analisis regresi

4. ANALISIS REGRESI

METODA KUADRAT TERKECIL Gambar 4.1 adalah titik-titik percobaan dari hasil pengukuran. Akan dicarikurva g(x) yang dapat mewakili titik-titik percobaan tersebut.

y

Mi y i g(x)

g(xi)

G i

x xi

Gambar 4.1 Untuk maksud tersebut dibuat kurva yang meminimumkan perbedaan titik-titik data dan kurva. Metoda untuk mendapatkan kurva tersebut dikenaldengan metoda kuadrat terkecil. Metoda ini dilakukan dengan prosedur berikut: 1. Titik-titik percobaan diplot ke dalam suatu sistem koordinat. Dari gambar

plot titik data tersebut dapat diketahui pola secara umum dari kumpulantitik data, sehingga dapat ditentukan apakah kurva yang mewakili berupagaris lurus atau lengkung.

2. Dipilih suatu fungsi g(x) yang dianggap bisa mewakili f(x) yang mempunyai bentuk umum

g(x) = a + b.x + c.x2 + d.x4 + .. (4.1) 3. Ditentukan parameter a, b, c, d, .. sedemikian rupa sehingga g(x i. a,

b,

c. d, ..) melalui sedekat mungkin titik-titik percobaan. Bentuk g(x i. a, b,

c. d, ..) mempunyai arti fungsi g(x) dengan parameter a, b, c, d, .. 4. Apabila koordinat dari titik-titik percobaan adalah M(xi, yi) dengan I = 1,

2. 3, .., n, maka selisih ordinat antara titik-titik tersebut dengan fungsi g(xi: a, b, c, d, ..) adalah:

Ei = M i.G i = y i g(x i; a, b, c, d, ..) 0= y i (a + b.x + c.x2 + d.x3 + ..)

5. Dipilih suatu fungsi g(x) yang mempunyai kesalahan E metoda ini,

0 ii

0= 1i1i6. Dicari parameter a, b, c, d, .. sedemikian sehingga D2 adalah minimum.

Nilai D2 akan minimum apabila turunan pertamanya terhadap a, b, c, d,.. adalah nol.

Ferianto Raharjo Analisa Numerik Analisis Regresi 1

0 D 21 a 0

0 0 D 2 0 c 0 (4.3)

0 D 2 d M 0

7. Penyelesaian persamaan (4.3) akan memberikan hasil parameter a, b, c, d. .. Dengan demikian persamaan kurva terbaik yang mewakili titik-titikdata akan diperoleh.

METODA KUADRAT TERKECIL UNTUK KURVA LINEAR Bentuk paling sederhana dari regresi dengan metoda kuadrat terkecil adalahapabila kurva yang mewakili titik-titik percobaan merupakan garis lurus,sehingga persamaannya adalah

g(x) = a + b.x (4.4) Jumlah kuadrat dari kesalahan dihitung dengan pers. (4.2)

n n

D2 = 2 2y

xg 0 ii y i a x.b i (4.5) 0= 1i1i

Agar nilai D2 minimum, maka pers. (4.5) diturunkan terhadap parameter adan b, kemudian dibuat sama dengan nol. Turunan pertama terhadap parameter a,

0 D 2 a 0

2

0 n y a x.b 01 a i i (4.6)

n 1i 0- 2

0 yi a x.b i 00= 1i

y a x.b 0

0 iiTurunan pertama terhadap parameter b,

0 D 2 0 b 0

1 n y a x.b 2 02 b i i (4.7)

n 1i 0- 2

0 yi a b . xi x. i

00= 1i

i x.y x.a x.b 0i i i


Penjumlahan masing-masing suku pada pers. (4.6) dan (4.7) adalah dari asampai n, sehingga persamaan-persamaan tersebut dapat ditulis dalambentuk,

n.a + xi.b = S yi (4.8) Dengan a = n.a Selanjutnya pers. (4.8)dapat ditulis menjadi

n.a = y1

i S xi.b

a = y b.x (4.10) n

a = 1 y 1n n

atau a = y x.b (4.11)

