INTEGRAL DAN PENERAPANNYA DI BIDANG EKONOMI

PENGERTIAN

Pengintegrasian adalah kebalikan dari penurunan suatu fungsi. Jika turunan suatu fungsi : Y = f (X) ; maka untuk menentukan fungsi asalnya melakukan pengintegrasian.

F (X) = ∫ f (x) dx ;

Keterangan: ∫ : Tanda Integral f (x) : Integran (fungsi yang diintegralkan) dx : Operator penurunan yang mengikat operasi

yang dibentuk terhadap variabel X.

dF(X) / dx = f (x) ; maka : ∫ f(x) dx = F (X) + C

Contoh :

F(X) = 2X2 + 3X + 5 .......dY/dX = Y’ = f (x) = 4X + 3

F(X) = 2X2 + 3X + 10…. dY/dX = Y’ = f (x) = 4X + 3

F(X) = 2X2 + 3X + 100….dY/dX = Y’ = f (x) = 4X + 3

Dengan demikian :

∫ (4X +3) dX = 2X2 + 3X + C

Nilai ”C” mungkin 5 ; mungkin ”C” = 10 ; dan Mungkin ”C” = 100.

Jika nilai C didefinisikan (tertentu atau dapat ditentukan) dan nilai X ditentukan berarti membicarakan Integral Tertentu (Integral Definit)

Sebaliknya jika nilai C tidak didefinisikan (tidak ditentukan) berarti membicarakan Integral Tak Tentu (Integral In-definit).

II. ATURAN-ATURAN INTEGRASI

(1). HUKUM PANGKAT:

∫ Xn dx = 1 / (n+1) X(n+1) + C

Contoh (1) : ∫ X3 dx = 1 / (3+1) X (3+1) + C;

∫ 2 dx = 2X + C;

∫ X3/2 dx = 1/ (3/2 + 1) X (3/2 + 1) + C = 1/(5/2) X (5/2) + C;

(2). ATURAN EKSPONENSIAL:

∫ e X dx = ex + C;

∫ a X dx = ax / ln a + C ;

Contoh (2): ∫ 2 X dx = 2x / ln 2 + C ;

(3). ATURAN LOGARITMA: ∫ 1/X dx = ln X + C; dan X > 0

Bentuk : 1/X tidak dapat dianalogkan menjadi bentuk X-1 Sehingga tidak dapat diintegralkan dengan menggunakan aturan integrasi bentuk pangkat Xn (seperti contoh no. 1); melainkan harus tetap menggunakan aturan di atas (aturan logarirma) Contoh (3):

∫ 1/(2X). dx = ∫ (½). 1/X. dx = ½ ∫ (1/X) dx = ½ Ln X+C.

(4). INTEGRAL DARI SUATU PERKALIAN:

∫ k. f(X) dx = k. ∫ f(X) dx;

Contoh (4): ∫ 2X2 dx = 2 ∫ X2 dx = 2 ( 1/3 X3 ) + C = 2/3 X3 + C ;

∫ 2X2 - 3X + 5 dx = 2/3 X3 – 3/2 X2 + 5X + C ;

(5). HUKUM PENGGANTIAN :

5.1. PENGERTIAN DAN CONTOH SOAL

Sebelum melakukan integrasi dari suatu integran, maka suku atau sebagian suku dari suatu integran dimisalkan menjadi “U”; selanjutnya baru melakukan proses integrasi dengan menggunakan aturan-atruran integrasi.

Contoh (5.1.1):

∫ X (X2 + 6) dx = …..?

X2 + 6 dimisalkan = U …….. U = X2 + 6; dU/dX = 2X……dX = dU/2X

Sehingga : ∫ X (X2 + 6) dx = ∫ X .(U). dU/2X = ∫ 1/2.(U). dU = (1/2).(1/2). U2 + C

= ¼ U2 + C = ¼. (X2 + 6 )2 + C; (Ingat bahwa: U = X2 + 6 ).

Contoh (5.1.2):

∫ 2X (X2 + 1) dx = …..?

