Proposal Penelitian Desain Riset

“Analisis Laten Regresi”

Oleh :

Nisa Ulkhairia 140610120028

Irvani Utami 140610120070

Kelas B

Departemen Statistika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Padjadjaran

2015

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar belakang masalah

Dalam penelitian SEM terlibat dua jenis variabel yaitu variable observasi dan laten.

Variabel observasi mempunyai data seperti data angka atau skala penilaian yang diambil dari

kuesioner. Sedang variable laten adalah variabel yang secara tidak langsung teramati namun

peneliti ingin mengetahuinya. Untuk melakukan observasi variable laten peneliti harus

membuat model-model yang mengekspresikan variable-variabel laten sebagai variabel

observasi. Salah satu contoh variabel laten ialah pengaruh dari placebo

(http://www.jonathansarwono.info/amos/sem_amos.htm).

Placebo adalah istilah medis untuk terapi baik dalam bentuk obat-obatan maupun

prosedur-prosedur medis yang tidak memiliki bukti kegunaan bagi kesembuhan pasien.

placebo bukanlah obat pulsu, tetapi obat atau prosedur medis yang “dipalsukan” oleh dokter

yang diyakini memiliki dampak positif bagi pasien. Efek placebo menunjukkan bahwa

kekuatan pikiran adalah faktor terpenting dalam fungsi tubuh manusia. Karena dengan

kemampuan untuk menciptakan atau menghapuskan gejala dengan seketika, efek obat

sebenarnya dapat digantikan oleh hanya dengan kekuatan keyakinan

(andihm.weblog.esanggul.ac.id).

Dalam proposal penelitian ini penulis ingin memodelkan efek pacebo terhadap

perbaikan gejala depresi. Efek placebo dalam penelitian ini merupakan variable yang tak

terobervasi atau disebut juga dengan variable laten. Permasalahan permodelan dengan

melibatkan laten variable bukanlah hal yang baru dalam bidang stasistika. Pendekatan non-

parametrik yang umum digunakan untuk kasus ini adalah algoritma k-means (Hartigan and

Wong, 1979; MacQueen, 1967) dan model campuran terbatas adalah model dasar untuk

pendekatan ini (e.g. Day, 1969; Fraley and Raftery, 2002; Titterington et al., 1985). Analog

dari model campuran yang terbatas untuk hasil berupa data kategorik adalah laten class

model (Goodman, 1974). Jika tersedia suatu set variable prediktor, model ini bisa

dikembangkan mejadi laten calss regression models (Bandeen-Roche et al., 1997; Leisch,

2004; Wedel and DeSarbo, 1995). Semua model di atas hanya bisa digunakan untuk

mengidentifikasi kelompok laten yang berbeda dalam populasi.

Efek placebo bisa berupa variable laten diskrit yang bisa diukur dengan menggunakan

distribusi bernouli pada model campuran terbatas. Contohya ada tidaknya pengaruh

pemberian placebo terhadap perbaikan gejala depresi pasien. Model campuran terbatas

merupakan model yang diprediksi untuk mengasumsi kemunculan kelompok laten yang

berbeda dalam populasi. Model campuran terbatas menggunakan distribusi bernouli dimana

bernouli digunakan ketika variabel berskala nominal (0 dan 1). Namun, model campuran

tidak bisa memberikan informasi seberapa kuat efek placebo yang diberikan dokter kepada

pasien sehingga diperlukan suatu metode lain yang mampu mempelajari kemanjuran dari

placebo. Untuk mengukur seberapa kuat efek yang diberikan placebo tehadap pasien diajukan

variable latennya harus berupa laten kontiniu (Tarpey & Petkova, 2010). Oleh karena itu

model campuran terbatas tidak bisa digunakan dalam proposal ini.

1.2 Identifikasi masalah

Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya bahwa model campuran terbatas

merupakan model yang diprediksi untuk mengasumsi kemunculan kelompok laten yang

berbeda dalam populasi. Model campuran terbatas menggunakan distribusi bernouli dimana

bernouli digunakan ketika variabel berskala nominal (0 dan 1).

Hal yang dapat diukur dengan menggunakan model campuran terbatas dari efek

placebo yaitu ada atau tidaknya efek tersebut. Namun, ketika peneliti ingin menghitung

kekuatan efek tersebut model campuran terbatas tidak bisa digunakan karena model

campuran terbatas tidak bisa memprediksi kekuatan dari efek tersebut. Sehingga pada

penelitian ini akan dicari model terbaik untuk mengukur variabel efek placebo tersebut.

1.3 Tujuan penelitian

Tujuan penelitian ini berdasarkan latar belakang masalah dan masalah penelitian

adalah untuk mengembangkan model yang terbaik antara model campuran terbatas atau

model laten regresi yang bisa memunculkan efek latent placebo.

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Pendahuluan

Dalam sebuah penelitian, terkadang ada variabel yang tidak bisa diukur secara

langsung, akan tetapi melalui variabel indikator. Salah satu metode statistik yang digunakan

untuk menganalisis variabel laten yaitu analisis kelas laten. Analisis ini bertujuan untuk

mengelompok-kan objek-objek penelitian ke dalam kelompok-kelompok berdasarkan

kesamaan karakteristik dari objek-objek tersebut.

Sebagaimana yang diungkapkan pada masalah penelitian, permasalahan yang muncul

adalah apabila pengelompokan responden juga dipengaruhi oleh variabel yang lain. Sehingga

diperlukan analisis lebih lanjut untuk mengatasi permasalahan tersebut. Salah satu solusi

alternatif dalam hal ini yaitu menggunakan model campuran terbatas dengan analisis regresi

kelas laten.

Dalam statistik, model campuran adalah model probabilistik untuk mewakili

kehadiran sub-populasi dalam suatu populasi secara keseluruhan, tanpa memerlukan data

yang diamati harus mengidentifikasi sub-populasi pada data yang diamati tersebut. Secara

formal model campuran sesuai dengan distribusi campuran yang mewakili distribusi

probabilitas dari pengamatan dalam populasi secara keseluruhan. Namun, sementara masalah

yang terkait dengan distribusi campuran berhubungan dengan penurunan sifat-sifat

keseluruhan populasi dari sub-populasi, model campuran yang digunakan untuk membuat

kesimpulan statistik tentang sifat-sifat dari sub-populasi yang diberikan hanya berupa

pengamatan pada penduduk, tanpa informasi identitas sub-populasi.

Masalah dalam pemodelan dan estimasi parameter populasi dengan perbedaan sub-

populasi adalah masalah statistik klasik yang selalu ada dalam pengembangan metodologi.

Pendekatan nonparametrik umum untuk masalah ini untuk data kontinu adalah analisis

cluster dengan menggunakan algoritma seperti k-means algoritma (Hartigan dan Wong,

1979; MacQueen, 1967). Model campuran terbatas adalah model berbasis pendekatan untuk

masalah itu. Misalnya, distribusi normal sering diasumsikan untuk komponen campuran dan

kemungkinan maksimum digunakan untuk memperkirakan parameter di dalam perbedaan

laten sub-populasi.

Model campuran yang terbatas telah diperluas untuk campuran dari perbedaan objek,

seperti regresi linear umum (Wedel dan DeSarbo, 1995), atau model akibat pengacakan

untuk data longitudinal, yaitu model campuran. Analogi dari model campuran terbatas untuk

hasil kategoris adalah model laten kelas (Goodman, 1974). Jika satu set prediktor yang

tersedia, maka model laten kelas untuk hasil kategoris dapat diperluas untuk model regresi

laten. Selanjutnya generalisasi untuk regresi kelas laten adalah model respon pada faktor-

faktor laten, seperti dalam analisis faktor.

