bab iv aplikasi integral ganda

8/10/2019 Bab IV Aplikasi Integral Ganda

1/20

.

BAB IV

APLIKASI INTEGRAL GANDA

4.1 Aplikasi Integral Ganda Dua

Integral ganda (rangkap) dua yang bentuk umumnya :

R

dA y x f ),(

dapat diaplikasikan untuk beberapa persoalan, diantaranya adalah:

a. Luas suatu Luasan Bidang!

Luas bidang dapat dipandang sebagai integral ganda dua jika f(x,y) =

1 , sehingga integral ganda dua menjadi : =

R

dA A

dydx2

1

2

1

)(y

)(y =

=

=

==

b x

a x

x y

x y

A

atau

dxdy2

1

2

1

)(x

)(x

=

=

=

==

b y

a y

y x

y x

A

Dalam koordinat polar, bentuk di atas dinyatakan dengan:

=

=

==2

1

2

1

dd

R

dA A

ontoh :

1! "itung luas daerah yang dibatasi oleh x # y = $ dan $y = x # %

&a'ab :

ebelum ditentukan luasnya, daerah tersebut digambar terlebih

dahulu

Kalkulus Peu"a# Ban$ak % D&i Purn'(') 75

Y 42 += x y

)2,0(


2/20

.

( )

( ) ( )

===

=

=

===

2

0

2

2

0

2

0

2

0

y-2

4-2y

2

0

y-24-2y

6)612()23

-(6y

)36(

422

xdxdy

y

dy y

dy y y

dydA A R

$! unakan integral ganda dua untuk menentukan luas suatu luasan

yang dibatasi oleh:

*x # %y = $%, x = +, y = +

&a'ab

Luas luasan di atas adalah

(-) = R

dA

=

6

0

3

424

0

y

dxdy

= [ ] dy x y

3

424

0

6

0

= dy y 6

0

42431

= [ ]60222431

y y


)6,0( P

)0,8(Q

R2434 =+ y x

X

4=+ y x

)0,2()0,2(

R

X

=2

0

2

0

222 cos)(8

dtdyt yr


3/20

.

= )0.20.24()6.26.24(3

1 22

= )72144(31

= $% satuan luas

". Pusat Luasan

.isal - adalah suatu luasan yang dibatasi oleh kur/a0kur/a,

maka luasan tersebut mempunyai pusat luasan dan dinyatakan

dengan ( y x , ) dengan hubungan

=

R

R

dA

dA x x dan

=

R

R

dA

dA y y

dengan R

dA adalah luas dari luasan dimaksud!

ontoh

1) entukan pusat luasan berikut dengan menggunakan integral

ganda dua!y = $x, y = x, x = +, dan x = $

2usat suatu luasan dinyatakan dengan ( ) y x , , dengan

= R

R

dA

dA x

x dan

=

R

R

dA

dA y

y


X

2= x

x y 2=Y

x y =

R


4/20

.

Luasan di atas dengan menggunakan integral ganda dua didapat:

= R

dA R A )(

( ) 221

2

0

22

0

2

0

22

0

2

=

=== xdx xdx ydydx x x

x

x

dan

R

dA y

[ ] ( )2

9

2

14

2

1

2

1 20

32

0

222

0

22

0

22

==== xdx x xdx ydydx y x

x

x

x

R

dA x

[ ] [ ]29

31

22

0

32

0

222

0

22

0

2

=

=== xdx x xdx xydydx x

x

x

x

x

sehingga

9

29

= x dan9

29

= y

diperoleh pusat luasan yang dibatasi oleh y = $x, y = x, x = +, dan x

= $

adalah

21

,21

$) entukan pusat luasan dengan batasan 422 =+ y x pada kuadra I!

2usat suatu luasan dinyatakan dengan ( ) y x , , dengan


X

Y

422 =+ y x R


5/20

.

= R

R

dA

dA x

x dan

=

R

R

dA

dA y

y

Luasan di atas dengan menggunakan integral ganda dua didapat:

= R

dA R A )(

( ) === 2

0

2

0

22

0

40

2

0

4

0

cos2.cos242

2

dt t t dx xdx ydydx x x

=

=

44

21

2cossin

42

0

t t t

dan

R

dA y

[ ] ( ) 042

14

2

1

2

1 20

32

0

22

0

42

0

24

0

22

====

x xdx xdx ydydx y x

x

x

R

dA x

[ ] [ ] === 2

0

2

0

22

0

4

0

2

0

4

0

cos2cos2sin24

22

tdt t t dx x xdx xydydx x x x

( )38

cos38

)(coscos8cossin8 203

2

0

2

0

22 ===

t t d t tdt t

sehingga

38

= x dan 0= y

diperoleh pusat luasan yang dibatasi oleh 422 =+ y x pada kuadra I!

adalah

0,38

*. Luas Per(ukaan Lengkung



6/20

.

