TUGAS

APLIKASI INTEGRAL DALAM BIDANG EKONOMI DAN TEKNIK

Disusun Oleh :

Nama :Ikhda Nikmatul Mukharromah

NIM :125100301111048

Fak/Jurusan :FTP/ Teknologi Industri Pertanian

No. Absen : 12 / P

Integral digunakan dalam analisis ekonomi dengan berbagai cara. Kita akan

menggambarkan beberapa aplikasi dalam bagian sekarang dan kemudian menunjukkan aplikasi

untuk model pertumbuhan Domar.

Dari Fungsi Marginal ke Fungsi Total

Bila diketahui fungsi total (misalnya, fungsi total biaya), proses diferensiasi dapat

menghasilkan fungsi marginal (misalnya, fungsi biaya marginal). Karena proses integrasi

merupakan kebalikan dari diferensiasi, hal ini sebaliknya, akan memungkinkan kita untuk

mencari fungsi total dari fungsi marjinal tertentu.

Contoh 1 :

Jika biaya marjinal (MC) suatu perusahaan merupakan fungsi output C2Q’(Q) = 2e0,2Q

,

jika biaya tetap adalah CF = 90, carilah fungsi biaya total C(Q). Dengan mengintegrasikan C’(Q)

terhadap Q, kita dapat bahwa

2e0,2Q

dQ = 𝟐𝟏

𝟎,𝟐 e

0,2Q + c = 10e

0,2Q + c

Hasil ini dapat digunakan sebagai fungsi C(Q) yang diinginkan kecuali, mengingat konstanta

arbitrer c, jawabannya timbul tanpa ditentukan untungnya, informasi bahwa CF = 90 dapat

digunakan sebagai kondisi awaluntuk menetapkan konstanta. Bila Q = 0, total biaya Chanya

akan terdiri dari CF. Oleh karena itu, dengan menetapkan Q = 0 dalam hasil kita dapatkan nilai

90; yaitu 10e0,2Q

+ c = 90. Tetapi ini akan beerarti bahwa c = 90 – 10 = 80. Jadi, fungsi total

biaya adalah

C (Q) = 10e0,2Q

+ 80

Contoh 2 :

Jika kecenderungan menabung marjinal – Marginal Propensity to Save = (MPS) – merupakan

fungsi pendapatan berikut, S’(Y) = 0,3 – 0,1Y1/2

, dan jika tabungan agregat (aggregate saving) S adalah

nol bila pendapatan Y adalah 81, carilah fungsi tabungan S(Y). Karena MPS merupakan derivative

dari fungsi S, masalahnya sekarang adalah mencari integrasi dari S’(Y) :

S(Y) = (0,3 - 0,1Y-1/2

) dY = 0,3Y - 0,1Y1/2

+ c

Nilai spesifik konstanta c dapat diperoleh dari kenyataan bahwa S = 0 bila Y = 81. Meskipun diatakan

secara tegas bahwa hal ini bukanlah kondisi awal ( tidak berhubungan dengan Y = 0), mensubtitusikan

informasi ini ke dalam integral sebelumnya akan membantu untuk menentukan c. Karena

0 = 0,3 (81) – 0,2 (9) + c c = -22,5

Fungsi tabungan yang diinginkan adalah

S(Y) = (0,3Y – 0,2Y1/2

– 22,5

Teknik yang digambarkan dalam contoh 1 dan 2 dapat diperluas secara langsung ke persoalan

lain yang melibatkan pencarian fungsi total (seperti total pendapatan, total konsumsi) dari fungsi marjinal

tertentu. Dapat juga diulang kembali bahwa dalam persoalan jenis ini validitas jawaban (suatu integral)

selalu dapat dicek dengan diferensiasi.

