kalkulus ii kode mata kuliah:te 2210sks:2prasyarat ... · kalkulus ii (ir. i nyoman setiawan, mt.)...

12
Kalkulus II (Ir. I Nyoman Setiawan, MT.) 1 Kalkulus II Kode Mata Kuliah : TE 052017 SKS : 2 Prasyarat : Kalkulus I Tujuan : Mahasiswa memahami turunan parsial dan integral parsial serta dapat menerapkannya pada masalah- masalah praktis. Pokok Bahasan : Turunan parsial, turunan total, Jacobian, garis singgung, bidang singgung, bidang garis normal, baris dan deret, tes konvergensi, geometri analitik ruang, integral lipat dua, integral lipat tiga, dan aplikasinya. Kepustakaan : 1. Purcell, E. J., D. Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis, Erlangga, 1995. 2. Anton, H., Calculus, John Wiley, 1995.

Upload: lykiet

Post on 11-Mar-2019

243 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Kalkulus II

(Ir. I Nyoman Setiawan, MT.)

1

Kalkulus II

Kode

Mata Kuliah

: TE 052017

SKS : 2

Prasyarat : Kalkulus I

Tujuan : Mahasiswa memahami turunan parsial dan integral

parsial serta dapat menerapkannya pada masalah-

masalah praktis.

Pokok

Bahasan

: Turunan parsial, turunan total, Jacobian, garis

singgung, bidang singgung, bidang garis normal,

baris dan deret, tes konvergensi, geometri

analitik ruang, integral lipat dua, integral lipat

tiga, dan aplikasinya.

Kepustakaan : 1. Purcell, E. J., D. Varberg, Kalkulus dan Geometri

Analitis, Erlangga, 1995.

2. Anton, H., Calculus, John Wiley, 1995.

Kalkulus II

(Ir. I Nyoman Setiawan, MT.)

2

Kalkulus II

(Ir. I Nyoman Setiawan, MT.)

3

r

Bila untuk setiap (x,y) dalam suatu daerah XOY didapat

suatu harga Z yang riil, maka dikatakan bahwa Z adalah

fungsi dari x dan y ditulis :

Z = f(x,y)

x dan y dinamakan variabel bebas dan z variabel tak

bebas dari fungsi.

Fungsi dengan Dua Variabel Bebas :

Fungsi dengan Beberapa Variabel

Kalkulus II

(Ir. I Nyoman Setiawan, MT.)

4

r

rdrdL 2

y = f(x)

y = 20x2 + 45x + 100

4540 xdxdy

2rL L : variabel tak bebas

r : variabel bebas

Luas L suatu lingkaran berjari-jari

r adalah :

Fungsi dengan Beberapa Variabel

r

Kalkulus II

(Ir. I Nyoman Setiawan, MT.)

5

hrV 2

h

r

V

Volume V suatu tabung berjari-jari r dengan

ketinggian h adalah :

Fungsi dengan Bebarapa Variabel

yakni V tergantung dari dua

besaran yaitu r dan h, V=V(r,h)

Jika r dijaga tetap dan

ketinggian h ditambah, maka

volume V akan bertambah. Hal

ini dapat dicari kofisien

diferensial V terhadap h dengan

syarat r dijaga konstan

Kalkulus II

(Ir. I Nyoman Setiawan, MT.)

6

h. terhadapVParsialturunankoefisiendisebut

sebagaidituliskandanyaitu konstan

h

V

h

V

dh

dV

r

rhr

V 2

2rh

V

r = konstan h = konstan

Fungsi dengan Beberapa Variabel

Kalkulus II

(Ir. I Nyoman Setiawan, MT.)

7

Contoh gambar fungsi dua variabel dengan computer

Kalkulus II

(Ir. I Nyoman Setiawan, MT.)

8

Turunan Parsial

xyxfz

x

yxfyxxf

x

zyxf

xxz

yx

xx

terhadap),(daripertamaparsialturunandisebut

),(),(lim),(

adalahterhadapturunannyadan darifungsiadalah

tetap,sedangkanubahberubahJika

0

),( yxfz

yyxfz

x

yxfyyxf

y

zyxf

yyz

xy

yy

terhadap),(daripertamaparsialturunandisebut

),(),(lim),(

adalahterhadapturunannyadan darifungsiadalah

tetap,sedangkanubahberubahJika

0

Kalkulus II

(Ir. I Nyoman Setiawan, MT.)

9

Contoh :

x

z

x

z

yxyxz

,Tentukan

2 233

22

2

230

403

xyy

z

xyxx

z

Penyelesaian :

22

2

23

43

xyy

z

xyxx

z

Kalkulus II

(Ir. I Nyoman Setiawan, MT.)

10

Fungsi dengan lebih dari dua

variabel Bebas

xyz

f

zxy

f

zyx

f

zxyzxyzyxf

32

2

3

32),,(

y dan z = konstan

x dan z = konstan

x dan y = konstan

Kalkulus II

(Ir. I Nyoman Setiawan, MT.)

11

Turunan Parsial Tingkat Dua

Suatu fungsi z = z(x,y)

Turunan Tingkat Pertama dari z :

2

2

x

z

x

z

x

y

z

x

z

,

Turunan Tingkat Dua dari z :

xy

z

x

z

y

2x

z

y

z

2

2

y

z

y

z

y

yx

z

y

z

x

2

xy

z

yx

z

22

Kalkulus II

(Ir. I Nyoman Setiawan, MT.)

12

Contoh : 22 543 yxyxz

10,4,104

4,6,46

2

2

2

2

y

z

yy

z

y

z

xyx

y

z

x

z

yx

z

xx

zyx

x

z

422

xy

z

yx

z

Carilah turunan tingkat dua dari z

Penyelesaian :