&ika adalah bagian dari permukaan -3 dengan persamaan

4=f(x,y)! -3 dapat diproyeksikan pada bidang koordinat yang 5o5ok

sehingga menghasilkan suatu daerah - pada bidang dalam ruang!

Dengan demikian fungsinya terintegralkan pada -!

1! &ika -3 diproyeksikan pada 678 maka

+

+=

R

dA y z

x z

S 22

1

$! &ika -3 diproyeksikan pada 879 maka

+

+=

R

dA z

x

y

xS

22

1

*! &ika -3 diproyeksikan pada 679 maka

+

+=

R

dA z y

x y

S 22

1

tanda integrasi urutannya menyesuaikan dengan bidang proyeksi, &ika

bidang proyeksinya 6)8 maka d berubah menjadi dxdy atau dx!

ontoh

arilah luas permukaan silinder 1622 =+ z x didalam silinder 1622 =+ y x

&a'ab

2erpotongan kedua selinder menghasilkan bangun


X

Z

Y

1622 =+ z x

1622 =+ y x

Z


7/20

.

dengan mengganggap bidang 678 sebagai bidang proyksi, maka

+

+=

R

dA y z

x z

S 22

1

0,16 2

=

=

= y z

dan z x

x z

sehingga x z sehingga

+=

2

0

16

0

22

18 x

dydx z x

S

4

0

16

02

2

16

48

x

dydx x

==4

0

128)4(3232 luas satuandx

d. V'lu(e Bangun Ruang

olume bangun suatu ruang dapat dinyatakan dengan

menggunakan integral ganda dua dan dituliskan dengan

= R

dA y x f V ),(

dydxy)f(x,

2

1

2

1

)(y

)(y =

=

=

==

b x

a x

x y

x y A

atau

dxdyy)f(x,2

1

2

1

)(x

)(x =

=

=

==

b y

a y

y x

y x

A


Y

X


8/20

.

ontoh

1! ari /olume irisan 363649 22 =++ z y x oleh bidang 4 = +

&a'ab

ambar bangun yang pembatasnya 363649 22 =++ z y x adalah

;

;

= R dA y x f V ),(Dengan melakukan perubahan d = dydx diperoleh

dydx y x

V

x

=2

0

4936

0

22

2

364936

4

dydx y x

x

=2

0

4936

0

22

2

4936364

=2

0

93621

0

32

2

3493691 dx y y x y

x

=

2

0

32222 36

21

34

)93621

(9)93621

(3691

dx x x x x

=2

0

22222 936)936(81

.34

)93629

)9361891

dx x x x x x

dx x x x x x 222222

0

936)936(61

93629

9361891 =


Y

Z

X )0,0,2( A

363649 22 =++ z y x

)0,3,0( B

3649 22 =+ y x

)1,0,0(C


9/20

.

dx x x x x x 222222

0

93623

93629

936)618(91 +=

dx x x x 2222

0

9366

9

2

993612

9

1

=

dx x x x =

2

0

222 ]936393612[9

1dx x x x =

2

0

222 )4(93)4(912[9

1

dx x x x =2

0

222 )4(9)4(36[9

1

Dengan metode substitusi x = $ sin t didapat dx = $ 5os t dx


10/20

.

2

0

3

21

2cossin

43

4cossin

16

++= t t t t t

= 1>

++

40(

43

0

01>

+ 0.

21

0

= *

satuan isi

olume bangun di atas dapat juga dilakukan dengan mengubah

urutan tanda integrasi dxdy!

Dengan melakukan perubahan d = dydx diperoleh

dxdy y x

V

y

=3

0

9436

0

22

2

36

49364

dxdy y x

y

=3

0

9436

0

22

2

4936364 [ ]

=

3

0

4363

1

023

2

433691

dy x y x x y

=

3

0

223

22 )43631

(443631

3)43631

(3691

dy y y y y

=3

0

22222 43634

436)436(91

4361291

dx y y y y y

dx y y y y y y 222222

3

04363

44369

44364436129

1+=

dx y y y y 22223

0

436)34

94

(436)412(91 +=

dx y y y )9(49

8)9(48

9

1 2223

0

=

dx y y y 2223

0

9

9

16916

9

1 = Dengan metode substitusi y = * sin t didapat dx = * 5os t dx


11/20


12/20

.