Investasi Dan Pembentukan Modal

Pembentukan modal adalah proses penjumlahan persediaan atau stok modal. Dengan

menganggap proses ini sebagai proses yang kontinu sepanjang waktu, kita bisa menyatakan

persediaan modal sebagai suatu fungsi waktu, K(t), dan menggunakan derivative dK / dt untuk

menunjukkan tingkat pembentukan modal.* Tetapi tingkat pembentukan modal pada waktu t

adalah identik dengan arus investasi netto (net investment) pada waktu t, yang ditujukkan dengan

I(t). jadi persediaan modal K dan investasi netto I dihubungkan dengan dua persamaan berikut :

𝒅𝑲

𝒅𝒕= 𝑰 (𝒕)

*Dalam hal notasi, derivative, dari suatu variabel yang berhubungan dengan waktu juga sering ditunjukkan denga n

titik tang ditetapkan di tas variabel, seperti K = dK / dt. Dalam analisis dinamis, di mana derevatif yang

berhubungan dengan waktu terlalu sering terjadi, symbol yang lebih singkat dapat memberikan bantuan yang besar

dalam penyederhanaan notasi. Akan tetapi, suatu titik, merupakan tanda kecil, mudah tak terlihat atau salah tempat;

jadi perlu hati – hati dalam menggunakan symbol ini.

dan K(t) = I(t) dt = 𝒅𝑲

𝒅𝒕𝒅𝒕 = dK

Persamaan pertama pertama merupakan suatu identitas yang menunjukkan sinonimitas antara

investasi netto dan pertambahan modal. Karena I(t) adalah derevatif dari K(t), maka beralasan

bahwa K(t) merupakan integral atau antiderevaif dari I(t), seperti yang ditunjukkan dalam

persamaan kedua. Transformasi integral dalam persamaan yang terakhir juga mudah dipahami :

Peralihan daro I ke dK / dt adalah menurut definisi, dan transformasi selanjutnya adalah dengan

pembatalan dua diferensial yang identik, yaitu menurut aturan subtitusi.

Kadang – kadang konsep investasi bruto digunakan bersama dengan investasi netto

dalam model. Dengan menunjukkan investasi bruto dengan Ig dan investasi netto dengan I, kita

dapat menghubungkan satu sama lain dengan persamaan

Ig = I + K

dimana menggambarkan tingkat penyusutan modal dan K pengkat investasi penggnti

(replacement investment).dsb

Nilai Sekarang Dari Arus Kas

Pembahasan kita sebelumnya tentang pendiskontoan dan nilai sekarang, yang dibatasi

pada kasus nilai masa depan tunggal V, memberikan kita rumus pendiskontoan

A = V(1 + i) -1

[kasus diskret]

dan A = Ve –rt

[kasus kontinu]

Sekarang misalkan kita mempunyai aliran atau arus nilai masa depan – yaitu serangkaian

pendapatan piutang pada berbagai waktu atau pengeluaran biaya hutang pada berbagai waktu.

Bagaimana kita menghitung nilai sekarang dari seluruh aliran kas atau arus kas?

Dalam kasus diskret, jika kita anggap tiga angka pendapatan di masa mendatang Rt (t = 1,

2, 3) tersedia pada akhir tahun ke – t dan juga mengansumsikan suku bunga i per tahun, nilai

sekarang Rt masing – masing akan menjadi

𝐼

I = I(t)

𝑰 𝒕 𝒅𝒕 =𝒕𝟎

𝟎 K(t0) - K(0)

0 t0 𝑡

R1 ( 1 + i) -2

R2 (1 + 1) -2

R3 ( 1 + i)-3

Jadi total nilai sekarang merupakan jumlah

= 𝟑𝒕=𝟏 Rt (1 + i)

-1 (14.11)

( dalam kasus di atas adalah huruf Yunani pi, yang menunjukkan waktu sekarang).

Perbedaaan hal ini dengan rumus nilai tungal hanya terletak dalam penggantian V dan Rt dan

dalam penyisipan tanda .