X2 + 1 dimisalkan = U …….. U = X2 + 1;

dU/dX = 2X……dX = dU/2X

Sehingga : ∫ 2X (X2 + 1) dx = ∫ 2X .(U). dU/2X = ∫ (U). dU = (1/2). U2 + C

= 1/2 (X2 + 1)2 + C = 1/2. (X4 +2X2 + 1 )+ C; = 1/2X4 +X2 + ½ + C. (Ingat bahwa: U = X2 + 1 ).

5.2. ATURAN INTEGRASI DALAM HUKUM PENGGANTIAN

Aturan Pertama :

∫ Un dU = 1/(n+1) U (n+1) + C;

Contoh (5.2.1):

∫ (2X+1) 3 dx = …..?

Misalkan : 2X + 1 = U ..........U = 2X + 1 dU/dX = 2 ....dX = dU/2; ∫ (2X+1) 3 dx = ∫ U 3 dU/2 = ∫ ½ U 3 dU = ......?

= ½. ¼. U4 + C;

= 1/8. (2X+1)4 + C

Aturan Kedua:

∫ 1/U dU = ln U + C; Contoh:

∫ X / (X2+1) dx = .......?

Misalkan : U = X2 + 1........dU/dX = 2X ....dX = dU/2X ∫ X. 1/U.dU/2X = ∫ 1/2. 1/U.dU = ½ (ln U) + C

= ½.ln (X2+1) + C. Jika X = 5 dan C = 10 ; tentukan Nilai fungsi asal tersebut....?

Aturan Ketiga:

∫ aU dU = aU/ ln a + C ;

Contoh:

∫ a(2X-1) dx = ……?

Misalkan : U = 2X-1 …..dU/dX = 2 ….dX = dU/2.

∫ aU dU/2 = ∫ ½. aU dU = ½.(aU / lna) + C

= ½. { a (2x-1) / ln a} + C. Nilai ”a” adalah bilangan nyata.

Aturan Keempat:

∫ eU dU = eU + C;

Contoh:

∫ e(2x+1) dx = ……?

Misal: U = 2X + 1 ….dU/dX = 2…..dX = dU/2.

∫ eU dU/2 = ∫ ½. eU .dU = ½ (eU) + C = ½.e (2x+1) + C .

Aturan Kelima:

∫ ln U. dU = (U.ln U – U ) + C.

Contoh:

∫ ln (x+1). dx = ......?

Misal: U = x + 1 ......dU/dx = 1 .....dx = dU/1.

∫ ln U. dU = U.ln U – U + C; = { x+1 (ln x+1) – (x+1) } + C.

Aturan Keenam:

∫ Un. Ln U. dU = U n+1{ln U/(n+1) – 1/(n+1)2}+ C;

Aturan Ketujuh:

∫ 1/ (U. Ln U). dU = ln (ln U) + C;

Aturan Kedelapan:

∫ U. eU. dU = eU (U-1) + C.

5.3. ATURAN PENGINTEGRASIAN BAGIAN

F (X) = U. V .......................Fungsi Semula;

Y’ = f (x) = U’.V + U.V’........Fungsi Turunan;

∫ f(x). dx = ∫ U’.V + ∫ U.V’ F (X) = ∫ U’.V + ∫ U.V’.... F(X) berbentuk : F(X) =U.V.

U.V = ∫ U’.V + ∫ U.V’

Jadi: ∫ U’.V = U.V - ∫ U.V’

Contoh: ∫ X. (X+1) ½ . dX = ......? Misalkan : V = X .....................V’ = 1

U’ = (X+1) ½ ......... U = ∫ (X+1) ½. dx

U = 1 / (1/2+1). (X+1)1/2+1

U = 2/3 (X+1)3/2

Ingat bahwa :

∫ U’.V = U.V - ∫ U.V’ ∫ X. (X+1) ½ . dX = ...... ?

= {2/3 (X+1)3/2 }. (X) - ∫ {2/3 (X+1)3/2}. (1). dX

= (2/3 X.(X+1)3/2 ) - 2/3.{1/(5/2). (X+1) 5/2 } + C.

= 2/3 X (X+1)3/2 - 4/15 (X+1)5/2 + C .

III. INTEGRAL DEFINIT (INTEGRAL TERTENTU)

Integral Definit mempunyai nilai definit karena nilai X dibatasi yaitu antara Xa dan Xb, serta Xa < Xb.

Xa : Batas terendah dari integrasi;Xb : Batas tertinggi dari integrasi.