;

ambar di oktan I persekutuan silinder di atas adalah

= R

dA y x f V ),(

=4

4

16

16

2

2

2

162 dydx x x

x

=4

0

16

0

2

2

168 dydx x x

( ) =

4

0

16

02

2

168 dx x y x


X

X

Y Y )0,0,4( A

)0,0,4( A

)0,4,0( B

Y

Z

)04,0(C


13/20

.

( ) =4

2168 dx x

4

0

3

31

168

= x x

= ?@(1>!%0 3431 )0(1>!+0 031 ) = ?(1$?A*)

= isi satuan3

1024

*! Dengan menggunakan integral ganda dua, tentukan /olume

bangun ruang yang dibatasi oleh bidang 4 = +, x # y = % dan y # 4

= %

&a'ab

Bangun persekutuan bidang seperti gambar berikut

;

= R

dA y x f V ),(

=4

0

4

0

4 y

dxdy y

( ) dy yx x y =4

0

404

dy y y y =4

0

)4()4(4


X

Z

Y

4=+ z y

4=+ y x

)0,0,4(

)0,4,0(


14/20

.

dy y y y +=4

0

2 )4416(

dy y y +=4

0

2 )816(

4

0

32

31

38

16 += y y y

++= 3232 0.31

0.38

0.164.31

4.38

4.16

3

64

3

12864 +=

%! entukan /olume bola 25222 =++ z y x menggunakan integral ganda

dua!

&a'ab

Dengan integral ganda dua diperoleh

=r yr

dxdy y xr V 0 0

222

22

8

dxdy x yr yr

=2

0 0

222

22

)(8

Dengan menggunakan substitusi fungsi trigonometri diperoleh


X

Z

Y


15/20

.

x = t yr cos22 dan dx = t yr sin22

untuk x = + didapat t = dan untuk x = 22 yr didapat t =2

,

sehingga

dxdy x yr

yr

2

0 0

222

22

)(8

dyt yr t yr yr =2

0

2

0

2222222 )cos(sin)()(8

=2

0

2

0

222 cos)(8

dtdyt yr

dyt t t

yr

+=

2

0

2

0

22

21

2cossin

)(8

=r

dy yr 0

22 )(4

.8

r

y yr 0

32

31

2

=

= 32

31

2 r r r

3

3

4r =

C! ambar kur/a ruang x y x 422 =+

&a'ab

x y x 422 =+

04 22 =+ y x x4)2( 22 =+ y x


Z


16/20

.

4.+ Aplikasi Integral Ganda Tiga

Integral ganda tiga sebagai perluasan integral ganda dua

dinyatakan dalam bentuk umum

= R

dvV

ebagaimana telah dinyatakan pada bab III, bah'a integral gandatiga dapat dinyatakan dalam bentuk koordinat artesius, koordinat

silider, dan koordinat bola!

&ika dinyatakan dalam bentuk koordinat artesius maka

= R

dv z y x f V ),,(

=

=

=

=

=

==

R

b z

a z

z y y

z y y

z y x x

z y x x

dxdydz z y x f dv z y x f 2

1

2

1

2

1

)(

)(

),(

),(

),,(),,(

=

=

=

=

=

==

b y

a y

y z z

y z z

y z x x

y z x x

dxdzdy z y x f 2

1

2

1

2

1

)(

)(

),(

),(

),,(

atau

=

=

=

=

=

==

R

b z

a z

z x x

z x x

z x y y

z x y y

dydxdz z y x f dv z y x f 2

1

2

1

2

1

)(

)(

),(

),(

),,(),,(


X

Y


17/20

.

