makalah transformasi linear-probabilitas

7/27/2019 Makalah Transformasi Linear-Probabilitas

1/16

13 1 Catatan Transformasi Linear Teknik IndustriRudini Mulya Daulay Universi tas Mercu Bu ana 2010

Transformasi Linear

Rudini Mulya Daulay

Program Studi Teknik Industri, Fakultas Teknik Universitas Mercu Buanaemail:[email protected]

DefinisiT disebut transformasi linear, jika T: V dan W

W adalah suatu fungsi dari ruang vector dari ruang vector V ke dalam ruang Vektor W,

yang memenuhi batasan :

T (V1 + V2) = T (V1) + T(V2) ; dimana V1 & V2 Rn T(kv) = k T(V) ; dimana V Rn & k bilangan nyata

T:V W suatu Transformasi linear, dimana : Dimensi N(T) disebut nolitas dari T ditulis n(T) Dimensi T(V) disebut rank dari T ditulis r(T)

Contoh 1:

Basis = (V1 ,V2,V3) pada R3

V1 = (1,1,1); (1,1,0) ; V3 = (1,0,0)

T : R3 R2 dimana : T (v1) = (1,0)

T (V2) = (2,-1)

T (v3) = (4,3)

Jawab :

(2,-3,5) = k1(1,1,1) + k2(1,1,0) + k3(1,0,0)

K1 + k2 +k3 = 2

K1 + k2 = -3

K1 = 5

MAKA :

( 2, -3, 5 ) = 5 v1 8v2 + 5v3
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]


2/16


T (2,-3,5) = 5T(V1) 8T(v2) + 5T(v3)

= 5(1,0) 8(2,-1) + 5(4,3)

= (9,23)

Contoh 2:

T : R2 R3

04

32

11

y

xT

Tentukan :N(T) ; n(T); T(V) & r(T0

Jawab :

Missal

04

32

11

A maka T =

y

x= A

y

x

Jadi :

N(T) =

y

xA

y

x=

0

0

Sehingga N(T)=himpunan vektor-vektor

SPL.A

=0

0

Atau :1 1

2 3

4 0

=0

0

X y = 0

2x + 3y = 0

4x = 0 x= 0 dan y = 0

Maka didapat N(T) =0

0

Dimensi N(T) = n(T) =0

0


3/16


Selanjutnya

T(v) =1

23

SPL . A

=1

23

1 1

2 3

4 0

=1

23

lakukan OBE

1 1 1

2 3 24 0 3

b31(-4)b21(-2)

1 1 1

0 5 2 210 4 3 41

b2 1/5

1 1 1

0 1 (2 21)/5

0 4 3 41

b32(-4)1 1 1

0 1 (2 21)/5

0 0 3 41 42

5+ 81/5

Maka :

B3-4b1 -42

5+

81

5= 10

22

51 - 4

4

52 + b3 = 0

12b1 + 4b2 5b3 = 0

Jadi :

T(v) =1

23

12b1 + 4b2 5b3 = 0

= T(v) =

12b1 + 4b2 5b3 = 0

T(V) R3 berupa bidang datar melalui titik 0 (0,0,0) dengan vektor normal n = (12,4,-1)

berarti dimensi T(V) = r(T) = 2


4/16


NILAI KARAKTERISTIK dan VEKTOR KARAKTERISTIK

T : v w, diminta mencari nilai karakteristik ()

Vektor Ra, dimana ax 0

Vektor disebut vektor karakteristik

NIlai Karakteristik

A. = , dimana A = matriks bujur sangkar

A =1 1

4 2& =

1

1 Tentukan nilai karakteristik ()

Jawab:

A . =1 14 2

11

=2

2

=22

2

= 2 Jadi = 2

Cara lain :

A . = .

1 1

4 2

1

1 =

1

1

2

2 =

1

12

1

1 =

1

1

VEKTOR KARAKTERISTIK (0 )

A . = .

