bab 3 aplikasi integral ganda

Suryadi Siregar Metode Matematika Astronomi 2

KK-Astronomi Page 3-1

Bab 3

Terapan Integral Ganda __________________________________________________________________________

3.1 Integral Ganda dalam koordinat Kartesis dan Polar

Koordinat Kartesis Koordinat Polar

Ilustrasi

R={ , | , }x y a x b g x y f x

1 2R={ , | , )}r r

Massa , , R R

x y dA x y dxdyM ∬ ∬ , ,

R R

M r dA r rdrd ∬ ∬

Momen-x , x

R

M y x y dxdy∬ sin ,

R

x dM r r r r d ∬

Momen-y , R

y x x y d dyM x∬ cos , y

R

r r r drM d ∬

Titik berat

,

,

R

R

x x y dx dy

xx y dx dy

,

,

R

R

y x y dx dy

yx y dx dy

2 2 2

Dapat ditentukan

dan dari

r

x rcos

y rsin

x y r

ρ = rapat massa / densiti

A = luas daerah R



Jika ρ konstan titik pusat massa disebut Sentroid

1

R

R

R

x dx dy

x x dx dyAdx dy

1

R

R

R

y dx dy

y y dx dyAdx dy

3.2 Momen Inersia 1. Momen inersia terhadap suatu garis L, pada kurva

2 ( , ) ( , )L

R

I x y x y dxdy

Dalam hal ini,

x, y = jarak titik (x,y) dari garis L

2. Momen inersia terhadap sumbu x dan sumbu y

2 ( , )x

R

I y x y dxdy , 2 ( , )y

R

I x x y dxdy

3. Momen inersia polar


KK-Astronomi -3

2 2

0 x yI I I ( , )R

x y x y dxdy

Contoh 1. Diketahui: Suatu lamina berbentuk daerah yang dapat didefinisikan sebagai himpunan

2

3R { x, y | 0 8, 0 }x y x dengan rapat massa ,x y xy

Ditanya:M, Mx, My dan ( , )x y , dan lain-lain

Jawab : 2

3R { x, y | 0 8, 0 }x y x

Jadi

2 23 3

23

8 88

2

00

0 0 0 0

8 7

3

0

1( ) ( , )

2

1 768

2 5

x x

x

R

M R x y dxdy xy dxdy xydy dx xy dx

x dx

Jadi massanya adalah 768/5 satuan massa

Untuk pertanyaan lain dapat diselesaikan, dengan menggunakan pernyataan

Moment terhadap sumbu x

( , ) x

R

M R y x y dxdy

Moment terhadap sumbu y

( , ) y

R

M R x x y dxdy

Koordinat

pusat

massa

( ) ( )

,( ) ( )

y x

M R M Rx y

M R M R

3.3 Studi kasus Nebula Cincin

Lingkaran konsentris berikut adalah model ideal dari sebuah ”ring-nebula” berjari- jari a dan

b, dan mempunyai rapat massa yang tetap ( , ) cx y . Pertanyaannya;

a. Deskripsikan daerah R dari cincin ini

b. Hitung momen inersia polarnya



Simulasi Ring Nebulae “Fomalhaut”, suatu

nebula yang berjarak 25 pc, massa 2,3 massa

matahari dan radiusnya 1,85 radius matahari.

Suhunya 8500 K dan berumur 200 juta tahun.

Noktah merah menunjukkan planet, noktah putih

adalah bintang dan cincin bagian dalam

berwarna kecoklatan menyatakan serpihan

piringan. Jarak planet ke bintang 15 au

Nebula terletak pada rasi Piscis Austrinus dengan h m s o22 57 39 ,1 dan 29 37'20"

Penyelesaian

Persamaan lingkaran dengan jejari a dan b adalah;

2 2 2x y b sebut dareah R1

2 2 2x y a sebut dareah R2

Jadi daerah cincin tersebut adalah R1-R2

Momen inersia cincin dengan jejari a dan b adalah;

2

0R

I r dA dalam hal ini, r – jarak elemen massa/luas ke pusat koordinat, = rapat

massa dan dA elemen luas dalam daerah R

Cara 1

Daerah cincin adalah selisih 1R dan 2R . Luas daerah ini merupakan 4 kali luas daerah yang

terletak pada kuadran I x 0 dan y 0

2 2

1 4 ( , ) | 0 , 0 ( )R x y x b y b x dan 2 2

2 4 ( , ) | , 0 ( )R x y o x a y a x

Jadi :

2

0

2( ) ( , )R

x y x y dxdyI

1 2

2 2 2 2

0

1 1

4 4

4 ( ) 4 ( )