Penelitian ini membahas mengenai efek placebo dimana placebo itu sendiri ialah

istilah medis untuk terapi baik dalam bentuk obat-obatan maupun prosedur-prosedur medis

yang tidak memiliki bukti kegunaan bagi kesembuhan pasien. Hal yang dapat diukur

menggunakan model campuran (laten class) terbatas dari efek placebo yaitu ada atau tidaknya

efek tersebut. Sedangkan penelitian ini ingin menghitung kekuatan efek placebo tersebut

dimana model campuran terbatas tak dapat lagi digunakan karena model campuran terbatas

tidak bisa memprediksi kekuatan dari efek tersebut. Selain itu, model campuran terbatas

tidak cocok untuk data yang menggunakan variabel laten tak terobservasi.

Misalkan kasus placebo pada penelitian ini, anggap y menunjukkan hasil yang

terukur (gejala keparahan) dan x menunjukkan prediktor laten (efek plasebo). Kemudian kita

bisa memodelkan hasil y sebagai regresi linier sederhana pada x: y = β0 + β1x + ϵ.

Masalahnya adalah bahwa x adalah tidak teramati atau laten. Sebuah model regresi dengan

laten prediktor adalah regresi laten. Jika ada dua kelas yang berbeda dari pasien (orang-orang

yang mengalami efek plasebo dan mereka yang tidak) maka x dapat dinyatakan sebagai 0-1

biner regressor indikator dan regresi laten menjadi model campuran terbatas. Di sisi lain, jika

efek plasebo tidak dapat ditentukan sebagai ada atau tidak ada, melainkan kekuatan bervariasi

terus menerus, maka x laten harus kontinu dan model regresi laten adalah hasilnya. Untuk

mempelajari khasiat terapi obat, sifat efek placebo perlu dipahami. Model regresi laten yang

diusulkan dalam penelitian ini memungkinkan distribusi yang fleksibel untuk mekanisme

laten yang mendasari dalam masalah efek plasebo.

Semua model ini berusaha untuk mengidentifikasi kelompok laten yang berbeda

dalam populasi. Namun, model regresi laten menyediakan kerangka kerja yang fleksibel

untuk mengetahui tentang sifat dari variabel laten yang mendasari (terus menerus atau

diskrit) dalam suatu populasi.

2.2 Teori

2.2.1 Analisis Regresi

Analisis regresi adalah analisis yang digunakan untuk menganalisis data dan

mengambil kesimpulan yang bermakna tentang hubungan kebergantungan yang mungkin

ada. Tujuan analisis regresi yaitu untuk mengevaluasi hubungan antara satu peubah dengan

satu peubah lainnya atau satu peubah dengan beberapa peubah lainnya. Peubah dapat

dibedakan menjadi dua jenis, yaitu peubah prediktor atau peubah bebas, dan peubah respons

atau peubah takbebas. Peubah prediktor adalah peubah yang dapat ditentukan atau diatur

(misalnya suhu input) atau yang nilainya dapat diamati. Namun, tidak dapat dikendalikan

(misalnya kelembaban udara luar). Akibat perubahan yang disengaja atau yang terjadi pada

peubah prediktor, suatu pengaruh atau efek dipancarkan ke peubah lain disebut peubah

respons. (Draper & Smith 1992)

Regresi Linear Sederhana

Regresi linear sederhana adalah persamaan regresi yang menggambarkan hubungan

antara satu peubah prediktor (x) dan peubah respons (y), hubungan keduanya dinyatakan

dalam fungsi linear, sehingga hubungan kedua peubah tersebut dapat dituliskan dalam bentuk

persamaan:

dengan

: parameter regresi, : parameter regresi, : peubah respons, : peubah prediktor,

: galat. (Draper & Smith 1992)

Regresi Linear Berganda

Regresi linear berganda adalah persamaan regresi yang menggambarkan hubungan

antara peubah respons (y) dan banyak peubah prediktor (x). Model regresi linear berganda

yang melibatkan p peubah prediktor adalah

Bentuk umum regresi berganda adalah

∑

dengan : peubah respons, : peubah prediktor, : perpotongan (intercept), :

koefisien parameter dengan j = 1, 2,…, p, : galat. (Draper & Smith 1992)

