MATEMATIKA TEKNIK DASAR-IJENIS-JENIS FUNGSI

SEBRIAN MIRDEKLIS BESELLY PUTRATEKNIK PENGAIRAN

FUNGSI GONIOMETRI

1. Satuan Sudut Radial

Pada dalil didapatkan kesamaan antara satuan derajat terhadap

satuan panjang busur lingkaran secara geometri.

Bila hasilnya diperluas didapatkanlah keliling lingkaran ~ 360o

Tanda ~ dibaca “ekivalen dengan”

DALIL ILMU UKURBesar sudut pusat sebuah lingkaran, sama dengan bilangan yang menyatakan panjang busur lingkarang yang dihadapinya

FUNGSI GONIOMETRI

TEOREMA

Bila di dalam lingkaran dibuat segi banyak tali busur, maka keliling segi banyak itu < dari 6x jari-jari lingkaran tersebut.

BUKTI

Melalui semua ujung tali busur segi-n ditarik garis // sumbu x

dan sumbu y.

Perhatikan ABB2; didapatkan AB < AB2+BB1

Dalam CBK, BC < B1C1 + B2Cc

Dalam DCL, DC < C1D1 + C2D2

FUNGSI GONIOMETRI

Secara ilmu ukur Kochansky mendapatkan cara yang paling mendekati yang betul sebagai berikut. Dengan phytagoras dihitung PR2=PQ2+QR2

𝑃𝑅2 = 𝑃𝑄2 + 𝑄𝑅2𝐴𝑃

𝑟= 𝑡𝑔30𝑜 =

1

33

Jadi, AP= 1

3𝑟 3 dan BR=3r

Jadi, QR = 3𝑟 −1

3𝑟 3 = r 3 −

1

33

∴ PQ = 2r

∴ PR = 4𝑟2 + 𝑟2 3 −1

33

2=

𝑟 4 + 9 − 2 3 +1

3= 𝑟 13

1

3− 2 3 ≈ 3,14𝑟

FUNGSI GONIOMETRI

▪ Bilangan 3,14... (biasa dilambangkan dengan ) adalah perbandingan antara k

dengan garis tengah lingkaran, ditulis 𝜋 =𝑘

2𝑟

▪ Sehingga 6,28 < 2 < 44

7

FUNGSI GONIOMETRI

DEFINISI: satu radial adalah besar sudut pusat suatu lingkaran, yang panjang busur yang dihadapinya sama dengan jejari lingkaran.

Akibat: PR =panjang ½ keliling lingkaran = radial. Jadi 180o = radial.

Dengan demikian, terbesar : 1 rad = 7/22 x 180o = 576

22

𝑜= 57o16’;

terkecil : 1 rad = 1

3,14x 180o = 57o14’45”

Untuk diingat, 1 radial 57o

Selanjutnya, busur o akan sama dengan 𝛼

360x 2 rad, atau

𝛼

180x rad.

Jika =30o dalam satuan derajad maka 𝛼 =1

6𝜋 radial. Biasanya istilah ‘satuan radial’

tidak ditulis, jadi, 𝛼 =1

6𝜋

FUNGSI GONIOMETRI

2. Bentuk Elementer

Penyajian Dengan Grafik. Perkembangan nilai fungsi goniometri tersebut di atas lebih jelas, bila kita sajikan dengan f={(x,y)y=nilai fungsi goniometri untuk x} pada bidang kartesius.

Dalam hal ini digunakan ekivalensi derajad pada garis (satuan panjang dalam radial)

FUNGSI GONIOMETRI

X 0 30o 45o 60o 90o 120o 150o 180o

y 0 ½ ൗ𝟏 𝟐 𝟐 ൗ𝟏 𝟐 𝟐 1 ൗ𝟏 𝟐 𝟑 ½ 0

X 210o 240o 270o 300o 330o 360o

y -½ ൗ−𝟏𝟐 𝟑 −𝟏 ൗ−𝟏

𝟐 𝟑 −½ 0

FUNGSI GONIOMETRI

▪ Digambarkan pasangan berurutan (x,y) itu pada bidang.