A . = I . I = vektor satuan

A . - . = 0

(A - ) = 0 disebut ruang karakteristik

lA - l = 0 disebut persamaan karakteristik


5/16


Contoh 1 :

A =1 1

4 2tentukan vektor karakteristik dari A

Jawab :

I l A I = 0

1 0

0 1 -

1 1

4 2= 0

1 14 + 2

= 0

(-1)( +2) (-1)(-4) = 0

2 + 6 = 0

( + 3)( 2) = 0

1 = -3

2 = 2

misalkan =1

2

Ruang Karakteristik

( I - A ) =0

1 14 + 2

1

2=

0

0

Untuk

= -3 , maka :

-4x1 x2 = 0

-4x1 x2 = 0

x1 = -

1

4 x2

Himpunan Jawab :

1

2 x1 ; x2 R

1

41

x1 R


6/16


X11

4 x1 R

Jadi =1

4 = vektor karakteristik untuk 1 = -3

Untuk 2 ; maka : x1 x2 = 0

-4x1 + 4 x2 = 0

x1 = x2

Himpunan Jawab :

1

2 x1 ; x2 R

2

42x2 R

X21

1x2 R

Jadi =1

1 = vektor karakteristik untuk = 2

Contoh 2 :

A =1 3 3

3 5 3

6 6 4

= ?

Jawab :

Persamaan Karakteristik :

I l A I = 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

-1 3 3

3 5 3

6 6 4

= 0

0 0

0 00 0 -

1 3 3

3 5 36 6 4 = 0


7/16


1 3 33 + 5 36 6 4

= 0

1 3 33 + 5 36 6 4

1 33 + 56 6

- - - + + +

{( - 1)( +5)( 4) + 3(-3)(-6) + (-3)(-3)(6)} {(-3)( + 5)(-6) + ( 1)(-3)(6) + 3 (-3) (

4) } = 0

{( 1)( 2+ 20)+ 54 +54 } { 18 ( +5)-18( 1) -9 ( 4) }

= 0

3 + 2 -20 2 +20 +108 - 18 -90 +18 18 + 9 36 = 0

2 - 12 -16 = 0

Pakai Rumus HORNER:

Cara coba-coba : 1, 2, 4, 8, 16 (faktor dari 16)

-12 -16 = 0

1 0 -12 -16

1 1 -11 +

= z 1 -11 -27 sisa

1 0 -12 -16

-1 1 11 +

= -1 1 -1 -11 -5 sisa

1 0 -12 -16

2 4 -16 +

= 2 1 -2 -8 -32 sisa


8/16


1 0 -12 -16

-2 4 -16 +

= -2 1 -2 -8 0 sisa

( habis dibagi dengan -2 )

( + 2)( 22 8 ) = 0

( + 2)( + 2)( 4) = 0

1 = -2 atau 2 = -2 atau 3 = 4

Contoh 3 :

Diambil dari contoh 2.

A =

466

353

331

cari vektor karakteristiknya!

Jawab :

Dari contoh 2 1 = -2 atau 2 = -2 atau 3 = 4

Ruang karakteristik :

1 A =

100

010

001

-

466

353

331

1 A =

466

353

331

Mis : x =

3

2

1

x

x

x


9/16


Ruang karakteristik :

( I A ) x = 0

466

353

331

3

2

1

x

x

x

=00

0

Untuk = -2

4266

3523

3312

3

2

1

x

x

x

=

0

0

0

666

333

333

3

2

1

x

x

x

=

0

0

0

0666

0333

0333

321

321

321

xxx

xxx

xxx

3

1

3

1

3

1

x

x

x

0

0

0

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Kesimpulan : x1 x2 + x3 = 0

X1= x2 x3

HP =

3

2

1

x

x

x

x1 , x2, x3 R

=

3

2

31

x

x

xx

x2, x3 R

=

0

2

2

x

x

+

3

3

0

x

x

x2, x3 R


10/16


= x2

0

1

1

+ x3

1

0

1

x2, x3 R

x = x2

0

1

1

+ x3

0

1

1

untuk = -2

x = s

0

1

1

+ t

0

1

1

untuk = -2

Untuk = -4

4466

3543

3314

3

2

1

x

x

x

=

0

0

0

066

393

333

3

2

1

x

x

x

=

0

0

0

X1 + 3x2 3x3 = 0 3x1 + 3x2 3x3 = 0

3X1 + 9x2 3x3 = 0 3x1 + 9x2 3x3 = 0 +

-6x1 + 6x2 = 0 12x2 - 6x3 = 0

6x2 = 6x1 12x2 = 6x3 :6

x2 = x1 2x2 = x3 x3 = 2x2

x1 = x2

Kesimpulan : x1 = x2

x3 = 2x2

HP =

3

2

1

x

x

x

x1 , x2, x3 R


11/16


=

2

2

1

2x

x

x

x2 R

= x2

2

1

1

x2, x3 R

x = s

2

1

1

untuk = 4

Diketahui :

