APLIKASI COMPRESSIVE SENSING UNTUKESTIMASI ARAH KEDATANGAN SINYAL

PROPOSAL DISERTASI

diajukan untuk memenuhi syarat kelulusan

Mata Kuliah EI7096:Penyusunan Proposal

Institut Teknologi Bandung

Oleh

Koredianto Usman

NIM : 33213002

(Program Studi Teknik Elektro dan Informatika)

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG2014

ABSTRAK

APLIKASI COMPRESSIVE SENSING UNTUK ESTIMASIARAH KEDATANGAN SINYAL

Oleh

Koredianto Usman

NIM : 33213002

Proposal ini berisi tentang rencana penelitian penggunaanteknik compressivesensinguntuk pengurangan sinyal pada skema estimasi arah kedatangan sinyal.Algoritma penentuan arah sinyal klasik secara umum terdiridari dua skema besaryaitu skema yang berbasis maximum likelihood (Delay and Sumdan Capon)dan skema berbasissub-space(MUSIC dan ESPRIT). Pada perkembangannya,algoritma yang berbasissub-spacememperoleh perhatian yang besar di kalanganpeneliti karena kemampuan mendeteksi beberapa sumber sekaligus dengan resolusipemisahan yang tinggi. Meski memiliki keunggulan ini, algoritma estimasi arahkedatangan berbasissub-spacememiliki permasalahan komputasi berat yang antaralain disebabkan karena proses perhitungan matriks kovariansi, analisiseigendanexhaustive searchpada arah kedatangan. Evolusi dan modifikasi pada algoritmaberbasissub-spaceumumnya berupa modifikasi pada penyederhanaan komputasipada sisi penyederhaan dan transformasi nilai eigen dari kompleks ke real.Modifikasi ini kemudian dituangkan dalam algoritma baru seperti Root-MUSIC,Unitary MUSIC, Beamspace-MUSIC, Unitary ESPRIT, dan Beamspace ESPRIT.Perkembangan pada bidangcompressive sensingmembuka arah yang berbedadalam penyederhanaan skema yaitu dengan cara pengurangan sampel. Terdapattiga jenis teknik popular dalam teknikcompressive sensinguntuk estimasi arahkedatangan sinyal, yaitu teknik sparsitas waktu, sparsitas spasial, dan sparsitassudut. Teknik sparsitas sudut menjadi fokus dalam penelitian ini karena teknikini dapat mengestimasi arah kedatangan sinyal dengan satu sampel saja. Meskidemikian, masih terdapat kekurangan dari skema ini, yaitu sensitif terhadapnoise. Perbaikan yang diusulkan adalah memperluas algoritma iniagar dapatmengakomodasimulti-snapsampel. Hasil simulasi awal menunjukkan perbaikanakurasi estimasi pada lingkungan dengan SNR kurang dari 5 dB.Pengembanganlainnya adalah penanganan hasil estimasi yang jauh menyimpang (outliers) untukmeningkatkan akurasi lebih tinggi lagi.

Kata kunci : direction of arrival estimation, compressive sensing, convexoptimization

i

APLIKASI COMPRESSIVE SENSING UNTUK ESTIMASIARAH KEDATANGAN SINYAL

Oleh

Koredianto Usman

NIM : 33213002

(Program Studi Teknik Elektro dan Informatika)

Institut Teknologi Bandung

Menyetujui

Tim Pembimbing

Tanggal 13 Mei 2014

Ketua Anggota

(Prof. Dr. Andriyan Bayu Suksmono) (Prof. Dr. Hendra Gunawan)

NIP : 196607051996031002 NIP : 196412291988021001

ii

DAFTAR ISI

ABSTRAK i

DAFTAR ISI ii

I PENDAHULUAN 1

I.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I.2 Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I.4 Kontribusi dan Dampak Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

II KAJIAN LITERATUR 6

II.1 Estimasi Arah Kedatangan Sinyal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

II.1.1 Model Matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

II.1.2 Algoritma Klasik Estimasi arah Kedatangan . . . . . . . .. 8

II.2 Compressive Sensing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

II.2.1 Terminologi PadaCompressive Sensing. . . . . . . . . . . 16

II.2.2 Model Matematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

II.3 Compressive SensingPada Estimasi Arah Kedatangan . . . . . . . . 21

III METODOLOGI 23

III.1 Persiapan Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

III.2 Persiapan Lingkungan Simulasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

III.3 Simulasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

III.4 Analisis Perfomansi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

III.5 Skema yang ditinjau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

IV TIMELINE RENCANA PENELITIAN 31

V SIMULASI PENDAHULUAN 33

V.1 Simulasi dalam lingkungan berderau . . . . . . . . . . . . . . . . .33

i

V.2 Simulasi perbandingan dengan algoritma klasik . . . . . . .. . . . 34

V.3 Simulasi skema yang diusulkan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

ii

BAB I PENDAHULUAN

I.1 Latar Belakang

Estimasi arah kedatangan sinyal merupakan salah satu tugasyang dikerjakan radar

di samping dua tugas lainnya yaitu estimasi jarak dan kecepatan objek. Dengan

demikian teknik estimasi arah kedatangan memiliki usia setua usia radar. Estimasi

arah kedatangan memfokuskan diri pada tugas menentukan sudut kedatangan

sinyal. Pada sistem yang lebih maju, estimasi arah kedatangan sinyal disyaratkan

untuk mampu mendeteksi arah kedatangan beberapa sumber sekaligus.

Pada perkembangannya, radar mula-mula dikembangkan pada kapal laut untuk

keperluan mendeteksi objek penghalang di depan kapal termasuk keberadaan kapal

lain yang ada di sekitar. Pada masa Perang Dunia I dan II, radar berkembang sangat

pesat untuk kebutuhan pertahanan. Setelah Perang Dunia II,perkembangan radar

diarahkan untuk memenuhi kebutuhan sipil seperti kelengkapan sistim monitor

udara di bandara.

Memasuki era digital, teknik pengolahan sinyal berubah dari analog menjadi digital.

Pada masa ini berkembang teknik estimasi arah kedatangan yang maju yang

membuka jalan bagi berbagai perkembangan teknologi radar canggih pada masa

kini. Beberapa aplikasi terbaru di bidang ini adalahsistem ground penetrating

radar (GPR) danthrough the wall radar(TTWR). Ground penetrating radar

adalah sistem radar yang digunakan untuk mendeteksi benda di bawah permukaan

tanah, sedangkanthrough the wall radaradalah teknik radar yang digunakan untuk

mendeteksi benda atau manusia yang berada di balik dinding.

Teknik estimasi arah kedatangan termasuk salah satu aplikasi dariarray processing

yang memiliki sejarah yan cukup panjang. Sebagai contoh, Capon mengusulkan

skema estimasi arah kedatangan sinyal pada publikasinya tahun 1969 [1]. Usulan

dari Capon ini selanjutnya menjadi popular sebagai algoritma Capon atau

Minimum Variance Distortionless Respons(MVDR). Di sisi lain Applebaum

[2] mengusulkan skemadelay and sum(DAS) pada tahun 1976. Algoritma ini,

karena kesederhanaannya, yang banyak diadopsi untuk keperluan implementasi

di lapangan. Perkembangan algoritma memasuk era baru dengan usulkannya

penggunaan teknikeigen analysisantara lain pada algoritm MUSIC pada tahun

1986 [3]. Skema berbasiseigen analysisini menarik perhatian banyak peneliti

karena kemampuannya mendeteksi beberapa sinyal datang sekaligus dengan

1

resolusi yang tinggi.

Meski memiliki resolusi yang tinggi, algoritma MUSIC memiliki kekurangan

utama pada beratnya proses komputasi. Permasalahan komputasi terletak pada

eigen analysisdari matriks kovariansi kompleks sertaexhaustive searchpada

semua sudut kedatangan. Permasalahan ini membuat para peneliti lain berupaya

untuk memodifikasi algoritma MUSIC ini untuk menghindari proses perhitungan

eigen analysis. Alternatif lainnya adalah melakukan transformasi matriks

kovariansi kompleks menjadi matriks kovariansi riil, sehingga eigen analysis

dapat dilakukan pada lingkungan bilangan riil yang lebih cepat dibandingkan

dengan lingkungan bilangan kompleks. Skema modifikasi dengan transformasi ini

menghasilkan algoritma varian dari MUSIC yang disebut dengan Unitary-MUSIC

[4]. Transformasi yang mengubah matrik kovariansi dari kompleks menjadi riil ini

dipelopori oleh Anna Lee dalam tulisannya tentangcentro-hermitian matrix[5].

Penggunaannya untuk keperluan penyederhaan matrik kovariansi kompleks telah

dilakukan oleh Huarng, penelitibeamforminglainnya dari Taiwan [6]. Modifikasi

lain yang dilakukan adalah melakukan proyeksi matriks kovariansi pada dimensi

yang lebih kecil. Skema ini kemudian menghasilkan algoritma varian lainnya yaitu

Root-MUSIC [7].

Roy et al. [8] melakukan pendekatan berbeda dalam upaya mengurangi

kompleksitas komputasi, bukan pada upaya untuk menyederhanakan perhitungan

eigen analysis, tapi pada sudut pandang bahwa susunan linier dapat dibagi dalam

dua sub-array identik dengan yang satu adalah pergeseran linier dari yanglain.

Dengan cara pandang ini, Roy et al. menghindari proses perhitunganexhaustive

searchyang terdapat pada algoritma MUSIC. Algoritma ini terkenal dengan nama

ESPRIT (Estimation of Signal Parameter via Rotational Invariant Techniques).

Peneliti lain mengkombinasikan algoritma ESPRIT ini denganupaya pengurangan

perhitunganeigen analysisseperti halnya algoritma MUSIC, sehingga muncul

varian baru dari ESPRIT yaitu Unitary ESPRIT [9] dan Beam ESPRIT [10].

