1. Luas  dan  Pengertian  Intergal  Tertentu  Secara  Intuitif    a. Integral  Tertentu  Secara  Intuisi  

 Dari  dua  skenario  sebelumnya  bisa  disimpulkan    (1) Makin  banyak  jumlah  persegipanjang  ∆𝑥  makin  kecil  (2) Makin  kecil  ∆𝑥  makin  kecil  kesalahan  perkiraan  luas  area  (3) Makin  kecil  ∆𝑥  jumlah  luas  persegi  panjang  dari  bawah  atau  dari  atas  

mendekati  luas  sebenarnya  (4) Luas  sebenarnya  berada  diantara  luas  bawah  dan  luas  atas  𝐿! ≤ 𝐿 ≤ 𝐿!  

   

Secara  umum  bila  kurva  𝑦 = 𝑓 𝑥  dibagi  menjadi  𝑛  partisi  𝑃  dan  kontinu  pada  selang  𝑎 = 𝑥! <  𝑥! < 𝑥! < ⋯ < 𝑥! = 𝑏  maka  lebar  ∆𝑥 = !!!

!=

𝑥!!! − 𝑥!      Untuk  tiap  partisi  𝑃!  pada  selang  partisi  𝑥! ≤ 𝑥 ≤ 𝑥!!!    ada    𝑠!    dan    𝑡!      𝑥! ≤ 𝑠! ≤ 𝑥!!!  sehingga  𝑓 𝑠!  adalah  nilai  minimum  fungsi  pada  selang    𝑥! ≤ 𝑡! ≤ 𝑥!!!  sehingga  𝑓 𝑡!  adalah  nilai  maksimum  fungsi  pada  selang          Luas  bawah  disebut  lower  Darboux  sum    

𝐿! = 𝑓 𝑠! ∆𝑥 + 𝑓 𝑠! ∆𝑥 +⋯+ 𝑓 𝑠! ∆𝑥

𝐿! = 𝑓 𝑠! ∆𝑥!!!

!!!

 

 Luas  atas  disebut  upper  Darboux  sum    

𝐿! = 𝑓 𝑡! ∆𝑥 + 𝑓 𝑡! ∆𝑥 +⋯+ 𝑓 𝑡! ∆𝑥

𝐿! = 𝑓 𝑡! ∆𝑥!!!

!!!

 

   

 

   

     sehingga    

𝐿! ≤ 𝐿 ≤ 𝐿!

𝑓 𝑠! ∆𝑥!!!

!!!

≤ 𝐿 ≤ 𝑓 𝑡! ∆𝑥!!!

!!!

 

   

   Di  atas  adalah  cara  sederhana  untuk  menerangkan  defenisi  integral  oleh  Darboux    Defenisi  yang  lebih  umum  dipakai  adalah  Riemann  sum  sebagai  berikut    

     

   

Jika  𝑓  kontinue  pada  selang  𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏    dan    𝐿! = 𝐿!  dengan  lebar  partisi  ∆𝑥  yang  sangat  kecil  maka  didefenisikan    

𝑓 𝑥 𝑑𝑥!

!= 𝑓 𝑠! ∆𝑥

!!!

!!!

= 𝑓 𝑡! ∆𝑥!!!

!!!

 

Jika  𝑓  kontinue  pada  selang  𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏    dan    𝑟! ∈ 𝑥! , 𝑥!!!  pada  partisi  𝑃!  dengan  lebar  ∆𝑥 = 𝑥!!! − 𝑥!      

𝑓 𝑥 𝑑𝑥!

!= lim

∆!→!𝑓 𝑟! 𝑥!!! − 𝑥!

!!!

!!!

 

 

 Ingat  pada  pembahasan  tentang  turunan  dan  nilai  tengah  diketahui  pada  interval  tertutup   𝑥! , 𝑥!!!  terdapat  𝑧! ∈ 𝑥! , 𝑥!!!  sehingga  𝐹′ 𝑥 = ! !!!! !! !!

!!!!!!!  

 

𝐹′ 𝑥 =𝐹 𝑥!!! − 𝐹 𝑥!

𝑥!!! − 𝑥!𝐹′ 𝑥 𝑥!!! − 𝑥! = 𝐹 𝑥!!! − 𝐹 𝑥!

𝐹′ 𝑥 𝑥!!! − 𝑥!

!!!