Pendugaan Koefisien Regresi Linear Berganda

Metode kuadrat terkecil adalah suatu metode untuk menghitung koefisien regresi

sampel sebagai penduga koefisien regresi populasi (𝜷), sedemikian sehingga jumlah galat

kuadrat memiliki nilai terkecil. Secara matematis, model regresi dapat dinyatakan sebagai

berikut:

𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝛆

dengan ,

Y : vektor peubah respons berukuran n × m dengan n adalah banyaknya peubah

respons yang diamati,

X : vektor peubah prediktor berukuran n × p, dengan p adalah banyaknya peubah

prediktor,

: vektor koefisien berukuran p × m,

: vektor galat berukuran n × m yang berdistribusi ℕ(0, ). (Draper & Smith 1992)

Asumsi dasar untuk 𝑖 atau , yaitu

1. 𝐸 (𝜺) = 𝟎 atau 𝐸 𝒚 = 𝑿𝜷,

2. atau .

Analisis regresi linear berganda menganalisis pengaruh terhadap y

dengan menduga koefisien-koefisien . Analisis ini menggunakan metode

jumlah kuadrat terkecil (least sum square), yaitu dengan meminimumkan ∑

diperoleh

nilai dugaan bagi 𝜷. (Rencher & Schaalje 2008)

Teorema Estimasi 𝜷

Jika 𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝛆, dengan rank 𝑘 + 1 < 𝑛, maka nilai 𝜷 yang meminimumkan

∑

adalah

𝜷 𝑿 𝑿 𝑿 𝒀

(Rencher & Schaalje 2008)

Model regresi laten

𝒚 𝜷𝟎 𝜷

dengan,

y = vektor respon p-variate

= intercept p-variat

vector slope

= error independen dari predictor x dengan kovarians matrix Ψ

Pada persamaan diatas, x merupakan variable tak terobservasi sehingga model diatas

dikatakan model regresi laten untuk mencari estimasi parameter dari model tersebut.

2.2.2 Peubah Acak dan Distribusi

Definisi Peubah Acak

Misalkan Ω adalah ruang contoh dari suatu percobaan acak. Fungsi 𝛸 yang terdefinisi

pada Ω yang memetakan setiap unsur 𝜔 Ω ke satu dan hanya satu bilangan real 𝛸 𝜔 =

disebut peubah acak. Ruang dari 𝛸 adalah himpunan bagian bilangan real 𝐴 = { ∶ = , 𝜔

Ω }. (Hogg et al. 2005)

Definisi Peubah Acak Diskret

Peubah acak 𝛸 dikatakan diskret jika himpunan semua nilai { 1, 2,...} merupakan

himpunan tercacah. (Grimmett & Stizaker1992)

Definisi Peubah Acak Kontinu

Peubah acak 𝛸 dikatakan kontinu jika fungsi distribusi komulatifnya adalah

fungsi kontinu untuk setiap 𝑅. (Hogg et al. 2005)

Definisi Fungsi Distribusi

Jika suatu peubah acak, fungsi distribusinya didefinisikan sebagai

(6) untuk setiap (−∞,+∞). (Ghahramani 2000)

2.2.3 Distribusi Bernoulli

Suatu percobaan acak yang menghasilkan dua kemungkinan (sukses dan gagal)

disebut percobaan Bernoulli. Peubah acak X disebut mempunyai sebaran Bernoulli, jika X

merupakan peubah acak pada percobaan

Bernoulli dengan { 𝑖𝑘 𝑘 𝑖𝑘

Jika p menyatakan peluang sukses, maka X merupakan fungsi kerapatan peluang

,

untuk = 0, 1. (Hogg & Craig 1995)

Jika populasi mengandung laten sub-populasi, maka predictor x pada persamaan

diatas mengandung distribusi bernouli. Misalkan fungsi densitas marginal

untuk f(y) yaitu :

𝒚 ∑ 𝒚

𝒚| 𝒚|

= 𝒚 𝒚

, dan 𝒚 merupakan sebuah fungsi densitas multivariate normal

dengan rata-rata vector dan matriks kovarians .