Konsep penjumlahan tersebut berlanjut ke kasus arus kas yang kontinu, tetapi dalam

konteks yang belakangan symbol tentunya harus dihilangkan dan diganti dengan tanda

integral definit. Pertimbangkan aliran pendapatan yang kontinu pada tingkat R(t) dollar per

tahun. Ini berarti bahwa pada t = t1 tingkat arus adalah R(t1) dollar per tahun, tetapi pada titik

waktu lain t = t2 tingkatannya akan menjadi R( t2 ) dollar per tahun-dengan t dianggap sebagai

variabel kontinu.Pada setiap titik waktu, jumlah pendapatan selama interval [t, t + dt] dapat

ditulis sebagai R(t) dt [lihat pembahasan terdahulu atas dK l(t) dt]. Bila didiskontokan secara

kontinu pada tingkat r per tahun, nilai sekarangnya akan menjadi R(t)e–rt

dt. Bila

permasalahannya sekarang adalah mencari total nilai sekarang dari aliran tiga tahun, jawaban

kita akan diperoleh dalam integral defining berikut:

= 𝑹(𝒕)𝟑

𝟎 e

–rt dt (14.11’)

Ekspresi ini, yang merupakan versi kontinu dari jumlah (14.11), hanya berbeda dengan rumus

nilai tunggal dalam penggatian V dengan R(t) dan dalam pembubuhan tanda integral devinit.*

Contoh 1

Berapakah nilai sekarang dari arus pendapatan kontinu yang berlangsung selama y tahun

pada tingkat yang konstan sebesar D dolar per tahun dan didiskontokan pada tingkat r per tahun?

Menurut (14.11’), kita punya

= 𝑫𝒚

𝟎e–rt

dt = 𝑫 𝒚

𝟎e–rt

dt = D −𝟏

𝒓 e

–rto

y

= −𝑫

𝒓 e

–rtt = 0

t = y = −𝑫

𝒓 e

–ry – 1) =

𝑫

𝒓 ( 1 -e

–ry)

Jadi tergantung pada D, r, dan y. Bila D = $3.000, r = 0,06, dan y = 2, misalnya kita

memperoleh

= 𝟑.𝟎𝟎𝟎

𝟎,𝟎𝟔( 1 – e

-0,12) = 50.000 ( 1- 0,8869) = $5.655 [aproksomasi]

Nilai biasanya selalu positif, ini sesuai dengan positivitas D dan r serta ( 1 – e-ry

). Bilangan e

yang mempunyai pangkat negative akan selalu memberikan nilai pecahan yang positif,

*Perlu dicatat bahwa, walaupun penjumlahan indeks atas dan limit integrasi atas identik pada 3, penjumlahan indeks

1 bahwa berbeda dari limit integrasi bahwa 0. Ini karena pendapatan pertama dalam aliran diskret, menurut asumsi,

tidak akan terjadi sampai t = 1 (akhir tahun pertama), tetapi arus pendapatan dalam kasus kontinu diasumsikan

terjadi segera setelah t = 0.

Nilai Sekarang dari Arus Perpetual

Jika arus kas berlangsung selamanya-suatu situasi yang dicontohkan oleh bunga atas

obligasi perpetual atau pendapatan atas aktiva modal yang tak dapat rusak seperti tanahnilai

sekarang dari arus kas akan menjadi

= 𝑹(𝒕

𝟎) e–rt

dt

yang merupakan integral tak wajar (improper integral)

Contoh 1

Carilah nilai sekarang dari aliran pendapatan perpetual yang mengalir pada tingkat yang

seragam sebesar D dollar per tahun, bila tinkat diskonto kontinu adalah r. Karena, dalam

mengevaluasi integral tak wajar, kita cukup mengambil limit integral yang wajar, hasil dalam

(14.12) masih dapat membantu kita. Secara khusus, kita dapat menulis

= 𝑫𝒆

𝟎–rt

dt = 𝐥𝐢𝐦𝒀→∞ 𝑫𝒆𝒀

𝟎–rt

dt =𝐥𝐢𝐦𝒀→∞𝑫

𝒓 ( 1 - e

–ry) =

𝑫

𝒓

Perhatikan bahwa parameter Y (jumlah tahun) telah hilang dari jawaban akhir. Hal ini memang

seharusnya terjadi, karena di sini kita menghadapi arus perpetual. Anda juga bisa mengamati

bahwa hasil kita ( nilai sekarang = tingkat arus pendapatan + tingkat diskonto). Secara tepat

berhubungan dengan rumus yang lazim disebut “Kapitalisasi” dari suatu aktiva dengan hasil

perpetual. (Bab 14 Dinamika Ekonomi dan Kalkulus Integral)