=

=

=

=

=

==

b x

a x

x z z

x z z

x z y y

x z x y

dydzdx z y x f 2

1

2

1

2

1

)(

)(

),(

),(

),,(

atau

==

=

=

=

==

R

b x

a x

x y y

x y y

x y z z

x y z z

dzdydx z y x f dv z y x f 2

1

2

1

2

1

)(

)(

),(

),(

),,(),,(

=

=

=

=

=

==

b y

a y

y x x

y x x

y x z z

y x z z

dzdxdy z y x f 2

1

2

1

2

1

)(

)(

),(

),(

),,(

&ika dinyatakan dalam bentuk koordinat abung maka

= R

dv z y x f V ),,(

=

=

=

=

=

==

R

r

r

r z z

r z z

rdzdrd z r f dv z r f

2

1

2

1

2

1

)(

)(

),(

),(

),,(),,(

&ika dinyatakan dalam bentuk koordinat Bola maka

= R

dv z y x f V ),,(

=

=

=

=

=

== R d d d f dv f

2

1

2

1

2

1

)(

)(

),(

),(

2

sin),,(),,(

elanjutnya integral ganda tiga dapat digunakan untuk menentukan

/olume (isi) bendan dan se5ara umum /olume benda dengan

menggunakan integal ganda tiga adalah

= R

dvV

dengan menganggap bah'a f(x,y,4)=1

! Dengan menggunakan integral ganda tiga tentukan olume

bangun yang dibatasi oleh 12346 =++ z y x


Z )4,0,0(


18/20

.

olume Limas = tinggi xalas Luas31

= z y x )..21

(31

= % I

Dengan integral ganda tiga didapat

= R

dvV

=3

0

6412

0

34612

0

y y x

dzdxdy

=3

0

6412

0

)4612(31

y

dxdy y x

[ ]

=3

0

6

412

02 4312

3

1dy yx x x

y

=

3

0

2

6412

46

4123

6412

1231

dy y

y y y

dy y y y y y ++=3

0

22

388)1696144(

121)412(2

31

dy y y +=3

0

2

3

4812

3

1

3

0

32

94

41231

+= y y y

+= 32 )3(

9

4)3(4)3(12

3

1


X )0,0,2(

)0,3,0(Y


19/20

.

( ) 412363631 =+=

4., S'al)s'al

1! Dengan menggunakan integral ganda dua hitunglah luas suatuluasan berikut ini:

a! daerah yang dibatasi oleh *x # %y = $%, x = +, y = +

b! dibatasi oleh parabola x y = 42 dan x y 442 =

5! daerah pada kuadran pertama yang dibatasi oleh `242 y x =

d! dibatasi oleh parabola0parabola 22 x y = dan x x y 63 2 =

e! dibatasi oleh x # y = $, $y = x#%, y = +

f! dibatasi oleh y x 42 = , 168 2 += x y

g! dibatasi oleh kur/a 025,4 22 === xdan y x x y

h! di kuadran I yang dibatasi oleh 0,4,048 22 ===+ x y x y x

i! di kuadran I dibatasi oleh 6,0,62 === xdan y x y

j! diluar r = % dan di dalam r = ? 5os

k! lingkaran berpusat di titik asal dengan jari0jari % satuan!

l! di dalam lingkaran )cos1(2 =r

$! entukan pusat luasan0luasan berikut dengan batas0batas yang

diberikan

a! dibatasi oleh parabola 26 x x y = dan garis x y =

b! dibatasi oleh parabola 2 x y = dan garis 32 += x y

5! daerah yang dibatasi oleh *x # %y = $%, x = +, y = +

d! dibatasi oleh x y 42 = , y x 252 = , 0= xe! daerah di atas y = + yang dibatasi oleh x y 42 = , x y = 52

f! lingkaran 422 =+ y x

*! arilah luas bagian bidang x # y # 4 = > dalam silinder 422 =+ y x

%! arilah luas bagian bola 36222 =++ z y x dalam silinder y y x 622 =+

C! entukan /olume benda pejal berikut ini dengan menggunakan

integral ganda tiga dalam koordinat artesius!

a! dibatasi oleh 222 y x z += dan 24 y z = 4



20/20

.

b! di dalam tabung 922 =+ y x di atas 4 = + dan diba'ah x # 4 =

%

5! dibatasi oleh bidang0bidang koordinat >x # %y # *4 = 1$

d! di dalam x y x 422

=+ di atas 4 = + dan di ba'ah z y x 422

=+e! dibatasi oleh 4,62,2,0,0 22 =+=+=+== z y x y y x z y

>! entukan /olume berikut dengan menggunakan integral ganda tiga

dalam koordinat tabung

a! bola dengan persamaan 9222 =++ z y x

b! persekutuan silinder 922 =+ z x dan silinder 922 =+ y x

5! benda pejal yang dibatasi oleh 22 y x z += dan bidang 4 = %

d! benda pejal yang dibatasi oleh 9222

=++ z y x ,di ba'ah oleh 4= + dan se5ara menyamping oleh 422 =+ y x

! ulislah integral ganda tiga untuk menentukan isi sebuah bola

yang berjari0jari % satuan pada tiap kasus dengan:

a! koordinat artesius

b! koordinat tabung

5! koordinat bola

bab iv aplikasi integral ganda

Documents