Persamaan diatas mengandung asumsi berdistribusi 𝟎 dimana adalah

positive-definite matriks kovarians.

2.2.4 Family Beta dan Distribusi Beta

Definisi Family Beta

Misalkan Y suatu peubah acak dengan merupakan fungsi kepekatan

peluang dari peubah acak 𝑌 dengan parameter a dan b, maka dapat dikatakan

sebagai family beta jika dapat dibentuk sebagai berikut:

dengan ≤ ≤ 𝑞 dan > 0, > 0 merupakan fungsi parameter 𝐵( , ). (Johnson et

al. 1995)

Definisi Distribusi Beta

Suatu peubah acak dikatakan mempunyai distribusi beta dengan parameter 𝛼 > 0

dan > 0 jika fungsi kepekatannya diberikan oleh

,

dengan 𝐵 𝛼 ∫

dan . Rataan dan ragam:

(Hogg & Craig 1995)

Pada penelitian ini, model laten regresi digunakan dengan mengganti predictor

bernouli dengan distibusi kontinu yang menggunakan bentuk “U” yaitu distribusi beta dengan

fungsi densitas :

Distribusi keluarga beta menghasilkan bermacam-macam bentuk densitas, termasuk

bentuk “U” yang menghasilkan nilai kontinu dari distribusi Bernoulli.

Fungsi densitas gabungan untuk dan adalah

𝒚 𝒚| 𝒚

Dimana adalah distribusi beta. Fungsi marginalnya yaitu

∫

√

{ 𝒚

𝒚

}

2.2.5 Estimasi

2.2.5.1 Metode Maksimum Likelihood

Metode maximum likelihood adalah suatu metode yang baik untuk memperoleh

sebuah parameter tunggal. Misalkan 1, 2,… , 𝑛 masing-masing peubah acak saling bebas

dengan sebaran yang memiliki fungsi kepekatan peluang ; 𝜃 , dengan 0≤𝜃≤1,𝜃 Ω dan Ω

adalah ruang contoh. Fungsi kepekatan peluang bersama dari 1, 2,… , 𝑛 adalah 𝐿 𝜃

1, 2,…, 𝑛 = 1 𝜃 2 𝜃 … 𝑛 𝜃 yang disebut juga sebagai fungsi likelihood. Fungsi

sederhana dari x1, x2, … ,xn yaitu (x1, x2, … , xn), sehingga 𝜃= u(x1, x2, … , xn) membuat

fungsi kemungkinan L maksimum untuk semua 𝜃 Ω. Statistik u(x1, x2, … , xn) disebut

penduga maximum likelihood dari 𝜃 yang dinotasikan dengan 𝜃 = u(X1, X2, … , Xn). Untuk

menduga parameter dengan menggunakan metode maximum likelihood tidak bisa secara

langsung karena datanya tidak teramati, untuk itu dapat digunakan algoritma EM.

2.2.5.2 EM-algorithm

Metode yang digunakan dalam model regresi laten dengan laten prediktor

menggunakan distribusi beta yaitu model algoritma EM. Metode algoritma EM merupakan

suatu metode estimasi untuk menemukan kemungkinan maksimum dari perkiraan parameter.

Algoritma EM terbagi atas dua langkah yaitu expectation dan maximization.

Expectation yaitu menghitung nilai kemungkinan estimasi untuk variabel laten

Maximization yaitu menghitung nilai maksimal dari kemungkinan pada langkah

expectation. Pada tahap ini digunakan dugaan maximum likelihood

Tahapan ekspektation

Merupakan tahapan untuk menghitung ekspekasi bersyarat dari fungsi likelihood

dengan prediktor laten. Misalkan adalah suatu nilai awal, maka E-step didefinisikan

𝒚 𝐸 𝜷𝟎 𝜷 |𝒚

Dalam aplikasi pada efek placebo, didefinisikan sebagai matriks koefisien

𝜷 (𝜷 𝟎𝜷

)

Dengan dimensi 2xp dimana setiap kolom p berupa intersep dan slop dari koefisien

regresi pada setiap variabel respon p.

