smart solution un matematika sma 2013 (skl 5 pengayaan integral trigonometri).pdf

Smart Solution

UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Disusun oleh :

Pak Anang

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 243

Pengayaan Konsep Dasar Integral Trigonometri

Integral Trigonometri

Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐭𝐚𝐧 𝒙 ⅆ𝒙 atau ∫ 𝐜𝐨𝐭 𝒙 ⅆ𝒙 Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝒙 ⅆ𝒙 atau ∫ 𝐜𝐬𝐜 𝒙 ⅆ𝒙 Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐬𝐢𝐧𝒏 𝒙 ⅆ𝒙 atau ∫ 𝐜𝐨𝐬𝒏 𝒙 ⅆ𝒙 Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐭𝐚𝐧𝒏 𝒙 ⅆ𝒙 atau ∫ 𝐜𝐨𝐭𝒏 𝒙 ⅆ𝒙

Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐬𝐢𝐧𝒎 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝒏 𝒙 ⅆ𝒙? Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐭𝐚𝐧𝒎 𝒙 𝐬𝐞𝐜𝒏 𝒙 ⅆ𝒙 Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐜𝐨𝐭𝒎 𝒙 𝐜𝐬𝐜𝒏 𝒙 ⅆ𝒙? Bagaimana Pola Penyelesaian dari Teknik Integral Substitusi Trigonometri? Dan masih banyak yang lainnya….

http://pak-anang.blogspot.com/

Halaman 244 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐭𝐚𝐧 𝒙 ⅆ𝒙 atau ∫ 𝐜𝐨𝐭 𝒙 ⅆ𝒙

Untuk bentuk ∫ tan 𝑥 ⅆ𝑥 dan ∫ cot 𝑥 ⅆ𝑥, maka ubah bentuk tan 𝑥 dan cot 𝑥 menggunakan identitas trigonometri perbandingan.

tan 𝑥 =sin 𝑥

cos 𝑥

cot 𝑥 =cos 𝑥

sin 𝑥

Lalu beberapa bagian dari suku penjabaran dari integral kita bawa ke bentuk integral substitusi berikut:

∫sin 𝑥

cos𝑛 𝑥ⅆ𝑥

∫cos 𝑥

sin𝑛 𝑥ⅆ𝑥

Dan jangan lupa juga konsep dasar integral berikut:

∫1

𝑥ⅆ𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶

Contoh Soal 1:

∫ tan 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ tan 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫sin 𝑥

cos 𝑥ⅆ𝑥

= ∫sin 𝑥

cos 𝑥

ⅆ(cos 𝑥)

− sin 𝑥

= − ∫1

cos 𝑥ⅆ(cos 𝑥)

= − ln|cos 𝑥| + 𝐶

Contoh Soal 2:

∫ tan 3𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ tan 3𝑥 ⅆ𝑥 = ∫sin 3𝑥

cos 3𝑥ⅆ𝑥

= ∫sin 3𝑥

cos 3𝑥

ⅆ(cos 3𝑥)

−3 sin 3𝑥

= −1

3∫

1

cos 3𝑥ⅆ(cos 3𝑥)

= −1

3ln|cos 3𝑥| + 𝐶



Contoh Soal 3:

∫ cot 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ cot 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫cos 𝑥

sin 𝑥ⅆ𝑥

= ∫cos 𝑥

sin 𝑥

ⅆ(sin 𝑥)

cos 𝑥

= ∫1

sin 𝑥ⅆ(sin 𝑥)

= − ln|sin 𝑥| + 𝐶

Contoh Soal 4:

∫ cot 5𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ cot 5𝑥 ⅆ𝑥 = ∫cot 5𝑥

sin 5𝑥ⅆ𝑥

= ∫cos 5𝑥

sin 5𝑥

ⅆ(sin 5𝑥)

5 sin 5𝑥

= −1

5∫

1

cos 5𝑥ⅆ(cos 5𝑥)

=1

5ln|sin 5𝑥| + 𝐶



Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝒙 ⅆ𝒙 atau ∫ 𝐜𝐬𝐜 𝒙 ⅆ𝒙

Untuk bentuk ∫ sec 𝑥 ⅆ𝑥 dan ∫ csc 𝑥 ⅆ𝑥, maka ubah bentuk sec 𝑥 dan csc 𝑥 menggunakan identitas trigonometri perbandingan.

sec 𝑥 =1

cos 𝑥

csc 𝑥 =1

sin 𝑥


∫sec2 𝑥 + sec 𝑥 tan 𝑥

sec 𝑥 + tan 𝑥ⅆ𝑥

Dan jangan lupa juga konsep dasar integral berikut:

∫1

𝑥ⅆ𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶

Contoh Soal 1:

∫ sec 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ sec 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ sec 𝑥 × (sec 𝑥 + tan 𝑥

sec 𝑥 + tan 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫sec2 𝑥 + sec 𝑥 tan 𝑥

sec 𝑥 + tan 𝑥ⅆ𝑥

= ∫sec2 𝑥 + sec 𝑥 tan 𝑥

sec 𝑥 + tan 𝑥

ⅆ(sec 𝑥 + tan 𝑥)

sec 𝑥 tan 𝑥 + sec2 𝑥

= ∫1

sec 𝑥 + tan 𝑥ⅆ(sec 𝑥 + tan 𝑥)

= ln|sec 𝑥 + tan 𝑥| + 𝐶

Contoh Soal 2:

∫ sec 2𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ sec 2𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ sec 2𝑥 × (sec 2𝑥 + tan 2𝑥

sec 2𝑥 + tan 2𝑥) ⅆ𝑥

= ∫sec2 2𝑥 + sec 2𝑥 tan 2𝑥

sec 2𝑥 + tan 2𝑥ⅆ𝑥


sec 2𝑥 + tan 2𝑥

ⅆ(sec 2𝑥 + tan 2𝑥)

2 sec 2𝑥 tan 2𝑥 + 2 sec2 2𝑥


sec 2𝑥 + tan 2𝑥

ⅆ(sec 2𝑥 + tan 2𝑥)

2(sec 2𝑥 tan 2𝑥 + sec2 2𝑥)

=1

2∫

1

sec 2𝑥 + tan 2𝑥ⅆ(sec 2𝑥 + tan 2𝑥)

=1

2ln|sec 2𝑥 + tan 2𝑥| + 𝐶



Contoh Soal 3:

∫ csc 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ csc 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ csc 𝑥 × (csc 𝑥 + cot 𝑥

csc 𝑥 + cot 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫csc2 𝑥 + csc 𝑥 cot 𝑥

csc 𝑥 + cot 𝑥ⅆ𝑥


csc 𝑥 + cot 𝑥

ⅆ(csc 𝑥 + cot 𝑥)

− csc 𝑥 cot 𝑥 − csc2 𝑥


csc 𝑥 + cot 𝑥

ⅆ(csc 𝑥 + cot 𝑥)

−(csc 𝑥 cot 𝑥 + csc2 𝑥)

= − ∫1

csc 𝑥 + cot 𝑥ⅆ(csc 𝑥 + cot 𝑥)

= − ln|csc 𝑥 + cot 𝑥| + 𝐶

Contoh Soal 4:

∫ csc 4𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ csc 4𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ csc 4𝑥 × (csc 4𝑥 + cot 4𝑥

csc 4𝑥 + cot 4𝑥) ⅆ𝑥

= ∫csc2 4𝑥 + csc 4𝑥 cot 4𝑥

csc 4𝑥 + cot 4𝑥ⅆ𝑥


csc 4𝑥 + cot 4𝑥

ⅆ(csc 4𝑥 + cot 4𝑥)

−4 csc 4𝑥 cot 4𝑥 − 4 csc2 4𝑥


csc 4𝑥 + cot 4𝑥

ⅆ(csc 4𝑥 + cot 4𝑥)

−4(csc 4𝑥 cot 4𝑥 + csc2 4𝑥)

= −1

4∫

1

csc 4𝑥 + cot 4𝑥ⅆ(csc 4𝑥 + cot 4𝑥)

= −1

4ln|csc 4𝑥 + cot 4𝑥| + 𝐶



Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐬𝐢𝐧𝒏 𝒙 ⅆ𝒙 dengan 𝒏 = bilangan ganjil? Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐜𝐨𝐬𝒏 𝒙 ⅆ𝒙 dengan 𝒏 = bilangan ganjil?

Nah, jika pangkat dari fungsi integran sinus adalah genap, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri Pythagoras, yaitu.

sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1 ⇒ sin2 𝑥 = 1 − cos2 𝑥⇒ cos2 𝑥 = 1 − sin2 𝑥


∫ sin𝑛 𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥

∫ cos𝑛 𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥

Contoh Soal 1:

∫ sin3 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ sin3 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ sin2 𝑥 ∙ sin 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(1 − cos2 𝑥) sin 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(sin 𝑥 − cos2 𝑥 sin 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ sin 𝑥 ⅆ𝑥 − ∫ cos2 𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥

= − cos 𝑥 − ∫ cos2 𝑥 sin 𝑥ⅆ(cos 𝑥)

− sin 𝑥

= − cos 𝑥 + ∫ cos2 𝑥 ⅆ(cos 𝑥)

= − cos 𝑥 +1

3cos3 𝑥 + 𝐶

Contoh Soal 2:

∫ sin5 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ sin5 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ sin4 𝑥 ∙ sin 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(sin2 𝑥)2 ∙ sin 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(1 − cos2 𝑥)2 sin 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(1 − 2 cos2 𝑥 + cos4 𝑥) sin 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(sin 𝑥 − 2 cos2 𝑥 sin 𝑥 + cos4 𝑥 sin 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ sin 𝑥 ⅆ𝑥 − 2 ∫ cos2 𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥 + ∫ cos4 𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥

= − cos 𝑥 − 2 ∫ cos2 𝑥 sin 𝑥ⅆ(cos 𝑥)

− sin 𝑥+ ∫ cos4 𝑥 sin 𝑥

ⅆ(cos 𝑥)

− sin 𝑥

= − cos 𝑥 + ∫ cos2 𝑥 ⅆ(cos 𝑥) − ∫ cos4 𝑥 ⅆ(cos 𝑥)

= − cos 𝑥 +2

3cos3 𝑥 −

1

5cos5 𝑥 + 𝐶



Contoh Soal 3:

∫ cos3 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ cos3 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ cos2 𝑥 ∙ cos 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(1 − sin2 𝑥) cos 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(cos 𝑥 − sin2 𝑥 cos 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ cos 𝑥 ⅆ𝑥 − ∫ sin2 𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥

= sin 𝑥 − ∫ sin2 𝑥 cos 𝑥ⅆ(sin 𝑥)

cos 𝑥

= sin 𝑥 − ∫ sin2 𝑥 ⅆ(sin 𝑥)

= sin 𝑥 −1

3sin3 𝑥 + 𝐶

Contoh Soal 4:

∫ cos5 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ cos5 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ cos4 𝑥 ∙ cos 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(cos2 𝑥)2 ∙ cos 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(1 − sin2 𝑥)2 cos 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(1 − 2 sin2 𝑥 + sin4 𝑥) cos 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(cos 𝑥 − 2 sin2 𝑥 cos 𝑥 + sin4 𝑥 cos 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ cos 𝑥 ⅆ𝑥 − 2 ∫ sin2 𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥 + ∫ sin4 𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥

= sin 𝑥 − 2 ∫ sin2 𝑥 cos 𝑥ⅆ(sin 𝑥)

cos 𝑥+ ∫ sin4 𝑥 cos 𝑥

ⅆ(sin 𝑥)

cos 𝑥

= sin 𝑥 + ∫ sin2 𝑥 ⅆ(sin 𝑥) − ∫ sin4 𝑥 ⅆ(sin 𝑥)

= sin 𝑥 −2

3sin3 𝑥 +

1

5sin5 𝑥 + 𝐶



Contoh Soal 5:

∫ 2 sin3 3𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ 2 sin3 3𝑥 ⅆ𝑥 = 2 ∫ sin3 3𝑥ⅆ(3𝑥)

3

=2

3∫ sin3 3𝑥 ⅆ(3𝑥)

=2

3∫ sin2 3𝑥 ∙ sin 3𝑥 ⅆ(3𝑥)

=2

3∫(1 − cos2 3𝑥) sin 3𝑥 ⅆ(3𝑥)

=2

3∫(sin 3𝑥 − cos2 3𝑥 sin 3𝑥) ⅆ(3𝑥)

=2

3[∫ sin 3𝑥 ⅆ(3𝑥) − ∫ cos2 3𝑥 sin 3𝑥 ⅆ(3𝑥)]

=2

3[(− cos 3𝑥) − ∫ cos2 3𝑥 sin 3𝑥

ⅆ(cos 3𝑥)

