bab 4 aplikasi integral tertentu revisi
DESCRIPTION
soalTRANSCRIPT
BAB IVAPLIKASI INTEGRAL TERTENTU
Standar Kompetensi
Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami penggunaan integral tertentu dalam masalah-masalah praktis. Kompetensi Dasar1. Mahasiswa dapat menentukan luas suatu luasan dengan menggunakan integral tertentu.
2. Mahasiswa dapat menentukan volume benda putar dengan menggunakan integral tertentu.
3. Mahasiswa dapat menentukan panjang busur suatu kurva dengan menggunakan integral tertentu
4. Mahasiswa dapat menentukan luas permukaan benda pejal dengan menggunakan integral tertentu.
Bab IV buku ini membahas hal-hal pokok yang berkaitan dengan aplikasi integral tertentu, antara lain: (1) luas suatu luasan, (2) volume benda putar (3) menentukan panjang busur dan 4) luas permukaan. Integral tertentu dengan berbagai macam sifat-sifatnya yang telah dibahas pada pasal sebelumnya dapat digunakan untuk menentukan selesaian masalah-masalah praktis dalam kehidupan nyata. Beberapa diantara penggunaan integral yang di bahas dalam buku ini adalah menetukan luas suatu luasan, menghitung volume benda pejal, menentukan panjang busur suatu kurva yang telah ditentukan persamaannya, dan menentukan luas permukaan benda putar.
Untuk memperjelas masing-masing pembahasan tentang penggunaan integral tertentu, penulis menggunakan beberapa ilustrasi dan gambar yang diharapkan gambar tersebut akan memudahkan pembaca untuk memahaminya. Pembahasan selengkapnya adalah sebagai berikut:
4.1 Luas Suatu Luasan
Luasan didefinisikan sebagai suatu daerah dalam bidang dengan persamaan atau atau yang berbatasan dengan sumbu-sumbu koordinat atau garis yang sejajar sumbu koordinat. Luasan dalam bidang dapat dikelompokkan menjadi luasan positip dan luasan negatip. Luasan positip adalah luasan dengan persamaan dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di atas sumbu atau luasan dengan persamaan dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak disebelah kanan sumbu Berikut ini gambar luasan positip yang dimaksud.
Gambar 4.1Luasan negatif adalah luasan dengan persamaan dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di bawah sumbu atau luasan dengan persamaan dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak disebelah kiri sumbu Berikut ini gambar luasan negatif tersebut.
Gambar 4.2Luasan positip dan negative sebagaimana telah dijelaskan di atas, pembatasn juga dapat terjadi bukan hanya satu kurva tetapi dapat juga berupa dua kurva sekaligus, misalnya dan . Pembahasan dalam buku ini diawali dengan menentukan luas luasan menggunakan integral untuk daerah yang dibatasi oleh satu kuva.
a. Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat.
Perhatikan gambar luasan dibawah ini
Gambar 4.3R sebagaimana terlihat pada gambar 4.3 adalah luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan R dinyatakan dengan
Jika luasan terletak di bawah sumbu X maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan. Sehingga luas luasan daerah negatif dinyatakan dalam bentuk
Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langkah-langkah sebagai berikut :
a) Gambar luasan yang akan ditentukan luasnya sehingga tampak jelas batas-batasnya dan mudah dilihat.
b) Buatlah garis-garis yang sejajar sumbu atau sumbu , selanjutnya bagilah luasan dalah bidang yang disebut partisi dan berikan nomor pada masing-masing partisi yang terbentuk.
c) Hampiri luas masing-masing partisi tertentu tersebut dengan menggunakan luas persegi panjang
d) Jumlahkan luas masing-masing partisi pada luasan yang telah dibentuk.
e) Dengan menggunakan limit dari jumlah luas partisi diatas dengan lebar masing-masing partisi menuju 0, maka diperoleh integral tertentu yang menrupakan luas luasan.Contoh:
1) Segitiga ABC terletak pada , titik-titik sudutnya dinyatakan dalam koordinat kartesius yaitu A(0,0), B(3,0) dan C(3,7). Dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas segitiga ABC. Jawab
Gambar segitiga ABC adalah
Gambar 4.4 Persamaan garis AC dinyatakan dengan rumus
Diperoleh persamaan
Sehingga luas yang dicari dinyatakan dengan
2) Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat.