Pemakaian Integral Tak Tentu

Buat sebarang fungsi

y = f (x)

maka fungsi rata – rata

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑥

dan fungsi marjinal

𝑦 = 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓′ (𝑥)

Sebaliknya bila fungsi marjinal y’ = f’ (x) diketahui maka fungsi y diperoleh dengan

pengintegralan

y = f’ (x) dx – f (x) + c

Tetapan pengintegralan C diperoleh dari syarat batas. Fungsi y dapat fungsi biaya, fungsi

penerimaan, fungsi pendapatan, fungsi konsumsi, fungsi tabungan, dll.

1. Bila y’ f’ (x) = biaya marjinal maka fungsi biaya y = y’ dx = f (x) + C dan biaya rata –

rata 𝑦 = 𝑦

𝑥

2. Bila y’ f’ (x) = penerimaan marjinal, maka fungsi penerimaan y = y’ dx = f (x) + C dan

penerimaan rata – rata yang sama dengan harga per satuan dan sama dengan fungsi

permintaan.

𝑦 = 𝑦

𝑥= 𝑝

3. Pendapatan nasional x adalah konsumsi nasional c ditambah tabungan nasional s atau

x = c + s

l = 𝑑𝑐

𝑑𝑥+

𝑑𝑠

𝑑𝑥= 𝑐 ′ + 𝑠′

c’ = 𝑑𝑐

𝑑𝑥= 𝑕𝑎𝑠𝑟𝑎𝑡 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑠𝑖 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙, s’ =

𝑑𝑐

𝑑𝑥= 𝑕𝑎𝑠𝑟𝑎𝑡 𝑡𝑎𝑏𝑢𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑚𝑎𝑟𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙

Fungsi konsumsi c dapat diperoleh dengan mengintegralkan hasrat konsumsi marginal

dan fungsi tabungan s dapat diperoleh dengan pengintegralan hasrat tabungan marginal.

c = c’ dx = f(x) + C s = s’ dx = g (x) + C

Tetapan pengintegralan diperoleh dari syarat batas.

Contoh:

Hasrat konsumsi marginal

c’ = 0,7 + 0,1x -1/2

Ditanyakan fungsi konsumsi dan fungsi tabungan bila pada konsumsi c sama dengan

pendapatan x, maka x = 64

c = ( 0,7 + 0,1x -1/2

) dx

= 0,7x + 0,2x ½

+ C

Buat y = 64, maka x = 64

64 = 0,7.64 + 0,2.8 + C

C = 17,6

Fungsi Konsumsi

c = 0,7x + 0,2x ½ + 17,6

Tabungan marginal

s’ = 1 – c’

= 0,3 – 0,1x -1/2

s’ = (0,3 – 0,1x -1/2

) dx

= 0,3x – 0,2x -1/2

+ C1

Pada pendapatan x = 64, maka konsumsi c = 64 dan tabungan s = 0

s = 0,3.64 -0,2.8 + C1

C1 = -17,6

Fungsi tabungan

s = 0,3x - 0,2x -1/2

– 17,6

yang juga segera dapat diperoleh dari

s = x – c

= 0,3x - 0,2x -1/2

– 17,6

Surplus konsumen

Fungsi permintaan y = f (x) menunjkkan jatah x sesuatu barang yang hendak dibeli orang bila

harganya y. Fungsi ini suatu fungsi menurun karena bila harga barang turun, maka permintaaan

akan bertambah.