− sin 3𝑥]

=2

3[− cos 3𝑥 + ∫ cos2 3𝑥 ⅆ(cos 3𝑥)]

= −2

3cos 3𝑥 +

2

3∫ cos2 3𝑥 ⅆ(cos 3𝑥)

= −2

3cos 3𝑥 +

2

3∙

1

3cos3 3𝑥 + 𝐶

= −2

3cos 3𝑥 +

2

9cos3 3𝑥 + 𝐶

Contoh Soal 6:

∫ 3 cos3 5𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ 3 cos3 5𝑥 ⅆ𝑥 = 3 ∫ cos3 5𝑥ⅆ(5𝑥)

5

=3

5∫ cos3 5𝑥 ⅆ(5𝑥)

=3

5∫ cos2 5𝑥 ∙ cos 5𝑥 ⅆ(5𝑥)

=3

5∫(1 − sin2 3𝑥) cos 5𝑥 ⅆ(5𝑥)

=3

5∫(cos 5𝑥 − sin2 5𝑥 cos 5𝑥) ⅆ(5𝑥)

=3

5[∫ cos 5𝑥 ⅆ(5𝑥) − ∫ sin2 5𝑥 cos 5𝑥 ⅆ(5𝑥)]

=3

5[(sin 5𝑥) − ∫ sin2 5𝑥 cos 5𝑥

ⅆ(sin 5𝑥)

cos 5𝑥]

=3

5[sin 5𝑥 − ∫ sin2 5𝑥 ⅆ(sin 5𝑥)]

=3

5sin 5𝑥 −

3

5∫ sin2 5𝑥 ⅆ(sin 5𝑥)

=3

5sin 5𝑥 −

3

5∙

1

3sin3 3𝑥 + 𝐶

=3

5sin 5𝑥 −

3

15sin3 3𝑥 + 𝐶



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS ∫ 𝐬𝐢𝐧𝒏 𝒙 ⅆ𝒙 dengan 𝒏 = bilangan ganjil?

∫ sin𝑛 𝑥 ⅆ𝑥 = (Karena n bilangan ganjil maka 𝑛 = 2𝑘 + 1)

= ∫ sin2𝑘+1 𝑥 ⅆ𝑥 (Ingat sifat pangkat sin2𝑘+1 = sin2𝑘 𝑥 sin 𝑥)

= ∫ sin2𝑘 𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥 (Ingat sifat pangkat sin2𝑘 𝑥 = (sin2 𝑥)𝑘)

= ∫(sin2 𝑥)𝑘 sin 𝑥 ⅆ𝑥 (Ingat identitas trigonometri sin2 𝑥 = 1 − cos2 𝑥)

= ∫(1 − cos2 𝑥)𝑘 sin 𝑥 ⅆ𝑥 (Samakan dulu operator integralnya)

= ∫(1 − cos2 𝑥)𝑘 sin 𝑥ⅆ(cos 𝑥)

− sin 𝑥

= − ∫(1 − cos2 𝑥)𝑘 ⅆ(cos 𝑥)

Ingat Binomial Newton:

(𝑎 + 𝑏)𝑛 = ∑ 𝑛𝐶𝑟 ∙ 𝑎𝑛−𝑟 ∙ 𝑏𝑟

𝑛

𝑟=1

(1 − cos2 𝑥)𝑘 = ∑ 𝑘𝐶𝑟 ∙ 1𝑘−𝑟

∙ (− cos2 𝑥)𝑟

𝑘

𝑟=0

= − ∫ ∑ 𝑘𝐶𝑟 ∙ 1𝑘−𝑟

∙ (− cos2 𝑥)𝑟

𝑘

𝑟=0

ⅆ(cos 𝑥) (Ingat 1𝑘−𝑟 = 1 jadi coret saja)

= − ∫ ∑ 𝑘𝐶𝑟 ∙ (− cos2 𝑥)𝑟

𝑘

𝑟=0

ⅆ(cos 𝑥) (Keluarkan konstanta dari integral)

= − ∑ 𝑘𝐶𝑟 ∫(− cos2 𝑥)𝑟

ⅆ(cos 𝑥)

𝑘

𝑟=0

(Ingat (− cos2 𝑥)𝑟 = ((−1) ∙ cos2 𝑥)𝑟

)

= − ∑ 𝑘𝐶𝑟 ∫((−1) ∙ cos2 𝑥)𝑟

ⅆ(cos 𝑥)

𝑘

𝑟=0

(Ingat ((−1) ∙ cos2 𝑥)𝑟

= (−1)𝑟(cos2 𝑥)

𝑟)

= − ∑ 𝑘𝐶𝑟 ∫(−1)𝑟(cos2 𝑥)

𝑟ⅆ(cos 𝑥)

𝑘

𝑟=0

(Keluarkan konstanta dan (cos2 𝑥)𝑟

= cos2𝑟 𝑥)

= − ∑ 𝑘𝐶𝑟 ∙ (−1)𝑟

∫ cos2𝑟 𝑥 ⅆ(cos 𝑥)

𝑘

𝑟=0

(Masukkan tanda negatif ke dalam bentuk sigma)

= ∑(−1) ∙ 𝑘𝐶𝑟 ∙ (−1)𝑟

∫ cos2𝑟 𝑥 ⅆ(cos 𝑥)

𝑘

𝑟=0

(Ingat (−1) ∙ 𝑘𝐶𝑟 ∙ (−1)𝑟

= (−1)𝑟+1)

= ∑(−1)𝑟+1 ∙ 𝑘𝐶𝑟 ∫ cos2𝑟 𝑥 ⅆ(cos 𝑥)

𝑘

𝑟=0

(Ingat ∫ cos2𝑟 𝑥 ⅆ(cos 𝑥) =1

2𝑟 + 1cos2𝑟+1 𝑥)

= ∑(−1)𝑟+1 ∙ 𝑘𝐶𝑟 ∙1

2𝑟 + 1cos2𝑟+1 𝑥

𝑘

𝑟=0

(Rapikan bentuknya)

= ∑(−1)𝑟+1 ∙ 𝑘𝐶𝑟

2𝑟 + 1cos2𝑟+1 𝑥

𝑘

𝑟=0

(Hore! Selesai)

Bilangan segitiga pascal

Bilangan ganjil, penyebut dan pangkat dari kosinus selalu dalam urutan naik dengan pola

bilangan ganjil berawal dari angka 1.

Berawal dari negatif, lalu bergantian negatif positif negatif positif dst….



Contoh Soal 1: Oke, misalkan kita hendak menyelesaikan soal berikut:

∫ sin5 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan: Karena pangkatnya ganjil berarti:

𝑛 = 2𝑟 − 1 ⇒ 5 = 2𝑟 − 1⇔ 5 + 1 = 2𝑟⇔ 6 = 2𝑟⇔ 𝑟 = 3

Jadi kita perlu 3 suku saja…… OK!!!!!

∫ sin5 𝑥 ⅆ𝑥 = 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝐶

Ingat ada tiga hal yang perlu kita persiapkan dalam menyusun jawaban.

1. Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya sinus maka harus diawali dari tanda negatif dulu. 2. Bilangan segitiga pascal. 3. Bilangan ganjil (cos 𝑥 berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).

Tanda positif negatif ∫ sin5 𝑥 ⅆ𝑥 = − + − + 𝐶

Bilangan segitiga pascal ∫ sin5 𝑥 ⅆ𝑥 = − 𝟏 + 𝟐 − 𝟏 + 𝐶

Bilangan ganjil ∫ sin5 𝑥 ⅆ𝑥 = − 𝟏𝐜𝐨𝐬𝟏 𝒙

𝟏 + 𝟐

𝐜𝐨𝐬𝟑 𝒙

𝟑 − 𝟏

𝐜𝐨𝐬𝟓 𝒙

𝟓 + 𝐶

Jadi penyelesaiannya adalah:

∫ sin5 𝑥 ⅆ𝑥 = − cos 𝑥 + 2

3cos3 𝑥 −

1

5cos5 𝑥 + 𝐶




∫ sin7 𝑥 ⅆ𝑥 = ….


𝑛 = 2𝑟 − 1 ⇒ 7 = 2𝑟 − 1⇔ 7 + 1 = 2𝑟⇔ 7 = 2𝑟⇔ 𝑟 = 4


∫ sin7 𝑥 ⅆ𝑥 = 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝐶



Tanda positif negatif ∫ sin7 𝑥 ⅆ𝑥 = − + − + +𝐶

Bilangan segitiga pascal ∫ sin7 𝑥 ⅆ𝑥 = − 𝟏 + 𝟑 − 𝟑 + 𝟏 + 𝐶

Bilangan ganjil ∫ sin7 𝑥 ⅆ𝑥 = − 𝟏𝐜𝐨𝐬𝟏 𝒙

𝟏 + 𝟑

𝐜𝐨𝐬𝟑 𝒙

𝟑 − 𝟑

𝐜𝐨𝐬𝟓 𝒙

𝟓 + 𝟏

𝐜𝐨𝐬𝟕 𝒙

𝟕+ 𝐶


∫ sin7 𝑥 ⅆ𝑥 = − cos 𝑥 + cos3 𝑥 − 3

5cos5 𝑥 +

1

7cos7 𝑥 + 𝐶




∫ sin3 5𝑥 ⅆ𝑥 = ….


𝑛 = 2𝑟 − 1 ⇒ 3 = 2𝑟 − 1⇔ 3 + 1 = 2𝑟⇔ 4 = 2𝑟⇔ 𝑟 = 2


∫ sin3 5𝑥 ⅆ𝑥 = 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝐶

Nah karena fungsi sudut dan operator integral belum cocok, maka harus melalui penyelesaian dengan menggunakan teknik integral substitusi dulu.

Lihat sudutnya sinus 5𝑥, sedangkan operatornya ⅆ𝑥. Jadi ⅆ𝑥 harus disesuaikan menjadi 𝑑(5𝑥)

5.

Sehingga,

∫ sin3 5𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ sin3 5𝑥ⅆ(5𝑥)

5=

1

5∫ sin3 5𝑥 ⅆ(5𝑥)

Artinya,

∫ sin3 5𝑥 ⅆ𝑥 =1

5∫ sin3 5𝑥 ⅆ(5𝑥)



Tanda positif negatif ∫ sin3 5𝑥 ⅆ(5𝑥) = − + +𝐶

Bilangan segitiga pascal ∫ sin3 5𝑥 ⅆ(5𝑥) = − 𝟏 + 𝟏 + 𝐶

Bilangan ganjil ∫ sin3 5𝑥 ⅆ(5𝑥) = − 𝟏𝐜𝐨𝐬𝟏 𝟓𝒙

𝟏 + 𝟏

𝐜𝐨𝐬𝟑 𝟓𝒙

𝟑 + 𝐶


∫ sin3 5𝑥 ⅆ𝑥 =1

5∫ sin3 5𝑥 ⅆ(5𝑥) =

1

5( – cos 5𝑥 +

1

3cos3 5𝑥 + 𝐶)

= −1

5cos 5𝑥 +

1

15cos3 5𝑥 + 𝐶



TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS ∫ 𝐜𝐨𝐬𝒏 𝒙 ⅆ𝒙 dengan 𝒏 = bilangan ganjil?

∫ cos𝑛 𝑥 ⅆ𝑥 = (Karena n bilangan ganjil maka 𝑛 = 2𝑘 + 1)

= ∫ cos2𝑘+1 𝑥 ⅆ𝑥 (Ingat sifat pangkat cos2𝑘+1 = cos2𝑘 𝑥 cos 𝑥)

= ∫ cos2𝑘 𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥 (Ingat sifat pangkat cos2𝑘 𝑥 = (cos2 𝑥)𝑘)

= ∫(cos2 𝑥)𝑘 cos 𝑥 ⅆ𝑥 (Ingat identitas trigonometri cos2 𝑥 = 1 − sin2 𝑥)

= ∫(1 − sin2 𝑥)𝑘 cos 𝑥 ⅆ𝑥 (Samakan dulu operator integralnya)

= ∫(1 − sin2 𝑥)𝑘 cos 𝑥ⅆ(sin 𝑥)

cos 𝑥

= ∫(1 − sin2 𝑥)𝑘 ⅆ(sin 𝑥)

Ingat Binomial Newton:

(𝑎 + 𝑏)𝑛 = ∑ 𝑛𝐶𝑟 ∙ 𝑎𝑛−𝑟 ∙ 𝑏𝑟

𝑛

𝑟=1

(1 − sin2 𝑥)𝑘 = ∑ 𝑘𝐶𝑟 ∙ 1𝑘−𝑟

∙ (− sin2 𝑥)𝑟

𝑘

𝑟=0

= ∫ ∑ 𝑘𝐶𝑟 ∙ 1𝑘−𝑟

∙ (− sin2 𝑥)𝑟

𝑘

𝑟=0

ⅆ(sin 𝑥) (Ingat 1𝑘−𝑟 = 1 jadi coret saja)