Jawab
Luasan yang dibatasi sumbu-sumbu koordinat gambarnya adalah
Gambar 4.5
Tampak pada gambar 4.5 di atas luasan yang diketahui (R) berada di atas sumbu x sehingga luasnya dapat dinyatakan dengan menggunakan integral yaitu:
3) Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva dan garis
Gambar 4.6
Dengan cara yang sama luas luasan di atas dinyatakan dengan
Selanjutnya, perhatikan gambar luasan berikut ini :
Gambar 4.7Luasan R pada gambar 4.7 di atas dibatasi oleh kurva .
Dengan integral tertentu luas luasan R yang berada disebelah kanan sumbu x dinyatakan dalam bentuk
Jika gambar terletak disebelah kiri sumbu x maka integral tertentu di atas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan, sehingga diperoleh:
Contoh
1) Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva dan garis
Jawab
Luasan dan garis dapat digambarkan sebagai berikut:
Gambar 4.8
Sehingga luas luasan tersebut adalah
b. Daerah antara dua kurva
Daerah antara dua kurva adalah luasan yang pembatsanya adalah dan denganpada selang . Sepertihalnya luasan yang dibatasi oleh satu kurva, luasan yang dibatasi dua kurva dapat berupa luasan positip dan luasan negatip. Dengan demikian aturan menentukan luas luasan dengan integral pada luasan yang dibatasi satu kurva juga berlaku untuk luasan yang dibatasi oleh dua kurva. Perhatikan gambar 4.9 berikut ini.
Gambar 4.9
Sehingga luas luasan dinyatakan dengan:
Rumus di atas berlaku untuk luasan di atas sumbu x, jika luasannya disebelah kanan sumbu y, maka luas luasan yang dibatasi oleh dua kurva dinyatakan dengan
Soal-soal Gunakah integral tertentu untuk menentukan luas luasan berikut.
1. Luasan R dibatasi oleh kurva dan
2. Luasan R dibatasi oleh kurva-kurva , dan
3. Luasan R dibatasi oleh kurva dan
4. Luasan R dibatasi oleh kurva-kurva , dan . Kemudian hitunglah luasnya.5. Luasan R dibatasi oleh kurva dan
4.2 Volume Benda Putara. Pemutaran mengelilingi sumbu X
Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu x. Lintasan kurva karena mengelilingi sumbu X membentuk bangun berupa benda padat (pejal). Dengan menggunakan integral tertentu volume benda padat tersebut dapat didekati dengan menggunakan rumus: .
Gambar 4.10
Gambar 4.11
Jika R dibatasi oleh dua kurva yaitu . Dengan Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu x, maka terbentuk benda pejal yang volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:
Gambar 4.12b. Pemutaran mengelilingi sumbu Y
Misal R adalah luasan yang dibatasi oleh Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu x. Lintasan kurva akan membentuk bangun berupa benda pejal. Benda tersebut volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu yaitu: .
Gambar 4.13
Gambar 4.14 Gambar 4.15Jika R dibatasi oleh dua kurva yaitu . Dengan Selanjutnya R diputar mengelilingi sumbu y, maka terbentuk benda pejal yang volumenya dapat didekati dengan menggunakan integral tertentu, yaitu:
Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan besar volume adalah hasilkali luas alas (luas lingkaran) dan tinggi tabung. Volume dari benda putar secara umum dapat dihitung dari hasilkali antara luas alas dan tinggi. Bila luas alas dinyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar adalah panjang selang [ a,b ] maka volume benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut :
Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua buah metode yaitu metode cakram dan kulit tabung.
Metode Cakram
Misal daerah dibatasi oleh diputar dengan sumbu putar sumbu x. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang .
Misal pusat cakram dan jari-jari . Maka luas cakram dinyatakan :
Oleh karena itu, volume benda putar :
Sedang bila grafik fungsi dinyatakan dengan diputar mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar :
Bila daerah yang dibatasi oleh , untuk setiap diputar dengan sumbu putar sumbu X maka volume:
Bila daerah yang dibatasi oleh untuk setiap diputar dengan sumbu putar sumbu Y maka volume :
Contoh :
1. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh : dan diputar mengelilingi a. sumbu X.
b. sumbu Y
Jawab :
Kedua kurva berpotongan di titik ( 0,2 ) dan ( 2,4 ).
a. Pada selang . Volume benda diputar mengelilingi sumbu x dinyatakan oleh
b. Pada selang Volume benda diputar mengelilingi sumbu y dinyatakan oleh
2. Hitung volume benda putar bila luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva : dan sumbuY bila diputar mengelilingi garis
Jawab :
Kedua kurva berpotongan di dan Pada selang berlaku .
Jarak kurva terhadap sumbu putar (garis y = -2) dapat dipandang sebagai jari-jari dari cakram, berturut-turut adalah dan
.
Sehingga volume benda putarnya adalah:
Metode Kulit Tabung Metode kulit tabung sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda putar yang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan metode cakram. Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari kulit luar dan dalamnya berbeda, maka volume yang akan dihitung adalah volume dari kulit tabung. Untuk lebih memperjelas kita lihat uraian berikut.
Pandang tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut dan , tinggi tabung h. Maka volume kulit tabung adalah :
Bila daerah yang dibatasi oleh diputar mengelilingi sumbu Y maka kita dapat memandang bahwa jari-jari dan tinggi tabung Oleh karena itu volume benda putar yang terjadi adalah
Misal daerah dibatasi oleh kurvadiputar mengelilingi sumbu Y. Maka volume benda putar
Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan diputar mengelilingi sumbu X, maka volume =
Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh diputar mengelilingi sumbu X. Maka volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan
Contoh :
1. Hitung volume benda putar bila daerah yang terletak di kuadran pertama dibawah parabolaJawab
dan di atas parabola diputar mengelilingi sumbu Y.
Bila kita gunakan metode cakram, maka daerah kita bagi menjadi dua bagian yaitu : pada selang dibatasi dan sumbu Y sedang pada selang dibatasi
dan sumbu Y. Oleh karena itu volume =
2. Hitung volume benda putar bila daerah D yang dibatasi oleh , sumbu X dan sumbu Y bila diputar mengelilingi garis x = 1Jawab Misal di ambil sembarang nilai x pada daerah D maka didapatkan tinggi benda pejal, dan jari-jari ( jarak x terhadap sumbu putar / garis x = 1 ), ( 1 + x ). Oleh karena itu,
volume benda putar :
4.3 Panjang Busur
Gambar 4.16Pada gambar 4.16, AB adalah suatu bagian kurva Berdasarkan definisi, AB merupakan limit penjumlahan dari panjang sekumpulan tali busur yang menghubungkan titik-titik pada busur itu. Jika banyaknya titik-titik pada kurva banyaknya menuju tak hingga maka panjang tiap tali busur tersebut menuju nol. Selanjutnya jika dan sebarang dua titik pada kurva dengan turunan adalah yang masing-masing kontinu pada interval maka panjang tali busur dinyatakan oleh
Dengan cara yang sama, jika dan dua titik pada kurva yang persamaannya dinyatakan dengan dengan turunannya adalah yang masing-masing kontinu pada maka panjang busur AB dinyatakan oleh
Apabila persamaan kurva dinyatakan dalam bentuk persamaan parametrik
Dan jika syarat kontinuitasnya dipenuhi maka panjang tali busur AB dinyatakan oleh:
Contoh
1) Gunakan dengan teknik integral untuk menentukan panjang ruas garis antara titik (1,5) dan (3,9). Bandingkan hasilnya dengan menggunakan rumus jarak.Jawab
Karena diperoleh sehingga
Dengan menggunakan rumus jarak yang menghubungkan dua titik
Kedua cara memberikan hasil yang sama.
