integral rangkap dua

21
INTEGRAL UNTUK DAERAH PERSEGI PANJANG DAN SEMBARANG KELOMPOK: RINTO SUDIARTO SIHOTANG 110403018 WAN PIDER DAMANIK 110403026 HERMANTO AP SILALAHI 110403037 GOMAL SALOMO R 110403038

Upload: salomogomal

Post on 16-Apr-2015

154 views

Category:

Documents


6 download

DESCRIPTION

Integral Rangkap dua untuk persegi panjang dan sembatang.

TRANSCRIPT

Page 1: Integral Rangkap Dua

INTEGRAL UNTUK DAERAH PERSEGI PANJANG DAN

SEMBARANG

KELOMPOK:RINTO SUDIARTO SIHOTANG 110403018WAN PIDER DAMANIK 110403026HERMANTO AP SILALAHI 110403037GOMAL SALOMO R 110403038

Page 2: Integral Rangkap Dua

PENGERTIAN

Pada materi integral lipat satu, fungsi yang dipakai dibatasi, yaitu fungsi tersebut dibatasi pada selang tutup di R1. Untuk integral lipat dua dari fungsi dengan dua peubah pembatasannya adalah bahwa fungsi dua peubah tersebut terdefinisi pada suatu daerah tertutup di R2. Yang dimaksud daerah tertutup disini adalah daerah beserta dengan batas-batasnya. Apabila dikatakan daerah, maka yang dimaksud adalah daerah tertutup.

Page 3: Integral Rangkap Dua
Page 4: Integral Rangkap Dua

INTEGRAL LIPAT DUA ATAS PERSEGI PANJANG

Suatu permukaan di R3 memiliki persamaan z = f(x,y). Misalkan daerah S ada pada bidang x-y yang berupa suatu daerah persegi panjang. Daerah persegi panjang tertutup S secara umum dapat dinyatakan sebagai berikut.

S = { (x,y) | a≤x≤b, c≤y≤d} dimana a,b,c,d Є R

Page 5: Integral Rangkap Dua
Page 6: Integral Rangkap Dua

Misalkan interval tertutup [a,b] dipartisi menjadi m interval dengan titik-titik partisinya a = x0<x1< x2<…<xm = b, demikian juga interval tertutup [c,d] dipartisi menjadi t interval dengan titik-tik partisinya c = y0<y1<y2<…<yt= d. Dengan cara seperti itu maka daerah tertutup S terpartisi menjadi sebanyak n = m x t bagian daerah persegi panjang kecil. Namakan bagian persegi panjang kecil tersebut dengan S1,S2,S3,…,Sn.

Page 7: Integral Rangkap Dua

Misalkan bagian persegi panjang Sk mempunyai panjang Δxi dan lebar Δyj. Maka luas daerah Sk tersebut adalah

ΔAk = ΔxiΔ yj .Selanjutnya untuk setiap k = 1,2,3,..,n pada daerah Sk diambil sebuah titik (xk,yk) dan dikonstruksi jumlah Riemann dalam bentuk deret seperti berikut:

Page 8: Integral Rangkap Dua

Makin besar nilai n makin baik pula hampiran volume benda padat oleh jumlah riemann.

Page 9: Integral Rangkap Dua

Misalkan Δ adalah luas terbesar dari partisi-partisinya, dengan kata lain

Δ = Maks {ΔAk} Dalam kasus Δ→0 , maka jumlah

Riemann diatas menjadi

Page 10: Integral Rangkap Dua

Selanjutnya jika limit itu ada maka nilai limit ini disebut nilai integral lipat dan dinotasikan dengan:

Dengan melihat bahwa ΔAk = (ΔxkΔyk) = (ΔykΔxk), yang berarti dA = (dxdy) = (dydx), maka diperoleh pula

Page 11: Integral Rangkap Dua

Beberapa catatan tentang nilai integral lipat1. Notasi ΔA = (ΔxΔy) = (ΔyΔx) secara geometris

merupakan luas daerah,sehingga selalu bernilai positif2. Apabila f(x,y) bernilai posositif pada semua

daerah integrasi S, maka nilai integral lipat S f(x,y)dA pasti positif.

3. Apabila f(x,y) bernilai negative pada semua daerah integrasi S maka nilai integral lipat S f(x,y)dA bernilai negative

4. Nilai S f(x,y)dA mungkin juga nol.

Page 12: Integral Rangkap Dua

Contoh

Penyelesaian: Pada integral sebelah dalam y berupa konstanta, sehingga

Page 13: Integral Rangkap Dua
Page 14: Integral Rangkap Dua

14

Aplikasi Integral Lipat Dua

Volume Benda Pejal

Page 15: Integral Rangkap Dua

15

Contoh:

Page 16: Integral Rangkap Dua
Page 17: Integral Rangkap Dua

17

Page 18: Integral Rangkap Dua

18

Page 19: Integral Rangkap Dua

19

Contoh:

Page 20: Integral Rangkap Dua

20

Page 21: Integral Rangkap Dua

21

Contoh: