Matematika Teknik Dasar-211 – Aplikasi Integral - 2Sebrian Mirdeklis Beselly PutraTeknik Pengairan – Universitas Brawijaya

Momen Inersia

Energi yang dimiliki benda karena pergerakannya disebut Energi Kinetik

Dengan persamaan sebagai berikut 𝐸𝐾 =1

2𝑚𝑣2

Dalam bidang teknik banyak terapan benda yang berotasi: roda, bubungan(cam), poros, poros dynamo (armature), dsb.

Pergerakan dinyatakan dalam putaran per detik

Momen Inersia

Diperhatikan sebuah partikel P dengan massa m yang

berputar mengelilingi sumbu-x dengan kecepatan sudut

konstan radian per detik.

Berarti bahwa sudut di pusat lingkaran bertambah dengan kecepatan radian per detik.

Maka disimpulkan kecepatan linear P, v cm/s, bergantung pada dua kuantitas

a. Kecepatan sudut ( rad/s)

b. Seberapa jauh P dari pusat

Momen Inersia

Untuk mendapatkan sudut 1 radian dalam satu detik.

P harus bergerak pada lingkaran dengan jarak yang

sama dengan panjan 1 jari-jari, sebesar r (cm)

Jika bertambah dengan kecepatan 1 rad/s, P bergerak dengan kecepatan r cm/s

Jika bertambah dengan kecepatan 2 rad/s, P bergerak dengan kecepatan 2r cm/s

Jika bertambah dengan kecepatan 3 rad/s, P bergerak dengan kecepatan 3r cm/s

Momen Inersia

Maka dari maksud slide sebelumnya bisa disimpulkan bahwa kecepatan sudut P adalah rad/s, maka kecepatan linear, dari P adalah

= r

Dari sebelumnya didapatkan 𝐸𝐾 =1

2𝑚𝑣2

𝐸𝐾 =1

2𝑚 𝜔𝑟 2

𝐸𝐾 =1

2𝜔2. 𝑚𝑟2

Momen Inersia

Ada sebuah sistem yang tersusun dari partikel-partikel yang berotasi terhadap sumbu XX dengan kecepatan sudut sama sebesar rad/s, maka tiap partikel menyumbangkan energinya:

𝐸𝐾1 =1

2𝜔2. 𝑚1𝑟1

2

𝐸𝐾2 =1

2𝜔2. 𝑚2𝑟2

2

𝐸𝐾3 =1

2𝜔2. 𝑚3𝑟3

2

𝐸𝐾4 =1

2𝜔2. 𝑚4𝑟4

2

Momen Inersia

EK = EK1 + EK2 + EK3 + EK4 + ...

EK = 1

2𝜔2. 𝑚1𝑟1

2 + 1

2𝜔2. 𝑚2𝑟2

2 + 1

2𝜔2. 𝑚3𝑟3

2 + 1

2𝜔2. 𝑚4𝑟4

2 + ...

EK = σ1

2𝜔2. 𝑚𝑟2 (jumlah seluruh partikel)

EK =1

2𝜔2 σ.𝑚𝑟2 (karena adalah konstanta)

Momen Inersia

EK =1

2𝜔2 σ.𝑚𝑟2

Dapat disimpulkan dua faktor berbeda:

a.1

2𝜔2 dapat diubah-ubah dengan mempercepat atau memperlambat

laju rotasi

b. σ.𝑚𝑟2 adalah difat benda yang berotasi. Ini adalah sifat fisik dari benda dan disebut momen kedua dari massa, atau momen inersia (dinyatakan dengan simbol I)𝐼 = σ𝑚𝑟2 (untuk seluruh partikel)

Momen Inersia

𝐼 = σ𝑚𝑟2 (untuk seluruh partikel)

I = 2.32 + 1.12 + 3.22 + 4.22

I = 18 + 1 + 12 + 16 = 47 kg.m2

Jari-Jari Girasi

Jika dimisalkan massa total M berjarak k dari sumbu

Maka EK dari M akan sama dengan σ𝐸𝐾

1

2𝜔2. 𝑀𝑘2=

1

2𝜔2 σ.𝑚𝑟2

𝑀𝑘2= σ𝑚𝑟2

k disebut sebagai jari-jari girasi sebuah benda terhadap sumbu rotasi tertentu.