2) Tentukan panjang tali busur AB pada kurva jika dan
Jawab
Karena maka atau dan berubah dari dan sehingga
3) Tentukan panjang tali busur AB pada kurva untuk .Jawab
Karena maka sehingga
Dengan menggunakan substitusi .Misal diperoleh sehingga
Karena maka dan Karena maka
Sehingga
4) Tentukan panjang tali busur pada kurva antara
Jawab
Karena maka Atau sehingga diperoleh
Karena y berubah dari sehingga
\
5) Tentukan panjang tali busur pada kurva
Jawab
Karena maka dan karena maka
Sehingga diperoleh
Soal-soal
Tentukan panjang tali busur yang ditunjukkan oleh
1) antara dan
2) antara dan
3) antara dan
4) antara dan
5) 6)
4.4 Luas Permukaan Benda Putar
Jika sebuah luasan R yang terbatas bidang mengelilingi salah satu sumbu pada bidangnya maka lintasan kurva tersebut membentuk benda pejal yang permukaannya dapat ditentukan luasnya dengan menggunakan integral ternntu
Perhatikan gambar berikut.R adalah suatu luasan yang dibatasai oleh kurva diputar mengelilingi sumbu
Gambar 4.17
Selanjutnya R sebagaimana gambar di atas di atas diputar mengelilingi sumbu sehingga terbentuk benda pejal
Gambar 4.18Gambar 4.18 di atas berupa kerucut terpancung yang mempunyai jari-jari alas dan
Dengan tinggi t. Luas permukaan kerucut terpancung tersebut adalah
Selanjutnya andaikan dengan cara membuat partisi [a,b] menjadi n bagian dengan menggunakan . Dengan demikian kurva yang terbagi terdiri atas n bagian. Andaikan menyatakan panjang potongan dan andaikan adalah sebuah titik pada potongan . Karena pita potongan diputar mengelilingi sumbu x maka luas pita tersebut dapat dihampiri oleh Apabila luas semua potongan pita dijumlahkan dengandiperoleh luas permukaan benda pejal dan ditunjukkan dengan limit partisi sebagai berikut:
Dengan cara yang sama jika luasan diputar mengelilingi sumbu y dalam batasan garis dan maka luas permukaannya dinyatakan dengan
Jika persamaan kurva dinyatakan dalam bentuk persamaan parametrik dengan maka luas permukaan benda pejal dinyatakan oleh rumus
Contoh soal
1) Luasan R dibatasi oleh kurva diputar mengelilingi sumbu . Dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas permukaannya dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.
Gambar 4.19
Karena maka
Dengan menggunakan integral integral tertentu, luas permukaan benda putar di atas dapat ditentukan dengan rumus:
2) Luasan R dibatasi oleh kurva diputar mengelilingi sumbu y. dengan menggunakan integral tertentu tentukan luas permukaannya dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya. Jawab
Gambar 4.20
Karena maka sehingga
Dengan menggunakan integral integral tertentu, luas permukaan benda putar di atas dapat ditentukan dengan rumus:
3) Kurva diputar mengelilingi sumbu x, tentukan luas permukaan benda pejal dengan terlebih dahulu menggambarkan.
Jawab
Gambar 4.21Karena maka diperoleh
Dengan menggunakan integral integral tertentu, luas permukaan benda putar di atas dapat ditentukan dengan rumus:
Soal-soal1) Sebuah luasan R dibatasi kurva diputar mengelilingi sumbu x, dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.
2) Sebuah luasan R dibatasi kurva diputar mengelilingi sumbu x, dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.
3) Sebuah luasan R dibatasi kurva dan diputar mengelilingi sumbu y, dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.
4) Sebuah luasan R dibatasi kurva dan diputar mengelilingi sumbu y, dengan teknik integral tertentu, hitung luas permukaan dengan terlebih dahulu menggambar benda putarnya.
5) Luasan R dibatasi oleh fungsi parametrik dan diputar menglilingi sumbu x. Tentukan luas permukaannya.