A =

422

242

224

I A =

100

010

001

-

422

242

224

=

422

242

224

Tentukan :

1. Nilai Karakteristik2. Vektor Kerakteristik\

Persamaan Eigen :

I A = 0

422

242

224

= 0


12/16


422

242

224

22

42

24

= 0

[ (-4) (-4) (-4)- 8 8 ] [4(-4) + 4 (-4) +4 (-4)] = 0

[ (-4)3 -16] [12(-4)] = 0

1.3 + 3.2 (-4) + 3. (-4)2 + (-4)3 -16 [ 12 48] = 0

3 - 122 + 48 64 16 - 12 + 48 = 0

3 - 122 + 36 +32 = 0

1 -2 36 -32

2 -20 32 +

= 2 1 -10 16 0 = sisa

( 2 ) (2 - 10 +16 ) = 0

( 2 ) ( 2) ( 8 ) = 0

1= 2, 2 = 2, 3 =8

1.2 =2, 3 = 8

Misalkan Vektor Eigen :

x =

3

2

1

x

x

x

Ruang Eigen :

(I A) . x = 0

422

242

224

3

2

1

x

x

x

=

0

0

0

Untuk = 2, maka

4222

2422

2242

3

2

1

x

x

x

=

0

0

0


13/16


222

222

222

3

2

1

x

x

x

=

0

0

0

-2 x1+ 2x2 2x3 =0

-2x1 2x2 2x3 = 0

-2x1 2 x2 -2 x3 = 0

Kesimpulan :

-2 x1+ 2x2 2x3 =0

Maka

x1+ x2 + x3 =0

sehingga

x1 = -x2 x3

HP =

3

2

1

x

x

x

x1 , x2, x3 R =

3

2

32

x

x

xx

x1 , x2, x3 R

0

2

1

x

x

+

3

2

1

x

x

x

x2, x3 R = x2

3

2

1

x

x

x

+ x3

3

2

1

x

x

x

, x2, x3 R =

x = x2

0

1

1

+ x3

3

2

1

x

x

x

untuk = 2

x = s

0

1

1

+ t

3

2

1

x

x

x

untuk = 2

Untuk = 8, maka

4822

2482

2248

3

2

1

x

x

x

=

0

0

0


14/16


422

242

224

3

2

1

x

x

x

=

0

0

0

4 x1+ 2x2 2x3 =0

-2x1 + 4x2 2x3 = 0

-2x1 2 x2 +4 x3 = 0

4 x1+ 2x2 2x3 = 0

-2x1 + 4x2 2x3 = 0

6 x1 6x2 =0 6x1 = 6x2, maka x1 = x2

-2x1 2 x2 +4 x3 = 0

-2x1 2 x2 +4 x3 = 0 -

-4 x1 +4x2 =0 4x3 = 4x2, maka x3 = x2

Kesimpulan :

x1 = x2, dan x3 = x2

HP =

3

2

1

x

x

x

x1 , x2, x3 R

=

2

2

2

x

x

x

x1 , x2, x3 R = x2

1

1

1

x2 R

x = x2

1

1

1

untuk = 8

x = s

1

1

1

untuk = 8


15/16


Program mapelnya :

A:= matrik ([[4,2,2],[2,4,2],[2,2,4]]); With (linalg) :

A =422

242

224

Eigenvals (A) :8,2,2

Emp:= eigenvectors (A) ;Emp = [ 8,1{[1,1,1]}].[2,2{[-1,1,0],[-1,0,1]}]

Soal soal nilai eigen dan vector eigen :

1. Tentukan semua nilai karakteristik atau nilai eigen dari matriks A,

Jika A=21

47 !


Jika A=41

23

!


Jika A=

1099

323

998

!


Jika A=

165

034

003

!


16/16


5. Tentukan semua nilai karakteristik atau nilai eigen dari vector eigen dari matriks A,

Jika A=

301

120

801

! !

6. Tentukan semua nilai karakteristik atau nilai eigen dan vector eigen dari matriks A,

Jika A=

300

420

571

!

7. Tentukan semua nilai karakteristik atau nilai eigen dan vector eigen dari matriks A,

Jika A=

501

020

013

!

makalah transformasi linear-probabilitas

Documents