= ∫ ∑ 𝑘𝐶𝑟 ∙ (− sin2 𝑥)𝑟

𝑘

𝑟=0

ⅆ(sin 𝑥) (Keluarkan konstanta dari integral)

= ∑ 𝑘𝐶𝑟 ∫(− sin2 𝑥)𝑟

ⅆ(sin 𝑥)

𝑘

𝑟=0

(Ingat (− sin2 𝑥)𝑟 = ((−1) ∙ sin2 𝑥)𝑟

)

= ∑ 𝑘𝐶𝑟 ∫((−1) ∙ sin2 𝑥)𝑟

ⅆ(sin 𝑥)

𝑘

𝑟=0

(Ingat ((−1) ∙ sin2 𝑥)𝑟

= (−1)𝑟(sin2 𝑥)

𝑟)

= ∑ 𝑘𝐶𝑟 ∫(−1)𝑟(sin2 𝑥)

𝑟ⅆ(sin 𝑥)

𝑘

𝑟=0

(Keluarkan konstanta dan (cos2 𝑥)𝑟

= cos2𝑟 𝑥)

= ∑ 𝑘𝐶𝑟 ∙ (−1)𝑟

∫ sin2𝑟 𝑥 ⅆ(sin 𝑥)

𝑘

𝑟=0

(Ingat (−1) ∙ 𝑘𝐶𝑟 ∙ (−1)𝑟

= (−1)𝑟+1)

= ∑(−1)𝑟 ∙ 𝑘𝐶𝑟 ∫ sin2𝑟 𝑥 ⅆ(sin 𝑥)

𝑘

𝑟=0

(Ingat ∫ sin2𝑟 𝑥 ⅆ(sin 𝑥) =1

2𝑟 + 1sin2𝑟+1 𝑥)

= ∑(−1)𝑟 ∙ 𝑘𝐶𝑟 ∙1

2𝑟 + 1sin2𝑟+1 𝑥

𝑘

𝑟=0

(Rapikan bentuknya)

= ∑(−1)𝑟 ∙ 𝑘𝐶𝑟

2𝑟 + 1sin2𝑟+1 𝑥

𝑘

𝑟=0

(Hore! Selesai)

Bilangan segitiga pascal

Bilangan ganjil, penyebut dan pangkat dari sinus selalu dalam urutan naik dengan pola

bilangan ganjil berawal dari angka 1.

Berawal dari positif, lalu bergantian positif negatif positif negatif dst….




∫ cos5 𝑥 ⅆ𝑥 = ….


𝑛 = 2𝑟 − 1 ⇒ 5 = 2𝑟 − 1⇔ 5 + 1 = 2𝑟⇔ 6 = 2𝑟⇔ 𝑟 = 3


∫ cos5 𝑥 ⅆ𝑥 = 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝐶


1. Tanda positif negatif, karena yang ditanyakan integralnya kosinus maka harus diawali dari tanda positif dulu. 2. Bilangan segitiga pascal. 3. Bilangan ganjil (sin 𝑥 berpangkat ganjil, dan dibagi dengan bilangan ganjil).

Tanda positif negatif ∫ cos5 𝑥 ⅆ𝑥 = + − + + 𝐶

Bilangan segitiga pascal ∫ cos5 𝑥 ⅆ𝑥 = + 𝟏 − 𝟐 + 𝟏 + 𝐶

Bilangan ganjil ∫ cos5 𝑥 ⅆ𝑥 = + 𝟏𝐬𝐢𝐧𝟏 𝒙

𝟏 − 𝟐

𝐬𝐢𝐧𝟑 𝒙

𝟑+ 𝟏

𝐬𝐢𝐧𝟓 𝒙

𝟓 + 𝐶


∫ cos5 𝑥 ⅆ𝑥 = sin 𝑥 + 2

3sin3 𝑥 −

1

5sin5 𝑥 + 𝐶




∫ cos7 𝑥 ⅆ𝑥 = ….


𝑛 = 2𝑟 − 1 ⇒ 7 = 2𝑟 − 1⇔ 7 + 1 = 2𝑟⇔ 7 = 2𝑟⇔ 𝑟 = 4


∫ cos7 𝑥 ⅆ𝑥 = 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝐶



Tanda positif negatif ∫ cos7 𝑥 ⅆ𝑥 = + − + − +𝐶

Bilangan segitiga pascal ∫ cos7 𝑥 ⅆ𝑥 = + 𝟏 − 𝟑 + 𝟑 − 𝟏 + 𝐶

Bilangan ganjil ∫ cos7 𝑥 ⅆ𝑥 = + 𝟏𝐬𝐢𝐧𝟏 𝒙

𝟏 − 𝟑

𝐬𝐢𝐧𝟑 𝒙

𝟑+ 𝟑

𝐬𝐢𝐧𝟓 𝒙

𝟓− 𝟏

𝐬𝐢𝐧𝟕 𝒙

𝟕+ 𝐶


∫ cos7 𝑥 ⅆ𝑥 = sin 𝑥 − sin3 𝑥 + 3

5sin5 𝑥 −

1

7sin7 𝑥 + 𝐶




∫ cos3 5𝑥 ⅆ𝑥 = ….


𝑛 = 2𝑟 − 1 ⇒ 3 = 2𝑟 − 1⇔ 3 + 1 = 2𝑟⇔ 4 = 2𝑟⇔ 𝑟 = 2


∫ cos3 5𝑥 ⅆ𝑥 = 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝒔𝒆𝒔𝒖𝒂𝒕𝒖 + 𝐶

Nah karena fungsi sudut dan operator integral belum cocok, maka harus melalui penyelesaian dengan menggunakan teknik integral substitusi dulu.

Lihat sudutnya sinus 5𝑥, sedangkan operatornya ⅆ𝑥. Jadi ⅆ𝑥 harus disesuaikan menjadi 𝑑(5𝑥)

5.