a)
b)
c)
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
PAGE 135Kalkulus Integral:Dwi Purnomo-
_1413488721.unknown
_1413998430.unknown
_1414078210.unknown
_1414382797.unknown
_1414558116.unknown
_1414559413.unknown
_1414559629.unknown
_1414559730.unknown
_1414559764.unknown
_1414560107.unknown
_1414560182.unknown
_1414559781.unknown
_1414559748.unknown
_1414559691.unknown
_1414559536.unknown
_1414559589.unknown
_1414559439.unknown
_1414559285.unknown
_1414559341.unknown
_1414559406.unknown
_1414559333.unknown
_1414558418.unknown
_1414558680.unknown
_1414558996.unknown
_1414559007.unknown
_1414558948.unknown
_1414558611.unknown
_1414558163.unknown
_1414558411.unknown
_1414558126.unknown
_1414557562.unknown
_1414557996.unknown
_1414558070.unknown
_1414557600.unknown
_1414557627.unknown
_1414557745.unknown
_1414557772.unknown
_1414557699.unknown
_1414557617.unknown
_1414557583.unknown
_1414384355.unknown
_1414385468.unknown
_1414385741.unknown
_1414385817.unknown
_1414385841.unknown
_1414385551.unknown
_1414384568.unknown
_1414384741.unknown
_1414384783.unknown
_1414384547.unknown
_1414384301.unknown
_1414384346.unknown
_1414383035.unknown
_1414176329.unknown
_1414177058.unknown
_1414382084.unknown
_1414382440.unknown
_1414382780.unknown
_1414382102.unknown
_1414177421.unknown
_1414177713.unknown
_1414177816.unknown
_1414177742.unknown
_1414177613.unknown
_1414177181.unknown
_1414176590.unknown
_1414176717.unknown
_1414176797.unknown
_1414176612.unknown
_1414176488.unknown
_1414176523.unknown
_1414176347.unknown
_1414174743.unknown
_1414176182.unknown
_1414176276.unknown
_1414176315.unknown
_1414176220.unknown
_1414176166.unknown
_1414176173.unknown
_1414175855.unknown
_1414174845.unknown
_1414171973.unknown
_1414174575.unknown
_1414174604.unknown
_1414174648.unknown
_1414174587.unknown
_1414173391.unknown
_1414174164.unknown
_1414174232.unknown
_1414173792.unknown
_1414173765.unknown
_1414172722.unknown
_1414173357.unknown
_1414172699.unknown
_1414079576.unknown
_1414081388.unknown
_1414081423.unknown
_1414081307.unknown
_1414081370.unknown
_1414081246.unknown
_1414079509.unknown
_1414079536.unknown
_1414078762.unknown
_1414078815.unknown
_1414078692.unknown
_1414028828.unknown
_1414049724.unknown
_1414077577.unknown
_1414077628.unknown
_1414078133.unknown
_1414078181.unknown
_1414077841.unknown
_1414077598.unknown
_1414049726.unknown
_1414049730.unknown
_1414049731.unknown
_1414049728.unknown
_1414049729.unknown
_1414049727.unknown
_1414049725.unknown
_1414049716.unknown
_1414049720.unknown
_1414049722.unknown
_1414049723.unknown
_1414049721.unknown
_1414049718.unknown
_1414049719.unknown
_1414049717.unknown
_1414046868.unknown
_1414049714.unknown
_1414049715.unknown
_1414046870.unknown
_1414040792.unknown
_1414042604.unknown
_1414042820.unknown
_1414043987.unknown
_1414042724.unknown
_1414040842.unknown
_1414040850.unknown
_1414040725.unknown
_1414040741.unknown
_1414040448.unknown
_1414040477.unknown
_1414040360.unknown
_1414040373.unknown
_1414040390.unknown
_1414039850.unknown
_1413999072.unknown
_1413999574.unknown
_1414000655.unknown
_1414028590.unknown
_1414028798.unknown
_1414001677.unknown
_1414000189.unknown
_1414000271.unknown
_1413999575.unknown
_1413999299.unknown
_1413999524.unknown
_1413999185.unknown
_1413999247.unknown
_1413998982.unknown
_1413999038.unknown
_1413998676.unknown
_1413955810.unknown
_1413960687.unknown
_1413961499.unknown
_1413963891.unknown
_1413964192.unknown
_1413997206.unknown
_1413997401.unknown
_1413997413.unknown
_1413997351.unknown
_1413964817.unknown