Perkembangan baru di bidangcompressive sensingmemungkinkan skema

mengurangi sampel sinyal dariN menjadi k (k«N) dengan asumsi sinyal

yang disampling bersifatsparse. Dipelopori oleh Donoho [11], Candes [12],

dan Baraniuk [13], teknikcompressive sensingmembuka kemungkinan baru

pada penyederhanaan perhitungan skema estimasi arah kedatangan sinyal yaitu

pengurangan jumlah sampel sinyal. Upaya awal telah dilakukan oleh beberapa

peneliti untuk menggabungkan teknikcompressive sensinguntuk skema estimasi

arah kedatangan seperti pada [14], [15], [16], [17], [18].

2

Di antara penelitian tersebut, skema yang diajukan oleh Goronitsky dan Rao [14]

banyak menarik perhatian dari peneliti lain. Dengan asumsibahwa sinyal yang

datang memiliki sifatsparsedalam arah kedatangan, Goronitsky dan Rao berhasil

mengunakan satu sampel sinyal saja untuk mengestimasi arahkedatangan sinyal.

Meski memiliki sifat yang menjanjikan ini, skema Goronitsky dan Rao memiliki

kekurangan pada sensitifitas padanoise. Perbaikan dari kekurangan ini merupakan

fokus dari penelitian yang diajukan ini.

I.2 Rumusan Masalah

Arah baru dari penyederhanaan komputasi dari skema estimasi arah kedatangan

sinyal dilakukan dengan pengurangan sampel menggunakan teknik compressive

sensing[11], [12]. Penelitian di bidang ini antara lain adalah dengan algoritma

FOCUSS [14],time-spatialCS [16], dancompressiveMUSIC [18]. Meskipun

teknik compressive sensingini tampak menjanjikan, namun terdapat permasalahan

inherentterhadap sampel yang sedikit yaitu ketahanan terhadapnoiseyang rendah

[19]. Pada lingkungan dengannoise yang tinggi, seperti redaman sinyal akibat

hujan atau sinyal melewati penghalang alam seperti hutan, akurasi estimasi arah

kedatangan menurun secara signifikan. Penurunan ini berdampak pada kesalahan

penentuan arah kedatangan sinyal. Perbaikan yang diusulkan pada penelitian ini

adalah penggunaan skemamulti-snap samplinguntuk mengkompensasi pengaruh

noisetersebut. Teknikmulti-snap samplingini lebih lanjut dapat ditingkatkan lagi

akurasinya dengan teknikoutliers removal. Teknikoutliers removalmengacu pada

pembuangan hasil estimasi yang jauh menyimpang dari nilai rata-rata hasil estimasi.

I.3 Tujuan

Tujuan utama dari penelitian ini adalah mencapai skemacompressive sensing

berbasis sparsitas sudut kedatangan dengan tingkat ketahanan terhadapnoiseyang

tinggi. Skemacompressive sensingini bekerja untuk membantu algoritma estimasi

arah kedatangan sinyal. Penggabungan keduanya diharapkandapat menghasilkan

teknik estimasi arah kedatangan dengan sampel sedikit. Sampel yang sedikit ini

berguna pada lingkungan saluran telekomunikasi dengan kecepatan yang terbatas.

Untuk mencapai tujuan utama ini, maka diperlukan beberapa tujuan antara, yaitu:

3

1. memahami dan mensimulasikan skema-skema klasik dari estimasi arah

kedatangan sinyal,

2. memahami dan mensimulasikan teknik-teknikcompressive sensing,

3. memahami dan mensimulasikan penggabungan teknikcompressive sensing

dengan skema estimasi arah kedatangan sinyal,

4. memahami dan mensimulasikan pengaruhnoisedalam penggabungan teknik

compressive sensingdan skema estimasi arah kedatangan sinyal tersebut,

5. memperbaiki, memodifikasi, mengusulkan teknikcompressive sensingbaru

agar penerapannya pada skema estimasi arah kedatangan sinyal menghasilkan

skema yang tahan terhadapnoise,

6. membandingkan kinerja skema yang dihasilkan dengan skema estimasi arah

kedatangan klasik.

I.4 Kontribusi dan Dampak Penelitian

Penelitian penerapan teknikcompressive sensingpada skema estimasi arah

kedatangan sinyal dimaksudkan untuk mengurangi jumlah sampel yang diperlukan

untuk menentukan arah kedatangan sinyal. Dengan jumlah sampel yang sedikit,

maka sistem radar yang bekerja pada jaringan terdistribusiakan semakin

mudah diimplementasikan. Jumlah sampel yang sedikit juga memungkinkan

untuk menempatkan unit-unit radar pemantau di daerah dengan terpencil dengan

bandwidth komunikasi yang sangat terbatas. Kontribusi penelitian ini dapat

dituliskan dalam poin-poin berikut:

1. memodifikasi skema yang ada agar dapat bekerja pada lingkungan dengan

noisetinggi,

2. memperluas skema yang ada dari teknik satu sampel menjadimulti-sampel

(multi snap),

3. memperluas kajian dan pengembangan dari skemacompressive sensingyang

ada,

4. menemukan teknik-teknik baru di bidangcompressive sensing.

4

Adapun penelitian ini diharapkan memberikan dampak antaralain:

1. membuka peluang pengimplementasian skema estimasi arahkedatangan

sinyal dengan jumlah sampel yang sangat sedikit,

2. membuka peluang sistem radar dengan topologi tersebar, dengan unit jauh

yang hanya bertugas mengumpulkan sedikit data sehingga menghemat energi

dan sumber daya,

3. membuka peluang sistem radar yang dapat bekerja denganbandwidthsempit

yang biasanya terdapat di daerah-daerah terpencil.

4. membuka ruang penelitian dan aplikasi lain daricompressive sensingdengan

jumlah sampel sangat sedikit serta bekerja cukup baik pada lingkungan

dengannoisetinggi.

5

BAB II KAJIAN LITERATUR

Pada bagian kajian literatur ini, akan dibahas tiga macam kajian literatur yaitu kajian

literatur tentang algoritma estimasi arah kedatangan sinyal, kajian literatur tentang

compressive sensing, dan kajian tentang penerapan teknikcompressive sensing

untuk aplikasi estimasi arah kedatangan sinyal. Pada setiap bagian, akan dibahas

literatur-literatur dari setiap skema serta literatur-literatur terkait lainnya. Sebelum

pembahasan tentang kajian literatur tersebut dilakukan, landasan teori serta model

matematisnya diperkenalkan terlebih dahulu.

II.1 Estimasi Arah Kedatangan Sinyal

II.1.1 Model Matematika

Skema estimasi arah kedatangan sinyal diturunkan dari model matematik

dilanjutkan dengan penyederhanaan-penyederhaannya. Untuk keperluan pemodelan

ini, ditinjau susunanarray antena yang berupa elemen antena isotropis yang disusun

secara linier dengan jarak konstan (Gambar II.1). Susunan antena ini disebut dengan

Uniform Linear Array(ULA). Dengan asumsi bahwa sinyal datang pada jarak yang

yang relatif jauh maka berkas sinyal yang datang pada susunan antena tersebut dapat

dianggap sejajar.

a1

a2

a3

aM

d

d

Gambar II.1: Contoh Susunan ULA

Dengan menganggap sinyal paling atas sebagai referensi, maka perbedaan jarak

tempuh gelombang dari antena yang atas dengan antena yang tepat bawah adalah

6

sebesar:

∆ = d · sin θ (II.1)

d

d

θ

l1

l2

l3

lM

∆

2∆

(M − 1)∆

Gambar II.2: Sistem ULA dengan satu sumber datang pada sudutθ.

Perbedaan jarak ini menyebabkan keterlambatan fasa sebesar:

ψ =2 · π

λ· d · sin θ (II.2)

Dengan menotasikan sinyal sumber sebagais(n) dan sinyal yang datang pada

antena berturut-turut sebagaix1(n), x2(n) dan x3(n) , maka persamaan vektor

sinyal datangx(n) dapat ditulis dalam vektor menjadi:

x(n) =

1

e−j · 2π

λ· d · sin(θ)

e−j · 2π

λ· (N−1) · d · sin(θ)

· s(n) (II.3)

Persamaan di atas disingkat menjadi:

x(n) = a(θ) · s(n) (II.4)

Dengana(θ) disebut sebagaisteering-vector. Jika jumlah antena digeneralisasi

7

menjadi M, makasteering-vectora(θ) dapat ditulis sebagai:

a(θ) =

1

e−j · 2π

λ· d · sin(θ)

...

e−j · 2π

λ· (N−1) · d · sin(θ)

(II.5)

Pada kondisi terdapat beberapa sumber yang datang(k), maka persamaan sinyal

sumber juga dapat digeneralisasi menjadi:

s(n) =(s1(n) s2(n) · · · sk(n)

)T

(II.6)

II.1.2 Algoritma Klasik Estimasi arah Kedatangan

Algoritma estimasi arah kedatangan sinyal yang dijadikan referensi pada penelitian

ini adalah empat macam algoritma estimasi arah kedatangan klasik yang populer:

Algoritma Delay-and-Sum(DAS), algoritma Minimum Variance Distortionless

Response(MVDR), algoritma Multiple Signal Classification(MUSIC), dan

algoritma Estimation of Signal Parameters via Rotational InvarianceTechnique

(ESPRIT). Bagian selanjutnya akan mendiskusikan detail darimasing-masing

algoritma tersebut.

Algoritma DAS

Algoritma estimasi arah kedatangan dengan metode delay-and-sum ini termasuk

algoritma klasik dan menjadi acuan bagi perkembangan skemaestimasi arah

kedatangan. Metode ini dimodelkan pertama kali oleh SidneyP. Applebaum [2].

Veen [20] memformulasikan kembali skema DAS dalam kajiannya tentangversatile

adaptive beamformer. Struktur dari algoritma DAS dapat dilihat pada Gambar II.3.

Pada Gambar II.3, pada setiap cabang sinyal terimaxi(n), terdapatM buah tap

delay dengan bobotw1, sampaiwM . Setelah melalui masing-masing bobot ini,

maka sinyal akan melewati delay D. Pada skema DAS, estimasi arah kedatangan

dilakukan denganscanningsemua bobot yang mungkin dengan arahscanning

pada rentang sudut tertentu, tipikalnya adalah dari−90 sampai90 derajat. Proses

scanningsecara praktikal dilakukan dengan men-set nilai bobotw sama dengan

steering vectorseperti Persamaan II.4. Spektrum amplitudo sebagai fungsisudut

8

D

w1

x1

xM

wM

D

Σy

Gambar II.3: Skema DAS, diadaptasi dari [21]

scanningdapat dituliskan sebagai:

P (w) =M∑

i=1

wi · xi(n) (II.7)

Arah kedatangan sinyal diestimasi sebagaiθ̂ pada nilaiw yang menyebabkanP (w)

bernilai maksimum.

θ̂→

maxP (w) P (w) =M∑

i=1

wi · xi(n) (II.8)

Nilai x(n) adalah vektor sinyal terima seperti yang dinyatakan pada Persamaan II.4.

Skema delay and sumini memiliki keuntungan dalam hal kesederhanaan.

Kesederhanan ini tergambar pada skema di penerima yang hanya terdiri dari

prosesdelay dan sum. Alasan kesederhanaan juga yang menyebabkan skema

delay and sumsering menjadi pilihan implementasi untuk berbagai aplikasi,

baik radio [21] maupun audio [22]. Walau pun memiliki keuntungan pada sisi

kesederhanaannya, algoritma ini memiliki kelemahan. Kelemahan ini antara lain

adalah rendahnya kemampuan resolusi sinyal. Resolusi rendah berimplikasi bahwa

algoritma tidak dapat mendeteksi adanya dua sinyal yang memiliki arah kedatangan

yang berdekatan. Kelemahan lainnya adalah sensitifitas sinyal terhadapnoisedan

interferensi [23].

Algoritma MVDR

Skema klasik lain yang sangat popular adalah algoritma MVDR.Algoritma ini

dipelopori oleh Capon [1]. Capon menawarkan skema estimasi arah kedatangan

yang berbeda dibandingkan dengan skema DAS. Skema ini menggunakan ensembel

9

dari matriks kovariansi yang disusun dari vektor sinyal terima. Vektor sinyal terima

x(n) dikumpulkan seperti Persamaan II.4. Matriks kovariansi dari sinyal terima

dihitung dengan persamaan:

Rxx =x(n) · xH(n)

N(II.9)

Algoritma Capon dapat dituliskan sebagai berikut:

1. hitung matriks kovariansiRxx dari vektor sinyal datangx(n)

2. Hitung invers dari matrix kovariansiRxx (R−1xx )

3. bangkitkansteering vektora(θ) seperti Persamaan II.5 untuk suatu sudutθ.

4. Hitung spektrum sinyalP (θ) untuk setiap nilaiθ dari 0 sampai360 derajat

dengan persamaan (exhaustive search).

5. Tentukan arah kedatangan sinyal dengan mengambil nilaiθ sehinggaP (θ)

bernilai maksimal.

Dari sisi performa, para peneliti menemukan dua kekuranganutama dari algoritma

Capon yaitu komputasi yang berat dan rentan terhadap interferensi darijammer

yang berkorelasi dengan sinyal. Komputasi yang berat dikontribusi oleh tiga

hal yaitu perhitungan matriks kovariansi (langkah 1), perhitungan invers matriks

kovariansi (langkah 2), danexhaustive search(langkah 4). Perhitungan matriks

kovariansi memiliki kompleksitas O(n2). Kompleksitas perhitungan inversi matrik

memiliki komputasi yang berat [24]. Ada pun pengaruh interferensi terhadap

algoritma Capon diteliti oleh Zoltowski [25]. Pada paper tersebut, Zoltowski

menunjukkan sensitifitas dari algoritma MVDR Beamforming pada kasusmultiple

interference. Performa sistem menurun dengan drastis pada kondisi interferensi

tersebut.

Algoritma MUSIC

Algoritma MUSIC diusulkan oleh Ralph O. Schmidt [3]. Walau pun diterbitkan

di IEEE transactionstahun 1986, skema dasarnya ini telah dipublikasikan oleh

Schmidt pada beberapa lebih awal (1977-1979) di beberapa publikasi. Algoritma

MUSIC adalah salah satu algoritmabreakthrough di bidang beamforming.

Algoritma ini termasuk yang paling banyak diteliti dan dikembangkan oleh para

10

peneliti selama beberapa dekade. Keberhasilan algoritma ini dalam mendeteksi

beberapa sumber sekaligus dengan resolusi yang sangat tinggi menjadi daya tarik

utama dari algoritma ini. Algoritma MUSIC termasuk pelopordalam penggunaan

eigen-analysissehingga sering disebuteigen-assisted based algorithm. Basis dari

algoritma ini adalah proses dekomposisi matriks kovariansi ke dalam vektoreigen

dan nilai eigen. Proses dekomposisi ini dapat dinyatakan dengan persamaan:

Rxx = U ·Σ ·UH (II.10)

Dimensi dari matrikRxx,Σ, danU adalahM xM , denganM adalah jumlah antena

dalamarray. MatriksΣ adalah matriks diagonal dengan elemen diagonal berisi nilai

eigen.

Σ =

λ1 0 · · · 0

0 λ2 · · · 0...

.... . .

...

0 0 · · · λM

= diag(λ1 λ2 · · · λM

)(II.11)

Pada Persamaan II.11 di atas, terdapatR buah nilai eigen dominan (R ≤< M )

yang berkorespondensi denganR sumber sinyal yang datang [3]. Sisa nilai eigen

(M-R) menyatakan nilai eigen tak dominan. Jika nilai eigen pada matrikΣ diurutkan

dari yang terbesar ke yang terkecil, maka matrikU dapat dipartisi secara kolom

menjadiUs danUn. Oleh karena nilai eigen dominan dan tak dominan berturut-turut

berkorespondensi dengan sinyal dannoise, makaUs danUn berturut-turut disebut

signal subspacedannoise subspace.

U =(Us Un

)(II.12)

Selanjutnya, oleh karena setiap kolom dalam matrikU adalah salingorthonormal,

maka inner-product dari setiap kolom padaUs dan Un bernilai nol. Dengan

mengingat bahwasteering vectorpada arah kedatangan aktual adalah kombinasi

linear kolom vektor padaUs, maka

a(θ)H ·Un · a(θ) = 0 (II.13)

Dengan memanfaatkan Persamaan II.13, maka Schmidt mengusulkan spektrum

11

MUSIC sebagai:

P (θ) =1

a(θ)H ·Un · a(θ)(II.14)

Denganθ dihitung pada semua sudut yang dipindai. Arah kedatangan ditunjukkan

pada nilaiθ yang memaksimalkanP (θ).

Algoritma MUSIC, dengan teori yang dijelaskan di atas, dirangkum dalam

langkah-langkah berikut:

1. hitung matriks kovariansiRxx dari vektor sinyal datangx(n)

2. hitung dekomposisi eigen dariRxx seperti Persamaan II.10

3. bangkitkansteering vektora(θ) seperti Persamaan II.5 untuk suatu sudutθ.

4. hitung spektrum sinyalP (θ) seperti Persamaan II.14 untuk setiap nilaiθ dari

0 sampai360 derajat (exhaustive search).

5. tentukan arah kedatangan sinyal dengan mengambil nilaiθ sehinggaP (θ)

bernilai maksimal.

Analisis performa algoritma MUSIC telah banyak dilakukan oleh para peneliti

(Kaveh dan Barabell [26]; Stoica and Nehorai [27]). Kaveh danBarabell

melakukan pengujian performa algoritma MUSIC dengan parameter kemampuan

resolusi MUSIC dengan dua sinyal datang pada lingkungan yang memiliki

noise. Hasil simulasi menunjukkan bahwa MUSIC memiliki performayang

buruk pada lingkungan dengannoise tinggi. Stoica dan Nehorai melakukan

pengujian performansi algoritma MUSIC dengan menghitung jaraknya dengan

batas minimum yang dapat dicapai dari suatu nilai estimasi yaitu Cramer-Rao

Bound (CRB). Penelitiannya menunjukkan bahwa algoritma MUSIC memiliki

performa yang hampir berimpit dengan untuk SNR yang tinggi.

Kekurangannya utama dari algoritma MUSIC adalah proses perhitungan yang

berat. Kompleksitas perhitungan ini disebabkan oleh tiga proses pada algoritma

MUSIC yaitu perhitungan matrik kovariansi, eigen-analysis, dan exhaustive search.

Keterbatasan ini menyebabkan algoritma MUSIC sangat jarang diterapkan pada

aplikasirealtime([24], [24]). Algoritma turunan MUSIC pada umumnya ditujukan

untuk mengurangi perhitungan eigen-analysis. Algoritma turunan ini antara lain

adalah Root-MUSIC [4], Beamspace Root-MUSIC [28] dan Unitary Root-MUSIC

[7].

12

Algoritma ESPRIT

Skema ESPRIT diperkenalkan oleh Roy, Paulraj, dan Kailath [8]. Skema ini

mengambil pendekatan berbeda jika dibandingkan dengan algoritmaDAS, MVDR,

danMUSIC. Jika algoritmaDAS, MVDR, danMUSIC melakukan prosesscanning

sudut pada semua kemungkinan(exhaustive search), maka algoritma ESPRIT tidak

melakukan hal tersebut, melainkan memanfaatkan struktur yang disebut dengan

rotational invariantdari susunan ULA. Strukturrotational invariantadalah struktur

pembagianarray antenna menjadi 2sub-array, sedemikian rupa sehingga salah satu

sub-arrayadalah versi tergeser spasial dari sub-array lainnya.

Gambar III.4 memperlihatkan contoh susunan ULA dan pengelompokannya ke

dalam duasub-array yang memenuhi sifat sifat ini. Gambar (a), (b), dan (c)

menunjukkan pembagianarray antena menjadisub-array J1 dan J2. Kedua

sub-arrayadalah identik, dengan yang satu adalah pergeseran linier dari yang lain.

(a) (b) (c)

J1

J2

J1

J2

J1

J2

Gambar II.4: Pembagian array 4 antena menjadi duasub-array yang bersifatrational invariant. (a) dan (b) menunjukkan duasub-array dengan dua antenasedangkan (c) menunjukkan tiga antena dalamsub-array.

Sinyal yang diterima padasub-array 1adalah sama dengan sinyal yang diterima

dari sub-array 2 dengan perbedaan pada selisih waktu kedatangan. Dengan

memanfaatkan selisih waktu kedatangan ini, Roy et al. pada [8] berhasil

merumuskan algoritma untuk memperoleh arah kedatangan sinyal. Pembagian

array utuh menjadi duasub-arrayini dapat dinyatakan denganselection vectorJ .

Sebagai contohselection vectorJ1 danJ2 pada Gambar III.4.(a) berturut-turut dapat

dinyatakan dengan:

J1 =

1 0 0 0

0 1 0 0

(II.15)

13

J2 =

0 0 1 0

0 0 0 1

(II.16)

Seperti halnya algoritma MUSIC, algoritma ESPRIT memanfaatkan analisiseigen

dari matrik kovariansi. Pembagian nilaieigen menjadi komponen dominan dan

komponen tak dominan yang berkorespondensi dengansignal subspaceUs dan

noise subspaceUn. Lebih lanjut, algoritma ESPRIT menghitungsignal subspace

pada masing-masingsub-array. Signal subspace sub-array 1dan sub-array 2

berturut-turut dihitung dengan

Us1 = J1 ·Us (II.17)

Us2 = J2 ·Us. (II.18)

Urutan estimasi arah kedatangan sinyal dengan algoritma ESPRIT dapat dirangkum

dalam langkah-langkah berikut (langkah 1 dan adalah sama dengan langkah pada

algoritma MUSIC):

1. hitung matriks kovariansiRxx dari vektor sinyal datangx(n)

2. hitung dekomposisi eigen dariRxx seperti untuk menghasilkan matrikΣ dan

U

3. partisi matrikU menjadiUs danUn sesuai dengan nilai eigen dominan dan

tak dominan.

4. Tetapkanselection vectorJ1 danJ2

5. Hitung sinyalsubspacedarisub-arrayJ1 danJ2 (Persamaan II.17 dan II.18)

6. hitung matrikrotational invariant

Ψ = U+s1 ·Us2 = (UH

s1 ·Us1)−1 ·UH

s1 ·Us2. (II.19)

7. lakukan dekomposisi pada matrikΨ dan tentukan nilai eigen dominan

8. estimasi sudut kedatangan dengan kedatangan dihitung dengan persamaan:

θi = tan−1

(im(λi)

re(λi)

)(II.20)

14

Variabelλi menyatakan nilaieigendominan ke-i dari matrikΨ, sedangkan

operatorim(.) dan re(.) berturut-turut menyatakan bagianimaginer dan

real dari bilangan kompleks

Modifikasi dan perbaikan algoritma ESPRIT banyak dilakukan oleh para peneliti.

Sebagian besar modifikasi tersebut ditujukan untuk mengurangi atau menghindari

perhitungan eigen analysisyang biasanya melibatkan perhitungan bilangan

kompleks dalam dimensi yang besar, lainnya berupaya untuk menyederhanakan

perhitungan yang melibatkan bilangan komplek. Xu [10] mengusulkan skema

Beamspace ESPRIT yang berfokus pada upaya penyederhanaaneigen analysis.

Huarng [6] memanfaatkan hasil penelitian Lee [5] tentang matrik centro-hermitian,

mengajukan transformasiunitary untuk mengubah nilai kompleks menjadi nilai

riil. Hasil ini menginspirasi Martin Haardt untuk melakukan upaya penyederhanaan

perhitungan bilangan kompleks dengan transformasi unitary. Hasil modifikasi ini

diberi nama Unitary ESPRIT [9].

II.2 Compressive Sensing

Dalam dunia digital, diperlukan langkah digitalisasi untuk mengubah sinyal analog

menjadi sinyal digital. Proses utama adalah langkah digitalisasi adalahsampling.

Prosessamplingadalah proses mencuplik sinyal analog secara periodik dengan

suatu interval tertentu. Perioda antar sampel telah diteliti orang dan dituangkan

dalam berbagai paper. Teori sampling klasik dipelopori oleh Harry Nyquist [29].

Teori ini kemudian dikembangkan pula oleh Claude Shannon yang terkenal dalam

paper klasiknya [30]. Teorema sampling Nyquist-Shannon ini menyatakan bahwa

frekuensi sampling minimum harus memenuhi:

FSM = 2 · fmax (II.21)

Pada Persamaan II.21,FSM adalah frekuensi sampling minimum, danfmax adalah

frekuensi maksimum yang dibawa oleh sinyal informasi. Sebagai contoh, sinyal

analog yang berasal dari suara manusia, memiliki frekuensimaksimum 3.400 Hz.

Dengan demikian frekuensi sampling minimum yang diperlukan untuk digitalisasi

adalah 6.800 sampel / detik.

Terdapat dua permasalahan yang dihadapi oleh teori sampling klasik, yaitu jumlah

sampel yang banyak dan redudansi yang tinggi untuk sinyal tertentu. Jumlah sampel

15

yang banyak terjadi karena sinyal secara periodik harus di-sampling. Sebagai

contoh, untuk suara manusia di atas, dalam satu detik terdapat 6.800 sampel.

Dengan demikian dalam satu menit terdapat 60 x 6.800 sampel atau 408.000

sampel. Permasalahan redudansi terjadi jika sinyal yang disampling memiliki pola

teratur.Sebagai contoh sinyal sinusoidal dengan frekuensi 1 MHz, memerlukan

frekuensi sampling 2 juta sampel per detik. Di sisi lain, mensampling sinyal

sinusoidal 1 menit tidak memberikan informasi tambahan dibandingkan dengan

mensampling sinyal sinusoidal 1 detik.

Permasalahan teorisampling klasik ini, khususnya permasalahan kedua, yang

melahirkan teori sampling baru yang disebutcompressive samplingatau

compressive sensing. Compressive Sensingmengambil asumsi bahwa sinyal yang

disampling bersifatsparse. Sparseatausparsitypada sinyal menunjukkan bahwa

sinyal hanya memiliki sedikit komponen signifikan. Sisa komponen adalah nol.

Sebagai contoh dari sinyalsparseadalah sinyal yang memiliki sangat sedikit

nilai tak nol dan sisanya bernilai nol. Contoh lain adalah sinyal sinusoidal dan

sinyal periodik (sinyal gergaji, sinyal persegi periodik,dan sebagainya). Teori

compressive sensingdimulai dengan asumsi sparsitas sinyal ini. Publikasi pionir

di bidang ini antara lain adalah David L Donoho [11] dan Emmanuel Candes

[12]. Sedangkan aspek teknis dan aplikasi banyak diteliti dan dikembangkan oleh

Candes dan Richard Baraniuk [13]. Mengingat penelitiancompressive sensing

tersebar di berbagai bidang, beberapa peneliti merangkum perkembangan dan

potensi compressive sensing dalam survey paper, antara lain oleh Strohmer [31]

dan pada bidang sistem komunikasi oleh Hayashi et al. [32].

II.2.1 Terminologi Pada Compressive Sensing

Sebelum membahas model matematis daricompressive sensing, maka perlu dibahas

terlebih dahulu beberapa terminologi yang terkait dengan teknik CS. Terminologi

ini antara lain adalah sparsitas sinyal,norm, measurement matrix, dan sifat

restricted isometric property. Terminologi-terminologi ini dijelaskan di berbagai

literatur CS ([11], [12], dan [13]). Hayashi et al. meresume terminologi ini secara

sistematis dalam paper survei tentang CS ([32]).

Sparsitas sinyal. Sparsitas sinyal menyatakan jumlah elemen tak nol dalam

sinyal tersebut. Tingkat sparsitas ini dinyatakan dengan tingkat sparsitask. Sebagai

contoh,k = 5 menyatakan bahwa sinyal mengandung 5 nilai tak nol. Gambar II.5

16

menunjukkan contoh sinyalsparsedengan tingkat sparsitas 3.

n

2

-1,2

2,3

Gambar II.5: Contoh sinyalsparsedalam domain waktu

Sinyal yangsparsedalam domain waktu dapat dilihat langsung dari plot sinyal.

Banyak jenis sinyal lain yang tidaksparsedalam domain waktu, namunsparse

dalam suatu basis lain. Sebagai contoh sinyal sinusoidal, sinyal ini tidak sparse

pada domain waktu, namunsparsepada domain frekuensi. Jika sinyalx bersifat

sparse dalam basisΨ, dapat didekomposisi menjadi:

x = Ψ · x̂ (II.22)

Denganx̂ adalah sinyalsparsedalam domain waktu.

Norm. Jikax(n) menyatakan sinyal pengamatan pada waktun dari 1 sampaiN ,

x(n) = [x1, x2, · · · , xN ], makanorm orde-p (p non-negatif) darix(n) dinyatakan

dengan:

|x|p =p

√√√√N−1∑

0

xp(n) (II.23)

Simbol |.| menyatakan nilai absolut. Tiganormyang sering dipakai pada CS adalah

normorde-0 (l0), normorde-1 (l1), dannormorde-2 (l2). Normorde-0 menyatakan

jumlah elemen tak nol pada sinyal.Norm orde-1 menyatakan jumlah absolut dari

elemen tak nol pada sinyal, sedangkannorm orde-2 menyatakan jarakeuclidean

yang dibentuk oleh pada sinyal. Gambar II.6 menunjukkan arti geometris dari norm

orde-1 dan orde-2 dari sinyalx dengan dua elemenx1 danx2.

Measurement matrix. Measurement matrixadalah terminologi penting pada

CS. Measurement matrixsering disebut juga sebagaisensing matrix. Matrik ini

berfungsi untuk mengurangi jumlah sampel sinyal semula. Jika matrik semulax

terdiri dari n elemen, maka untuk mengurangi jumlah sampel menjadi matriky

17

1 x1

x2

norm orde-2

norm orde-1

Gambar II.6: Ilustrasinormorde-1 dannormorde-2.

menjadim elemen (m < n), maka diperlukan danmeasurement matrix Aberdimensi

m x n. Sinyal hasily diperoleh dengan mengalikan sinyalx denganmeasurement

matrix A.

y = A · x (II.24)

Pada Persamaan II.24, sinyaly berdimensim x 1, matriksA berdimensim x n, dan

matrikx berdimensin x 1. Sinyalx disebut sebagai sinyal asli dan sinyalx disebut

sinyal pengukuran.

