3

(13 )¿)n&/M un$u! R ϵ p

Mi#al!an gn ie%ini#i!an paa R p !e R engan gn 2 _/F _/FF _n' imana ere$

memperlia$!an ba6a gn !+n$inu 4ari !e$ia!#amaan (,CC) !i$a #impul!an ba6a ji!a

m⩾n an R ϵ p' ma!a

Igm()&gn()I 2I_nF/()FF _m ()I ⩽

2

3

( 13 )¿)nM[/F

2

3 F(2

3 ¿ ,⩽

2

3¿

)nM4

4imana pembu!$ian uru$an (gn) !+n7ergen #eragam paa R p !e %ung#i a!an in+$a#i!an

engan gari #e$iap gn !+n$inu i R p ' ma!a $e+rema ,


48/50

SupP g() 1 R ‖ ‖ ϵ p' ⩽ √ q #up P %()1 ‖ ϵ

Bu!$i Ha#il ini menunju!!an pembu!$ian un$u! ; 2 /' alam !a#u# umum' !i$a n"a$a!an

ba6a % ie%ini#i!an ; %ung#i !+n$inu !++rina$ real!%alued i 4 4i $uli#

0() 2 (% /()' % ,()'% ;())

4ari #e$iap ari f i' /⩽ j⩽;' memili!i perlua#an !+n$inu g/ paa R p'!e R !i$a %ini#i!an g paa

R p' !e R ;'engan g() 2 (g/()' (g,()' (g;()) 0ung#i g $erlia$ memenui #i%a$ 6ajib

EUICONTINUIT3

Ki$a #ering mengguna!an $e+rema B+lan+&Oeier#$ra## un$u! impunan( "ang menega#!an

ba6a #e$iap #ubimpunan $erba$a# ia$a# paa R p' memili!i $luster point ) 4an

ber!+re#p+nen#i engan $e+rema /C< un$u! uru$an ("ang menega#!an ba6a #e$iap uru$an

$erba$aa# i R p memili!i #ub uru$an !+n7ergen) Ki$a apa$ menampil!an $e+rema $er!ai$

impunan ari %ung#i !+n$inu an bu!an impunan #ua$u $i$i! Un$u! #ing!a$na" !ami

$ampil!an an"a ben$u! uru$an ari $e+rema ini

4ari apa "ang i$ampil!an mi#al!an K #ub impunan !+mpa! ari R p' an !i$a apa$ %+!u#

engan %ung#i imana %ung#i i$u $erba$a#' an 9 p; (K)2 B 9 p; (K) Ki$a !a$a!an ba6a

impunan i 9 p; $erba$a# (a$au $erba$a# #eragam) paa K ji!a aa !+n#$an$a M #eingga

% ‖ ‖! ⩽M' un$u! #emua % i ari %ung#i "ang $erba$a# un$u! 2 P%/' %,' '%n Ma!a !i$a bua$

M2 #up P %i‖ ‖! %,‖ ‖! %n‖ ‖! Se*ara umum' impunan $erba$a# ari %ung#i !+n$inu paa K !e R p $ia! $erba$a# Selanju$n"a

uru$an !+n7ergen #eragam ari %ung#i !+n$inu aala $erba$a#(la$ian ,CM)

Ki$a $uli# ba6a ji!a ℘ 2 P%/'%n aala impunan $erba$a# i 9 p; (K) ma!a engan

penga$uran

h(^/' ℘) 2 in% P h(^/'%/)' h(^,'%,)

!i$a apa$!an #ua$u h "ang perbengaru un$u! #emua ung#i alam impunan $erba$a#

,CC e%ini#i Sebua impunan ℘ ari %ung#i paa K !e R

p

aala equi$ontinuous seragam paa K ji!a un$u! #e$iap bilangan real ^ -' aa bilangan h(^) - #eingga ji!a ' " $erma#u!

i K an & " h(̂ ) an % aala %ung#i i‖ ‖ ℘' ma!a %() %(") ^‖ ‖

Hal ini memperlia$!an ba6a impunan $erba$a# ari %ung#i !+n$inu paa K aala

equi$ontinuous Juga membenar!an ba6a uru$an ari %ung#i !+n$inu "ang !+n7ergen

#eragam paa K juga equi$ontinuous (la$ian ,CN)