Substitusi pers. (4.10) ke pers. (4.9) 1 2

i

.x y b.x b.x y.x i i i i i

n2 2

y b.x n b.x n y.xi i i i i i

n.b x2 2

i

xi n

i

y.xi

.x

i

y i

atau n y.x x y

0 ii i

b = i2 2

n x x

dengan menggunakan pers. (4.11) dan (4.12) untuk menghitung koefisien adan b, maka fungsi g(x) dapat diperoleh. Untuk mengetahui derajat kesesuaian dari persamaan yang diperoleh,dihitung nilai koefisien korelasi yang berbentuk

D 2r = t (4.13)

D t 2n 2

di mana: D yt2 =

i

y

1in

0 ixg i 0= 1i

Untuk perkiraan yang sempurna nilai r = 1. Apabila r = 0, perkiraan suatufungsi sangat jelek. Koefisien korelasi ini juga dapat digunakan untukmemilih suatu persamaan dari beberapa alternatif yang ada, terutama didalam regresi kurva lengkung. Kurva lengkung dapat didekati dengan beberapa tipe persamaan, misalnyabentuk a = a + b.x + c.x2 , y = a.xb , y = a.eb.x , atau persamaan lain. Daribeberapa alternatif tersebut, dipilih persamaan yang mempunyai nilaikoefisien korelasi terbesar (mendekati 1). Ferianto Raharjo Analisa Numerik Analisis Regresi 3

Contoh 4.1: Tentukan persamaan garis yang mewakili titik-titikdata berikut

X 10 15 20 25 30 35 Y 25 30 33 36 38 39

Kemudian hitung derajat kesesuaian dari persamaan yang diperoleh. Penyelesaian:

i x i yi xi.yi xi2 g(xi) Dt2 D2 1 10 25 250 100 26,571429 72,25 2,469388 2 15 30 450 225 29,342857 12,25 0,431837 3 20 33 660 400 32,114286 0,25 0,784490 4 25 36 900 625 34,885714 6,25 1,241633 05 30 38 1140 900 37,657143 20,25 0,117551 06 35 39 1365 1225 40,428571 30,25 2,040816 135 201 4765 3475 141,50 7,085714

Nilai rerata dari X dan Y adalah:

0 x135x = 22,5 y n 6

y

201

= 33,5 n 6

Persamaan garis yang mewakili titik-titik data adalahY = a + b.x dengan

n y.x

x y x 6 4765 - 135 xi i

b = i = 0= 0,5542862 2

x 62

n x x

i i

a = y

x.b

= 33,5 0,554286 x 22,5 = 21,028571

sehingga persamaan garisnya adalah: y = 21,028571 + 0,554286.x dengan derajat kesesuaian:

2 2

D D 141 50, ,7 085714r = t = = 0,974641

D t 2 141 50, REGRESI POLINOMIAL Persamaan polinomial orde-n mempunyai bentuk

g(x) = a + b.x + c.x2 + d.x3 + .. Jumlah kuadrat dari kesalahannya

D2 = n 2 n 2 3 2

y xg =

y a x.b x.c x.d .....

0 ii i i i i 0= 1i 1i


Persamaan tersebut diturunkan terhadap setiap koefisien dari polinomial

D

2

2

n2 2 2

y

a

x.b

x.c

x.d

.....

a 1i i i i i D 2 n 2

2 2 2 yi a x.b x.c x.d .....

b 1i i i i D 2 n 2

2 2 2 yi a x.b x.c x.d .....