Restricted Isometric Property - RIP. Permasalahan lain yang penting pada CS

adalah memilihmeasurement matrixA sedemikian sehingga sinyal aslix dapat

dikembalikan dari pengukurany. Emmanuel Candes [12] menurunkan syarat dari

measurement matrixA yang disebut dengan RIP. Suatumeasurement matrixA

dikatakan bersifat RIP jika memenuhi kondisi:

(1− δs) · |x|2 ≤ |A · x|2 ≤ (1 + δs) · |x|2 (II.25)

Denganδs adalah suatu bilangan kecil. Sifat RIP ini secara geometris menyatakan

bahwanorm orde-2 dari vektor x sebelum dan setelah transfromasi tidakberubah

banyak.

Setelah mengenalkan beberapa terminologi ini, berikutnyaakan dibahas tentang

model matematik dari CS.

18

II.2.2 Model Matematik

Tujuan dari CS adalah melakukansampling dari sinyal sparsex(n) sehingga

diperoleh sinyal hasilsamplingy(n) yang memiliki jumlah sampel yang lebih

sedikit dari x(n). Pengurangan sampel ini dilakukan sedemikian sehingga

dimungkinkan untuk memperoleh kembali sinyal aslix(n) melalui proses

rekonstruksi. Proses sampling ini dinyatakan dengan Persamaan II.24 untuk suatu

matriks compressivemeasurement matrixA.

Permasalahan rekonstruksi yang harus dipecahkan adalah, jika y(n) adalah hasil CS

sertameasurement matrixA diberikan, bagaimana memperoleh kembali sinyal x(n)

ini.

Algorima Penyelesaian CS.

Terdapat 2 skema utama dalam menyelesaikan masalah rekonstruksi, yaitu:basis

pursuit (BP) dangreedy.

Basis Pursuit (BP). Algoritma BP banyak dikembangkan oleh kelompok Terence

Tao, Justin Romberg, dan Emmanuel Candes ([33], [33], dan [34]). Permasalahan

compressive sensingseperti pada Persamaan II.24 diselesaikan secara BP dengan

mencari kombinasix, yang memenuhinorm orde-1 minimal. Secara matematis,

konstrain penyelesaian BP dapat dituliskan sebagai:

x̂l1 = argminx

|x| subject to A · x = y (II.26)

Penyelesaian dari Persamaan II.26 dengan BP adalah mencari semua kemungkinan

nilai yang meminimalisasi|x|l1 . Untuk kondisi dua dimensi (x(n) = [x1 x2]), maka

permasalahan BP dapat diilustrasikan seperti pada Gambar II.7.

Secara analitis permasalahan BP diselesaikan denganLinear Programming. Justin

Romberg [35] menyelesaikan permasalahan BP dengansoftwarel1−Magic. Variasi

lain dari penyelesaian BP adalah denganConvex Programming. Skema berbasis

convex programmingini dikembangkan oleh Stephen Boyd [36] bekerja untuk

lingkungan Matlab.

19

x1

x2

A · y

|x|l1= c1

|x|l1= c2

P

Gambar II.7: Ilustrasi solusi CS dengan BP untuk 2 variabel

Algoritma Greedy. Skema algoritmagreedy secara teori dipelopori oleh

Friedman dan Stuetzle [37] dalam kajiannya tentangregression projection pursuit

sebagai penyelesaian dari persamaan linier. Mallat dan Zhang [38] selanjutnya

menggunakan dasar dariprojection pursuit tersebut untuk menyelesaikan

persamaan linier dalam kajiannya tentangtime-frequency matching pursuit. Istilah

matching pursuitdipakai oleh Mallat dan Zhang untuk menggambarkan proses

mencari basis dari sinyal. Basis ini disusun dalam suatudictionarydengan jumlah

elemen biasanya melebihi kebutuhan (over complete dictionaries). Istilah basis ini

pada literatur lain disebut juga denganatom(Chen et al.[39]).

Permasalahancompressive sensingsebagai mana yang direpresentasikan pada

Persamaan II.24, pada skemagreedy, dipandang sebagai permasalahan kombinasi

linier dari setiap kolom (basis) darimeasurement matrixA, dengan kombinasi

menggunakan koefisien padax. Skemagreedy melakukan langkah invers dari

kombinasi linier ini. Proses inversi ini dimulai dengan mencari basis terdekat dari

A yang paling dekat dengan vektor pengukurany. Basis terdekat diambil sebagai

basis memberikan hasil proyeksiy yang terbesar. Nilai proyeksi dikalikan kembali

dengany dan dikurangkan dengan basis yang dipilih menghasilkan residu. Basis

terdekat berikutnya dicari dari proyeksi residu ini ke basis tersisa. Demikian proses

ini diulangi sehingga nilai residu lebih kecil dari suatu nilai threshold. Gambar II.8

mengilustrasikan proses mencari basis ini.

Pada Gambar II.8, diasumsikanmeasurement matrixA sebagaiA = [A1 A2 A3]

sehingga terdapat tiga basis yaituA1, A2, A3. Proyeksiy padaA1, A2, danA3

menghasilkanyA1, yA2

, danyA3. Pada gambar tersebut, terlihat bahwa basis yang

terpilih adalahA2, karena panjangyA2dariO adalah yang paling besar.

Jika setiap basis adalah orthogonal, maka skema Matching Pursuit yang diusulkan

oleh Mallat dan Zhang menjadi skema Orthogonal Matching Pursuit (OMP). OMP

adalah salah satu algoritma populer di CS yang diperkenalkanoleh Tropp [40].

20

A1

A2

A3y

yA1

yA2

yA3

b1

b2

O

Gambar II.8: Ilustrasi Matching Pursuit dengan tiga basis

Tropp memformulasikan skema OMP sebagai berikut:

1. inisialisasi proses dengan basisA1, A2, ...An, dan residu awalr1 = y

2. pilih basisAi yang memaksimalkaninner product: max(< Aj, ri >) untuk

semuaj

3. hitung residuri untuk iterasi berikutnya:ri = ri−1− < Ai, ri > · ri

4. ulangi langkah 2 dan 3 di atas sampai nilai residu lebih kecil dari suatu

threshold

Skema lain yang termasuk dalam kategorigreedy adalah skemaFocal

Underdetermined Problem Solver(FOCUSS). Algoritma ini diusulkan oleh

Goronitsky dan Rao [14] dalam kajiannya tentang solusi persamaan linear yang

melibatkan teknik sparsitas. Skema FOCUSS menggunakan teknik proyeksi

pseudo-inversesebagai ganti dari proyeksiinner productyang digunakan pada

algoritma OMP.

II.3 Compressive Sensing Pada Estimasi Arah Kedatangan

Pada bagian sebelumnya, telah dibahas upaya penyederhanaan yang terdapat

pada skema estimasi arah kedatangan, yaitu kompleksitas perhitungan. Para

peneliti melakukan modifikasi-modifikasi serta manipulasimatematik antara lain

untuk menghidari perhitungan eigen-analysis mau pun transformasi unitary untuk

memetakan nilai kompleks ke dalam nilai real. Pada bagian ini akan dibahas upaya

lain untuk mengurangi kompleksitas perhitungan yaitu dengan cara pengurangan

jumlah sampel sesuai prinsip daricompressive sensing.

21

Secara umum, penerapancompressive sensingpada algoritma estimasi arah

kedatangan dapat dikelompokkan berdasarkan tiga teknik, yaitu teknik sparse

spatial [15] dan [17], tekniksparsepada waktu [16], dan tekniksparsepada

sudut kedatangan [14]. Pada skema dengan tekniksparse spatial, matrik sampling

A dipilih sedemikian sehingga sinyal yang diolah olehM buah antena penerima

dikurangi menjadiK buah antena (K < M). Skema dengan tekniksparsepada

waktu, matrik samplingA dipilih sedemikian sehingga sinyal yang diambil

sepanjangT dikurangi menjadiR (R < T). Pendekatan dengan tekniksparse

pada sudut kedatangan bekerja dengan hanya mengambil satu sampel pengukuran,

kemudian membentuk matrik pengukuranA yang tersusun dari vektor kolom yang

berasal daristeering vectorpada semua arah kedatangan yang dipindai. Meskipun

menggunakan asumsi yang berbeda, ketiga skema di atas memiliki prinsip kerja

yang sama.

Untuk ilustrasi dan menjelaskan keberhasilan dan permasalahan yang masih

ada pada algoritmacompressive sensingini, maka dilakukan simulasi algoritma

compressive sensingberbasis sparsitas sudut yang dikembangkan oleh Goronitsky

dan Rao [14]. Skema ini memiliki kapabilitas untuk mengestimasi arah kedatangan

sinyal dengan hanya menggunakan satu sampel saja. Kekurangannya adalah

sifat sensitif terhadapnoise. Skema ini yang akan dikembangkan lebih lanjut

pada penelitian ini untuk menghasilkan skemacompressive sensingyang lebih

kuat terhadapnoise. Bagian Simulasi Pendahuluan (Bab V) pada proposal ini

menunjukkan hasil simulasi dari skema ini, termasuk kekurangan serta hasil-hasil

lain terkait dengan modifikasi dan rencana perbaikannya.

22

BAB III METODOLOGI

Ada pun urutan pengerjaan pada rencana penelitian ini adalah: persiapan data,

persiapan lingkungan simulasi, simulasi, dan analisis performansi (Gambar III.1)

Persiapan Data

Simulasi

Analisis Performansi

Persiapan Lingkungan Simulasi

Gambar III.1: Langkah pengerjaan penelitian

III.1 Persiapan Data

Persiapan data adalah tahapan pembangkitan data untuk simulasi. Tahapan ini

terdiri dari dua tahap yaitu penyiapan datainput, dan penyiapan datanoise. Pada

penelitian estimasi arah kedatangan sebelumnya yaitu MUSIC [3] dan ESPRIT [8],

sinyal radar yang dibangkitkan berupa sinyal sinusoidal. Sinyal sinusoidal untuk

radar tersebut terdiri dari sinyal sinusoidal murni (pure sinusoid / monochrome, dan

sinyal sinusoidal majemuk (composite sinusoids). Sinyal sinusoidal murni adalah

sinyal yang hanya terdiri dari satu komponen sinyal sinusoidal. Sinyal sinusoidal

majemuk adalah sinyal yang terdiri dari superposisi dari beberapa sinyal yang

sinusoidal. Sinyal sinusoidal murni dinyatakan dengan persamaan

x(n) = sin(2 · π · f ·n+ φ) (III.1)

23

Sedangkan persamaan untuk sinyal sinusoidal majemuk adalah

x(n) =N∑

i=1

sin(2 · π · fi ·n+ φi) (III.2)

Pada Persamaan III.2, sinyal tersusun atas komposisiN buah sinyal sinusoidal. Fasa

sinyal (φi) dibangkitkan secara random dengan distribusi uniform pada interval

[0 − 2π]. Gambar II.2 dan II.3 memperlihatkan sinyal sinusoidal murni dan sinyal

sinusoidal majemuk. Di samping penentuan fasa sinyal, penentuan frekuensi juga

penting. Frekuensi sinyal ditentukan sesuai dengan kondisi aktual di lapangan.