▪ Untuk menyederhanakan persoalan, kita ambil sudut kelipatan 30o dan 45o

▪ Kemudian dibuat garis lengkung serasi, yang menghubungkan titik yang berurutan

▪ Karena garis sumbu x skalanya satuan panjang, akan lebih baik, bila satuan yang dipakai dalam radial.

diganti dengan

X 0 30o 45o 60o 90o 120o dan seterusnya

y 0 ½ ൗ𝟏 𝟐 𝟐 ൗ𝟏 𝟐 𝟐 1 ൗ𝟏 𝟐 𝟑 dan seterusnya

X 0 Τ𝟏 𝟔𝝅 Τ𝟏 𝟒𝝅 Τ𝟏 𝟑𝝅 Τ𝟏 𝟐𝝅 Τ𝟐 𝟑𝝅 dan seterusnya

y 0 ½ ൗ𝟏 𝟐 𝟐 ൗ𝟏 𝟐 𝟐 1 ൗ𝟏 𝟐 𝟑 dan seterusnya

FUNGSI GONIOMETRI

X 0 Τ𝟏 𝟔𝝅 Τ𝟏 𝟒𝝅 Τ𝟏 𝟑𝝅 Τ𝟏 𝟐𝝅 Τ𝟐 𝟑𝝅 Τ𝟓 𝟔𝝅 𝝅 𝟏 ൗ𝟏 𝟔𝝅𝟏 ൗ𝟏 𝟒𝝅𝟏 ൗ𝟏 𝟑𝝅𝟏 ൗ𝟏 𝟐𝝅𝟏 ൗ𝟐 𝟑𝝅𝟏 ൗ𝟓 𝟔𝝅 𝟐𝝅

y 0 ൗ𝟏 𝟐 𝟑 ൗ𝟏 𝟐 𝟐 𝟎, 𝟓 0 −𝟎, 𝟓− ൗ𝟏 𝟐 𝟑 -1 − ൗ𝟏 𝟐 𝟑 ൗ−𝟏𝟐 𝟐 0,5 0 0,5 ൗ𝟏 𝟐 𝟑 1

0,9 0,7 -0,9 -0,9 -0,7

FUNGSI GONIOMETRI

Bila wilayah y=tgx ditambah dengan ½ < x < dan - < x < - ½, maka akan terbentuk lagi seperti grafik pada 0 < x < ½ . Perkembangan tangen di kwadran I serupa dengan perkembangannya di kwadran III. Begitu pula di kwadran II dan IV

FUNGSI GONIOMETRI

Dengan f(x)=tg x, F(x) = cotg x juga diskontinu pada nilai tertentu. Kita tahu, bahwa cotg x = tg (90o-x); maka asimtot f(x) dan F(x) berselisih ½ ; jadi, x=k. Bila wilayah fungsi ditambah n , nilainya akan berulang (nB)

FUNGSI GONIOMETRI

Grafik y=sec x dalam wilayah - x 2

FUNGSI GONIOMETRI

Grafik y = cosec x dalam wilayah - x 2

FUNGSI GONIOMETRI

▪ Bila diperhatikan, grafik sec x dan cosec x tidak mengisi jajahan -1 < y < 1

▪ Jadi, jajahannya adalah 1 y < ~ atau -~ < y -1; cosec x = sec (90o-x)

▪ Jadi berselisih ½ untuk ordinat yang sama

▪ Periode sec x sama dengan periode cos x, dan periode cosec x sama dengan periode sin x

FUNGSI GONIOMETRI

3. Fungsi Goniometri

Dalam hal ini kita menganggap y = a sin x adalah fungsi bersusun daripada : x z = sin x. Kemudian oleh f : z y = az.

Jadi, y = a sin x mempunyai grafik, dimana ordinatnya adalah a kali ordinat z = sin x untuk setiap x. Periode fungsi y = a sin x tetap sama dengan periode z = sin x.

FUNGSI GONIOMETRI

FUNGSI GONIOMETRI

FUNGSI GONIOMETRI

3. y = sin ax; a 0, a konstanta

Contoh

Periode sin x adalah 2

sin (ax + 2 ) = sin ax; ∴ sin a (𝑥 +2𝜋

𝑎) = sin ax

Dengan demikian periode sin ax adalah 2/a

Bila a > 1, periodenya lebih kecil daripada 2

Bila a < 1, periodenya lebih besar daripada 2

Nilai nol f(x) = sin ax didapat bila sin ax = 0

FUNGSI GONIOMETRI

Maka ax = 0 + 2k; jadi x = 2𝑘𝜋

𝑎; atau ax = + 2k.

Dengan demikian, 𝑥 =2𝑘+1 𝜋

𝑎; kB; jadi 𝑥 =

𝑛𝜋

𝑎, n B

FUNGSI GONIOMETRI

Grafik y=a sin x + b cos x + r. Untuk menggambarkan grafik fungsi tersebut kita berasumsi f(x)= a sin x dan g(x) = b cos x + r. ∴ y = f(x) + g(x)Dengan demikian, xR. Kita jumlahkan f(x) + g(x), berturut-turut kemudian kita susun barisan titiknya.