!!!

= 𝐹 𝑥!!! − 𝐹 𝑥!

!!!

!!!

𝐹′ 𝑥 𝑑𝑥!

!= 𝐹 𝑥!!! − 𝐹 𝑥!

!!!

!!!

 

 Persamaan  sebelah  kanan    

𝐹 𝑥!!! − 𝐹 𝑥!

!!!

!!!

= 𝐹 𝑥! − 𝐹 𝑥! + 𝐹 𝑥! − 𝐹 𝑥! +⋯+ 𝐹 𝑥!!!!! − 𝐹 𝑥!!!

= 𝐹 𝑥! − 𝐹 𝑥! + 𝐹 𝑥! − 𝐹 𝑥! +⋯+ 𝐹 𝑥! − 𝐹 𝑥!!!= 𝐹 𝑥! − 𝐹 𝑥! + 𝐹 𝑥! − 𝐹 𝑥! − 𝐹 𝑥! +⋯+ 𝐹 𝑥!!! + 𝐹 𝑥! − 𝐹 𝑥!!!= 𝐹 𝑥! − 𝐹 𝑥! − 𝐹 𝑥! + 𝐹 𝑥! − 𝐹 𝑥! +⋯+ 𝐹 𝑥!!! − 𝐹 𝑥!!! + 𝐹 𝑥!= −𝐹 𝑥! + 𝐹 𝑥!= 𝐹 𝑥! − 𝐹 𝑥!

𝐹 𝑥!!! − 𝐹 𝑥!

!!!

!!!

= 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎

 

   Substitusi      

𝐹′ 𝑥 𝑑𝑥!

!= 𝐹 𝑥!!! − 𝐹 𝑥!

!!!

!!!

𝐹′ 𝑥 𝑑𝑥!

!= 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎

 

   

     

Jika  𝑓 𝑥  adalah  fungsi  kontinue  pada  selang   𝑎, 𝑏  dengan  antiturunnya  𝐹 𝑥  artinya  𝐹! 𝑥 = 𝑓 𝑥  maka    

𝑓 𝑥 𝑑𝑥!

!= 𝐹′ 𝑥 𝑑𝑥

!

!= 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎  

 

 b. Sifat  Sifat  Integral  Tertentu  

 Perhatikan  gambar    dibawah    

   Jumlah  partisi  pada  selang   𝑎, 𝑏  sama  dengan  jumlah  partisi  pada  selang  𝑎, 𝑐  ditambah  jumlah  partisi  pada  selang   𝑐, 𝑏  sehingga  berlaku    Luas  trapesium  pada  selang   𝑎, 𝑏  sama  dengan  luas  trapesium  pada  selang  𝑎, 𝑐  ditambah  luas  trapesium  pada  selang   𝑐, 𝑏      

 Dengan  menggunakan  sifat  distributif  pada  perkalian  maka  pada  selang  yang  sama  𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏    𝑓 𝑥 ∆𝑥 ± 𝑔 𝑥 ∆𝑥 = 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ∆𝑥

𝑓 𝑥 ∆𝑥!!!

!!!

± 𝑔 𝑥 ∆𝑥!!!

!!!

= 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 ∆𝑥!!!

!!!

𝑓 𝑥 𝑑𝑥!

!± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

!

!= 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

!

!

 

     

Pada  sembarang  fungsi  𝑓  yang  kontinu  pada  selang  𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏  dimana  𝑎 < 𝑐 < 𝑏  maka    

𝑓 𝑥 𝑑𝑥!

!+ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

!

!= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

!

!  

Pada  sembarang  fungsi  𝑓  dan  𝑔  yang  kontinu  pada  selang  𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏  maka      

𝑓 𝑥 𝑑𝑥!

!± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

!

!= 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

!

!  

 

Pada  perkalian  fungsi  dengan  konstanta  berlaku    

𝑘𝑓 𝑥 ∆𝑥!!!

!!!

= 𝑘 𝑓 𝑥 ∆𝑥!!!

!!!

𝑘𝑓 𝑥 𝑑𝑥!

!= 𝑘 𝑓 𝑥

!

!

 

         

Integral  hasil  perkalian  fungsi  𝑓 𝑥  dengan  konstanta  𝑘  adalah    

𝑘𝑓 𝑥 𝑑𝑥!

!= 𝑘 𝑓 𝑥

!

!