Misalkan X merupakan matriks dimana kolom pertama berupa intersep dan kolom

kedua mengandung prediktor latent 𝑖 𝑛, Y merupakan matriks nxp dan

merupakan matriks kovarian definit positif. Model regresi laten dapat ditulis sebagai

𝒀 𝑿𝜷

Likelihood untuk model regresi laten:

𝐿 𝜷 | | 𝒀 𝑿𝜷 𝒀 𝑿𝜷

Misalkan �̃� 𝐸 𝑿|𝒀 dan 𝑿 𝑿 ̃ 𝐸 𝑿 𝑿|𝒚 menghitung ekspektasi bersyarat dari

�̃� dan 𝑿 𝑿 ̃ membutuhkan laten predictor . Ekspektasi bersyarat dari 𝒀

𝑿𝜷 𝒀 𝑿𝜷 adalah

[ {𝒀 𝒀 𝒀 �̃�𝜷 𝜷 �̃� 𝒀 𝜷 𝑿 𝑿 ̃𝜷}](7)

𝑿 𝑿 ̃ dan diperoleh

𝐸( 𝑛𝐿(𝜷; )|𝒀 𝑛 2ln 2 𝑛2ln .5 [ 1{𝒀 𝒀 𝒀 𝑿 𝜷 𝜷 𝑿 𝒀 +𝜷 (𝑿 𝑿 )𝜷}].

Misalkan �̂� 𝑿 𝑿 ̃ �̃� 𝒀. (8)

Persamaan 7 bisa ditulis ulang menjadi

[ {𝒀 𝒀 �̂� 𝑿 𝑿 ̃�̂� (�̂� 𝜷) 𝑿 𝑿 ̃(�̂� 𝜷)}]. (9)

Bagian trace yang berhubungan dengan parameter dapat ditulis:

[ (�̂� 𝜷) 𝑿 𝑿 ̃(�̂� 𝜷)] [ 𝑿 𝑿 ̃(�̂� 𝜷) (�̂� 𝜷)

]

[ 𝑿 𝑿 ̃

(�̂� 𝜷) (�̂� 𝜷) 𝑿 𝑿 ̃

].

Hasil E-step dapat dinyatakan kembali sebagai berikut :

𝐸( 𝑛𝐿(𝜷; )|𝒀) = − 𝑛 2 ln 2 − 𝑛2 ln −0.5 [ −1{𝒀′𝒀 − 𝜷 ′ 𝑿 ′𝑿 𝜷− 𝜷′ 𝑿 ′𝑿 𝜷 +𝜷′ (𝑿 ′𝑿)𝜷}].

Tahapan maximization

Merupakan tahapan untuk mendapatkan parameter baru ̂ dengan memaksimumkan

𝐸( 𝑛𝐿(𝜷; )|𝒀) yang dinyatakan sebagai berikut:

|

sehingga diperoleh 𝜷 = 𝜷 = 𝑿 ′𝑿 −1𝑿 ′𝒀.

Proses E-Step dan M-Step ini dilakukan terus secara iteratif sampai diperoleh suatu

nilai dugaan parameter 𝜷 yang konvergen.

BAB III

ANALISIS REGRESI LATEN

3.1 Pendahuluan

Penelitian ini meliputi pencarian informasi yang berhubungan dengan topik yang

dibahas yaitu analisis regresi laten.

3.2 Sumber data

Data yang digunakan untuk penelitian ini adalah data sekunder mengenai pasien

depresi rawat jalan yang bersumber dari Tarpey dan Petkova (2010) dengan komunikasi via

e-mail. Objek penelitian adalah pasien laki-laki dan perempuan berusia 18-65 tahun. Jumlah

responden depresi dalam penelitian adalah 393 orang.

