TUGAS MAKALAH PENDAHULUAN FISIKA ZAT PADATGAS FERMI ELEKTRON BEBASDisusun Oleh : 1. Resita Astika Jantu (3215096540) 2. Titi Mustikawati (3215096554) 3. Ismail Hamka Muhammad Zaid (3215097886) 4. Putri Ari Zuliyanti (3215097890) 5. Kusuando (3215086794)Pendidikan Fisika Non-Reguler 2009 Jurusan Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Jakarta 2012PENDAHULUANTelah diketahui banyak sifat fisik yang dimiliki dari logam tidak hanya logam sederhana, namun juga berkaitan dengan model elektron bebas. Menurut model ini, elektron valensi dari suatu unsur atom menjadi elektron konduksi dan bergerak bebas pada keseluruhan volume logam. Bahkan ketika logam memiliki model elektron bebas, distribusi pengisian elektron konduksi menggambarkan kekuatan potensial elektrostatik dari inti ion. Kegunaan dari model elektron bebas pada dasarnya merupakan sifat yang bergantung pada sifat kinetik dari elektron konduksi. Interaksi dari elektron konduksi dengan kisi ion akan dibahas pada bab selanjutnya. Logam yang paling seberhana adalah logam alkali, misalnya litium, sodium, potassium, cesium dan rubidium. Pada atom bebas elektron valensi dari sodium adalah 3s. Padalogam, elektron ini menjadi elektron konduksi dalam pita konduksi 3s. Kristal tunggal yang terdiri dari N atom akan memiliki N elektron konduksi dan N inti ionpositif. Inti ion Na+ teridiri dari 10 elektron yang menempati kulit 1s, 2s dan2p pada ion bebas dengan distribusi ruang yang pada dasarnya sama ketika logam dalam ion bebas. Inti ion menempati hanya 15% volume kristal sodium, seperti padagambar dibawah. Jari-jari ion bebas Na+ adalah 0.98 , sedangkan jarak tetangga terdekat logam adalah 1.83 .Gambar 1. Skema model kristal dari logam sodiumPenjelasan mengenai sifat logam dalam hal ini gerak elektron bebas telah lama dikembangkan sebelum ditemukannya mekanika kuantum. Teori klasik memiliki beberapakeberhasilan, terutama penurunan dari Hukum Ohm dan hubungan antara daya hantarlistrik dan panas. Teori klasik tidak dapat menjelaskan kapasitas panas dan kelemahan sifat kemagnetan yang dimiliki elektron konduksi. (Hal ini bukan merupakan kegagalan dari model elektron bebas, tetapi kegagalan pada fungsi distribusi kalsik Maxwell). Selanjutnya adalah kesulitan dengan model klasik. Dari banyak jenis percobaan mengenai elektron konduksi dari logam yang dapat bergerak secara bebas pada banyak lintasan lurus atom, tubrukan elektron konduksi terjadi satu sama lain atau bahkan tubrukan dengan inti atom. Pada temperatur rendah, lintasanbebas antar atom akan sepanjang 108 (lebih dari 1cm). Mengapa zat yang terkondensasi secara transparan akan menjadi elektron konduksi? Jawaban pertanyaan tersebut terdiri dari dua: (a) Elektron konduksi tidak membelokkan inti ion yang menyusun kisi periodik karena gelombang zat tersebut dapat menyebar bebas pada susunan periodik. (b) Elektron konduksi tersebar hanya pada frekuensi tertentu antaraelektron konduksi laiinya. Sifat inilah yang dibahas pada Asas Pauli. Gas Fermielektron bebas akan menjelaskan bagaimana elektron bebas pada gas dengan menggunakan Asas Pauli.A. Tingkat Energi Dalam Satu Dimensi Gas elektron bebas dalam satu dimensi sesuai dengan perhitungan dari teori kuantum dan asas Pauli. Sebuah elektron yang bermassa m terkurung sepanjang L yang tak terhingga (Gambar 2). Fungsi gelombang elektron merupakan solusi persamaan Schrdinger (x) pada dengan dimana pmengabaikan energi potensial maka kita dapatkan adalah momentum. Dalam teori kuantum p dapat direpresentasikan sebagai sehingga:.....................