Misalkan pada harga yo permintaan xo , maka semua orang yang bersedia membayar lebih dari

harga pasaran y0 itu untung bahwa harga barang itu hanya yo. Keuntungan ini dengan pemisalan

bahwa utilitas maerginal uang tetap dan bahwa semua orang mempunyai fungsi utilitas yang

sama dapat diukur dengan

x 𝒇 𝒙 𝒅𝒙𝟎

𝟎 – xo yo

yng dinamakan keuntungan utilitas ataupun surplus konsumen. Surplus konsumen ditunjukkan

dengan luas di bawah liku permintaan dikurangi penerimaan total x0 y0 ataupun luas di bawah

liku permintaan sampai garis y = y0

Bila fungsi permintaan diucapkan dengan x = g (y), maka surplus konsumen dihitung dengan

𝑔 𝑦 𝑑𝑦𝑌𝑜

𝑦𝑜

dimana Yo = ordinat titik potong liku permintaan dengan sumbu y.

Surplus konsumen

SK = 𝒇 𝒙 𝒅𝒙𝑿𝒐

𝟎 – xo yo = 𝒈 𝒚 𝒅𝒚

𝒀𝒐

𝒚𝒐 (6.22)

Aplikasi Integral Dalam Ilmu Keteknikan

Teknik – teknik pengintegralan memungkinkan kita :

1. menaksir luasan berbagai bentuk bidang datar,

2. menghitung atau mencari formula volume berbagai bentuk geometris

3. menghitung ketinggian roket t menit setelah diluncurkan,

4. memprediksi ukuran populasi penduduk dunia pada suatu waktu,

5. memperlambat pertumbuhan serangga dengan menambahkan serangga jantan yang

mandul

Ringkasan Formula Integral Tertentu

Manipulasi aljabar terhadap integran seringkali diperlukan sebelum dapat

menggunakan teknik integral tertentu

Beberapa teknik manipulasi aljabar

o Melengkapi kuadrat

o Menambahkan “0”

o Mengalikan “1”

o Subtitusi merasionalkan

Subtitusi Merasionalkan

Integran yang melibatkan bentuk akar 𝑎𝑥 + 𝑏𝑛

seringkali dapat dibuat menjadi bentuk

rasional dengan mengambil subtitusi

Integral Parsial

Pada dasarnya integral parsial merupakan teknik subtitusi ganda.

Banya digunakan pada pengintegralan yang melibatkan fungsi transeden

(logaritma, eksponensial, trigonometri, beserta inversnya)

o Fungsi transenden tertentu (tunggal, komposisi)

Contoh : ln 𝑥 𝑑𝑥, 𝑠𝑖𝑛−1, cos(ln 𝑥) 𝑑𝑥

o Perkalian beberapa jenis fungsi (umumnya perkalian dengan fungsi

transenden)

Contoh : 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥, 𝑥2 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥, 𝑥𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥

Penentuan u dan dv

Dekomposisi Pecahan Integral

Masalah : pengintegralan fungsi rasional (nisbah dua fungsi polinomial) sejati.

dengan derajat (pangkat tertinggi) p (x) < deajat q (x),.

Bila derajat p (x) ≥ derajat q (x), lakukan pembagian sehingga diperoleh sisa berupa

fungsi rasional sejati.

Metode pengintegralan Dekomposisi Pecahan Parsial dengan cara menguraikan

(dekomposisi) fungsi pecahan rasional sejati r (x) menjadi jumlah fungsi – fungsi rasional

sejati yang sederhana.

Metode Dekomposisi Pecahan Parsial

1. The probability distribution for a continous random variable X is given by a probability

density function (pdf) such that the probability that X takes on values between a and b is

the area under the curve between a and b.

f (x) = 0 if x <0

33−3𝑥 if x ≥ 0

(1) Find the probability the part lasts for at least 4 years.

(2) Suppose the part lasts for 4 years, find the probability it lasts for at leasts another 4

years.

2. (FDWK) Find a formula for the area A (x) of the cross sections of the solid perpendicular

to the x axis. Find the volume of the resulting solid. The solid lies between planes

perpendicular to the x axis at = 1 and x = 1. In each case, the cross sections

perpendicular o the r axis between these planes run from the semicircle y = 1 − 𝑥𝑟2 to

the semicircle y = 1 − 𝑥2.