_1413964023.unknown
_1413964049.unknown
_1413963993.unknown
_1413963850.unknown
_1413963886.unknown
_1413961657.unknown
_1413961146.unknown
_1413961273.unknown
_1413961296.unknown
_1413961430.unknown
_1413961272.unknown
_1413961129.unknown
_1413960498.unknown
_1413960594.unknown
_1413960686.unknown
_1413960577.unknown
_1413959537.unknown
_1413959901.unknown
_1413959855.unknown
_1413959483.unknown
_1413959466.unknown
_1413954100.unknown
_1413954459.unknown
_1413955130.unknown
_1413955483.unknown
_1413955789.unknown
_1413955331.unknown
_1413955374.unknown
_1413955202.unknown
_1413954795.unknown
_1413955120.unknown
_1413955115.unknown
_1413954471.unknown
_1413954784.unknown
_1413954312.unknown
_1413954344.unknown
_1413954232.unknown
_1413954147.unknown
_1413898647.unknown
_1413953453.unknown
_1413953699.unknown
_1413953755.unknown
_1413953803.unknown
_1413953891.unknown
_1413953709.unknown
_1413953556.unknown
_1413953647.unknown
_1413953505.unknown
_1413953496.unknown
_1413953497.unknown
_1413953469.unknown
_1413898675.unknown
_1413953365.unknown
_1413898660.unknown
_1413894638.unknown
_1413895427.unknown
_1413896359.unknown
_1413898634.unknown
_1413898142.unknown
_1413896419.unknown
_1413896221.unknown
_1413896314.unknown
_1413896198.unknown
_1413896066.unknown
_1413895029.unknown
_1413895256.unknown
_1413895311.unknown
_1413895047.unknown
_1413894831.unknown
_1413894973.unknown
_1413894757.unknown
_1413488862.unknown
_1413893095.unknown
_1413894482.unknown
_1413894555.unknown
_1413893422.unknown
_1413893433.unknown
_1413893255.unknown
_1413892829.unknown
_1413892845.unknown
_1413488889.unknown
_1413892811.unknown
_1413488778.unknown
_1413488836.unknown
_1413488743.unknown
_1396091610.unknown
_1399122456.unknown
_1413488168.unknown
_1413488336.unknown
_1413488410.unknown
_1413488455.unknown
_1413488290.unknown
_1400587886.unknown
_1413487860.unknown
_1413487336.unknown
_1413487592.unknown
_1413487682.unknown
_1413487355.unknown
_1413486467.unknown
_1400584560.unknown
_1400587848.unknown
_1399125722.unknown
_1399125811.unknown
_1399122504.unknown
_1396093168.unknown
_1396438275.unknown
_1399122392.unknown
_1399122402.unknown
_1396438326.unknown
_1396093535.unknown
_1396437985.unknown
_1396438157.unknown
_1396093632.unknown
_1396093689.unknown
_1396093581.unknown
_1396093309.unknown
_1396093426.unknown
_1396093389.unknown
_1396093235.unknown
_1396092753.unknown
_1396092927.unknown
_1396093013.unknown
_1396092790.unknown
_1396091759.unknown
_1396091772.unknown
_1396091647.unknown
_1396090281.unknown
_1396091025.unknown
_1396091440.unknown
_1396091573.unknown
_1396091231.unknown
_1396091258.unknown
_1396091056.unknown
_1396090561.unknown
_1396090860.unknown
_1396091011.unknown
_1396090565.unknown
_1396090401.unknown
_1396090504.unknown
_1396090310.unknown
_1396084676.unknown
_1396088694.unknown
_1396088901.unknown
_1396089399.unknown
_1396090056.unknown
_1396089119.unknown
_1396088727.unknown
_1396088792.unknown
_1396088705.unknown
_1396084909.unknown
_1396085293.unknown
_1396087898.unknown
_1396085283.unknown
_1396084881.unknown
_1395922184.unknown
_1395922193.unknown
_1395922203.unknown
_1395922207.unknown
_1395922209.unknown
_1396084019.unknown
_1395922210.unknown
_1395922208.unknown
_1395922205.unknown
_1395922206.unknown
_1395922204.unknown
_1395922201.unknown
_1395922202.unknown
_1395922195.unknown
_1395922190.unknown
_1395922191.unknown
_1395922187.unknown
_1395922170.unknown
_1395922180.unknown
_1395922181.unknown
_1395922173.unknown
_1395922168.unknown
_1395922169.unknown
_1395922167.unknown