,C Te+rema Aeela A#*+l$

48


49/50

Mi#al!an K aala #ub impunan !+mpa! i R p an mi#al!an ℘ aala !umpulan %ung#i

"ang !+n$inu paa K an bernilai i r p beri!u$ ini #i%a$ "ang berla!u1

a 0amil" ℘ aala $erba$a# an equi$ontinuous #eragam i K

b Se$iap uru$an ari ℘ mempun"ai #ub uru$an "ang !+n7ergen #eragam paa K

Bu!$i =er$ama !i$a perlia$!an ba6a ji!a !+ni#i (a) #ala' ma!a emi!ian pula !+ni#i (b)

ji!a ℘ $a! $erba$a#' ma!a aa uru$an (%n) i ℘ #eingga %n‖ ‖! ⩾n' un$u! n N Namunϵ

#elanju$n"a $ia! aa #ub uru$an ari (%n) "ang apa$ menjai !+n7ergen #eragam Juga

impunan ℘ bu!an equi$ontinuous #eragam' ma!a un$u! ban"a! ^;-' aa #ua$u uru$an (%n)

i ℘ an uru$an (n) an ("n) i K engan n&"n /n Tapi #elanju$n"a ba6a %nn)&‖ ‖ ‖

%n("n) ^‖ ; Tapi #elanju$n"a $ia! aa #ub uru$an ari (%n) "ang !+n7ergen #eragam paa K

Se!arang !i$a perlia$!an ba6a impunan ℘ memenui (a) ma!a #e$iap uru$an (%n) i ℘

aala #ub uru$an !+n7ergen #eragam i K Un$u! mela!u!ann"a !i$a $ulia al $er#ebu$ alam

la$ian /-H ba6a aa impunan 9 *+un$abel i K #eingga ji!a " K an ^-' ma!a aaϵ

elemen$ i 9 #eingga & " ^ Ji!a 9 2 P/' ,' ma!a uru$n (%n(/)) aala $erba$a#‖ ‖

iR p Ini #e#uai engan $e+rema B+lan+ Oeier#$ra## /C< ba6a aa #ub uru$an

(% /$(/)' (% ,

$(/)' (% n$(/)')

4ari (%n($)) aala !+n7ergen Selanju$n"a !i$a $uli# uru$an (% ! (,)1! N) aala $erba$a# iϵ

R p' #elanju$n"a aa #ub uru$an

(% /,(,)' (% ,

,(,)' (% n,(,)')

:ang !+n7ergen Se$eru#n"a (%n,(.)1 n N aala $erba$a# i R ϵ p' #eingga

(% /.(.)' (% ,

.(.)' (% n.(.)')

Aala !+n7ergen Ki$a pr+#e# al ini #e#uai an #elanju$n"a impunan g n2 %nn' #eingga gn

%ung#i n$ i #ub uru$an n$

Se!arang !i$a bu!$i!an uru$an gn !+n7ergen i #e$iap p+in$ K an !+n7ergen #eragam

Mi#al!an ^ -' an mi#al!an h(^) #e#uai e%ini#i ,CC mi#al!an 9$2P"/'"!) #ub impunan

$erba$a# ari 9 #eingga #e$iap $i$i! i ! alam h(^) ari $i$i! i 9/' ari uru$an

(gn("/))'(gn(",))'(gn("!))

K+n7ergen' aa bilangan a#li M3 ma!a

gm(")&gn(") ^ un$u! i2 /' ,' .' !‖ ‖

gm()&gn(") gm()&gn("i) F gm("j)&gn("j) F gm("j)&gm()‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖⩽^F^F^2 .^'

Un$u! m'n ⩾M iperlia$!an ba6a

gn&gm‖ ‖! ⩽.^ un$u! m' n ⩾M

49


50/50

Ma!a !+n7ergen #eragam paa uru$an (gn) paa K #e#uai engan !ri$eria 9au*" un$u!

!+n7ergen #eragam paa ///

anriel lengkap armanila

Documents