1

Matrik dan Transformasi Linear

By Yuwono

2

Tujuan & Materi (1/2)

Tujuan Menentukan nilai determinan matrik ordo 2x2 Menentukan nilai determinan matrik ordo 3x3

dengan aturan Sarrus Menentukan nilai determinan matrik ordo nxn

dengan matrik Kofaktor Menentukan nilai determinan matrik ordo nxn

dengan Transformasi Baris Elementer (TBE)

3

Materi Pengertian Determinan Menentukan nilai determinan matrik ordo 2x2 Menentukan nilai determinan matrik ordo 3x3

dengan Aturan Sarrus Sifat-sifat Determinan Menentukan determinan matrik nxn dengan

matrik Kofaktor Menentukan determinan matrik nxn dengan TBE

Tujuan & Materi (2/2)

4

Determinant

Merupakan suatu fungsi Syarat suatu matrik mempunyai determinan:

matrik bujursangkar Lambang determinan matrik A adalah det(A)

atau A

Matrik ordo 2x2

5

Matrik ordo 2x2

dc

baAJika bcadA )det(Maka

64

12A

Contoh :

Maka det(A) = 2.6 – 1.4 = 8

Matrik ordo 3x3

6

Matrik Ordo 3x3 Langkah-langkah

Salin elemen kolom 1 dan kolom 2 ke sebelah kanan tanda garis vertical dari determinan ordo tiga

Jumlah hasil kali elemen diagonal utama dan elemen yang sejajar diagonal utama dan dikurangi dengan jumlah hasil kali elemen diagonal samping dan elemen yang sejajar dengan diagonal samping.

7

Matrik Ordo 3x3

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

AJika

32

22

12

31

21

11

333231

232221

131211

a

a

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

A

332112322311312213

322113312312332211

......

......)det(

aaaaaaaaa

aaaaaaaaaA

Maka det(A)

8

ContohOrdo 3x3 dng Sarrus

231

314

132

B

Det (B) = ……….

Sifat2 determinan

9

Sifat-sifat determinan (1/6)

A. Pertukaran Baris dengan Kolom suatu determinan tidak mengubah nilai determinan. | A | = | AT |

B. Jika semua elemen-elemen satu baris/kolom suatu determinan sama dengan nol, maka nilai determinannya sama dengan nol.

TA

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

A

332313

322212

312111

333231

232221

131211

0

0

0

0

000

3323

3222

3121

333231

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

A

10

C. Jika dua baris/kolom suatu determinan dipertukarkan, maka akan mengubah tanda deteminan. ( + menjadi - , dan, - menjadi + ).

Sifat-sifat determinan (2/6)

Baris yang di tukar Kolom yang di tukar

11

Sifat-sifat determinan (3/6)

D. Jika dua baris/kolom suatu determinan Identik, maka nilai

determinannya sama dengan nol. Dikatakan identik, jika suatu baris atau kolom merupakan hasil

kali dengan skalar k (di mana k anggota bilangan real)

Baris Kolom

0

.

.

.

333233

232223

131213

aaak

aaak

aaak

A0...

333231

131211

131211

aaa

akakak

aaa

A

12

E. Jika setiap elemen satu baris/kolom suatu determinan dikalikan dengan faktor yang sama k, maka determinannyapun dikalikan

dengan skalar k. Baris

Kolom

333231

232221

131211

333231

232221

131211

.

.

.

aaa

aaa

aaa

k

aaak

aaak

aaak

A

333231

232221

131211

333231

232221

131211

...

aaa

aaa

aaa

k

aaa

akakak

aaa

A

Sifat-sifat determinan (4/6)

13

F. Jika setiap elemen satu baris/kolom suatu determinan dinyatakan dengan dua suku maka determinannya dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua determinan

Sifat-sifat determinan (5/6)

14

Sifat-sifat determinan (6/6)

G. Jika Matrik A dan B adalah matrik bujusangkar yang mempunyai ukuran sama maka det(AB) =

det(A).det(B)

634

982

1071

AJika

821

6310

942

B

661916

1385093

1314582

AB

Det(A)=… Det(B)=…

Det(AB)=…

15

Menentukan Determinan Matrik ordo nxn Istilah Minor dan Kofaktor

Definisi:

Misalkan Anxn=[aij], maka minor dari aij , yang

dilambangkan oleh Mij, adalah determinan dari sub

matrik A yang diperoleh dengan cara membuang

semua entri pada baris ke-i dan semua entri pada

kolom ke-j.

Kofaktor dari aij, yang dilambangkan oleh Cij, adalah

(-1)i+jMij.

16

Minor

...63

1011 M

...31

0713

M

...61

1712

M

631

107

142

A

...63

1421 M

...61

1222

M

...31

4223

M

...10

1431 M

...17

1232 M

...07

4233 M

17

Kofaktor

...)1( 2332

23 MC

...)1( 1111

11 MC

...)1( 1221

12 MC...)1( 22

2222 MC

...)1( 2112

21 MC

...)1( 3333

33 MC...)1( 32

2332 MC

...)1( 3113

31 MC

...)1( 1331

13 MC

18

Determinannya

Dengan Matrik Kofaktor > ada 2 cara

Misalkan Anxn=[aij]

determinan dari A:

det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2+ + ainCin

{karena baris ke-i menjadi acuan/ tetap, disebut: ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i}

atau

det(A) = a1jC1j + a2jC2j+ + anjCnj

{karena kolom ke-j menjadi acuan/ tetap, disebut: ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j}

19

Jadi determinannya Ambil yang baris 2

det(A) = a21C21 + a22C22+ a23C23

= 7. (-21) + 0.13+1.(-10)

= -157

Ambil yang kolom 2

det(A) = a12C12 + a22C22+ a32C32

= 7. (-43) + 0.13+3.(5)

= -157

20

Contoh Determinan 2

1243

3202

0113

0200

B

131314131211 220200)det( MCCCCCB

4743

13)1(3

14

01)1(2

143

302

0133212

13

M

det(B) = 2(-47) = - 94

21

Determinan dengan TBE

Mengubah matrik yang ada menjadi Matrik Segitiga Atas atau Matrik Segitiga Bawah

Waspada karena TBE digunakan untuk menentukan nilai determinan maka pada perubahannya seringkali membawa pengaruh pada nilai Determinannya.

Sehingga harus dikembalikan lagi kepada soal asalnya

22

Misal

Sifat C

135

650

432

A

det(A)

13 2135

650

432

bb

31 2

931

650

432 bb

21 2

931

650

2290 bb

12 5

931

650

3410

bb

1

3

931

16400

3410

b

b

16400

3410

931

)(

164)164(1)1)((

2

3

3410

16400

931

b

b

23

TBE

Waspada : Mengalikan suatu baris dengan skalar k, dimana k R,

dan k 0 Maka jika terjadi perkalian suatu baris dengan skalar K,

nilai determinannya harus di kalikan ( )

Setelah berubah menjadi matrik segitiga atas atau bawah, maka nilai determinannya di dapat dengan cara mengalikan elemen2 diagonal utamanya

k

1

24

Contoh

162

963

510

A

Det (A) =

31

1

12

1

3162

510

963

162

963

510

x

bb

b

5100

510

3212

162

510

321

31

13

x

bb

5500

510

32110

31

23

x

bb= (-1).3.1.1.(-55)

= 165

25

26

27

Sebab orang yang tak berpengalaman akan dibunuh oleh keengganannya,

dan orang bebal akan dibinasakan

oleh kelalaiannya.