c

1i

Mi i i

Persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk

n xi xi2 L x i n a y i

0 xi x i 2 xi3 L x in 1 b i y.x i

2 3 2

x x 4 n 2 c y.x

i x L x i i i i i

M M M MM O M

n n n

x x 1 n 2 n n M y.x

i x L x i i i i i

Contoh 4.2: Tentukan persamaan kurva polinomial orde-2 yang mewakilidata berikut

X 10 15 20 25 30 35 Y 25 30 33 36 38 39

Kemudian hitung derajat kesesuaian dari persamaan yang diperoleh. Penyelesaian: Persamaan polinomial orde-2 mempunyai bentuk

g(x) = a + b.x + c.x2 Untuk polinomial orde-2, diferensial dari D2 terhadap tiap koefisien daripolinomial menghasilkan bentuk

2

n xi x i a yi

0 xi x i2 xi3 b iy.x i

1 xi 2 x i3 x i4 c i2y.x i

i x i yi x2 x3 x4 xi.yi xi2.yi g(xi) Dt2 D2 1 10 25 100 1000 10000 250 2500 25,1429 72,25 0,020

4 2 15 30 225 3375 50625 450 6750 29,6286 12,25 3 20 33 400 8000 160000 660 13200 33,2571 0,25 4 25 36 625 15625 390625 900 22500 36,0286 6,25 5 30 38 900 27000 810000 1140 34200 37,9429 20,25 6 35 39 1225 42875 1500625 1365 47775 39,0000 30,25

135 201 3475 97875 2921875 4765 126925 141,50 0,228

Nilai rerata dari X dan Y adalah: 6

0 x135x = 22,5 y n 6

y 201 = 33,5

n 6Ferianto Raharjo Analisa Numerik Analisis Regresi 5

Dari penyelesaian sistem persamaan diperoleh 06 135 3475 a 201

135 3475 97875 b 4765 3475 97875 2921875 c 126925

1 22,5 579,1667 a 33,5 0 437,5 19687,5000 b 242,5 00 19687,5 909270,8333 c 10512,51 0 -433,3333 a 21,0286 0 1 45,0000 b 0,5543 0 0 23333,3333 c -400,0000 1 0 0 a 13,6000 0 1 0 b 1,3257 0 0 1 c -0,0171

Sehingga persamaan kurvanya adalah: y = 13,6000 + 1,3257.x 0,0171.x2 dengan derajat kesesuaian:

2 2

D D 141 50, ,0 2286r = t = = 0,999192

D t 2 141 50, LINEARISASI KURVA TIDAK LINEAR Persamaan Berpangkat (Transformasi log) Persamaan berpangkat diberikan dalam bentuk

y = a.xb Dengan a dan b sebagai konstanta Persamaan tersebut dapat dilinearkan dengan menggunakan fungsilogaritma,

log y = log a.xb sehingga diperoleh

log y = log a + b.log x Dilakukan transformasi berikut

p = log y B = b A = log a q = log x

sehingga persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk p = A + B.q


Contoh 4.3: Gunakan persamaan berpangkat untuk menentukan persamaan kurva lengkung yang mewakili data berikut

X 0,05 0,40 0,80 1,20 1,60 2,00 2,40 Y 600 800 1050 1500 2050 2750 3800


i xi

yi

qi=loq x

pi = log y

qi.pi

qi2

01 0,05 600 -1,301030 2,778151 -3,614458 1,69267902 0,40 800 -0,397940 2,903090 -1,155256 0,15835603 0,80 1050 -0,096910 3,021189 -0,292783 0,0093924 1,20 1500 0,079181 3,176091 0,251487 0,006270 5 1,60 2050 0,204120 3,311754 0,675995 0,041665 6 2,00 2750 0,301030 3,439333 1,035342 0,090619 7 2,40 3800 0,380211 3,579784 1,361074 0,144561

0S 8,45 12550 -0,831338 22,209392 -1,738599 2,143541 Nilai rerata dari Y, p dan q adalah: y y