Frekuensi tipikal untuk sinyal radar adalah300 MHz.

0 100 200 300 400 500 600−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Gambar III.2: Sinyal sinusoidal murni (pure sinusoid)

0 100 200 300 400 500 600−6

−4

−2

0

2

4

6

Gambar III.3: Sinyal sinusoidal majemuk dengan 12 elemen frekuensi

Untuk noise, noisedibangkitkan untuk mengemulasi situasi pemancar, kanal, dan

penerima. Oleh karena komunikasi antara pemancar dan penerima bersifatline of

sight, makanoiseyang muncul di penerima adalahnoisegaussian yang bersifat

aditif (additive white gaussian noise - AWGN). NoiseAWGN ini secara simulasi

dibangkitkan berdasarkan distribusi gaussian denganmean 0dan variance σ2.

24

Penambahan sinyal dengannoiseAWGN ini diatur setelah nilai amplitudo sinyal

dan nilai amplitudonoise ditetapkan. Perbandingan nilai amplitudo sinyal dan

noise ini dinyatakan dengan istilahSignal to Noise Ratio(SNR). SNR biasanya

dinyatakan dalam logaritma basis 10 yang disebutdecibel(dB).

SNR = 10 · log(Ps

Pn

) (III.3)

DenganPs adalah daya rata-rata sinyal danPn adalah daya rata-ratanoise. Daya

sinyal dannoiseberturut-turut dinyatakan dengan:

Ps =

∑N

i=1 x2s(n)

N(III.4)

Pn =

∑N

i=1 x2n(n)

N(III.5)

Gambar III.4, memperlihatkan sinyal yang telah terkena noise AWGN. Pada gambar

tersebut, SNR adalah sebesar 20 dB.

0 100 200 300 400 500 600−6

−4

−2

0

2

4

6

Gambar III.4: Sinyal sinusoidal majemuk yang terkenanoisedengan SNR 10 dB

Pada pelaksanaan penelitian, pengaruh darinoisediselidiki dengan mengubah-ubah

nilai SNR pada setiap simulasi.

III.2 Persiapan Lingkungan Simulasi

Untuk simulasi estimasi arah kedatangan sinyal ini, beberapa skema akan

disimulasikan antara lain skema estimasi arah kedatangan klasik dancompressive

25

sensing. Untuk simulasi estimasi arah kedatangan klasik, persiapan simulasi akan

meliputi:

• persiapansetting arrayantena

• penentuan jumlah sumber sinyal

• penentuan faktor lingkungan

Persiapan Antena . Persiapansetting array antena secara sederhana adalah

menentukan jenis susunan antena dan jarak antar elemennya.Untuk seluruh

simulasi, susunan antena dipilih jenisUniform Linear Array (ULA) dengan

jarak antar elemen konstanta. Mengikuti penelitian yang terdahulu, jarak antar

elemen dipilihλ/2. Gambar berikut memperlihatkan asumsiarray antena yang

disimulasikan. Jumlah elemen antena yang terdapat dalamarray adalah M.

a1

a2

a3

aM

d

d

Gambar III.5: Susunan ULA dengan jumlah elemenM dan jarak antar elemend.

Penentuan jumlah sumber . Penentuan jumlah sumber merupakan parameter

yang penting pada simulasi. Pada kondisi satu sumber saja, permasalahan estimasi

arah kedatangan sinyal hanya fungsi dari SNRnoisesaja. Pada kondisi beberapa

sinyal yang datang, permasalahannya adalah penentuan sudut kedatangan pada

masing-masing sumber merupakan fungsi darinoise, jarak sudut antara dua sinyal

berdekatan, serta korelasi antar sinyal. Gambar III.6 memperlihatkan jumlah

sumber satu dan beberapa. Pada Gambar III.6(b), jarak sudutantara sumber satu

dan sumber dua adalahθ1 − θ2. Kemampuan dari algoritma untuk memisahkan

jarak sudut terkecil disebut dengan resolusi dari algoritma tersebut.

26

a1

a2

a3

aM

a1

a2

a3

aM

θ θ1

θ

θ

θ

θ2

(a) (b)

Gambar III.6: Sinyal yang datang ke array antena. (a). Satu sumber (b). Dua sumberdengan sudut datangθ1 danθ2

Penentuan faktor lingkungan . Faktor lingkungan ini antara lain meliputi

redaman sinyal akibat propagasi dan pergeseran frekuensi akibat efek doppler akibat

pergerakan sumber. Redaman sinyal akibat propagasi terjadikarena jarak yang

ditempuh, serta sifat fisis media yang dilintasi. Untuk keperluan simulasi ini, media

propagasi yang dilewati adalah udara bebas. Parameter fisisudara bebas adalah

permitivitas (ǫ0) dan permeabilitas (µ0). Dengan asumsi ini, maka cepat rambat

gelombang di udara adalah3 · 108 meter per detik. Redaman propagasi gelombang

mengikuti modelpath-lossyaitu:

α = 32, 5 + 20 · f + 20 · d (III.6)

Denganα adalah redaman dalam dB,f adalah frekuensi dalam MHz, dand adalah

jarak dalam kilometer. Pergeseran frekuensi dilakukan dengan mensimulasikan

pergerakan objek dengan kecepatanv. Pergeseran frekuensi yang ditimbulkan oleh

kecepatan ini dihitung dengan persamaan:

∆f =v

c· f0 · cos(θ) (III.7)

III.3 Simulasi

Setelah proses persiapan data dan persiapan lingkungan simulasi ditetapkan,

berikutnya adalah membangun sistem simulasi sesuai denganyang direncanakan.

27

Terdapat tiga skema yang akan diteliti pada penelitian ini,yaitu skemacompressive

sensingberbasis sparsitas pada domain frekuensi, sparsitas pada domain spasial,

dan sparsitas pada domain arah kedatangan. Ketiga skema initelah dibahas pada

bagian kajian literatur sebelumnya.

III.4 Analisis Perfomansi

Untuk menilai keberhasilan skema, maka diperlukan parameter-parameter untuk

mengukur performansi dari skema-skema yang diteliti. Parameter performansi yang

akan diukur adalah:

• akurasi sebagai fungsi dari SNR

• resolusi sebagai fungsi dari SNR

• akurasi sebagai fungsi dari doppler shift

• akurasi sebagai fungsi dari tingkat sparsitas frekuensi

Akurasi sebagai fungsi dari SNR. Akurasi yang dimaksud di sini adalah nilai

absolut dari selisih antara sudut aktual kedatangan sinyaldengan sudut hasil

estimasi skema. Untuk memperoleh hasil yang memadai, maka nilai akurasi ini

perlu disimulasikan cukup banyak, dan hasil yang diambil adalah nilai rata-rata dari

semua percobaan tersebut.

AK =

∑Ns

i=1 [θ − θ̂i]

Ns

(III.8)

Nilai AK menyatakan akurasi,θ adalah sudut aktual,̂θi adalah sudut estimasi ke-i,

danNs adalah jumlah eksperimen yang dilakukan. Percobaan diulangi untuk nilai

SNR yang berbeda-beda.

Resolusi sebagai fungsi dari SNR. Percobaan pengukuran resolusi dilakukan

dengan menggunakan dua sumber pada dua sudut berbeda. Selisih dari kedua sudut

ini dinyatakan sebagai jarak sudut. Jarak dari kedua sudut ini kemudian diperkecil

sampai pada batas ketika algoritma tidak dapat lagi memisahkan kedua sumber

tersebut. Nilai minimal jarak sudut ini disebut sebagai resolusi dari algoritma.

Percobaan kemudian diulangi lagi beberapa kali untuk kemudian diambil nilai

28

rata-rata resolusi dari semua percobaan. Seperti halnya pada percobaan akurasi,

percobaan resolusi ini dilakukan juga pada nilai SNR yang berbeda-beda.

Akurasi sebagai fungsi dari doppler shift. Pada percobaan jenis ini, sumber

adalah sinyal sinusoidal murni dengan frekuensif0 yang bergerak dengan suatu

kecepatanv. Akibat pergerakan ini, maka frekuensi sinyal bergeser dari nilai semula

dengan besar bergeseran seperti yang dihitung dengan persamaan III.7. Untuk hasil

yang lebih baik, nilai yang akan dilaporkan di sini adalah nilai rata-rata dari sinyal

setelah dilakukan beberapa kali percobaan. Seperti halnyapercobaan akurasi, pada

percobaan ini, lingkungan sinyal juga dilakukan pada SNR yang berbeda-beda.

Akurasi sebagai fungsi dari tingkat sparsitas frekuensi. Pada beberapa kasus,

sinyal yang dikirim bukan berupa sinyal sinusoidal murni, namun sinyal sinusoidal

komposit. Ketepatan estimasi arah kedatangan sinyal merupakan fungsi dari

ketepatan estimasi jumlah komponen dari frekuensi sinyal penyusunnya. Mengingat

bahwa jumlah frekuensi sinyal penyusun tetap lebih sedikitdibandingkan dengan

sampel sinyal, maka asumsi sparsitas sinyal di frekuensi masih tetap berlaku. Pada

percobaan jenis ini, jumlah frekuensi sinyal akan divariasikan, selanjutnya setiap

metoda akan diukur tingkat akurasi estimasi sudutnya. Seperti percobaan yang lain,

akan diambil nilai rata-rata dari beberapa percobaan. Demikian juga lingkungan

yang akan diubah-ubah tingkat SNR-nya dengan beberapa nilaiyang berbeda-beda.