Jadi I = σ𝑚𝑟2; Mk2 = I, dengan M = σ𝑚

Contoh -1

Cari momen inersia (I) dan jari-jari girasi (k) dari sebuah batang tipis homogen terhadap sebuah sumbu yang melalui salah satu ujung yang tegak lurus terhadap panjang batang tersebut.

Misal = massa per satuan panjang batang

massa dari elemen PQ = .x

Momen kedua dari massa PQ terhadap XX = massa x (jarak)2

= .x.x2 = x2.x

Momen kedua total untuk semua elemen ditulis 𝐼 ≈ σ𝑥=0𝑎 𝜌𝑥2. 𝛿𝑥

Contoh -1

Tanda aproksimasi () dipakai karena x adalah jarak sampai ke sisi kiri dari elemen PQ

Jika x 0, maka menjadi:

𝐼 = න0

𝑎

𝜌𝑥2. 𝑑𝑥 = 𝜌𝑥3

30

𝑎

=𝜌𝑎3

3

Digunakan Mk2=I digunakan untuk mencari k. Awal mula ditentukan massa total M.

𝑀 = 𝑎𝜌

Contoh -1

𝐼 =𝜌𝑎3

3𝑀 = 𝑎𝜌

Mk2 = I ∴ 𝑎𝜌. 𝑘2 =𝜌𝑎3

3

k2 = 𝑎2

3∴ 𝑘 =

𝑎

3

I = 𝜌𝑎3

3

Contoh -2

Carilah I untuk sebuah pelat empat-persegi panjang terhadap sebuah sumbu melalui pusat massanya yang sejajar dengan salah satu sisi.

Misal = massa per satuan luas dari pelat

Massa dari potongan PQ = b.x.

Momen kedua massa dari massa potongan terhadap XX

bx. (massa x jarak2)

Momen kedua total untuk seluruh potongan

𝐼 = σ𝑥=𝑑/2𝑥=𝑑/2

𝑏𝜌𝑥2. 𝛿𝑥

Contoh -2

Jika x 0

𝐼 = න−𝑑/2

−𝑑/2

𝑏𝜌𝑥2. 𝛿𝑥 = 𝑏𝜌𝑥3

3−𝑑/2

𝑑/2

𝐼 = 𝑏𝜌𝑑3

24− −

𝑑3

24=𝑏𝜌𝑑3

12

Massa total M=bd, I=𝑀𝑑2

12

𝐼 =𝑏𝜌𝑑3

12=

𝑀𝑑2

12dan 𝑘 =

𝑑

12=

𝑑

2 3

Contoh - 3

Carilah I untuk sebuah pelat emapt-persegi-panjang, 20cm x 10cm, dengan massa 2kg. Terhadap sumbu yang berjarak 5cm dari sisi yang panjangnya 20cm.

Jawaban:

Diambil sebuah potongan sejajar dengan sumbu.

Diperhatikan pada contoh ini:

𝜌 =2

10.20=

2

200= 0,01

Maka = 0,01 kg/cm2

Contoh - 3

= 0,01 kg/cm2

Luas potongan = 20.x

Massa potongan = 20.x.

Momen kedua dari massa potongan terhadap XX 20.x..x2

Momen kedua total dari masssa= 𝐼𝑥=5𝑥=15

20𝜌𝑥2. 𝑑𝑥

Jika x 0, 𝐼 = 51520𝜌𝑥2. 𝑑𝑥 = 20𝜌

𝑥3

3 5

15

=20𝜌

33375 − 125 = 217 kg.cm2

Contoh - 3

Nilai k

Mk2=I dan M=2kg

2k2 = 217 k2=108,5

k = 108,5 = 10,4 cm

Kesimpulan

Tahapan mencari nilai I

▪ Ambil sebuah potongan yang sejajar sumbu rotasi pada jarak x dari sumbu tersebut

▪ Bentuklah sebuah pernyataan untuk momen kedua dari massa terhadap sumbu

▪ Jumlahkan seluruh potongan

▪Ubah menjadi bentuk integral dan dihitung

Teorema Sumbu-Sumbu Sejajar

▪ Jika I terhadap sebuah sumbu yang melalui pusat massa sebuah benda diketahui, maka dengan mudah menuliskan nilai I terhadap sumbu lain yang sejajar dan diketahui jaraknya dari sumbu yang pertama.