R R

I x y cdxdy x y cdxdy



2 2 2 2

2 2 2 2

0

0 0 0 0

4 4 4 4 4( )

b b x a a x

b a b aI x y cdxdy x y cdxdy I I I I

Misalkan;

2 2

2 21 3

2 2 2 3 2 2 2 2 22 2

0 0 0 00

1 1

3 3

a xa a x a a

aIx y dxdy x y y dx x a x a x dx

c

Misalkan;

sin cos

0 0

arcsin 12

x a dx a d

x

x a

Jadi diperoleh bentuk integral yang baru;

1 32

2 2 2 2 2 2 2 22 2

0

1sin sin sin cos

3

aIa a a a a a d

c

2 24 2 2 4 4 2 2 4

0 0

/224 2 4 4

2 4

00

1 1sin cos cos (1 cos )cos cos

3 3

2 2cos cos

3 3

aIa d a d

c

a d a C C

Gunakan rumus rekursif;

1

2

1cos cos sin ( 1)

n n

n nC d n Cn

Diperoleh;

/2 4 44

2 4

0

2

3 8 8

aa

I a a ca C C I

c

Dengan cara yang sama, diperoleh;

/2 4 44

2 4

0

2

3 8 8

bb

I b b cb C C I

c

Dengan demikian diperoleh hasil akhir;



4 44 4

0 42 2

b a

c b ab c a cI I I

Cara 2

Persamaan ini lebih mudah diselesaikan dengan koordinat polar dalam hal ini daerah yang

ditinjau adalah ;

( , ) , dan 0 2R r a r b sedangkan elemen luas dA rdrd

Jadi kita harus menghitung;

4 42

2 3 3

0

0

2( , )

4

b

R R a

c b aI r r rdrd r cdrd c r drd

Atau;

4 4

02

c b aI

3.4 Studi Kasus Inti Komet 1) Inti sebuah komet memperlihatkan daerah berbentuk mirip elips. Inti ini dapat dianggap

sebagai suatu lamina dengan rapat massa tetap. Model ideal untuk inti komet digambarkan

sebagai sebuah daerah yang dibatasi oleh dua kurva. Pertanyaannya, tentukan sentroid dari

lamina S yang dibatasi kurva berikut:

2 3y x dan 2 5y x

Penyelesaian

Apabila kurva berpotongan artinya, titik potong antara dua kurva memenuhi

3 5 1x x x

Dengan demikian

2 5 4 2y x y

Jadi titik potongnya adalah (1,-2) dan (1,2)

Misal rapat massa lamina homogen tersebut ρ . Maka massa dari lamina tersebut adalah

R R

M ρ x y dxdy ρ dxdy,



y R

R

x R

R

xdxdyM

xA dxdy

ydxdyM

yA dxdy

Jawab: Hitung luas daerah R

2

2

2

2

252 2 2 25 2 2 2 3

322 2 2 23

2 5 3 8 2 8

3

16 16 32 6416 16 32

3 3 3 3

yy

y

R y

A dxdy dxdy x dy y y dy y dy y y

Titik beratnya dapat dicari

22

22

552 2 2 2 4 4 22

32 2 23

22 23

22

1 3 3 1 3 25 10 6 9

64 64 2 64 2 2

3 16 4 3 2 3 16 16 3 648 16 16 1

64 2 64 3 64 3 3 64 3

yy

R yy

y y y yx x dxdy x dxdy x dy dy

A

ydy y y

∬

dan

2

2

2

2

52 2 25 3 3

3

2 2 23

22

3 2 4

22

1 3 3 3 5 3

64 64 64

3 3 1 38 2 4 16 8 16 8 0

64 64 2 64

yy

yR y

y y dxdy y dxdy xy dy y y y y dyA

y y dy y y

∬

2) . Suatu daerah dibatasi oleh kurva logy x , garis 0y dan 1 x a

Carilah massa dan sentroid dari lamina tersebut ?

Penyelesaian



Jawab:

, 1 , 0 logR x y x a y x

lnlog

ln10

xx

log

log

0

1 0 1

1 1

lnlog

ln10

xa ax

R

a a

A dxdy dydx y dx

xxdx dx

∬

Tinjau 1

ln

a

xdx

Mis : 1

ln , u x du dx dv dx v xx

Gunakan integrasi parsial u dv uv vdu

1 1

1 1

1ln ln ln ln1 ln 1

a aa a

xdx x x x dx a a x a a ax

Jadi luas daerah yang dibatasi adalah

ln 1

ln10

a a aA

Titik berat dapat dicari dari pernyataan

log

log

0

1 0 1 1 1

1 1 1 1 1 ln log

ln10

xa a a ax

R

xx xdxdy xdydx xy dx x xdx x dx

A A A A A ∬

Tinjau 1

ln

a

x xdx

Mis : 1

ln u x du dxx

dan 21

2dv xdx v x

Gunakan integrasi parsial u dv uv vdu

2 2 2 2

1 11 1

1 1 1 1 1 ln ln ln 0

2 2 2 4

a aa a

x xdx x x x dx a a xx



2 2 22

1

1 1 2 ln 1 ln ln

2 4 4 4

aa a a a

x xdx a a

Untuk titik berat hitung dari pernyataan

2 2 2 2 2 21 (2 1) ln10 (2 1) (2 1)