III.5 Skema yang ditinjau

Pada proposal ini, dari tiga skema yang dibahas di atas, skema compressive

sensingberbasis sparsitas pada arah kedatangan yang akan ditinjaudan diperbaiki.

Skema ini memiliki keuntungan dibandingkan dengan skema sparsitas pada

ruang/spasial maupun skema sparsitas pada waktu. Keuntungan ini yaitu jumlah

sampel yang ekstrim sedikit. Irina Goronitsky dan Bhaskar Rao([14]) bahkan hanya

menggunakan satu sampel saja. Skema ini dapat diilustrasikan seperti pada Gambar

III.7.

Skema ini, dengan kesederhanaannya, memiliki kelemahan utama yaitu rentan

terhadapnoise. Pada bagian Simulasi Awal akan ditunjukkan kelemahan skema ini

secara simulasi.

Untuk perbaikannya, pada proposal ini ditawarkanmulti-snapdari skema sparsitas

29

a0,1

a0,2

a0,M

...

a1,1

a1,2

a1,M

...

aθx,1

aθx,2

aθx,M

...

· · ·

· · ·

· · ·

...

· · ·

· · ·

· · ·

...

a360,1

a360,2

a360,M

...

steering vector untuk sudut 0

steering vector untuk sudut θx

0

0

...

1

...

0

x1

x2

xM

...

Gambar III.7: Skema Compressive Sensing untuk Estimasi ArahKedatangandengan satu sampel sinyal

sudut. Berbeda dengan skema asalnya yang hanya menggunakan satu sudut, skema

multi-snapmenggunakan beberapasnapssinyal terima, untuk kemudian diestimasi

arah kedatangan. Hasilnya kemudian dikompilasi untuk menghasilkan estimasi

arah kedatangan yang lebih akurat. Hasil simulasi dari skema multi-snap dari

sparsitas sudut tersebut diperlihatkan pada bagian Simulasi Awal. Gambar III.8

memperlihatkan skemamulti-snapsparsitas sudut tersebut.

a0,1

a0,2

a0,M

...

a1,1

a1,2

a1,M

...

aθx,1

aθx,2

aθx,M

...

· · ·

· · ·

· · ·

...

· · ·

· · ·

· · ·

...

a360,1

a360,2

a360,M

...

steering vector untuk sudut 0

steering vector untuk sudut θx

0

0

...

1

...

0

x11

x12

x1M

...

Maktrik indikator arah kedatangan (dicari)

Vektor pengamatan/keluaran antena

0

0

...

1

...

0

0

0

...

1

...

0

· · ·

· · ·

· · ·

· · ·

· · ·

· · ·

0

... · · ·

xN1

xN2

xNM

...

· · ·

· · ·

· · ·

· · ·

N snapshot

Nilai 1 tidak mesti terjadi pada baris yang sama

Gambar III.8: Skemamulti-snapsparsitas sudut

30

BAB IV TIMELINE RENCANA PENELITIAN

Penelitian ini direncanakan selesai dalam kurun waktu tigatahun (2014-2016).

Perencanaan pengerjaan dibagi per tahun. Rincian rencana penelitian untuk tahun

2014, 2015, dan 2016 dijabarkan dalam Tabel IV.1, Tabel IV.2, dan Tabel IV.3.

Rencana penelitian ini dibagi menjadi tahapan-tahapan yaitu:

• Persiapan penelitian Meliputi kegiatan studistate of the art, penentuan fokus,

penelitian awal dengan mensimulasikan metoda estimasi arah kedatangan

yang ada serta teknik-teknikcompressive sensing, merumuskan rencana

kontribusi, penyusunan proposal dan ujian kualifikasi

• Pelaksanaan Penelitian Merumuskan metode yang baru, yaitupenggabungan

algoritma estimasi arah kedatangan dengancompressive sensing,

membandingkan dengan algoritma yang ada dan memodifikasi lebih

lanjut untuk memperoleh keunggulan skema.

• Pengujian dengan simulasi

• Publikasi dan Seminar Kemajuan I, II, dan III

• Perumusan kontribusi ilmiah, penulisan disertasi dan Seminar Kemajuan IV

• Ujian disertasi.

Adapun target detail per dijabarkan dengan rincian berikut. Untuk tahun 2014,

target utama adalah pada menemukan permasalahan danproposed method.

Proposed methoddi sini masih bersifat tentatif, namun ditanda keberhasilan

dari proposed methodini diverifikasi dengan simulasi awal. Duamilestoneyang

diharapkan dicapai pada tahun 2014 adalah Seminar Proposaldan Pengajuan

Seminar I. Ada pun paper awal diharapkan dapat dikirimkan pada jurnal nasional.

Untuk tahun 2015, target yang dipentingkan adalahproposed methodbaru, atau

pematangan dariproposed methodsemula. Tantangan yang akan dijawab pada

tahun kedua ini adalah keberhasilan untuk mengirim pada jurnal internasional

dan diterima. Ada pun target yang direncanakan sehubungan dengan syarat

akademik pendidikan adalah melakukan Seminar Kemajuan II serta pengajuan

untuk mengikuti Seminar Kemajuan III.

Rencana pada tahun ketiga (tahun 2016) adalah penulisan makalah disertasi dan

pelengkapan syarat lainnya yaitu Seminar Kemajuan III dan IV. Penulisan paper

31

dan pengirimannya mungkin masih dilakukan, jika syarat paper belum terpenuhi

atau paper tahun sebelumnya tidak lolos publikasi. Sidang tertutup menjadi target

penting pada tahun ketiga ini.

Tabel IV.1: Rencana Kegiatan Penelitian Tahun 2014

No Kegiatan Penelitian Bulan ke-1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 Persiapan Penelitian

2 Ujian Kualifikasi

3 Analisis Metode DoA dan CS yang ada

4 Perumusan algoritma yang ditawarkan

5 Penulisan paper dan pengajuan publikasi

6 Pengajuan Seminar Kemajuan I

Tabel IV.2: Rencana Kegiatan Penelitian Tahun 2015

No Rencana Kegiatan Bulan ke-1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 Seminar Kemajuan I

2 Formulasi Metode Baru

3 Simulasi Metode Baru

4 Penulisan Paper dan Publikasi

5 Pengajuan Seminar Kemajuan II

6 Seminar Kemajuan II

7 Perbandingan Metode Baru dengan Metode Lama

8 Simulasi komprehensif

9 Penulisan Paper dan Publikasi

10 Pengajuan Seminar Kemajuan III

Tabel IV.3: Rencana Kegiatan Penelitian Tahun 2016

No Rencana Kegiatan Bulan ke-1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 Seminar Kemajuan III

2 Penulisan Paper untuk Junal Internasional

3 Pengajuan Seminar Kemajuan IV

4 Seminar Kemajuan IV

5 Penulisan Disertasi

6 Ujian Disertasi

32

BAB V SIMULASI PENDAHULUAN

V.1 Simulasi dalam lingkungan berderau

Pada bagian ini akan ditunjukkan permasalahan pada skema estimasi arah

kedatangan dengan teknik sparsitas sudut yang diusulkan oleh Irina dan Rao [14]

(Gambar III.7). Permasalahan yang dimaksudkan di sini adalah sensitif skema

terhadapnoise. Sifat sensitif terhadapnoiseini mudah diperkirakan karena menurut

teori estimasi, nilai terbaik untuk mengestimasi suatu besaran adalah dari nilai

rata-rata pengukuran tersebut ([19]). Dengan hanya satu sampel, maka nilai rata-rata

tergantung dengan sampel itu sendiri. Untuk verikasi kelemahan ini, program

simulasi dikembangkan menggunakan Matlab dengan parameter sebagai berikut:

• jumlah antena : 12

• jumlah sumber : 1

• sudut kedatangan sinyal : -30 derajat

• jarak antar antena (λ) : 0,5

• SNR (db) : variabel dari -20 sampai 20 dengan interval 5 dB.

• jumlah percobaan : 10 kali untuk setiap SNR.

Hasil simulasi berupa estimasi arah kedatangan diperlihatkan pada Gambar V.1.

Pada gambar tersebut, terlihat bahwa skema sparsitas sudutmemiliki kesalahan

estimasi yang besar untuk SNR yang kurang dari 5 dB. Untuk membandingkan

tingkat estimasi kesalahan pada tiap SNR, maka pada setiap SNR, hasil estimasi

sudut kedatangan dihitung nilai standar deviasinya. Standar deviasi ini dikurvakan

seperti yang tampak pada Gambar V.2.

Pada Gambar V.2, terlihat bahwa skema sparsitas sudut satu sampel memiliki

akurasi yang kurang baik pada SNR kurang dari 5 dB. Kesalahan akurasi walau

pun kecil, masih terlihat untuk SNR 5 dan 10 dB. Untuk melihat seberapa buruk

kondisi ini, bagian berikutnya akan dibandingkan performaskema sparsitas sudut

dengan algoritma estimasi arah kedatangan klasik MVDR dan MUSIC.

33

−5 0 5 10 15−80

−60

−40

−20

0

20

40

SNR (dB)

Sud

ut

Gambar V.1: Hasil estimasi sudut sebagai fungsi SNR dari skema sparsitas sudutdengan sepuluh percobaan untuk setiap SNR

V.2 Simulasi perbandingan dengan algoritma klasik

Untuk memperoleh perbandingan bagaimana sensitifitas dariskema sparsitas sudut

ini dibandingkan dengan algoritma klasik dari estimasi arah kedatangan, simulasi

kedua dijalankan dalam lingkungan yang sama seperti sebelumnya. Algoritma

klasik yang diujicobakan adalah algoritma MVDR dan MUSIC. Sumber sinyal

ada satu buah yang datang pada sudut -30 derajat. Akurasi estimasi dinyatakan

dengan standard deviasi kesalahan antara sudut estimasi dengan sudut sebenarnya.