Xa∫Xb f(X). dX = F(X) Xa/Xb = F(b) – F (a).

Contoh:

1∫5 3X2. dx = ………?

= 3. 1/3 X3 1/5 = X3 1/5 = (5)3 – (1)3 = 125 – 1 = 124.

IV. KEGUNAAN INTEGRAL

1. Mengembalikan fungsi Turunan menjadi fungsi semula (fungsi asalnya);

2. Menentukan luas bangun fungsi dalam susunan salib sumbu.

Kegunaan Pertama :Mengembalikan Fungsi Turunan Menjadi Fungsi Semula

(Fungsi Asalnya):

Contoh (1):

Diketahui : MC = Q + 5 ; jika diproduksi 10 unit Biaya total 125; Tentukan Fungsi Biaya Total (TC) ....?

TC = ∫ MC. dQ = ½ Q2 + 5Q + C ;

125 = ½ (10)2 + 5(10) + C ....... C = 25.

TC = ½ Q2 + 5Q + 25.

Contoh (2):

Diketahui Fungsi peneriaan marginal : MR = 5 – 3Q; Tentukan fungsi TR dan AR .....?

TR = ∫ MR. dQ = ∫ (5-3Q) dQ = 5Q – 3/2Q2 + C dan C =0

TR = 5Q -3/2Q2 dan AR = TR/Q = 5 – 3/2Q.

Contoh (3):

Diketahui fungsi Produk marginal : MP = 9 + 16X -3X2; Tentukan Fungsi Produksi Total (TP)....?

TP = ∫ MP. dX = 9X + 16/2 X2 – 3/3 X3 + C

TP = 9X + 8X2 – X3 + C ; dan C = 0. TP = 9X + 8X2 – X3.

Contoh (4):

Diketahui Kecenderungan konsumsi marginal (Marginal Propensity to Save): MPC = 0,8 ; dan Konsumsi pada saat pendapatan Nol (Y=0) adalah Rp 15, - ; Tentukan Fungsi konsumsi ( C* ) ......?

Funsi Konsumsi C* = f (Y) ……. dC*/dY = MC = f (Y). Dan MC = 0,8

C* = ∫ MC. dY = ∫ 0,8. dY C* = 0,8 Y + C;.......... 15 = 0,8 (0) + C ......C = 15.

Jadi fungsi konsumsi : C* = 0,8 Y + 15.

Contoh (5):

Diketahui fungsi kecenderungan tabungan marginal (Marginal Propensity to Save) : MPS = 0,3 – 0,1 Y-1/2 ; diwaktu Tabungan Nol (S = 0) Pendapatan ( Y = 81); Tentukan Fungsi Tabungan....?

S = ∫ MPS. dY = ∫ (0,3-0,1Y-1/2) dY = 0,3Y – 0,2 Y1/2 + C.

S = 0,3Y – 0,2 Y1/2 + C.

S = 0 maka: Y = 8;

0 = 0,3 (61) – 0,2 (81)1/2 + C…….jadi: C = -22,5.

S = 0,3Y – 0,2 Y1/2 - 22,5.

Contoh (6):Diketahui Fungsi Marginal Cost : MC = 2.e 0,2Q ; Biaya produksi (TC = 90) diwaktu produksi Nol (Q=0) . Bentuklah fungsi TC….?

TC = ∫ MC.dQ = ∫ 2.e 0,2Q .dQ ; Misalkan : 0,2 Q = U.

U = 0,2 Q ….dU/dQ = 0,2 ……dQ = dU/0,2.

TC = ∫ 2.e U . dU/0,2 = ∫ 2/0,2. e U . dU = = ∫ 10. e U . dU

TC = 10.eU + C ....TC = 10. e 0,2Q + C; 90 = 10. e 0,2(0) + C ......C = 80. Jadi : TC = 10. e 0,2Q + 80.

Kegunaan Kedua:Menentukan Luas Bangun Bungsi

Dalam Susunan Salib Sumbu

I. Cara Menentukan Luas Bangun Fungsi:

Tentukan Luas bangun fungsi yang dibatasi : Y = X + 1 dan Xa =1 dan Xb = 5 …..?