Teorema Sumbu-Sumbu Sejajar

Misalkan G adalah pusat massa

Misalkan m = massa potongan PQ

𝐼𝐺 =𝑚𝑥2

𝐼𝐴𝐵 =𝑚 𝑥 + 1 2

Teorema Sumbu-Sumbu Sejajar

∴ 𝐼𝐴𝐵 =𝑚 𝑥2 + 3𝑙𝑥 + 𝑙2

𝐼𝐴𝐵 =𝑚𝑥2 +2𝑚𝑥𝑙 +𝑚𝑙2

𝐼𝐴𝐵 =𝑚𝑥2 + 2𝑙𝑚𝑥 + 𝑙2𝑚

σ𝑚𝑥2 = 𝐼𝐺 ; σ𝑚 = 𝑀

IAB = IG + Ml2

Teorema Sumbu-Sumbu Sejajar

∴ 𝐼𝐴𝐵 =𝑚 𝑥2 + 3𝑙𝑥 + 𝑙2

𝐼𝐴𝐵 =𝑚𝑥2 +2𝑚𝑥𝑙 +𝑚𝑙2

𝐼𝐴𝐵 =𝑚𝑥2 + 2𝑙𝑚𝑥 + 𝑙2𝑚

σ𝑚𝑥2 = 𝐼𝐺 ; σ𝑚 = 𝑀

IAB = IG + Ml2

Contoh - 4

Dicari I untuk terhadap sumbu AB untuk pelat empat-persegi-panjang di bawah ini:

Contoh - 4

Jawaban:

𝐼𝐺 =𝑀𝑑2

12=3.16

12= 4 𝑘𝑔. 𝑐𝑚2

𝐼𝐴𝐵 = 𝐼𝐺 +𝑀𝑙2

𝐼𝐴𝐵 = 4 + 3.25𝐼𝐴𝐵 = 4 + 75 = 79 𝑘𝑔. 𝑐𝑚2

Contoh - 5

Sebuah pintu terbuat dari logam, 40cm x 60cm, mempunyai massa 8kg dan diberi engsel pada salah satu sisi dengan panjang 60cm.

Hitunglah:

a. I terhadap XX, yaitu sumbu yang melalui pusat massa

b. I terhadap garis yang melalui engsel, AB

c. K terhadap AB

Contoh - 5

Jawaban:

Soal a

𝐼𝐺 =𝑀𝑑2

12=

8.40

12=

3200

12=1067 kg cm2

Soal b

𝐼𝐴𝐵 = 𝐼𝐺 +𝑀𝑙2= 1067 + 8.202 = 1067 + 3200 = 4267 kg cm2

Soal c

Mk2 = IAB ; 8k2=4267 ; k2 = 533,4 ; k=23,1 cm

Teorema Sumbu Sumbu Tegak Lurus (untuk pelat tipis)

Misalkan m adalah suatu massa kecil di P

Maka IX σ𝛿𝑚. 𝑦2

dan Iy σ𝛿𝑚. 𝑥2

Misalkan ZZ adalah sumbu yang tegak lurus dengan sumbu XX dan YY

Iz = σ𝛿𝑚. 𝑂𝑃 2

Iz = σ𝛿𝑚. 𝑥2 + 𝑦2 2

Iz = σ𝛿𝑚. 𝑦2 + σ𝛿𝑚. 𝑥2

Iz = Ix + Iy

Teorema Sumbu Sumbu Tegak Lurus (untuk pelat tipis)

Dicari I dari cakram lingkaran terhadap salah satu diameternya sebagai sumbu

Ditetapkan bahwa 𝐼𝑧 =𝜋𝑟4𝜌

2=

𝑀.𝑟2

2

Misalkan XX dan YY adalah dua diameter yang

saling tegak lurus

Diketahui bahwa Ix + Iy = Iz = 𝑀.𝑟2

2

Dengan seluruh diameter identik

IX = IY 2IX = 𝑀.𝑟2

2IX =

𝑀.𝑟2

4

Contoh - 6

Carilah I untuk sebuah cakram lingkaran berdiameter 40cm dan massa 12 kg

a. Terhadap sumbu normal (z)