Sehingga,

∫ cos3 5𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ cos3 5𝑥ⅆ(5𝑥)

5=

1

5∫ cos3 5𝑥 ⅆ(5𝑥)

Artinya,

∫ cos3 5𝑥 ⅆ𝑥 =1

5∫ cos3 5𝑥 ⅆ(5𝑥)



Tanda positif negatif ∫ cos3 5𝑥 ⅆ(5𝑥) = + − +𝐶

Bilangan segitiga pascal ∫ cos3 5𝑥 ⅆ(5𝑥) = + 𝟏 − 𝟏 + 𝐶

Bilangan ganjil ∫ cos3 5𝑥 ⅆ(5𝑥) = + 𝟏𝐬𝐢𝐧𝟏 𝟓𝒙

𝟏 − 𝟏

𝐬𝐢𝐧𝟑 𝟓𝒙

𝟑 + 𝐶


∫ cos3 5𝑥 ⅆ𝑥 =1

5∫ cos3 5𝑥 ⅆ(5𝑥) =

1

5( sin 5𝑥 −

1

3sin3 5𝑥 + 𝐶)

= 1

5sin 5𝑥 −

1

15sin3 5𝑥 + 𝐶



Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐬𝐢𝐧𝒏 𝒙 ⅆ𝒙 dengan 𝒏 = bilangan genap? Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐜𝐨𝐬𝒏 𝒙 ⅆ𝒙 dengan 𝒏 = bilangan genap?

Nah, jika pangkat dari fungsi integran sinus adalah genap, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri kosinus sudut rangkap, yaitu.

cos 2𝑥 = 2 cos2 𝑥 − 1 ⇒ cos2 𝑥 =1

2cos 2𝑥 −

1

2

cos 2𝑥 = 1 − 2 sin2 𝑥 ⇒ sin2 𝑥 =1

2−

1

2cos 2𝑥

Contoh Soal 1:

∫ sin2 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ sin2 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ (1

2−

1

2cos 2𝑥) ⅆ𝑥

=1

2𝑥 −

1

2∫ cos 2𝑥 ⅆ𝑥

=1

2𝑥 −

1

2∫ cos 2𝑥

ⅆ(2𝑥)

2

=1

2𝑥 −

1

2∙

1

2∫ cos 2𝑥 ⅆ(2𝑥)

=1

2𝑥 −

1

4sin 2𝑥 + 𝐶

Contoh Soal 2:

∫ sin4 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ sin4 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫(sin2 𝑥)2 ⅆ𝑥

= ∫ (1

2−

1

2cos 2𝑥)

2

ⅆ𝑥

= ∫ (1

4−

1

2cos 2𝑥 +

1

4cos2 2𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ (1

4−

1

2cos 2𝑥 +

1

4(

1

2+

1

2cos 4𝑥)) ⅆ𝑥

= ∫ (1

4−

1

2cos 2𝑥 +

1

8+

1

8cos 4𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ (3

8−

1

2cos 2𝑥 +

1

8cos 4𝑥) ⅆ𝑥

= ∫3

8ⅆ𝑥 − ∫

1

2cos 2𝑥 ⅆ𝑥 + ∫

1

8cos 4𝑥 ⅆ𝑥

=3

8𝑥 −

1

4sin 2𝑥 +

1

32sin 4𝑥



Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐬𝐢𝐧𝒎 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝒏 𝒙 ⅆ𝒙? Nah, untuk bentuk integral ∫ sin𝑚 𝑥 cos𝑛 𝑥 ⅆ𝑥, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri Pythagoras, yaitu.

sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1 ⇒ sin2 𝑥 = 1 − cos2 𝑥⇒ cos2 𝑥 = 1 − sin2 𝑥


∫ sin𝑛 𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥

∫ cos𝑛 𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥

Contoh Soal 1:

∫ sin3 𝑥 cos2 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ sin3 𝑥 cos2 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ cos2 𝑥 sin2 𝑥 ∙ sin 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫ cos2 𝑥 (1 − cos2 𝑥) sin 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(1 − cos4 𝑥) sin 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(sin 𝑥 − cos4 𝑥 sin 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ sin 𝑥 ⅆ𝑥 − ∫ cos4 𝑥 sin 𝑥 ⅆ𝑥

= − cos 𝑥 − ∫ cos4 𝑥 sin 𝑥ⅆ(cos 𝑥)

− sin 𝑥

= − cos 𝑥 + ∫ cos4 𝑥 ⅆ(cos 𝑥)

= − cos 𝑥 +1

5cos5 𝑥 + 𝐶

Contoh Soal 2:

∫ sin2 𝑥 cos3 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan:

∫ sin2 𝑥 cos3 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ sin2 𝑥 cos2 𝑥 ∙ cos 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫ sin2 𝑥 (1 − sin2 𝑥) cos 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(1 − sin4 𝑥) cos 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(cos 𝑥 − sin4 𝑥 cos 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ cos 𝑥 ⅆ𝑥 − ∫ sin4 𝑥 cos 𝑥 ⅆ𝑥

= sin 𝑥 − ∫ sin4 𝑥 cos 𝑥ⅆ(sin 𝑥)

cos 𝑥

= sin 𝑥 + ∫ sin4 𝑥 ⅆ(sin 𝑥)

= sin 𝑥 +1

5sin5 𝑥 + 𝐶



Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐭𝐚𝐧𝒏 𝒙 𝐬𝐞𝐜𝒏 𝒙 ⅆ𝒙? Nah, untuk bentuk integral ∫ tan𝑚 𝑥 sec𝑛 𝑥 ⅆ𝑥, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri Pythagoras, yaitu.

sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1 ⇒ tan2 𝑥 + 1 = sec2 𝑥⇒ 1 + cot2 𝑥 = csc2 𝑥


∫ tan𝑛 𝑥 sec2 𝑥 ⅆ𝑥, jika pangkat sec 𝑥 genap.

∫ sec𝑛 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥, jika pangkat sec 𝑥 ganjil, atau pangkat tan 𝑥 ganjil.

Contoh Soal 1:

∫ tan2 𝑥 sec2 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan: Karena pangkat sec 𝑥 genap, maka sisakan bentuk sec2 𝑥. Oh ternyata bentuk integral sudah dalam bentuk ∫ tan𝑛 𝑥 sec2 𝑥 ⅆ𝑥. Okelah kalau begitu. Langsung saja!

∫ tan2 𝑥 sec2 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ tan2 𝑥 sec2 𝑥ⅆ(tan 𝑥)

sec2 𝑥

= ∫ tan2 𝑥 ⅆ(tan 𝑥)

=1

3tan3 𝑥 + 𝐶

Contoh Soal 2:


Pembahasan: Karena pangkat sec 𝑥 genap, maka sisakan bentuk sec2 𝑥. Gunakan bantuan identitas trigonometri tan2 𝑥 + 1 = sec2 𝑥 Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ tan𝑛 𝑥 sec2 𝑥 ⅆ𝑥.