12550 = 1792,8571 n 7p ,22 209392

p

n q

70= 3,1728

q

n

70= -0,1188

n p. q

q p 7 x(-1,73859 - 9)

(-0,831338)x22,20939

i

i

2

B = i 2 i = =0,439671

2 7x2,143541 - (-0,831338 2

nq

q

ii

)

A = p

q.B

= 3,1728 0,439671 x (-0,1188) = 3,224987

A = log a a = 1678,752796 B = b b = 0,439671 sehingga persamaan kurvanya adalah: y = 1678,752796.x0,439671 i x i yi g(x i) Dt2 D2 01 0,05 600 449,739617 1422908,163265 22578,182568 2 0,40 800 1122,080285 985765,306122 103735,709800 3 0,80 1050 1521,872234 551836,734694 222663,405409 4 1,20 1500 1818,865032 85765,306122 101674,908584 5 1,60 2050 2064,108183 66122,448980 199,040817 6 2,00 2750 2276,884554 916122,448980 223838,225520 07 2,40 3800 2466,918123 4028622,448980 1777107,2907200S 8,45 12550 8057142,857143 2451796,763419


dengan derajat kesesuaian: 2 2

D D 8057142 , 857143 2451796 ,r = t = 763419

2

8057142 ,0= 0,834086

D t 857143 Fungsi Eksponensial (Transformasi ln) Fungsi eksponensial diberikan dalam bentuk

y = a.eb.x Dengan a dan b sebagai konstanta Persamaan tersebut dapat dilinearkan dengan menggunakan logaritmanatural,

ln y = ln a.eb.x sehingga diperoleh

ln y = ln a + b.x ln e Karena ln e = 1, maka

ln y = ln a + b.x Dilakukan transformasi berikut

p = ln y B = b A = ln a q = x

sehingga persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk p = A + B.q

Contoh 4.4: Gunakan fungsi eksponensial untuk menentukan persamaan kurva lengkungyang mewakili data berikut

X 0,05 0,40 0,80 1,20 1,60 2,00 2,40 Y 600 800 1050 1500 2050 2750 3800


i x i yi qi = xi pi = ln yi qi.pi qi2 1 0,05 600 0,05 6,396930 0,319846 0,002500 2 0,40 800 0,40 6,684612 2,673845 0,160000 3 0,80 1050 0,80 6,956545 5,565236 0,640000 4 1,20 1500 1,20 7,313220 8,775864 1,440000 5 1,60 2050 1,60 7,625595 12,200952 2,560000 6 2,00 2750 2,00 7,919356 15,838712 4,000000 7 2,40 3800 2,40 8,242756 19,782615 5,760000

0S 8,45 12550 8,45 51,139015 65,157072 14,562500 Nilai rerata dari Y, p dan q adalah: y y

12550 = 1792,8571 n 7

p n

70= 7,3056


q

n

q

8 45, 7 0= 1,2071

n p.q

q p x 7 65,157072 - 8,45 x

i

51,139015

i i

B = i = = 0,785159 2

2 2

14,562500 - (8,45)n q

q

i i

A = ln a a = 576,960956 B = b b = 0,785159 sehingga persamaan kurvanya adalah: y = 576,960956.e0,785159.x i x i yi g(xi) Dt2 D2 1 0,05 600 600,061735 1422908,163265 0,003811 2 0,40 800 789,846130 985765,306122 103,101083 3 0,80 1050 1081,280981 551836,734694 978,499788 4 1,20 1500 1480,248515 85765,306122 390,121163 5 1,60 2050 2026,425789 66122,448980 555,743410 6 2,00 2750 2774,129775 916122,448980 582,246041 7 2,40 3800 3797,719141 4028622,448980 5,202316 0S 8,45 12550 8057142,857143 2614,917612

dengan derajat kesesuaian: 2 2

D D 8057142 ,857143

0, 2614 917612r = t 2 =

8057142 ,0= 0,999838

D t 857143


analisis regresi

Documents