INTEGRAL TERTENTUINTEGRAL TERTENTU

1. Integral Tertentu sebagai Luas Daerah di bidang Datar1. Integral Tertentu sebagai Luas Daerah di bidang Datar

Perhatikan gambar sebuah kurva tertutup dibawah ini !Perhatikan gambar sebuah kurva tertutup dibawah ini !

Luas daerah kurva tertutup dapat dicari dengan menutupi daerah kurva dengan persegi-persegi sebagai berikut :

Luas daerah kurva tertutup dapat dicari dengan menutupi daerah kurva dengan persegi-persegi sebagai berikut :

Jumlah persegi yang ada di dalam kurva ada 21, sedangkan jumlah persegi yang menutupi seluruh kurva ada 46. misalkan luas kurva adalah L maka 21 < L < 46. jika ukuran persegi diperkecil maka akan diperoleh perhitungan luas L yang lebih teliti.

Jumlah persegi yang ada di dalam kurva ada 21, sedangkan jumlah persegi yang menutupi seluruh kurva ada 46. misalkan luas kurva adalah L maka 21 < L < 46. jika ukuran persegi diperkecil maka akan diperoleh perhitungan luas L yang lebih teliti.

next

next

next

Kita dapat menggunakan teknik di atas untuk menghitung luas daerah tertutup yang dibatasi sumbu X, garis x =a, garis x = b, dan grafik y = f(x).

Kita dapat menggunakan teknik di atas untuk menghitung luas daerah tertutup yang dibatasi sumbu X, garis x =a, garis x = b, dan grafik y = f(x).

Perhatikan gambar berikut :Perhatikan gambar berikut :

XX

YYy = f(x)y = f(x)

aa bb

Luas daerah yang di arsir (L) dapat dihitung dengan membuat n persegi panjang dengan lebar sama pada interval [ a,b ], Sbb :

Luas daerah yang di arsir (L) dapat dihitung dengan membuat n persegi panjang dengan lebar sama pada interval [ a,b ], Sbb :

ΔxΔx

Sehingga Sehingga n

abx

Misalkan banyak persegi panjang di dalam daerah arsiran ada K dan yang menutupi daerah arsiran ada M maka K < L < M

Misalkan banyak persegi panjang di dalam daerah arsiran ada K dan yang menutupi daerah arsiran ada M maka K < L < M

next

next

next

Ambil sebuah persegi panjang , seperti gambar dibawah ini : Ambil sebuah persegi panjang , seperti gambar dibawah ini :

XX

YY y = f(x)y = f(x)

a=xoa=xo b=xn

b=xn

ΔxΔxxi

xixi - 1xi - 1

f(x1)f(x1)

f(xi – 1)f(xi – 1)

AA BB

CCDDf(xi – 1)

f(xi – 1)f(x1)

f(x1)

FFEEMisalkan luas ABFE = Ki, luas ABCD = Mi dan luas ABCE = Li.

Misalkan luas ABFE = Ki, luas ABCD = Mi dan luas ABCE = Li.

next

next

next

Maka Ki = f(xi).Δx dan Mi = f(xi + 1). Δx ,jika f(xi) – f(xi – 1) = di maka :

M – K < d1.Δx+d2.Δx+d3 .Δx+...+dn.Δx

Sebanyak n suku

next

n

ii xdKM

1

Jika n di perbesar (n→∞) maka Δx mendekati nol dan di juga mendekati nol, sehingga diperoleh :

KMatauKMxxx 000

limlim....0lim

Oleh karena K< L< M , maka KMLxx 00

limlim

nextOleh karena K< L< M , maka KMLxx 00

limlim

xxfxxfLn

ii

x

n

ii

x

lim lim1

01

0

Bentuk limit jumlah xxfLn

ii

x

lim1

0ditulis dalam bentuk integral :

dxxfLb

a

( dibaca luas L sama dengan integral f(x) terhdap x dari a hingga b )

Keterangan :

K = K1 + K2 + K3 +...+Kn = xxfKn

ii

n

ii

1

11

M = M1 + M2 + M3 +...+ Mn = xxfMn

ii

n

ii

11

xxfxfxxfxfxxfxfKM ii ... 11201

Jika di → 0, maka : f ( xi ) – f (xi – 1) → 0 ↔ f( xi ) → f (xi – 1)

next

next

next2. Menghitung Integral Tertentu 2. Menghitung Integral Tertentu

Jika F(x) integral dari f(x) dan f(x) adalah fungsi dalam interval [a,b] maka :

Jika F(x) integral dari f(x) dan f(x) adalah fungsi dalam interval [a,b] maka :

bFaFxFdxxf ba

b

a

Sifat-sifat Integral Tertentu :Sifat-sifat Integral Tertentu :next

0 .1a

a

dxxf

dxxfdxxfdxxfc

a

c

b .2

b

a

dxxfdxxfa

b

.3b

a

dxxfkdxxfka

b

.4b

a

bb

a

b

a

dxxgdxxfdxxga

xf .5

next

next

next

next

nextContoh soal menggunakan Sifat-sifat Integral Tertentu :Contoh soal menggunakan Sifat-sifat Integral Tertentu :

next

dxx .3

2

21 32

331 )( x 3

313

31 23 )()( 827 3

131 3

83

27

319 3

16

dxx .3

2

22 42

331 )( x 3

313

31 24

)()( 864 31

31

38

364

356

3218

dxx 4

3

2 dxx 4

2

2

nextdxx .

3

3

23 33

331 )( x 3

313

31 33 )()( 2727 3

131

327

327 0 next

dxx .3

2

24

23

331 )( x

3

313

31 23

)()( 827 31

31

38

327

319

316

dxx - 2

3

2

dxx 3

2

2 dxx - 2

3

2 23

331 )( x

3

313

31 32

)()( 278 31

31

327

38

319

316

next

dxx12 .3

1

2 5 next

dxx12 3

1

2 31 )( 3

31 x12 )( 3

313

31 13 12

)( 127 31

31 12 )( 3

19 12 )( 4108 410 next

dxxx 412 .3

1

6 2 3

1

3

1

2 dxxdxx 412

31 )( 3

31 x12 3

1 )( 2214 x

31

3 )( x4 31

2 )( x2

)( 331434 )( 22

1232 )( 14274 )( 1292

)( 4208 )( 218 )( 204 )(16

220

next dx xx 2 4 12 3

1

26. 3122 23 xxx 4

34

122123143232

23

4 121214329227

224618108

4120

116next

dx x x 22

0

27. dx x 2

0

2 4

204331 xx

02423

313

31 40

08831 83

8 32 10

next dx xx 21

0318 sincos.

031

212 xx 3 cossin

0302 31

21 coscossin 2

1sin- 23

13012 21 23 -

3- 232 1 2

3 21

next 0

0

9 dx jika a nilai Carilah a

x-1x.

00

dx a

x-1x

00

dx x-x

a2

003

312

21 a xx

03312

213

312

21 00 aa

03312

21 aa

023 32 aa

023 2 aa

0023 2 aa

032 aa

023 aa

next

1092101

pdx x jika p nilai Tentukan p

5.

10921

pdx x p

5

10952 pxxp

1

1091515 22 ppp

109652 ppp

0442 pp

( p – 2 ) 2 = 0( p – 2 ) 2 = 0

p – 2 = 0 p – 2 = 0

p = 2 p = 2

next