transformasi linear

35
07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 1 Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab II Determinan Matriks Bab III Sistem Persamaan Linear Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang Bab V Ruang Vektor Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam Bab VII Transformasi Linear Bab VIII Ruang Eigen

Upload: tarizaa

Post on 17-Oct-2014

361 views

Category:

Documents


10 download

TRANSCRIPT

Page 1: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 1

Aljabar Linear ElementerMA1223 3 SKS

Silabus :Bab I Matriks dan OperasinyaBab II Determinan MatriksBab III Sistem Persamaan LinearBab IV Vektor di Bidang dan di RuangBab V Ruang VektorBab VI Ruang Hasil Kali DalamBab VII Transformasi LinearBab VIII Ruang Eigen

Page 2: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 2

VII Transformasi Linear

Sub pokok Bahasan• Definisi Transformasi Linear • Matriks Transformasi• Kernel dan Jangkauan

Beberapa Aplikasi Transformasi Linear • Grafika Komputer• Penyederhanaan Model Matematis• dan lain lain

Page 3: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 3

Transformasi Linear

Misalkan V dan W adalah ruang vektor, T : V W dinamakan transformasi linear, jikauntuk setiap dan berlaku :

Jika V = W maka T dinamakan operator linear

Vba ∈, R∈α

( )=+ baT.1 ( ) ( )bTaT +

( ) =aT α.2 ( )aTα

Page 4: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 4

Contoh :Tunjukan bahwa T : R2 R3, dimana

merupakan tranformasi linear.Jawab :

Ambil unsur sembarang di R2, Misalkan

(i) Akan ditunjukan bahwa

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

yxyx

yx

T

,2

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=uu

u 2

2

1 Rvv

v ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

( ) ( ) ( )vTuTvuT +=+

Rumus Transformasi

Page 5: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 5

Terbukti bahwa

( ) =+ vuT ⎥⎦

⎤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎢

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

2

1

2

1

vv

uu

T

( ) ( )( )

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

++−

+−+=

22

11

2211

vuvu

vuvu

( ) ( )

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

+−−

+−+=

22

11

2211

vuvu

vuvu

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−−

+⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−−

=

2

1

21

2

1

21

vvvv

uuuu

( ) ( ) ( )vΤuΤvuT +=+

Page 6: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 6

(ii) Ambil unsur sembarang

Jadi, T merupakan transformasi linear.

RRu ∈∈ αdan2

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Τ=Τ

2

1

uu

uαα

α

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

−=

2

1

21

uuuu

αα

αα

( )( )( ) ⎟

⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

−=

2

1

21

uuuu

αα

α

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−−

=

2

1

21

uuuu

α

( )uΤα=

Page 7: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 7

Contoh 2 :Misalkan T merupakan suatu transformasi dari M2x2 ke R yang didefinisikan oleh T(A) = det (A), untuk setiap A ∈ M2x2, Apakah T merupakan Transformasi linier.

Jawab :Misalkan

maka untuk setiap α∈ R berlaku

det (αA) =

2243

21

xM

aaaa

A ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

43

21

detaaaa

αααα

( ) )det(24321

2 Aaaaa αα =−=

Page 8: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 8

Perhatikan bahwa det(αA) ≠ α det(A)Jadi T bukan transformasi linier.

Contoh 3 :Diketahui T : P2 (Polinom orde-2) R2, dimana

a. Apakah T merupakan transformasi linear b. Tentukan

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=++caba

cxbxaT )( 2

)1( 2xxT ++

2321 xuxuuu ++= 2

321 xvxvvv ++=

Jawab :a.(i) Ambil unsur sembarang P2,

Page 9: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 9

Sehingga

Perhatikan bahwa

=+ vu ( ) ( ) ( ) 2332211 xvuxvuvu +++++

( ) ( ) ( ) ( )( )2332211 xvuxvuvuTvuT +++++=+

( ) ( )( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−++−+

=3311

2211

vuvuvuvu

( ) ( )( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−−+−

=3131

2121

vvuuvvuu

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=31

21

31

21

vvvv

uuuu

( ) ( )2321

2321 xvxvvTxuxuuT +++++=

Page 10: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 10

Ambil unsur sembarang P2,dan α ∈ R, sehingga

Jadi, T merupakan transformasi linear

2321 xuxuuu ++=

( ) ( )2321 xuxuuTuT ++= αα

( )( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=31

21

uuuu

αααα

( )( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=31

21

uuuu

αα

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=31

21

uuuu

α

( )2321 xuxuuT ++= α

Page 11: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 11

b.

Suatu transformasi linear T : V W dapat direpresentasikan dalam bentuk :

A dinamakan matriks transformasi dari T.

Contoh :Misalkan, suatu transformasi linear T : R2 R3

didefinisikan oleh :

=++ )1( 2xxT ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

00

1111

( ) uAuT = uuntuk setiap ∈ V.

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Τ

yxyx

yx

Page 12: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 12

Jawab :Perhatikan bahwa

Jadi matriks transformasi untuk T : R2 R3 adalah

Jika T : Rn Rm merupakan transformasi linearmaka ukuran matriks transformasi adalah m x n

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

−=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Τ

yx

yxyx

yx

100111

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

−=

100111

A

Page 13: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 13

dimana

{ }21,vv=Β32: RR →Τ

( ) ( )ii uv =Τ

( )( ) 222

111

uvvTuvvT

=Α==Α=

[ ] [ ] 2321222123 xxx uuvv =Α [ ]21 vv

[ ][ ] 12121

−=Α vvuu

Misalkan

basis bagi ruang vektor V dan

merupakan transformasi linear

untuk setiap i = 1,2.

Sehingga

Jadibasis bagi V

maka ia punya invers

Matriks transformasinya dapat ditentukan dengan cara :Tulis :

Page 14: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 14

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−=

100

,1

10

,1

11

321 vvv

13: PR →Τ

( ) iii pvAvT ==

xppxp 2;1;1 321 ==−=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−Τ21

1dan

Contoh 3 :Misalkan

adalah basis bagi R3

Transformasi linear didefinisikan

untuk setiap i = 1,2,3.

Tentukan :Matrix transformasi

Jika

Page 15: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 15

[ ] [ ] [ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛==⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−=20

2;01

1;1

111 32 BBB xppxp

3,2,1, =∀=Α iii pv

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−Α

201011

111011001

1

111011001

201011

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

Jawab :Definisikan :

Karena

Maka

atau

Page 16: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 16

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−− 100010001

111011001

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

− 101011001

110010001

~

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

110011001

100010001

~

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=Α221010

110011001

201011

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 221

010

invers matriks dicari dengan OBE :

Sehingga

Jadi matriks transformasi T adalah

Page 17: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 17

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−Α=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−Τ

21

1

21

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

11

21

1

221010

2111

xB

+−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ingat bahwa

jadi

Sementara itu,

( )x+−=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−Τ 121

1

Page 18: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 18

{ }22 1,,1 xxxxx −++−+

[ ]⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=+

210

1 xT [ ]⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=+−

021

2xxT [ ]⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=−+

012

1 2xxT

( )21 xxT +−

Contoh 4 :

Jika T : P2 R3 adalah transformasi linear dimana

Tentukan

.

Diketahui basis dari polinom orde dua adalah

GunakanDefinisi

Membangun

Page 19: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 19

Jawab :Perhatikan bahwa

himpunan 3 polinom tersebut adalah basis bagi polinom orde 2

maka polinom tersebut ditulis nejadi :

Samakan suku-suku sejenis sehingga diperoleh SPL

dengan solusi k1 =0 , k2 = 2, dan k3 = 1. 1

11

32

321

31

=−−=+−

=+

kkkkk

kk

( ) ( ) ( )23

221

2 111 xxkxxkxkxx −+++−++=+−

Page 20: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 20

Jadi kombinasi linear diatas berbentuk :

atau

Karena transformasi T bersifat linear maka :

( ) ( ) ( ) ( )222 12101 xxTxxTxTxxT −+++−++=+−

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛+

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

012

021

2⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

054

( ) ( ) ( ) ( )( )222 112101 xxxxxTxxT −+++−++=+−

( ) ( ) ( )222 112101 xxxxxxx −+++−++=+−

Page 21: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 21

Kernel dan Jangkauan

Misalkan T : V → W merupakan transformasi linear Semua unsur di V yang dipetakan ke vektor nol di Wdinamakan kernel T notasi ker ( T ).atau

Contoh 5 :Trans. Linear T : P2 R2

Perhatikan bahwa

maka

( ){ }0|)( =∈= uTVuTKer

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=++caba

cxbxaT )( 2

=++ )1( 2xxT ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

00

1111

)(1 2 TKerxx ∈++

Page 22: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 22

Sementara itu,

karena

Jelas bahwa vektor nol pada daerah asaltransformasi merupakan unsur kernel T. Tetapi, tak semua transformasi linear mempunyaivektor tak nol sebagai unsur kernel T.