b. Terhadap diameter sebagai sumbu

c. Terhadap garis singgung sebagai sumbu

Contoh - 6

a. 𝐼𝑧 =𝑀.𝑟2

2=

12.202

2= 2400 kg cm2

b. 𝐼𝑋 =𝑀.𝑟2

4=

12.202

4= 1200 kg cm2

c. IX = 1200 kg cm2

Dengan teorema sumbu sejjar

IT = IX + Ml2

IT = 1200 + 12.202

IT = 6000 kg cm2

Kesimpulan - 1

1. 𝐼 = σ𝑚𝑟2; Mk2=I

2. Pelat empat-persegi-panjang ( = massa/ satuan luas)

𝐼𝐺 =𝑏𝑑3𝜌

12=

𝑀𝑑2

12

Kesimpulan - 1

3. Cakram lingkaran

𝐼𝑧 =𝜋𝑟4𝜌

2=

𝑀.𝑟2

2

𝐼𝑥 =𝜋𝑟4𝜌

4=

𝑀.𝑟2

4

Kesimpulan - 1

4. Teorema sumbu-sumbu sejajar

𝐼𝐴𝐵 = 𝐼𝐺 +𝑀𝑙2

Kesimpulan - 1

5. Teorema sumbu-sumbu tegak-lurus

𝐼𝑍 = 𝐼𝑋 + 𝐼𝑌

Contoh - 7

Carilah I untuk batang berongga terhadap sumbu utamanya jika massa jenis benda adalah 0,008 kg.cm-3

Diperhatikan potongan dari batang, dengan jarak x dari sumbu

Massa kulit 2𝜋𝑥. 𝛿𝑥. 40𝜌 (kg)

Momen kedua terhadap XX ≈ 2𝜋𝑥. 𝛿𝑥. 40𝜌. 𝑥2

≈ 80𝜋𝜌𝑥3. 𝛿𝑥

Contoh - 7

Momen kedua total = σ𝑥=4𝑥=8 80𝜋𝜌𝑥3. 𝛿𝑥

Jika x 0, 𝐼 = 80𝜋𝜌 48𝑥3 𝑑𝑥 = 80𝜋𝜌

𝑥4

4 4

8

𝐼 =80𝜋𝜌

4642 − 162

I = 20.48.80 = 20.48.80.0,008

I = 614,4 = 1930 kg.cm2

Pusat Tekanan

Tekanan pada sebuah titik P dengan kedalaman z di bawah permukaan suatu cairan

Sebuah cairan yang sempurna, tekanan di P, atau

gaya dorong pada luas satuan P disebabkan

berat dari kolom cairan yang terletak setinggi z

di atasnya

Tekanan P adalah p=wz, dengan w=berat dari volume satuan cairan.

Dan tekanan P sama besar ke segala arah

Pusat Tekanan

dalam pembahasan ini tekanan atmosfer yang

bekerja pada permukaan cairan diabaikan.

Maka, tekanan pada sembarang titik dalam cairan

sebanding dengan kedalaman titik di bawah

permukaan.

Pusat Tekanan

Gaya dorong total pada sebuah pelat vertikal yang dicelupkan ke dalam cairan

Diperhatikan sebuah potongan tipis pada kedalaman z di bawah permukaan cairan

Tekanan pada P=wz

Gaya dorong pada potongan

PQ wz (luas potongan)

PQ w.z.a.x

Pusat Tekanan

Total gaya dorong di seluruh pelat

≈

𝑧=𝑑1

𝑧=𝑑2

𝑎𝑤𝑧𝛿𝑧

Jika z 0, gaya dorong total = 𝑑1𝑑2 𝑎𝑤𝑧𝑑𝑧 = 𝑎𝑤

𝑧2

2 𝑑1

𝑑2=

𝑎𝑤

2𝑑22 − 𝑑1

2

Gaya dorong total = 𝑎𝑤

2𝑑2 − 𝑑1 𝑑2 + 𝑑1

= 𝑤𝑎 𝑑2 − 𝑑1𝑑2+𝑑1

2

Pusat Tekanan

Gaya dorong total = 𝑤𝑎 𝑑2 − 𝑑1𝑑2+𝑑1

2

𝑑2+𝑑1

2dinyatakan sebagai ҧ𝑧

Gaya dorong total = 𝑤𝑎 𝑑2 − 𝑑1 ҧ𝑧 = 𝑎 𝑑2 − 𝑑1 𝑤 ҧ𝑧

𝑎 𝑑2 − 𝑑1 adalah luas total pelat, maka

Gaya dorong total = luas pelat x tekanan di pusat massa pelat

Contoh - 8

Jika w adalah berat per volume satuan dari cairan, hitunglah gaya dorong total pada pelat a dan b berikut ini:

Contoh - 8

Pelat a

Luas = 6 x 8 = 48cm2

Tekanan di G = 7w

Gaya dorong total = 48.7w = 336 w

Contoh - 8

Pelat b

Luas = (10 x 6)/2 = 30 cm2

Tekanan di G = 6w

Gaya dorong total = 30.6w = 180 w

Pusat Tekanan

Jika pelat membentuk sudut terhadap bidang horizontal, maka:

Kedalaman dari G = 𝑑1 +𝑏

2sin 300 = 𝑑1 +

𝑏

4

Pusat Tekanan

Tekanan di G = 𝑑1 +𝑏

4𝑤

Luas total = ab

Gaya Dorong Total = ab 𝑑1 +𝑏

4𝑤

Bisa disimpulkan

Gaya dorong total = luas permukaan x tekanan pada pusat massa

Kedalaman Pusat Tekanan

Tekanan pada sebuah pelat yang dicelupkan

bertambah terhadap kedalaman

Resultan gaya-gaya yang bekerja adalah sebuah gaya dengan magnitudo yang sama dengan gaya dorong total T, dan bekerja pada sebuah titik Z

yang disebut pusat tekanan pelat.

Misalkan ҧ𝑧 adalah kedalaman dari pusat tekanan

Kedalaman Pusat Tekanan

Untuk mencari ҧ𝑧 diambil momen-momen gaya terhadap sumbu dimana bidang pelat memoton permukaan cairan. Dilihat sebuah pelat empat-persegi-panjang.

Kedalaman Pusat Tekanan

Luas potongan PQ = a.z

Tekanan permukaan PQ = zw

Gaya dorong potongan PQ = a.z.z.w

Momen gaya dorong terhadap sumbu pada permukaan adalah

=awz.z.z = awz2.z

Jumlah momen gaya pada seluruh potongan = σ𝑑1

𝑑2 𝑎𝑤𝑧2𝛿𝑧

Jika z 0, jumlah momen = 𝑑1𝑑2 𝑎𝑤𝑧2𝑑𝑧

Kedalaman Pusat Tekanan

Gaya dorong total x ҧ𝑧 = jumlah momen dari seluruh gaya dorong

න𝑑1

𝑑2

𝑎𝑤𝑧 𝑑𝑧 𝑥 ҧ𝑧 = න𝑑1

𝑑2

𝑎𝑤𝑧2𝑑𝑧

Gaya dorong total x ҧ𝑧 = w𝑑1𝑑2 𝑎𝑧2𝑑𝑧 = wI

ҧ𝑧 = 𝑤𝐼

𝑔𝑎𝑦𝑎 𝑑𝑜𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙=

𝑤𝐴𝑘2

𝐴𝑤 ҧ𝑧

Ӗ𝑧 =𝑘2

ҧ𝑧

Contoh – 9

Pada sebuah dinding penahan tanah yang memiliki bentuk persegi-panjang vertikal, 40m x 20m, dengan sisi atas dinding sama dengan tinggi permukaan air. Carilah kedalaman dari pusat tekanan

Dalam soal ini ҧ𝑧 = 10m

Mencari k2 terhadap AB

Contoh – 9

Mencari k2 terhadap AB

𝐼𝐶 =𝐴𝑑2

12=

40.20.400

12=

80000

3m4

𝐼𝐴𝐵 = 𝐼𝐶 + 𝐴𝑙3 =80000

3+ 800.100 =

4

3. 80000

Ak2= I ∴ 𝑘2 =4

3

80000

800=

400

3

Ӗ𝑧 =𝑘2

ҧ𝑧=

40

3= 13,33𝑚

Contoh – 10

Outlet dari sebuah tangki ditutup dengan penutup bundar yang tergantung secara vertikal. Diameter penutup = 1m dan bagian atas penutup berada 2,5m di bawah permukaan cairan. Carilah kedalaman pusat tekanan dari penutup.

a. Kedalaman sentroid = ҧ𝑧 = 3m

b. Mendapatkan k2 terhadap AB

Contoh – 10

𝐼𝐶 =𝐴𝑟2

4=

𝜋1

2

2.1

2

2

4=

𝜋

64

𝐼𝐴𝐵 =𝜋

64+ 𝐴. 32

𝐼𝐴𝐵 =𝜋

64+ 𝜋

1

2

2. 9

𝐼𝐴𝐵 =𝜋

64+

9𝜋

4=

145𝜋

4

Untuk tinjauan AB; k2=𝐼𝐴𝐵

𝐴=

145𝜋

4.4

𝜋=

145

6

Ӗ𝑧 =𝑘2

ҧ𝑧=

145

6.1

3=

145

18= 3,02m