LA = (½ X2 + X ) 1/5 = {½ (5)2 + (5)} – {1/2(1)2 +(1)} = 16

LA = 16.

II. Penerapan Dibidang Ekonomi:

2.1. Menghitung Surplus Konsumen (SK)

Xa=1 Xb=5

X

Y

Y=X+1

0 0

Diketahui Fungsi Permintaan : P = -Q + 6; Kuantitas dan Harga Keseimbangan Pasar ( Qe = 2 dan Pe = 4 ). Tentukan Besarnya Surplus Konsumen …..?

Surplus Konsumen (Consumers Surplus) :Dari Gambar di atas fungsi permintaan menunjukkan persamaan yang menunjukkan hubungan antara jumlah barang yang dibeli dengan haraga barang tersebut. Harga keseimbangan pasar yang terjadi adalah Pe (Pe=4), dan jumlah barang yang diminta Qe (Qe=2).Apabila kemampuan daya beli konsumen perunit barang di atas dari harga pasar (Pe) atau Harga pasar dalam kenyataannya di bawah kemampuan daya beli konsumen berarti konsumen mendapat keuntungan utilitas (bukan keuntungan yang sebenarnya).Oleh karena itu Surplus Konsumen sebagai keuntungan utilitas yang diperoleh konsumen sebagai dampak dari kenyataan bahwa

( 2, 4 )

Sb X

Y

D…P= -Q+6

S

harga pasar (Pe) lebih rendah dari kemampuan daya beli konsumen per unit barang (P).

Untuk Menentukan Besarnya Surplus Konsumen (Keuntungan Utilitas Total Konsumen) menggunakan rumus:

SK = Q0∫Qe f(D). dQ - Qe.Pe ;

Dari Contoh soal diatas dapat dihitung surplus Konsumen sebagai berikut:

SK = 0∫2 (-Q+6)). dQ - Qe.Pe

SK = -1/2 Q2 + 6Q 0/2 – (2.4)

SK = {-1/2 (2)2 + 6(2)} - {-1/2 (0)2 + 6(0)} – (8)…..SK = 2.

Contoh Soal (1):

Diketahui Fungsi Permintaan : P = -Q + 10; Jika Harga Keseimbangan Pasar (Pe = 4 ). Tentukan Besarnya Surplus Konsumen …..?

Contoh Soal (2):

Diketahui Fungsi Permintaan : P = -Q2 + 16; Jika Harga Keseimbangan Pasar (Pe = 12 ). Tentukan Besarnya Surplus Konsumen …..?

Contoh (3):

Diketahui Fungsi Permintaan : P = -Q2 + 16; Jika Harga Keseimbangan Pasar (Pe = 12 ). Tentukan Besarnya Surplus Konsumen …..?

2.2. Menghitung Surplus Produsen (SP)

Fungsi penawaran menunjukkan kuantitas barang yang ditawarkan pada berbagai tingkat harga. Jika harga pasar Pe dan jumlah penawaran Qe. Produsen sebenarnya bersedia menawarkan barangnya dengan harga di bawah harga pasar Pe. Dalam posisi seperti ini berarti penjual/produsen beruntung (produsen mendapat keuntungan utilitas). Surplus Produsen adalah keuntungan utilitas yang diperoleh produsen sebagai dampak dari harga pasar di atas harga kesediaan penjual untuk menjual barangnnya.

Contoh (1):

Diketahui Fungsi Penawaran : P = Q + 4 ; jika harga keseimbangan pasar diketahui Pe = 7 ; Tentukan besarnya Surplus Produsen....?

SP = Qe.Pe - Q0∫Qe f(Q). dQ

SP = Qe.Pe - Q0∫Qe f(S). dQ.

Dari Cotoh Soal di atas dapat ditentukan surplus produsen sebagai berikut:

SK = 3.7 - 0∫3 (4 + Q). dQ

SP = 21 – { 4Q + ½ Q2} 0/3

SP = 21 – {(4.3 + ½. 32 ) – (4.0 + ½. 02 ) =….

SP = 21 – 7,5 = 13,5.

( 3, 7 )

Sb X

YS …P= Q + 4

Contoh Soal (2):

Diketahui fungsi permintaan P = 36 – Q2 dan fungsi penawaran : P 6 + ¼ Q2.Tentukan :

a. Harga dan Kuantitas keseimbangan pasar;b. Besarnya Surplus Konsumen;c. Besarnya Surplus Produsen.

2.3. Menghitung Laba Maksimum Dengan Integral

╥ Total maksimum = Q0∫Q* MR.dQ - Q0∫Q* MC .dQ

MR

Contoh :

MR = 25 – 5Q -2Q2 dan MC = 15 -2Q – Q2; Tentukan Keuntungan Total Maksimum ….?

Laba Maksimum: MR = MC

25 – 5Q -2Q2 = 15 – 2Q -Q2

Q2 + 3Q – 10 = 0…….(Q+5) (Q-2) = 0….Q* = 2.

╥ maksimum = Q0∫Q* (25 – 5Q -2Q2).dQ

- Q0∫Q* (15 -2Q – Q2 ). dQ

╥ maksimu = {25Q-5/2Q2-2/3Q3} 0/2 -

{ 15Q –Q2- 1/3 Q3} 0/2

MC╥ mak

Sb. X

Sb.Y

Q*00

╥ maksimum = {25.2 – 5/2.22- 2/3.23 } – { 15.2- 22 – 1/3.23}

╥ maksimum = 34/3

2.4. Investasi dan Pembentukan Modal.

Persediaan modal, besarnya akan tergantung dengan waktu, atau persediaan modal fungsi dari waktu. Tingkat pembentukan modal atau derivatif dK/dT.

dK/dT = I (t) = 3 t1/2.

K(t) = ∫ I(t).dt.

= ∫ dK/dT.dt

K(t) = ∫ 3 t1/2.dt = 2 t 3/2 + C

Di awal waktu (t=0); K(0) = 2.0 3/2 + C .....C = K(0); misal modal awal/modal periode awal: K(0) = 1000.....C = 1000.

Fungsi persediaan modal :

K(t) = 2 t3/2 + 1000 . (Alpha Chiang:927).

Berdasarkan contoh ini kita dapat menyatakan bahwa jumlah akumulasi modal selama interval waktu 0 s.d. t dengan integral definit :

0∫t I (t). dt = K(t) 0/t

0∫t I (t). dt = K(t) – K(0) atau

K(t) = K(0) + 0∫t I(t).dt.

Keterangan:

dK/dt : Pertambahan modal persatuan waktu;

Tingkat pembentukan modal (dKdt) pada waktu t adalah identik dengan tingkat aliran investasi Netto (Net Investment) pada waktu ”t” (tingkat investasi netto pertahun;

Persediaan modal awal pada waktu t = 0 adalah K(0);

K(t) menunjukkan jumlah K yang ada pada setiap titik waktu;

Contoh (1):

0∫t I (t). dt = K(t) – K(0)

I= I (t)Sb .I

Sb. t

Bila investasi netto merupakan aliran konstan pada I(t) = 1000 satuan pertahun; berapakah total investasi netto (pembentukan modal) selama satu tahun dari t = 0 s.d. t =1.Jawab: 0∫1 I (t). dt = 0∫1 1000. dt = 1000 t 0/1 = 1000.

Contoh (2):

Bila Investasi netto pada tahun ke t : I(t) = 3 t1/2 (ribuan dollar pertahun) yaitu aliran yang tidak konstan. Apa yang terjadi dengan pembentukan modal selama interval waktu (1, 4), yaitu selama tahun kedua, ketiga, dan keempat.Jawab: 0∫4 I (t). dt = 0∫4 3 t1/2. dt = 2 t 3/2 1/4 = 16-2 = 14.

Berdasarkan contoh di atas, kita dapat menyatakan jumlah akumulasi modal selama interval waktu (0, t), untuk setiap tingkat investasi I(t).

0∫t I (t). dt = K(t) 0/t = K(t) – K(o) atau : K(t) = K(0) + 0∫t I (t). dt.

Keterangan:

K(t): menunjukkan jumlah K yang ada pada setiap titik waktu;

dK/dt : pertambahan modal (K) persatuan waktu atau disebut tingkat pembentukan modal pada waktu ”t”;

K(0) : Persediaan modal awal atau persediaan modal pada waktu t = 0;

Jadi: K(t) = K(0) + 0∫t I (t). dt.

(Lihat gambar terdahulu).