Teorema :Jika T : V W adalah transformasi linear maka Ker (T) merupakan subruang dari V

Bukti :Ambil sembarang dan α∈Riil)(, TKerba ∈

)(21 2 TKerxx ∉++

011

)21( 2 ≠⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=++ xxT

Page 23: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 23

1. Karena setiapartinya setiapmaka Ker(T) ⊆ V

2. Perhatikan bahwa artinya setiapoleh karena itu Ker(T) ≠ { }

3. Karena dan Ker(T) ⊆ VIngat bahwa V mrp ruang vektor, sehingga berlaku

akibatnya

Jadi

)(TKera ∈( ) 0sehingga =∈ aTVa

)(0 TKer∈( ) 000 == AT

)(, TKerba ∈

Vba ∈+

( ) 000 =+=+=+ bTaTbaT

( )Tba ker∈+

Page 24: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 24

karena V adalah ruang vektor maka untuk setiap α ∈ Riil berlaku :

Jadi,

Dengan demikian, terbukti bahwaJika T : V W adalah transformasi linear makaKer(T ) merupakan subruang dari ruang vektor V

Karena Ker(T ) merupakan subruang

Basis Ker(T).

VaTKera ∈∈ maka)(Karena 4.

)(TKera∈α

( ) ( ) 00 === ααα aTaT

Page 25: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 25

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

cba

T

( ) ( ) ( ) 022 2 =+++−++=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛xcbaxcaba

cba

T

Contoh 6 :Diketahui Transformasi linear T : R3 →P2 dengan

Jawab :Perhatikan bahwa :

=(a + b) + (2a – c)x + (2a + b + c)x2

Tentukan basis dan dimensi Ker(T) dan R(T)

Page 26: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 26

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

++−

+

000

22

cbacbba

=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

cba

T =⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

++−

+

cbacbba

22

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−112120

011

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

cba

Ini memberikan

sehingga

Jadi, matriks transformasi bagi T adalah

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−=112120

011A

Page 27: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 27

~000

112120

011

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−

000

110120

011

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

000

2/1002/110

2/101~

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

000

100010001

~

Dengan melakukan OBE pada matriks tersebut :

Dengan demikian, Basis ker(T) = { }

dan nulitasnya adalah nol.

Page 28: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 28

⎪⎭

⎪⎬

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎪⎩

⎪⎨

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

11

0,

121

,201

{ }222 2121 xx,xx,x +−+++

Perhatikan hasil OBE maka basis ruang kolom dari matriks A adalah :

oleh karena itu, basis jangkauan dari T adalah :

sehingga rank (dimensi basis R(t)) = 3

Page 29: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 29

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−+−−−+

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

dcbadcba

dcba

T2

2

Contoh 7 : Diketahui transformasi linear T : R4 R3

didefinisikan oleh :

Tentukan basis kernel dari T dan nulitasnya

Page 30: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 30

Jawab :

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−+−−−+

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

dcbadcba

dcba

T2

2

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−−−=

dcba

21112100

0011

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−−−=

21112100

0011A

Jadi

Page 31: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 31

( ) ( ) 4, 0 R

dcba

vvAvT ∈

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

=∀==

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−−−

00002100

0011~

21112100

0011~A

Basis Ker(T) dan Nulitasnya?

Dengan OBE

Ker(T) adalah ruang solusi dari

Page 32: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 32

0=vA

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

⎛−

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

0, ,

21100

00

11

tsts

dcba

dcba

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎪⎪

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

⎛−

21100

,

001

1

Ker(T) = ruang solusi dari

yaitu

Jadi Basis Ker(T) adalah

Nulitas = Dimensi dari Ker(T) = 2

Page 33: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 33

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

caba

cba

T2

[ ] 242 xxxT +−=+ [ ] 222731 xxxT −+=+

[ ]xT −3

Latihan1. Suatu transformasi T : ℜ3 ℜ2

didefinisikan oleh

2. Jika suatu transformansi T : P1 P2 diberikan oleh :

dan

Tentukan

Periksa apakah T merupakan transformasi linear

Page 34: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 34

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−=⎥

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

113

21

T⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−=⎥

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

121

53

T

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛31

T

(Untuk no. 3 – 5)

Suatu transformasi linear, T :R2 R3

Yang diilustrasikan sebagai berikut :

dan

3. Tentukan matriks transformasi dari T !

4. Tentukan hasil transformasi,

5. Tentukan basis kernel dan jangkauan dari T !

Page 35: Transformasi Linear

07/03/2007 12:33 MA-1223 Aljabar Linear 35

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

−−

−−−=

12211321

1121A

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

caba

cba

T2

7. Misalkan T : ℜ3 ℜ2 didefinisikan oleh

Tentukan basis Ker(T) dan basis R(T) beserta dimensinya !

6. Tentukan rank dan nulitas matriks Transformasi :