Selain menggunakan data pada aplikasi plasebo diatas, untuk memunculkan model

dan estimasi dilakukan simulasi. Untuk setiap pengaturan parameter, 50 himpunan data

diberikan dengan masing-masing ukuran sampel n=100 dimana peubah parameter x

berdistribusi beta dengan parameter a=0.5 dan b=0.3.

3.3 Analisis dan pemrograman

Analisis pada penelitian ini menggunakan software R dengan langkah-langkah

penelitian sebagai berikut :

1. Menelusuri model regresi laten yang sesuai.

Seperti yang telah dijelaskan pada tinjauan pustaka, jika populasi terdiri dari

dua sub populasi laten (orang yang mengalami efek plasebo dan orang yang tidak

mengalami efek plasebo), maka prediktor laten memiliki distribusi Bernoulli.

Karena distribusi Bernoulli memiliki probabilitas 0 dan 1, cara alami untuk

mengenarilisasi model campuran terbatas yaitu dengan menggani prediktor bernoulli

0 – 1 oleh distribusi kontinu pada interval (0,1) yang kepadatannya berbentuk U.

Pada penelitian ini dilakukan suatu simulasi untuk memunculkan model

regresi laten dimana laten regresor x mempunyai distribusi beta dengan parameter a =

0.5 dan b = 0.3. Model regresi laten yang terbentuk sebagai berikut :

y =1 + 6x + ϵ

dimana parameter regresi β0 = 1, β1 = 6 dan error ϵ berdistribusi normal dengan µ =

0 dan σ = 0.5.

Untuk membandingan model regresi laten dan model campuran terbatas

dilakukan juga seperti simulasi diatas. Pada model campuran terbatas, β0 = µ1 dan β0+

β1 = µ2 sehingga dapat dibandingkan hasil model laten regresi dan model campuran

terbatas seperti gambar di bawah ini :

Gambar (1)

2. Mengetimasi parameter model regresi ketika x berupa laten menggunakan algoritma

maximum likelihood dan algoritma EM.

Algoritma EM yang dijelaskan pada 2.2.6.2 bab sebelumnya akan diuji

menggunakan beberapa pengaturan parameter untuk model regresi laten. Pengujian

ini dilakukan dengan melakukan simulasi. Untuk setiap pengaturan parameter, 50

himpunan data diberikan dengan masing-masing ukuran sampel n=100. Pada

simulasi ini, peubah parameter x berdistribusi beta dengan parameter a=0.5 dan b=0.3

dan menghasilkan kerapatan berbentuk U seperti gambar dibawah :

Gambar (2)

Pada algoritma EM, simulasi tersebut dilakukan dengan iterasi sebanyak 100

kali. Berikut scatterplot dari E[x|yi] iterasi ke-100 dan nilai xi dalam sebuah simulasi

dimana korelasi antar keduanya yaitu 0.985.

Gambar (3)

3. Melakukan aplikasi pada efek placebo

Jumlah responden dalam Tarpey dan Petkova sebanyak 393 orang dalam satu

minggu. Salah satu cara yang digunakan dalam menduga sebaran pasien depresi

selama satu minggu adalah dengan melihat kesesuaian histogram data dimana

histogram menunjukkan bahwa data pasien depresi berdistribusi beta.

Gambar (4)

Untuk membandingkan model terbaik yang sesuai dengan data, dilakukan

pengujian Shaphiro-Wilks untuk normalitas (Shapiro dan Wilks, 1965). Dimana

dilakukan perhitungan korelasi R2

antara quantil pada data yang diobservasi dan

quantil yang sesuai dengan ketertarikan masing-masing model yaitu model laten

regresi atau model campuran terbatas. Selain dengan melihat korelasi R2,

perbandingan model terbaik dapat juga dengan melihat Q-Q plot dari kedua model.

Namun, Q-Q plot tak terlalu memperlihatkan perbedaan signifikan mana model yang

terbaik.

Gamabr (5)