(a) The cross sections are circular disk with diameters in the xy plane.

(b) The cross section are squares with bases in the xy plane.

(c) The cross sections are squares with diagonals in the xy plane. (The length of a

square’s diagonal is 2 times the length of its sides).

(d) The cross sections are equilateral triangles with bases xy palne.

3. (ETS) A 3 – dimensional object has square base, defined by 1 ≤ 𝑥 ≤ 7 and 0 ≤ 𝑦 ≤ 6.

The height of the object at any point (x,y) in the base is given by h (x) = 𝑥2 + 1.

(a) Approximate the volume of this object by dividing the base into 3 strips of width 2

and using the height at the left edge of each strip.

(b) Write a Riemann sum that approximate the volume of the object, dividing the base

into n strips of width ∆𝑥 = 7−1

𝑛 and using the height at the left edge of each strip.

(c) Write an integral for the volume of the object.

(d) Find the volume of the object.

4. (Stewart) A high - tech company purchases a new computing system whose initial value

is V . The system will depreciate at the rate f = f(t) and will accumulate maintenance

costs at the rate of g = g(t), where t is measured in months. The company wants to

determine the optimum time to replace the system.

a. Let

C (t) = 1

𝑡 𝑓 𝑠 + 𝑔 𝑠 𝑑𝑠

𝑡

0

b. Suppose that

f (t) = 𝑉

15 -

𝑉

450𝑡 0 < 𝑡 ≤ 30 and g(t) =

𝑉𝑡2

12900, 𝑡 , 0

0 t > 30

Determine the length of tme T for the total depreciation D(t) = 𝑓 𝑠 𝑑𝑠 𝑡

0to equal

the intial value V.

c. Determine the absolute minimum of C on (0,T)

d. Sketch the graph of C and f + g on the some coordinate system.Verify the result in

part (a)

5. (Hughes - Hallett) The density of oil in a circular oil slick on the surface of the ocean at a

distance r meters from the center of the slick is given by ½(r) = 50=(1 + r) kg/m2.

(a) If the slick extends from r = 0 to r = 10000 m, find a Riemann sum approximating the

total mass of oil in the slick.

(b) Find the exact value of the mass of oil in the slick.

(c) Within what distance r is half the oil of the slick contained?

6. (Stewart) The hydrogen atom is composed of one proton in the nucleus and one electron,

which moves about the nucleus. In the quantum theory of atomic structure, it is assumed

that the electron does not move in a well definet orbit. Instead, it occupies a state known

as an orbital, which may be thought of as a cloud of negative charge surrounding the

nucleus. At the state of lowest energy, called the ground state, or 1s orbital, the shape of

this cloud is assumed to be a sphere centered at the nucleus. This sphere is described in

terms of the probability density function

p (r) = 4

𝑎03 𝑟2𝑒−2𝑟/𝑎0 r ≥ 0

where 𝑎0 is the Bohr radius (a = ≈ 5.59 x 10-11

m). The integral

P (r) 4

𝑎03

𝑟

0𝑠2𝑒−2𝑠/𝑎0𝑑𝑠

gives the probability that the electron will be found within the sphere of radius r meters

centered at the nucleus

(a) Sketch the graph of the probability density function p.

(b) Determine the probability that the electron will be within the sphere of radius 4𝑎0

centered at the nucleus.

(c) The most problable distance (expected value) of the electron from the nucleus in the

ground state of the hydrogen atom is given by

E = 𝑟𝑝 𝑟 𝑑𝑟∞

0

Find the value of E.

DAFTAR PUSTAKA

Daper, Jean E. danKlingman Jean S. 1964.Mathematical Analysis, Business and Economic

Application Bab 4. New York:Harper and Row.

Marsigit, M.A, Himmawati, P.L, Karyati, Sugiman. 2008. MatematikaKelas XII program IPA.

Quadra.

Kanginan, Marthen. 2005. MatmatikaKelas XII jilid 5. Bandung: Grafindo Media Pratama.