∫ tan2 𝑥 sec4 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ tan2 𝑥 sec2 𝑥 sec2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫ tan2 𝑥 (tan2 𝑥 + 1) sec2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(tan4 𝑥 + tan2 𝑥) sec2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(tan4 𝑥 sec2 𝑥 + tan2 𝑥 sec2 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ tan4 𝑥 sec2 𝑥 ⅆ𝑥 + ∫ tan2 𝑥 sec2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫ tan4 𝑥 sec2 𝑥ⅆ(tan 𝑥)

sec2 𝑥+ ∫ tan2 𝑥 sec2 𝑥

ⅆ(tan 𝑥)

sec2 𝑥

= ∫ tan4 𝑥 ⅆ(tan 𝑥) + ∫ tan2 𝑥 ⅆ(tan 𝑥)

=1

5tan5 𝑥 +

1

3tan3 𝑥 + 𝐶



Contoh Soal 3:


Pembahasan: Cara 1: Karena pangkat sec 𝑥 genap, maka sisakan bentuk sec2 𝑥. Gunakan bantuan identitas trigonometri tan2 𝑥 + 1 = sec2 𝑥 Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ tan𝑛 𝑥 sec2 𝑥 ⅆ𝑥.

∫ tan3 𝑥 sec4 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ tan3 𝑥 sec2 𝑥 sec2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫ tan3 𝑥 (tan2 𝑥 + 1) sec2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(tan5 𝑥 + tan3 𝑥) sec2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(tan5 𝑥 sec2 𝑥 + tan3 𝑥 sec2 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ tan5 𝑥 sec2 𝑥 ⅆ𝑥 + ∫ tan3 𝑥 sec2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫ tan5 𝑥 sec2 𝑥ⅆ(tan 𝑥)

sec2 𝑥+ ∫ tan3 𝑥 sec2 𝑥

ⅆ(tan 𝑥)

sec2 𝑥

= ∫ tan5 𝑥 ⅆ(tan 𝑥) + ∫ tan3 𝑥 ⅆ(tan 𝑥)

=1

6tan6 𝑥 +

1

4tan4 𝑥 + 𝐶

Cara 2: Karena pangkat tan 𝑥 ganjil, maka sisakan bentuk sec 𝑥 tan 𝑥. Gunakan bantuan identitas trigonometri tan2 𝑥 + 1 = sec2 𝑥 Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ sec𝑛 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥.

∫ tan3 𝑥 sec4 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ tan2 𝑥 sec3 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫(sec2 𝑥 − 1) sec3 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫(sec5 𝑥 − sec3 𝑥) (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ (sec5 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) − sec3 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥)) ⅆ𝑥

= ∫ sec5 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥 − ∫ sec3 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ sec5 𝑥 (tan 𝑥 sec 𝑥)ⅆ(sec 𝑥)

sec 𝑥 tan 𝑥− ∫ sec3 𝑥 (tan 𝑥 sec 𝑥)

ⅆ(sec 𝑥)

sec 𝑥 tan 𝑥

= ∫ sec5 𝑥 ⅆ(sec 𝑥) − ∫ sec3 𝑥 ⅆ(sec 𝑥)

=1

6sec6 𝑥 −

1

4sec4 𝑥 + 𝐶



Contoh Soal 4:


Pembahasan: Karena pangkat sec 𝑥 ganjil, maka sisakan bentuk sec 𝑥 tan 𝑥. Gunakan bantuan identitas trigonometri tan2 𝑥 + 1 = sec2 𝑥 Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ sec𝑛 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥.

∫ tan3 𝑥 sec3 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ tan2 𝑥 sec2 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫(sec2 𝑥 − 1) sec2 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫(sec4 𝑥 − sec2 𝑥) (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫(sec4 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) − sec2 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥)) ⅆ𝑥

= ∫ sec4 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥 − ∫ sec2 𝑥 (sec 𝑥 tan 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ sec4 𝑥 (tan 𝑥 sec 𝑥)ⅆ(sec 𝑥)

sec 𝑥 tan 𝑥− ∫ sec2 𝑥 (tan 𝑥 sec 𝑥)

ⅆ(sec 𝑥)

sec 𝑥 tan 𝑥

= ∫ sec4 𝑥 ⅆ(sec 𝑥) − ∫ sec2 𝑥 ⅆ(sec 𝑥)

=1

5sec5 𝑥 −

1

3sec3 𝑥 + 𝐶



Bagaimana Pola Penyelesaian dari ∫ 𝐜𝐨𝐭𝒏 𝒙 𝐜𝐬𝐜𝒏 𝒙 ⅆ𝒙? Nah, untuk bentuk integral ∫ cot𝑚 𝑥 csc𝑛 𝑥 ⅆ𝑥, maka kita harus menggunakan sifat identitas trigonometri Pythagoras, yaitu.

sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1 ⇒ tan2 𝑥 + 1 = sec2 𝑥⇒ 1 + cot2 𝑥 = csc2 𝑥


∫ cot𝑛 𝑥 csc2 𝑥 ⅆ𝑥, jika pangkat csc 𝑥 genap.

∫ csc𝑛 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥, jika pangkat csc 𝑥 ganjil, atau pangkat cot 𝑥 ganjil.

Contoh Soal 1:

∫ cot2 𝑥 csc2 𝑥 ⅆ𝑥 = ….

Pembahasan: Karena pangkat csc 𝑥 genap, maka sisakan bentuk csc2 𝑥. Oh ternyata bentuk integral sudah dalam bentuk ∫ cot𝑛 𝑥 csc2 𝑥 ⅆ𝑥. Okelah kalau begitu. Langsung saja!

∫ cot2 𝑥 csc2 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ cot2 𝑥 csc2 𝑥ⅆ(cot 𝑥)

− csc2 𝑥

= − ∫ cot2 𝑥 ⅆ(cot 𝑥)

= −1

3cot3 𝑥 + 𝐶

Contoh Soal 2:


Pembahasan: Karena pangkat csc 𝑥 genap, maka sisakan bentuk csc2 𝑥. Gunakan bantuan identitas trigonometri cot2 𝑥 + 1 = csc2 𝑥 Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ cot𝑛 𝑥 csc2 𝑥 ⅆ𝑥.

∫ cot2 𝑥 csc4 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ cot2 𝑥 csc2 𝑥 csc2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫ cot2 𝑥 (1 + cot2 𝑥) csc2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(cot2 𝑥 + cot4 𝑥) csc2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(cot2 𝑥 csc2 𝑥 + cot4 𝑥 csc2 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ cot2 𝑥 csc2 𝑥 ⅆ𝑥 + ∫ cot4 𝑥 csc2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫ cot2 𝑥 csc2 𝑥ⅆ(cot 𝑥)

− csc2 𝑥+ ∫ cot4 𝑥 csc2 𝑥

ⅆ(cot 𝑥)

− csc2 𝑥

= − ∫ cot2 𝑥 ⅆ(cot 𝑥) − ∫ cot2 𝑥 ⅆ(cot 𝑥)

= −1

3cot3 𝑥 −

1

5tan5 𝑥 + 𝐶



Contoh Soal 3:


Pembahasan: Cara 1: Karena pangkat csc 𝑥 genap, maka sisakan bentuk csc2 𝑥. Gunakan bantuan identitas trigonometri 1 + cot2 𝑥 = csc2 𝑥 Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ cot𝑛 𝑥 csc2 𝑥 ⅆ𝑥.

∫ cot3 𝑥 csc4 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ cot3 𝑥 csc2 𝑥 csc2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫ cot3 𝑥 (1 + cot2 𝑥) csc2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(cot3 𝑥 + cot5 𝑥) csc2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫(cot3 𝑥 csc2 𝑥 + cot5 𝑥 csc2 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ cot3 𝑥 csc2 𝑥 ⅆ𝑥 + ∫ cot5 𝑥 csc2 𝑥 ⅆ𝑥

= ∫ cot3 𝑥 csc2 𝑥ⅆ(cot 𝑥)

− csc2 𝑥+ ∫ cot5 𝑥 csc2 𝑥

ⅆ(cot 𝑥)

− csc2 𝑥

= − ∫ cot3 𝑥 ⅆ(cot 𝑥) − ∫ cot5 𝑥 ⅆ(cot 𝑥)

= −1

4cot4 𝑥 −

1

6cot6 𝑥 + 𝐶

Cara 2: Karena pangkat cot 𝑥 ganjil, maka sisakan bentuk csc 𝑥 cot 𝑥. Gunakan bantuan identitas trigonometri cot2 𝑥 + 1 = csc2 𝑥 Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ csc𝑛 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥.

∫ cot3 𝑥 csc4 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ cot2 𝑥 csc3 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫(csc2 𝑥 − 1) csc3 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫(csc5 𝑥 − csc3 𝑥) (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ (csc5 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) − csc3 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥)) ⅆ𝑥

= ∫ csc5 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥 − ∫ csc3 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ csc5 𝑥 (cot 𝑥 csc 𝑥)ⅆ(csc 𝑥)

− csc 𝑥 cot 𝑥− ∫ csc3 𝑥 (cot 𝑥 csc 𝑥)

ⅆ(csc 𝑥)

− csc 𝑥 cot 𝑥

= − ∫ csc5 𝑥 ⅆ(csc 𝑥) + ∫ csc3 𝑥 ⅆ(csc 𝑥)

= −1

6csc6 𝑥 +

1

4csc4 𝑥 + 𝐶



Contoh Soal 4:


Pembahasan: Karena pangkat csc 𝑥 ganjil, maka sisakan bentuk csc 𝑥 cot 𝑥. Gunakan bantuan identitas trigonometri 1 + cot2 𝑥 = csc2 𝑥 Sehingga, bentuk integral menjadi ∫ csc𝑛 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥.

∫ cot3 𝑥 csc3 𝑥 ⅆ𝑥 = ∫ cot2 𝑥 csc2 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫(csc2 𝑥 − 1) csc2 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫(csc4 𝑥 − csc2 𝑥) (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫(csc4 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) − csc2 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥)) ⅆ𝑥

= ∫ csc4 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥 − ∫ csc2 𝑥 (csc 𝑥 cot 𝑥) ⅆ𝑥

= ∫ csc4 𝑥 (cot 𝑥 csc 𝑥)ⅆ(csc 𝑥)

− csc 𝑥 cot 𝑥− ∫ csc2 𝑥 (cot 𝑥 csc 𝑥)

ⅆ(csc 𝑥)

− csc 𝑥 cot 𝑥

= − ∫ csc4 𝑥 ⅆ(csc 𝑥) + ∫ csc2 𝑥 ⅆ(csc 𝑥)

= −1

5csc5 𝑥 +

1

3csc3 𝑥 + 𝐶



Bagaimana Pola Penyelesaian dari Teknik Integral Substitusi Trigonometri? Dan masih banyak yang lainnya….

Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru dari suplemen modul TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Pengayaan Integral Trigonometri ini….



http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html


TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Pengayaan Integral Trigonometri.

Modul Pengayaan Integral Trigonometri ini adalah suplemen untuk modul TRIK SUPERKILAT dan SMART SOLUTION UN Matematika SMA 2013. Mengingat materi Integral khususnya yang menyangkut Trigonometri memerlukan penguasaan konsep dasar yang kuat pada setiap pokok bahasan. Pada survey yang dilakukan kepada siswa SMA menunjukkan bahwa materi Trigonometri dan Dimensi Tiga adalah topik materi yang paling menakutkan di kalangan siswa. Jadi, tidak ada salahnya apabila pada pokok bahasan Integral Trigonometri ini diberikan suplemen materi pengayaan Integral Trigonometri sebagai bukti bahwa Integral Trigonometri itu mudah dipahami dan dikerjakan dengan metode TRIK SUPERKILAT dan SMART SOLUTION yang menyenangkan sambil menyelami konsep dasar Integral Trigonometri itu sendiri… Untuk sementara hanya beberapa tipe soal integral trigonometri plus integral substitusi trigonometri yang dibahas. Untuk tipe soal yang lain akan segera diupload dan dibagikan. Jadi selalu tunggu di blog Pak Anang ya :) Kunjungi laman http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html untuk mengunduh update materi SMART SOLUTION Pengayaan Integral Trigonometri ini… :)

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.


http://pak-anang.blogspot.com/2013/02/smart-solution-un-matematika-sma-2013_12.html

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html

http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html

smart solution un matematika sma 2013 (skl 5 pengayaan integral trigonometri).pdf

Documents