5. integral rangkap
TRANSCRIPT
-
1
INTEGRAL RANGKAP
A. INTEGRAL RANGKAP DUA
2y
1y
(y)2x
(y)1xdxdy y)f(x, : umumBentuk
Pengintegralan I dilakukan thd x dimana f(x,y) sbg fungsi dari x dan y konstan, dgn batas integral x1(y) ke x2(y)
Pengintegralan II hasil dari pengintegralan I diintegralkan thd y dengan batas integral y1 ke y2
Secara geometri
S adl daerah tertutup pd bidang xOy S dibagi menjadi n bagian oleh garis-garis yg sejajar
sumbu x dan y shg terdapat n bagian xi, dimana xi= x. y
Maka yg dimaksud integral rangkap dua dari fungsi
(x,y) melalui daerah S ialah
y.x yi)f(xi,lim
Ai yi)f(xi,limy)dxdyf(x,S
n
1n
n
1n
Perhatikan daerah S yg dibatasi garis2 sejajar sumbu koordinat, shg tdp bentuk lengkung :
B1A1B2 x=x1(y)
B2A2B1 x=x2(y)
A1B1A2 y=y1(x)
A2B2A1 y=y2(x)
fungsi dari y
fungsi dari x
-
2
maka diperoleh bentuk (a) dan (b) sbb :
a2
a1
y2(x)
y1(x)
b2
b1
x2(y)
x1(y)
dydx y)f(x,
dxdy y)f(x, y)dxdyf(x,S
(i) Batas x1(y) dan x2(y) dlm (a) fungsi dari y Batas y1(x) dan y2(x) dlm (b) fungsi dari x (ii) Integral rangkap 2,3 atau lebih mempunyai
pengertian urutan pengintegralan serupa
314
32
2
0
231
2
031
1
0
331
2
0
2
0
1
0
2
4
)yy(dy 2y
dy 2yxxdxdy 2y)(x 1.
B.PENERAPAN INTEGRAL RANGKAP DUA
Daerah S berada pd bidang xOy dg luas A dan S merupakan proyeksi dr permukaan z=f(x,y) thd bidang koordinat xOy atau
S merupakan perpotongan permukaan z=f(x,y) dan bidang koordinat xOy
Dgn pengambilan (xi,yi) dlm elemen Ai, maka hasil ganda z=f(xi,yi) dan elemen i,ialah f(xi,yi)Ai.
Untuk n atau Ai0, maka f(xi,yi) Ai ialah isi tabung dg alas Ai dan tinggi f(xi,yi).
Volume benda V yg dibatasi permukaan z=f(x,y) dan daerah S sbg alasnya.
-
3
Jika Vi f(xi,yi) Ai, dan dgn mengambil limit
untuk n atau Ai0, maka diperoleh :
1. Volume benda V yang dibatasi permukaan z=f(x,y) dan alas S, ialah
n
1n
dxdy y)f(x,Ai yi)f(xi,limV
dxdyA
dxdy kxMy
2. Luas daerah A bila f(x,y) = 1
3. Momen, titik berat dan momen inersia
a.Bila f(x,y)=x, maka momen daerah S thd sumbu Y:
k=kerapatan dan k=k(x,y) sbg fungsi x dan y
b.Bila f(x,y)=y, maka momen daerah S thd sumbu X:
dxdy kyMx
c.Bila f(x,y), adalah titik berat daerah S,maka:
dimana M=massa daerah S MxM
M
yMy dan x
dxdy kxI2
y
dxdy kyI2
x
yx0
220
III
dxdy )yk(xI
d.Bila f(x,y)=x2, maka momen inersia daerah S thd sumbu Y :
e.Bila f(x,y)=y2, maka momen inersia daerah S thd sumbu X :
e.Bila f(x,y)=x2+y2, maka momen inersia daerah S thd titik asal O :
Hitunglah isi benda yg dibatasi oleh parabola z=x2+y2+2, permukaan (silinder) x2=y dan bidang2 y=1,x=0 dan z=0
Batas daerah x1=0 x2=y y1=0 y2=1
C. INTEGRAL RANGKAP TIGA
Persamaan integral rangkap 3 dari fungsi (x,y,z):
b
a
d
c
f
edz dy dx z)y,f(x,
f
e dx z)y,f(x,
d
cb
a
dy dz
1 2
3
-
4
(i) Pengintegralan I dilakukan thd x dg asumsi y dan z konstan
(ii) Pengintegralan II ialah hasil (i) diintegrasikan thd y dg asumsi z konstan
(iii) Hasil (ii) diintegrasikan thd z
d
cb
af
e dx z)y,f(x, dy dz
1 2
3
dzdydx zy x 21
0
x
0
xy
0
3
Contoh :
D.PENERAPAN INTEGRAL RANGKAP TIGA
Elemen volume V=x.y.z
Penjumlahan elemen ke arah kolom (z) menghasilkan
z1z
0z
2
1s z.y.x V
yy
yy
z1z
0z
c z.y.x V
z1z
0z
2
1
2
1z.y.x V
yy
yy
xx
xx
x2
x1
y2
y1
z1
0dxdydz V
Penjumlahan kolom diantara y=y1 dan y=y2 volume irisan
Penjumlahan semua kolom diantara x=x1 dan x=x2 volume total
Jika x0, y0, z0
-
5
Integral Pada Koordinat Bola
x= cos sin y= sin sin z= cos
dzdydx= sin ddd
Jika f(x,y,z) merupakan fungsi kontinu pada bola Q,maka persamaan menjadi
f(x,y,z) dzdydx= f( cossin , sinsin , cos) .
2 sin ddd
Massa,Pusat Massa dan Momen Inersia
1.Massa= Kerapatan x Volume = f(x,y,z) xyz
M= (x,y,z) dzdydx
2. Momen pada koordinat (x,y,z)
Myz= x (x,y,z) dzdydx
Mxz= y (x,y,z) dzdydx
Mxy= z (x,y,z) dzdydx
Titik berat (x,y,z)
M
xyM
MxzM
M
yzM
z
y x
3. Momen inersia pada koordinat (x,y,z)
Ix= (y2+z2) (x,y,z) dzdydx
Iy= (x2+z2) (x,y,z) dzdydx
Iz= (x2+y2) (x,y,z) dzdydx
= kerapatan benda
Contoh :
Tentukan volume benda yang dibatasi bidang z=0,x=1,x=2,y=-1,y=1 dan permukaan z=x2+y2
Hitunglah volume benda yg dibatasi oleh silinder x2+y2=a2, bidang z=y dan z=0
Gambar bagian silinder
-
6
Sekian