(1)dimanaadalah energi pada orbital elektron.Kita dapat menggunakan orbital untuk menunjukan solusi persamaan gelombang hanyauntuk sistem satu dimensi. Hal ini menunjukan perbedaan antara persamaan gelombang secara pasti pada keadaan kuantum untuk N elektron yang berinteraksi dan secara perkiraan pada keadaan kuatum yang menyebutkan N elektron menjadi N orbitalyang berbeda dimana setiap orbital merupakan solusi persamaan gelombang untuk satu elektron. Model orbital dapat tepat terjadi jika tidak ada interaksi antar elektron. Dengan batasan ; yang merupakan batasan takterhingga pada energi potensial. Ini memenuhi fungsi gelombang sinus dengan bilangan integral n dari setengah panjang gelombang antara 0 dan L : ....(2) dimana A, kn. Persamaan (2) merupakan solusi dari persamaan (1) karena,,dimana energiadalah ..(3)Jika kita ingin mendapatkan N elektron pada satu persamaan. Menurut Asas Pauli,tidak dapat dua elektron memiliki bilangan kuantum yang sama. Tiap orbital dapatditempati lebih dari 1 elektron. Hal ini berlaku untuk elektron pada atom, molekul dan zat padat.Gambar 2. Tiga tingkat energi pertama dan fungsi gelombang pada elektron bebas dengan massa m yang terkurung garis dengan panjang LPada zat padat, bilangan kuantum suatu orbital elektron konduksi adalah n dan ,dimana n adalah bilangan bulat positif dan bilangan kuantum magnet menurut orientasi spin. Pasangan orbital ditandai dengan bilangan kuantum n yang didapat daridua elektron, satu dengan spin up dan satu lagi spin down. Jika terdapat enam elektron, maka keadaan dasar suatu system aka terisi oleh orbital yang terlihat pada table dibawah: Elektron yang dimiliki 1 1 2 2 1 1 1 1 3 3 4 4 Elektron yangdimiliki 1 1 0 0Lebih dari satu orbital mungkin memiliki energi yang sama. Jumlah orbital denganenergi yang sama disebut degenerasi. Misalkan merupakan tingkat energi yang terisi paling atas, dimana kitadapat mulai mengisi tingkatan tersebut dari bawah ( n = 1) dan selanjutnya mengisi tingkat paling tinggi dengan elektron sampai semua N elektron terpenuhi. Halini baik digunakan untuk N adalah bilangan genap. Keadaan = N menunjukan EnergiFermi , nilai n untuk tingkat yang terisi paling atas.merupakan definisi dari tingkat energi yang terisi paling ,atas pada keadaan dasar dari N elektron. Dari persamaan (3) dengan n = kita dapatkan energi dalam satu dimensi yaitu :..(4)B. Pengaruh Temperatur Pada Distribusi Fermi Dirac Keadaan dasar merupakan dimana N elektron berada pada keadaan nol. Apa yang terjadi jika temperatur meningkat? Ini adalah masalah biasa pada statistik dasar mekanik dan solusi yang diberikan berupa distribusi fungsi Fermi-Dirac. Energi kinetik pada gas elektron yang meningkat seperti halnya temperatur yang meningkat sehingga beberapa tingkat energi yang ditempati oleh kekosongan berada pada keadaan nol, dan beberapa tingkat merupakan kekosongan yang ditempati pada keadaan nol. Distribusi Fermi-Dirac memberi kemungkinan mengenai orbital pada energi elektron gas ideal dalam keseimbangan termal: akan menempatiJumlahadalah fungsi dari temperatur,dapat dipilih menjadi masalahutama dengan demikian jumlah total partikel dalam suatu sistem dapat dihitung dengan tepat yaitu sama dengan N. Pada keadaan nol batas T0 dengan fungsi (kosong) pada ketika , karenaberubah dari nilai 1 (terisi) menjadi nilai 0 sama dengan. Untuk seluruh temperatur, maka untuk persamaan (5) akan memiliki nilai 2.Gambar 3. Fungsi persamaan (5) distribusi Fermi-Dirac pada saat diberi variasi temperatur saatJumlahmerupakan potensial kimia dan kita dapat mengetahui keadaannol pada potensial kimia sama dengan energi Fermi, tetapan tesebut sama sepertienergi pada orbital terisi paling atas dalam keadaal nol. Distribusi energi tinggi berada pada fungsi menjadi Maxwell Boltzmann. pada persamaan 5,. Batasan ini disebut sebagai distribusiC. Gas Elektron Bebas dalam Tiga Dimensi Persamaan partikel bebas Schrodinger pada 3 dimensi yaitu : (1) Jika elektron-elektron itu diletakkan di dalam sebuah kubusan panjang sisi-sisinya sebesar L, maka fungsi gelombangnya adalah gelombang berdiri .(2) dimana nx, ny, dan nz adalah bilangan bulat positif Jika menggunakan sebuahngsi gelombang yang periodik pada x,y,z dan periodik L, maka (3) Fungsi gelombpersamaan Schordinger periodik adalah berbentuk gelombang berjalan sebagai berikut: ..