(5)integral ganda

LENTURAN (DEFLECTION)

Pada perencanaan balok (beam) untuk suatu konstruksi perlu diperhatikan lenturan akibat pembebanan disamping tegangan yang terjadi.

Besarnya lenturan pada balok tidak boleh melebihi harga batas tertentu untuk suatu konstruksi pada keperluan tertentu.

A B x

y

y

Y = lenturan pada suatu titik berjarak x dari titik A

= sudut lentur pada titik yang berjarak x dari titik A1

MENGHITUNG LENTURAN

Ada beberapa metode untuk menghitung lenturan pada suatu balok, antara lain :

Metode Integral Ganda (Double Integral Method) Metode Singularite (Singularity Method) Discontinuity

Functions Metode Luasan Bidang Momen (Moment Area

Method) Metode Balok-Balok Kecil Metode Energi Regangan Elastis (Elastic Strain Energy

Method) Metode Tiga Momen

2

METODE INTEGRAL GANDA(Double Integral Method)

A B

d

O

mm’ds

x

y

Gambar 1. Balok AB melentur akibat beban momen

Balok AB mengalami lenturan karena momen bending M

Momen bending disebabkan oleh gaya melintang (shearing force)

3

Elemen m-m’ = ds

ds = r dr = jari-jari kelengkungan balok m-m’O = pusat kelengkungan balok m-m’

= sudut antara garis singgung di m dengan sumbu x

Harga semakin kecil bila titik m bergeser kearah

B (dari A) dan akan = 0 di titik terendah dari lenturan pertambahan positif ds sebanding dengan pertambahan negatif dari ds

Maka :

ds

d -

r

1atau dr - ds

(1)

4

Lenturan balok pada suatu konstruksi cukup kecil, harga dalam hal ini menjadi kecil sekali.

Untuk keadaan ini dapat dianggap bahwa :

dx dsdan dx

dy tg (2)

Dari persamaan (1 ) dan (2) :

2dx

2d -

dx

d(dy/dx) -

r

1 y (3)

5

Pada elemen ds diambil daerah sejauh dari sumbu netral (gambar 2) :

O

p p’

m’m

n n’

s1s s’

r

M M

Sumbu netral

d

d

Gambar 2. Elemen ds dari balok AB yang melentur

6

n – n’ = sumbu netral tegangannya nols – s’ = daerah berjarak (eta) dari sumbu netral

n’ – s1 // n – s , maka panjang n – n’ = s – s1 dan s1 – s’

= pertambahan panjang pada daerah sejauh dari sumbu netral.

Dalam hal ini regangan (strain) yang terjadi :

n' - ns' - s

1 (4)

7

Sedangkan harga-harga :

dr n' - n

d s's1

(5)

Dari persamaan (5) dan (4) :

r

dr d

Dalam daerah elastis berlaku hukum HOOKE :

E x

(6)

(7)

8

Tegangan yang tejadi pada balok sejauh dari sumbu netral akibat momen bending M adalah :

zI

M x

(8)


zI

Mη E


(9)

zz EI

M

r

1atau

I

Mη

r

Eη (10)

9

Dari persamaan (3) dan (10) diperoleh :

zEI

M -

dx

yd2

2 (11)

Dimana :M = momen bendingE = modulus elastisitas bahan

Iz = Momen kelembaman luasan

penampang balok terhadap sumbu zY = lenturanX = jarak titik yang ditinjau terhadap titik

awal

10

Bila persamaan (11) didiferensialkan terhadap x :

L = gaya melintang pada penampang balok

(12)

Bila persamaan (12) didiferensialkan terhadap x :

q = beban melintang per satuan panjang pada balok

z3

3

EI

L -

dx

yd

z4

4

EI

q -

dx

yd (13)

11

LENTURAN BALOK AKIBAT BEBAN MERATA

A B x

y

m

n

x

L

ByAy

Reaksi tumupuan di A dan B :2L q

BR AR

Momen bending pada penampang m – n yg berjarak x dari tumpuan A :

2

xq -x

2

L q M

2

(x) (14)

12

Persamaan lenturan balok (11) :

) 2

xq - x

2

L q (

EI

1 -

EI

M -

dx

yd

2

z

z

(x)2

2

22

2

z qx 2

1 qLx

2

1 -

dx

yd EI (15)

Integral persamaan (15 ) :

1C xq 6

1 xL q

4

1 -

dx

dy EI 32

z (16)

13

dx

dy θ tg

= sudut antara grs. singgung lenturan balok dgn sb. x

Untuk x = ½ L = 0 , maka persamaan (16) menjadi :

24

L q C

0 C )2

L( q

6

1)

2

L( L q

4

1 -

3

32

1

1

14

Harga C1 masuk ke persamaan (16) :

332z L q

24

1 xq

6

1 xL q

4

1 -

dx

dy EI (17)


2C x L q24

1 xq

24

1 xL q

12

1 - y EI 343

z (18)

15

Pada ujung-ujung balok lenturan = 0 , maka C2 dapat dihitung dgn memasukkan y = 0 untuk x = 0 pada pers (18).

Didapat : C2 = 0

Persamaan (18 ) menjadi :

) x xL 2 xL ( EI

q

24

1 y 433

z (19)

Pers (19) dapat digunakan untuk menghitung lenturan balok akibat beban merata sebagai fungsi x

16

Lenturan maksimum terjadi di tengah-tengah balok dengan memasukkan harga x = L/2 pada pers (19) akan diperoleh :

z

4

EI

L q

384

5 y

Sudut lentur maksimum terjadi di ujung A dengan memasukkan harga x = 0 pada pers (16) akan diperoleh :

z

3

zmaks EI

L q

24

1

EI

C

dx

dy 1

17

LENTURAN PADA CANTILEVER BEAM AKIBAT BEBAN MERATA

A B

L

n

m

q

xq = beban per

satuan panjang

Momen bending pd penampang m – n yg berjarak x dari ujung bebas pada balok AB :

2

qx - M

2

(x) (20)

18

Dari Pers (20) dan (11) :

2

2 xq

2dx

y2dzEI (21)


1C 6 x3q

dxdy

zEI (22)

Harga C1 dapat ditentukan dgn kondisi balok sudut lentur pada jepitan = 0

19

Untuk x = L dy/dx = 0, masukkan ke dalam pers (22) diperoleh :

6

3L q - C 1


6

3L q

6

3 xq

dxdy

zEI (23)

20


2C x 6

3L q

24

4 xq y zEI (24)

Harga C2 dapat ditentukan dgn kondisi balok lenturan pada jepitan = 0

Untuk x = L y = 0 , masukkan ke dalam pers (24) diperoleh :

8

4L q - 2C

21


8

4L q x

6

3L q

24

4 xq y zEI

Atau :

)4L 3 x3L 4 - 4 x( zEI 24

q y (25)

22

PERSAMAAN GARIS ELASTISITAS UNTUK

BALOK LENGKUNG

AA’P1

P2

d

B

B’

Rd

R

R cos

R (1 – sin

R

Momen potongan =

)sin1(cos 12 RPRP

x

y

perubahan sudut

Tanda momen :

M +

M -

23

Rd

Rd

Rd

B

B’

d

R

d

dy = (Rd)cos

''1

'

yd

d

R

dx

dyy

EI

MR

d

d

(26)

Pers grs elastisitas utk balok lengkung :

112 )cos(

2sin

2C

EI

RP

EI

RP

dx = (Rd)sin 24

dy = (Rd)cos

dx = (Rd)sin

sin

cos

Rd

dx

Rd

dy

RCEI

RP

EI

RP

d

dy.cos)2coscos(

3cossin

31

12

RCEI

RP

EI

RP

d

dx.sin)cossinsin(

33sin

31

12

25

2112 sin)

2

cossin

4cossin(

3

2

2sin3CRC

EI

RP

EI

RPy

3112 cos)

2

2sinsincos(

3)

2

cossin

2(

3CRC

EI

RP

EI

RPx

Syarat batas :

1. y ( = 0 ) = 02. x (= 0 ) = 03. (= 0 ) = 0

didapat :

EI

RPC

21

1

EI

RPC

31

2

EI

RPC

31

3 26

Sebagai contoh :

)24

3(

33)90( 12

EI

RP

EI

RPy o

EI

RP

EI

RPx

2

3

4

3)90( 12 o

)12

(22

)90( 12

EI

RP

EI

RPo

27

CONTOH SOAL( METODE INTEGRAL GANDA)

Ditanyakan :

Lenturan dan sudut lentur maksimum pada balok AB akibat beban P

A B

P

xy = ?

x

y

LSOAL 1 :

y’ = ?

28

Penyelesaian :

A B

P

xy = ?

x

y

L

MAAx

Ay

Momen bending pd jarak x dari A adalah :

)()( xLPxM (1)

29

)(2

2xM

dx

ydzEI

)(2

2xLP

dx

ydzEI

PxPLdx

ydzEI

2

2

Persamaan diferensial lenturan pd balok AB :

(2)

30

Integral persamaan (2) :

12

2C

PxPLx

dx

dyzEI

Syarat batas :

00)0(

1

C

xdx

dy

C1 = 0 masuk ke pers (3) didapat :

2

2PxPLx

dx

dyzEI

Pers (4) merupakan persamaan sudut lentur balok AB.

(3)

(4)

31

Integral pers (4) :

26

3

2

2C

PxPLxyzEI

Syarat batas :

020)0( Cxy

Harga C2 = 0 masuk ke pers (5), maka persamaan lenturan menjadi :

6

3

2

2 PxPLxyzEI

(5)

(6)

(7)

32

Lenturan maksimum terjadi pada ujung B, maka :

)6

3

2

3(

1)(

PLPL

zEILxymaksy

zEI

PLPL

zEI 3

3

3

31

Sudut lentur maksimum terjadi pada ujung B, maka :

zEI

PL

PLPL

zEILxdx

dymaks

2

2

)2

22(

1

)(

33

SOAL 2 :P = 50 kN

y = ?

L = 3mBA

z y

x

Sebuah balok yg dijepit pada ujung A mempunyai panjang L = 3m dan mendapat beban sebesar P = 50 kN. Balok terbuat dari baja

yang mempunyai momen inersia Iz = 300 x 106 mm4 terhadap

sumbu netralnya dan modulus elastisitas E = 200 GN/m2.

Tentukan : lenturan maksimum dan sudut lentur maksimum pada balok tersebut.

34

Penyelesaian :

Dari hasil perhitungan pada soal no. 1, didapat :

zEI

PLmaksy

3

3

mmxx

xmaksy 5,7

)610300)(910200(3

6)10(3)3000)(31050(

zEI

PL

Lxdx

dymaks 2

2

)(

radxx

x

Lxdx

dymaks 00375,0

)610300)(910200(2

)610(2)3000)(31050(

)(

35

SOAL 3 :

Ditanyakan :

a.Persamaan lenturan dan sudut lentur balok AB akibat beban momen bending Mb.Lenturan dan sudut lentur maksimum balok AB akibat beban momen M

A B

MxyB = ?

x

y

L

y’B = ?

36

Penyelesaian :

A B

Mxy = ?

x

y

L

MAAx

Ay

Reaksi tumpuan di A dan B :

A

0yA

0xA

MAMAMM 037

Persamaan diferensial lenturan :

)(" xMyzEI

MyzEI "

MAMxM )(

1' CxMyzEI


(1)

(2)

38

Syarat batas : sudut lentur di jepitan A = 0:

xMyzEI '

Harga C1 = 0 masuk ke persamaan (2) menjadi :

0000)0(' 11 CCM.xy


22

2C

xMyzEI

(3)

(4)

39

00)0( 2 Cxy

Harga C2 = 0 masuk ke persamaan (4) menjadi :

2

2xMyzEI

Syarat batas : lenturan di jepitan A = 0:

(5)

40

Jadi :

zEI

xMxM

zEIy

2

2

2

21

a) Persamaan lenturan balok AB :

b) Persamaan sudut lentur balok AB :

zEI

MxMx

zEIy

1"

41

c) Lenturan maksimum balok AB :

zLxB EI

MLy )('

zLxB EI

MLy2

2

)(

d) Sudut lentur maksimum balok AB :

42

SOAL 4 :

A B

M = 150 kNm

x

yB = ?

x

y

L= 3m

y’B = ?

zz

y

300 mm

200 mm

Ditanyakan :

Lenturan maksimum dan sudut lentur maksimum balok AB akibat beban momen M = 150 kNm, bila modulus elastisitas bahan E = 200 GPa

Penampang balok

43

Penyelesaian :

Momen inersia luasan penampang balok thd sb x :

z

y

300 mm

200 mm

4733

10.4512

)300)(200(

12mm

bhzI

233 )10200()10200(200mm

NxMPaxGPaE

Modulus Elastisitas bahan :

44

Dari hasil perhitungan soal 4 didapat :

a) Lenturan maksimum balok AB :

mmxx

xx

zEI

MLmaksy 5,7

)71045)(310200(2

2)3000)(310310150(

2

2

b) Sudut lentur maksimum balok AB :

radxx

xx

zEI

MLmaksy 005,0

)71045)(310200(

)3000)(310310150('

45

SOAL 5 :

A B

x

yB = ?

x

y

Ly’B = ?

q

Ditanyakan :

Lenturan maksimum dan sudut lentur maksimum balok AB akibat beban merata q

46

Penyelesaian :

MA

Ax

Ay

A B

x

yB = ?

x

y

Ly’B = ?

q

Momen bending pd jarak x dari A :

2

2

2

2

)222(2

)2

)(()(

qxqLx

qL

xLxLqxL

xLqxM

47

Pers diferensial lenturan balok AB :

)(" xMyzEI

2

2

2

2"

qxqLx

qLyzEI


16

3

2

2

2

2' C

qxqLxxqLyzEI

Syarat batas : sudut lentur di jepitan A = 0:

00)0(' 1 Cxy

48

(1)

(2)

Harga C1 = 0 masuk ke persamaan (2) :

6

3

2

2

2

2'

qxqLxxqLyzEI


224

4

6

3

4

22C

qxqLxxqLyzEI

Syarat batas : lenturan di jepitan A = 0:

00)0( 2 Cxy

49

(4)

(3)

Harga C2 = 0 masuk ke persamaan (4) :

24

4

6

3

4

22 qxqLxxqLyzEI

Jadi :

zEI

qLqLqLqL

zEILxBymaksy

8

4)

24

4

6

4

4

4(

1)(

6

3)

6

3

2

3

2

3(

1)(''

qLqLqLqL

zEILxBymaksy

50

(5)

(5)integral ganda

Documents