(4ln10) ( ln 1) 4ln10 4( ln 1

n ln

)

ln la a a a a a a a ax

A a a a a a a

2log 2log

2

01 0 1 1 1

log1 1 1 1 1 1 ln

2 2 2 ln10

xxa a a a

R

x xy y dxdy y dydx y dx dx dx

A A A A A

∬

Tinjau integral 2

1

ln

a

I x dx

Mis : 1

lnu x du dxx

dan ln lndv xdx v x x x

2 2 2

1 1

1 1

2 2

( ln )(ln ) [ (ln ) ln ] ( (ln ) ln ) [ ln ]

ln ln ln 2 0 2 ln 2 ln 2 2

a a

a a

udv uv vdu

x x xI x dx x x x x dx a a a a x x x x

x

a a a a a a a a a a a a

Jadi

2 2

2 ln 2 ln 2 2 ln 2 ln 2 21 ln10 ln 2 ln 2 2

2 2 ln 1 ln10 2 ln 1

a a a a a a a a a ay a a a a a

A a a a a a a

Kesimpulan, titik beratnya adalah;

2 2(2 1)

4( ln

n

1

l

)

a a ax

a a a

dan

2ln 2 ln 2 2

2 ln 1

a a a a ay

a a a

3.5 Menentukan titik berat inti asteroid / komet Untuk menentukan titik berat inti asteroid / komet. Bayangan dibagi dalam empat

persegi panjang kecil dengan luas yang sama. Pengukuran dilakukan dengan densitometer.

Masing masing empat persegi panjang diukur densitasnya. Pelat potret bergerak maju

mundur, ke kiri dan ke kanan

x

y (xi,yi)

y Densitometer



Plat potret Schmidt, memperlihatkan

jejak asteroid/komet. Problem utama

adalah menentukan posisi yang tepat

memilih inti komet/asteroid. Aplikasi

mencari titik berat dapat digunakan untuk

menentukan inti komet/asteroid

Gambar Low activity comet P/2006 HR30 bayangan kasar komet dan model koma dipotret 4

Agustus 2006 Palomar 200 inch. Komet ini mirip asteroid tipe D

Titik berat dapat dicari dari formula.

1

1

n

i i

i

n

i

i

x x y

x

x y

dan 1

1

n

i i

i

n

i

i

y x y

y

x y

dengan i rapat massa pada tiap empat persegi panjang dengan dimensi yang sama,

sedangkan n jumlah empat persegi panjang.

3.6 Soal latihan Tentukan sentroid dari lamina S berikut, jika daerah S dibatasi oleh kurva yang bersangkutan

1. 2 , 2y x x y [ 1/ 2, 8 / 5]x y

2. 2 23, 5y x y x [ 1, 0]x y

x

dengan rapat “massa” pada tiap

empat persegi panjang dengan

dimensi yang sama, sedangkan n

jumlah empat persegi panjang.



3. 2 8 0, 3 5 0, 2, 4x y x y x x 18 50,

13 39x y

4. 2 , 0,0y sin x y x [ / 2, / 8]x y

5. sin , cos , 0 4

y x y x x

22 (log )

( 2 1) 1 ;4 2( log 1)

a ax y

a a a

6. log , 0, 1 y x y x a

2 2 22 log 1 (log ) ; 4( log 1) 2( log 1)

a a a a ax y

a a a a a a

7. 1, 0, 0x y x y [1

5x y ]

8. 2 2

3 3 1, 0, 0 pada kuadran Ix y x y 256

[ ]315

x y



Daftar Isi

Bab 3 .......................................................................................................................................... 1

Terapan Integral Ganda.............................................................................................................. 1

3.1 Integral Ganda dalam koordinat Kartesis dan Polar ...................................................... 1

3.2 Momen Inersia ................................................................................................................ 2

3.3 Studi kasus Nebula Cincin .............................................................................................. 3

3.4 Studi Kasus Inti Komet ................................................................................................... 6

3.5 Menentukan titik berat inti asteroid / komet ................................................................. 9

3.6 Soal latihan.................................................................................................................... 10

bab 3 aplikasi integral ganda

Documents