(4) Nilai komponen-komponen k sebagai berikut: .(5) berupakan 2n/L yang meru akan bilangan bulat ositif atau negatif. Kom onen-kom onen dari k tersebut adalah meru akan dan yangbilangan kuantum dari artikel tersebut. Disam ing itu, bilangan kuantum yang digunakan untuk menandai artikel tersebut yang dalam hal ini elektron adalah bilangan kuantum magnetik ms yang berkaitan dengan s in elektron itu sendiri. Kita da at menghitung nilai k sesuai ersamaan (3) yaitu.(6) Substitusikan ersamaan 4 ke 1 kita akan menda atkan energi k: .......(7) Besarnya vektor gelombang berhubungan dengan anjang gelombang oleh k =mentum linier P dihasilkan ada mekanika kuantum oleh o erator untuk orbital ersamaan (4) .(8) Maka ada gelombang berjalan momentum linear dengan nilai eigen dileh Dalam keadaan dasar semua tingkat energi yang terletak di bawah energi Fermidan energi Fermi itu sendiri akan ditem ati elektron. Oleh karena itu, vektor gelombang terbesar adalah vektor gelombang untuk elektron yang berada ada tingkat energi Fermi. Dengan demikian, jika kita misalkan vektor gelombang Fermi dengan huruf kf , maka energi Fermi da at ditulis sebagai berikut : ............................(9) Dari ersamaan (5) kita da at lihat bahwa ada 1 mengikuti vector gelombang ini berbeda dari bilangan kuantum (2 /L)3 dari kulit k. Maka ada volume bola adalah : untuk elemen volume total jumlah orbital meru akan fungsi eigen dari. Kece atan artikel ada orbital k(10) Dimana factor 2 berasal dari 2 mengikuti nilai dari ms, bilangan s in kuantusing-masing nilai k yaitu : ...(11) Yang hanya tergantung ada konsentrasi arersamaan (9) (12) Hubungan dari energy Fermi untuk konsentrasi elektron N/V.kan nilai jumlah TF yang didefinisikan sebagai tidak menentukan tem eratur darielektron gas) Kita telah menemukan jumlah orbital er unit tingkat energy, D energy (13) yang (jumlah TFdisebut densitas. Kita gunakanersamaan 12 untuk jumlah bilangan orbitalMaka densitas ada gambar disam ing yaitu (14) Persamaan 13 da at ditulis secarasederhana yaitudimana (15) Nomor orbital er unit tingkat energy ada energy Fermi adalah totalnomor konduksi elektron yang dibagi oleh energy Fermi.D. Ka asitas Panas dari Gas Elektron Pada awal erkembangannya, teori elektron dalam logam menemui kesulitan dalam menjelaskan ka asitas anas dari elektron konduksi.Mekanika statistika klasik meramalkan bahwa sebuah elektron bebas harus memilikika asitas anas sebesar (3/2) kB, dimana kB adalah teta an Boltzmann. Jadi jikakita memiliki N buah elektron bebas, maka menurut mekanika statistika klasik tersebut ka asitas anas elektron itu adalah sebesar (3/2) NkB, untuk ato yang gasmonoatomik. Teta i kenyataannya menunjukan lain, ada tem eratur ruangan ka asitas anas elektron konduksi ternyata kurang dari 0.01. Kesulitan ini akhirnya terjawab setelah enemuan Prinsi Pauli dan fungsi distribusi Fermi-Dirac. Fermi mengatakan menulis kalimat sebagai berikut: seseorang memahami bahwa anas jenis menghilang ada suhu nol derajat Kelvin, dan ada suhu yang rendah anas jenis (atau ka asitas anas) itu adalah sebanding dengan suhu mutlaknya. Jika kita memanaskan sebuah logam sam el dari suhu nol derajat Kelvin, menurut distribusi FermiDirac tidak semua elektron di dalam logam itu akan mem eroleh energi sebesar - kBT. Teta ai hanya sebagian kecil saja dari elektron-elektron itu yang akan mem eroleh energi sebesar kBT. Jadi jika kita memiliki N buah elektron bebas, hanya fraksi dari T/Tf da at dieksitasi anasnya ada suhu T. Setia elektron dari N(T/Tf) akan memiliki energi sebesar kBT. Sehingga total energi kinetik termal (U) dari elektron konduksid itu adalah sebesar ..(1) Persamaan untuk ka asitasyaitu sebagai berikut .(2) Pada tem eratur ruangan Cel lebih rendah nilai klactor 0.01 atau kurang, dari Tf ~ 5 x 104 K Kita mem eroleh kuantitatif untuk kaasitas anas elektron ada tem eratur rendah kBT