INTEGRAL RANGKAP

A. INTEGRAL RANGKAP DUA

2y

1y

(y)2x

(y)1xdxdy y)f(x, : umumBentuk

Pengintegralan I dilakukan thd x dimana f(x,y) sbg fungsi dari x dan y konstan, dgn batas integral x1(y) ke x2(y)

Pengintegralan II hasil dari pengintegralan I diintegralkan thd y dengan batas integral y1 ke y2

Secara geometri

• S adl daerah tertutup pd bidang xOy• S dibagi menjadi n bagian oleh garis-garis yg sejajar sumbu x dan y shg terdapat n bagian xi, dimana xi= x. y

Maka yg dimaksud integral rangkap dua dari fungsi (x,y) melalui daerah S ialah

y.x yi)f(xi,lim

Ai yi)f(xi,limy)dxdyf(x,S

n

1n

n

1n

ΔΔ

Δ

Perhatikan daerah S yg dibatasi garis2 sejajar sumbu koordinat, shg tdp bentuk lengkung :

B1A1B2 x=x1(y)

B2A2B1 x=x2(y)

A1B1A2 y=y1(x)

A2B2A1 y=y2(x)

fungsi dari y

fungsi dari x

maka diperoleh bentuk (a) dan (b) sbb :

a2

a1

y2(x)

y1(x)

b2

b1

x2(y)

x1(y)

dydx y)f(x,

dxdy y)f(x, y)dxdyf(x,S

(i) Batas x1(y) dan x2(y) dlm (a) fungsi dari yBatas y1(x) dan y2(x) dlm (b) fungsi dari x

(ii) Integral rangkap 2,3 atau lebih mempunyai pengertian urutan pengintegralan serupa

21

21

21

21

1

0213

212

21

1

0212

23

1

0

2

212

21

1

x

221

1

0

1

0

1

x

x)xx()dxx-(x

dx )x(x)(x

dx yxydydx y)(x 1.

21

21

21

21

1

0213

212

21

1

0212

23

1

0

2212

21

1

x

221

1

0

1

0

1

x

x)xx()dxx-(x

dx )x(x)(x

dx yxydydx y)(x 2.

B.PENERAPAN INTEGRAL RANGKAP DUA

Daerah S berada pd bidang xOy dg luas A dan S merupakan proyeksi dr permukaan z=f(x,y) thd bidang koordinat xOy atau

S merupakan perpotongan permukaan z=f(x,y) dan bidang koordinat xOy

Dgn pengambilan (xi,yi) dlm elemen Ai, maka hasil ganda z=f(xi,yi) dan elemen i,ialah f(xi,yi)Ai.

Untuk n atau Ai0, maka f(xi,yi) Ai ialah isi tabung dg alas Ai dan tinggi f(xi,yi).

Volume benda V yg dibatasi permukaan z=f(x,y) dan daerah S sbg alasnya.

Jika Vi f(xi,yi) Ai, dan dgn mengambil limit untuk n atau Ai0, maka diperoleh :

1. Volume benda V yang dibatasi permukaan z=f(x,y) dan alas S, ialah

n

1ndxdy y)f(x,AiΔ yi)f(xi,limV

dxdyA

dxdy kxMy

2. Luas daerah A bila f(x,y) = 1

3. Momen, titik berat dan momen inersia

a.Bila f(x,y)=x, maka momen daerah S thd sumbu Y:

k=kerapatan dan k=k(x,y) sbg fungsi x dan y

b.Bila f(x,y)=y, maka momen daerah S thd sumbu X:

dxdy kyMx

c.Bila f(x,y), adalah titik berat daerah S,maka:

dimana M=massa daerah SMxM

M

yMy dan x

dxdy kxI 2y

dxdy kyI 2x

yx0

220

III

dxdy )yk(xI

d.Bila f(x,y)=x2, maka momen inersia daerah S thd sumbu Y :

e.Bila f(x,y)=y2, maka momen inersia daerah S thd sumbu X :

e.Bila f(x,y)=x2+y2, maka momen inersia daerah S thd titik asal O :

C. INTEGRAL RANGKAP TIGA

Persamaan integral rangkap 3 dari fungsi (x,y,z):

b

a

d

c

f

edz dy dx z)y,f(x,

f

e dx z)y,f(x,

d

cb

a

dy dz

12

3

(i) Pengintegralan I dilakukan thd x dg asumsi y dan z konstan

(ii) Pengintegralan II ialah hasilkali (i) diintegrasikan thd y dg asumsi z konstan

(iii) Hasil (ii) diintegrasikan thd z

d

cb

af

e dx z)y,f(x, dy dz

12

3

1

0

z

0

2z2y

0dxdydz xz

15

2 zdzz

dz yzzyzy

dydz zz2yzy

dydz z)x(dxdydz xz

1

0

771

1528

21

1

0

61528

121

z

0

1

0

533325

51

21

5321

0

z

0

421

2z2y

0

221

1

0

z

0

1

0

z

0

2z2y

0

Contoh

D.PENERAPAN INTEGRAL RANGKAP TIGA

Elemen volume V=x.y.z

Penjumlahan elemen ke arah kolom (z) menghasilkan

z1z

0z

2

1s z.y.x V δδδδ

yy

yy

z1z

0zc z.y.x V δδδδ

z1z

0z

2

1

2

1z.y.x V δδδ

yy

yy

xx

xx

x2

x1

y2

y1

z1

0dxdydz V

Penjumlahan kolom diantara y=y1 dan y=y2 volume irisan

Penjumlahan semua kolom diantara x=x1 dan x=x2 volume total

Jika x0, y0, z0

Integral Pada Koordinat Bola

x= cos sin y= sin sin z= cos

dzdydx= sin ddd

Jika f(x,y,z) merupakan fungsi kontinu pada bola Q,maka persamaan menjadi

f(x,y,z) dzdydx= f( cossin , sinsin , cos) .

2 sin ddd

Massa,Pusat Massa dan Momen Inersia

1.Massa= Kerapatan x Volume = f(x,y,z) xyz

M= (x,y,z) dzdydx

2. Momen pada koordinat (x,y,z)

Myz= x (x,y,z) dzdydx

Mxz= y (x,y,z) dzdydx

Mxy= z (x,y,z) dzdydx

Titik berat (x,y,z)

M

xyM

MxzM

M

yzM

z

y x

3. Momen inersia pada koordinat (x,y,z)

Ix= (y2+z2) (x,y,z) dzdydx

Iy= (x2+z2) (x,y,z) dzdydx

Iz= (x2+y2) (x,y,z) dzdydx

= kerapatan benda

Hitunglah volume benda yg dibatasi oleh silinder x2+y2=a2, bidang z=y dan z=0

Gambar ¼ bagian silinder

Batas :z1=0 z2=yY1=0 y2=a

2-x2

X1=0 x2=a

3

a

0 3

312

a

0

22

a

0

2x2a0

a

0

2x2a

0

a

0

2x2a

0

y

0

a3

4V

xxa 2dx xa 2V

dx y 2dydx y 4V

dzdydx 4V

Contoh : Tentukan volume benda yang dibatasi bidang z=0,x=1,x=2,y=-1,y=1 dan permukaan z=x2+y2

332

2 1

3322

1 323

32

2

13

22

2

13

123

121

1

2

1

33

12

2

1

1

1

22

2

1

1

1

2y2x

0

satuan 3

161)(12)(8V

xxxxdx 2x V

dx x-- x yyx dxV

yx dy dxV

dz dy dxV