Hasil perbandingan terlihat pada Gambar V.3. Pada gambar tersebut, terlihat

bahwa performa dari algoritma klasik MVDR sangat superior dibandingkan dengan

sparsitas sudut. Bahkan untuk SNR -10 dB, skema klasik MVDR masih memiliki

kesalahan yang kurang dari 5 derajat.

V.3 Simulasi skema yang diusulkan

Selanjutnya disimulasikan skemamulti-snap sparsitas sudut sebagai usulan

perbaikan dari skema sparsitas sudut dengan 1 sampel saja. Skema multi-snap

adalah skema yang berdasarkan pada ekstensi skema 1 sampel dengan

menggunakan beberapa sampel (Gambar III.8). Pada simulasiyang diujicobakan,

34

−5 0 5 10 150

5

10

15

20

25

SNR

ST

D E

rro

r

PERFORMA COMPRESSIVE SENSING − DOA (SPARSITAS PADA SUDUT − ALGORITMA IRINA)

Gambar V.2: Standard Deviasi Error sebagai fungsi dari SNR

digunakan 20 sampel. Hasil simulasi menunjukkan adanya perbaikan performa

dibandingkan dengan skema asal. Untuk SNR lebih dari 0 dB, skema ini

menunjukkan tingkat akurasi yang sama baik dengan algoritma MUSIC dan

MVDR. Sebagai pengembangan lebih lanjut, skema yang diusulkan ini kemudian

diperbaiki lagi dengan membuang hasil estimasioutliers. Pembuanganoutliers

dilakukan dengan melihat simpangan hasil estimasi dengan hasil rata-rata. Dengan

menetapkan suatuthreshold maka hasil estimasi yang memiliki selisih dengan

rata-rata yang lebih besar darithreshold diketegorikan sebagaioutliers dan

dikeluarkan dari hasil estimasi. Semua hasil simulasi ini dirangkum pada Gambar

V.4. Skema pembuanganoutliers ini memberikan perbaikan pada SNR kurang dari

0 dB, namun masih kalah dengan skema tanpa pembuanganoutliersuntuk SNR di

atas 0 dB.

35

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 200

5

10

15

20

25

30

35

40

SNR (dB)

Sta

ndar

d D

evia

si E

rror

CS−Sparsitas SudutMVDRMUSIC

Gambar V.3: Perbandingan performansi skema sparsitas sudut dengan algoritmaMVDR dan MUSIC

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 200

5

10

15

20

25

30

35

40

SNR (dB)

Sta

ndar

d D

evia

si E

rror

CS−Sparsitas SudutMVDRMUSICProposed MethodProposed Method − Outliers Removal

Gambar V.4: Perbandingan skema sparsitas sudut, skema klasik, dan skema yangdiusulkan

36

DAFTAR PUSTAKA

[1] J. Capon, “High-resolution frequency-wavenumber spectrum analysis,”

Proceedings of IEEE, Vol. 57, No. 8, August 1969, 1969.

[2] S. P. Applebaum, “Adaptive array,”IEEE Transactions on Antennas and

Propagation, Vol. Ap-24, No. 5, September 1976, 1976.

[3] R. O. Schmidt, “Multiple emitter location and signal parameter estimation.

in ieee transactions on antennas and propagation, vol. ap-34, no. 3, march

1986,” IEEE Transactions on Antennas and Propagation, Vol. Ap-24,No. 5,

September 1976, 1986.

[4] A. J. Barabell, “Improving the resolution performance ofeigenstructure-based

direction-finding algorithms,”Proceeding of IEEE Conference on Acoustics,

Speech, and Signal Processing, 1983, 1983.

[5] A. Lee, “Centrohermitian and skew-centrohermitian matrices,” Journal of

Linear Algebra and Its Applications. 29:205-210, 1980.

[6] K.-C. Huarng and C.-C. Yeh, “A unitary transformation method for

angle-of-arrival estimation,”IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 39,

No.4, April 1991, 1991.

[7] M. Pesavento, A. B. Gershman, and M. Haardt, “Unitary root-music with a

real-valued eigendecomposition: A theoretical and experimental performance

study,” IEEE Transactions on Signal Processing, Vol.48, No. 5, May 2000,

2000.

[8] R. Roy, A. Paulraj, and T. Kailath, “Estimation of signal parameters

via rotational invariance techniques esprit.”Proceeding of IEEE Military

Communications (MILCOM) Conference - Communications, Vol.3, Oct. 1986,

1986.

[9] M. Haardt and J. Nossek, “Unitary esprit: How to obtain increased estimation

accuracy with a reduced computational burden,”IEEE Transactions on Signal

Processing, Vol. 43, No. 5, May 1995, 1995.

[10] G. Xu, S. D. Silverstein, R. H. Roy, and T. Kailath, “Beamspace esprit,”IEEE

Transactions on Signal Processing. Vol. 42, No. 2, February 1994., 1994.

37

[11] D. L. Donoho, “Compressed sensing,”IEEE Transactions on Information

Theory, Vol. 52, No. 4, April 2006, 2006.

[12] E. Candes, “Compressive sampling,”Proceedings of the International

Congress of Mathematicians, Madrid, Spain, 2006, 2006.

[13] R. Baraniuk, “Compressive sensing,”IEEE Signal Processing Magazine.

Volume 24. July 2007, 2007.

[14] I. F. Gorodnitsky and B. D. Rao, “Sparse signal reconstruction from

limited data using focuss: A re-weighted minimum norm algorithm,” IEEE

Transactions on Signal Processing, Vol.45. No.3, March 1997, 1997.

[15] Y. Wang, A. Pandharipande, and G. Leus, “Compressive sampling based mvdr

spectrum sensing,”Proceeding of IAPR 2010., 2010.

[16] A. C. Gurbuz and J. H. McClellan, “A compressive beamforming method,”

Proceeding of the IEEE International Conference on Acoustics, Speech and

Signal Processing, 2008., 2008.

[17] Direction Estimation Using Compressive Sampling Array Processing, 2009.

[18] J. M. Kim, O. K. Lee, and J. C. Ye, “Compressive music: Revisiting the link

between compressive sensing and array signal processing,”IEEE Transaction

on Information Theory, Vol. 58, No. 1, January 2012, 2012.

[19] S. M. Kay, Statistical Signal Processing - Volume 1 : Estimation Theory.

Englewood Cliff, 1998.

[20] B. V. Veen and K. M. Buckley, “Beamforming: A versatile approach to spatial

filtering,” IEEE ASSP Magazine, April 1988, 1988.

[21] P. Chen, X. Tian, Y. Chen, and X. Yang, “Delay and sum of beamforming on

fpga,” In ICSP Proceeding 2008, 2008.

[22] Y. Zeng and R. C. Hendriks, “Distributed delay and sum beamformer for

speech enhancement via randomized gossip,”IEEE/ACM Transactions on

Audio, Speech, and Language Processing, Vol. 22, No. 1, January 2014, 2014.

[23] H. Cox, R. M. Zeskind, and M. M. Owen, “Robust adaptive beamforming,”

IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, Vol. Assp-35,

No. 10, October 1987, 1987.

38

[24] G. H. Golub and C. V. Loan,Matrix Computation. Johns Hopkins University

Press; 3rd edition (October 15, 1996), 1996.

[25] M. Zoltowski, “On the performance analysis of the mvdr beamformer in the

presence of correlated interference,”IEEE Transactions on Acoustics, Speech,

and Signal Processing, Vol. 36, No. 6, June 1988., 1988.

[26] M. Kaveh and A. J. Barabell, “The statistical performance of the music

and the minimum-norm algorithms in resolving plane waves innoise,” IEEE

Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing,Vol. ASSP-34, No.

2, April 1986., 1986.

[27] P. Stoica and A. Nehorai, “Music, maximum likelihood, and cramer-rao

bound,” IEEE Transactions on Acoustics Speech and Signal Processing. Vol

37. No 5.May 1989, 1989.

[28] Direction Finding with Uniform Circular Array Via Phase Mode Excitation

and Beamspace Root-MUSIC, 1992.

[29] H. Nyquist, “Certain topics in telegraph transmission theory,” Transaction of

AIEE, Vol. 47, pp. 617644, Apr. 1928, 1928.

[30] C. E. Shannon, “Communication in the presence of noise,”Proceeding of

Institute of Radio Engineers, Vol. 37, No. 1, Jan. 1949, 1949.

[31] T. Strohmer, “Measure what should be measured: Progress and challenges

in compressive sensing,”IEEE Signal Processing Letters, Vol. 19, No. 12,

December 2012, 2012.

[32] K. Hayasi, M. Nagahara, and T. Tanaka, “A users guide to compressive sensing

for communications systems,”In IEICE Transaction on Communication.

Vol.E86-B. No.3. March 2013, 2013.

[33] E. Candes, J. Romberg, and T. Tao, “Robust uncertainty principles: Exact

recovery from highly incomplete fourier information,”IEEE Transactions on

Information Theory, February 2006, 2006.

[34] T. T. Emmanuel Candes, Justin Romberg, “Stable signal recovery from

incomplete and inaccurate measurements,”Journal of Communications on

Pure and Applied Mathematics, Vol.59, No.8, August 2006, 2006.

[35] J. Romberg. (2005) l1-magic. [Online]. Available:

http://users.ece.gatech.edu/~justin/l1magic/

39

[36] S. Boyd. (2014) Cvx: Matlab software for disciplined convex programming.

[Online]. Available: http://cvxr.com/cvx/

[37] J. H. Friedman and W. Stuetzle, “Projection pursuit regression,”Journal of the

American Statistical Association, Vol. 76, No. 376 (Dec., 1981), pp. 817-823,

1981.

[38] S. Mallat and Z. Zhang, “Matching pursuits with time-frequency dictionaries,”

IEEE Transactions on Signal Processing, Volume:41, Issue:12. 1993, 1993.

[39] S. S. Chen, D. L. Donoho, and M. A. Saunders, “Atomic decomposition by

basis pursuit,”SIAM Review, Society for Industrial and Applied Mathematics,

Vol. 43,No. 1, pp. 129159, 2001, 2001.

[40] J. A. Tropp, “Greed is good : Algorithmic results for sparse approximation,”

IEEE Transactions on Information Theory. Vol.50, No.10, 2004.

40