0

CATATAN PERKULIAHAN

TRANSFORMASI KOORDINAT

(TRANSFORMASI LINEAR DAN ORTOGONAL)

OLEH:

NURHIDAYAH, S.Pd., M.Sc.

PROGRAM STUDI FISIKA

JURUSAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS JAMBI

2016

1

Transformasi Koordinat

1. Pendahuluan

Salah satu tugas utama untuk menyelesaikan permasalahan fisik adalah

dengan memilih koordinat yang cocok dengan sistem. Cara lain untuk

mengekspresikannya adalah dengan memilih sekelompok variabel. Kemudian

dapat mencakup integral banyak untuk volume, momentum, dan kerja yang lebih

mudah di buat dalam sistem koordinat yang benar. Dalam penyelesaian

persamaan diferensial, kita sering merubah variabel untuk membuat permasalahan

menjadi mudah.

Untuk setiap pekerjaan dalam cakupan fisik, akan lebih mudah dengan

menggunakan matriks. Untuk menunjukkan hasil kali dari dua matriks, dapat

dituliskan,

𝐶 = 𝐴𝐵 atau 𝐶𝑖𝑘 = ∑ 𝐴𝑖𝑗𝑗 𝐵𝑗𝑘 ........(1.1)

Kemudian dapat di cari transpos dari hasil kali dari dua matriks. Dengan 𝐴𝑖𝑘𝑇 =

𝐴𝑘𝑖, maka

(𝐴𝐵)𝑖𝑘𝑇 = (𝐴)𝑘𝑖 = ∑ 𝐴𝑘𝑗𝑗 𝐵𝑗𝑖 = ∑ 𝐴𝑗𝑘

𝑇 𝐵𝑖𝑗𝑇

𝑗 = ∑ 𝐵𝑖𝑗𝑇𝐴𝑗𝑘

𝑇𝑗 = (𝐵𝑇𝐴𝑇)𝑖𝑘

Sehingga,

(𝐴𝐵)𝑇 = 𝐵𝑇𝐴𝑇 ........(1.2)

Bentuk transpos hasil kali antara dua matriks sama dengan transpos masing-

masing matriks.

Selanjutnya kita ingin membuktikan hasil yang sama untuk invers dari hasil kali,

(𝐴𝐵)−1 = 𝐵−1𝐴−1 ........(1.3)

Dengan mendefinisikan invers, 𝐶−1𝐶 = 𝐼 dimana 𝐼 adalah matriks satuan. Oleh

karena

(𝐵−1𝐴−1)(𝐴𝐵) = 𝐵−1(𝐴−1𝐴)𝐵 = 𝐵−1𝐵 = 𝐼

maka, 𝐵−1𝐴−1 adalah invers dari 𝐴𝐵 seperti pada persamaan (1.3).

Soal :

1. Gunakan persamaan (1.2) dan (1.3) untuk menyederhanakan (𝐴𝐵𝑇𝐶)𝑇,

(𝐶−1𝑀𝐶)−1!

2. Tunjukkan bahwa 𝐴𝐴𝑇 merupakan matriks simetrik !

2

2. Transormasi Linear

Transformasi linear adalah satu dari setiap variabel baru yang merupakan

kombinasi linear dari beberapa variabel lama. Dalam dua dimensi, persamaan

transformasi linear adalah

𝑋 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦

𝑌 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 ...............(2.1)

Dimana a, b, c, d adalah konstan

𝑋 = 5𝑥 + 2𝑦

𝑌 = −2𝑥 + 2𝑦 ...............(2.2)

Persamaan ini dapat di interpretasi geometris dengan dua cara.

Cara pertama. Andaikan R dan r menjadi vektor.

𝑟 = 𝑥𝒊 + 𝑦𝒋

𝑅 = 𝑋𝒊 + 𝑌𝒋

Gambar 2.1

Persamaan (2.1) dan (2.2) merupakan cara untuk memperoleh vektor R ketika

diberikan r. Persamaan (2.1) yang dapat di tuliskan dalam notasi matriks sebagai

(𝑋𝑌) = (

𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) (𝑥𝑦) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑹 = 𝑀𝒓 ..............(2.3)

Dimana, R, M dan r berbentuk matriks. Matriks M disebut ‘matriks

transformasi’ .

Cara Kedua menginterpretasikan Persamaan 1.1 dan 1.2

Kita buat variabel baru 𝑥′, 𝑦′ pada X, Y. Kemudian persamaan menjadi :

𝑥′ = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 , 𝑦′ = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 ..............(2.4)

y

x

(x, y)

(X, Y)

r

R

3

Gambar 2.2

Ditinjau dua himpunan sumbu koordinat (x, y) dan (x’, y’), dan satu

vektor r = r’ dengan koordinat relatif untuk setiap himpunan sumbu

𝑟 = 𝑥𝒊 + 𝑦𝒋 = 𝑟′ = 𝑥′𝒊′ + 𝑦′𝒋′ ..............(2.5)

dimana 𝒊′𝑑𝑎𝑛 𝒋′ adalah vektor satuan sepanjang sumbu 𝑥′𝑑𝑎𝑛 𝑦′. Matriks

transformasi M merupakan cara untuk memperoleh komponen dari vektor r =

r’ relatif terhadap sumbu 𝑥′𝑑𝑎𝑛 𝑦′ yang mana komponennya juga relatif

terhadap sumbu x dan y.

3. Transformasi Ortogonal

Secara umum, sumbu 𝑥′𝑑𝑎𝑛 𝑦′ pada persamaan (2.4) dan gambar 1.2

adalah tidak sejajar. Persamaan (2.4) adalah persamaan rotasi dan a, b, c, d

dapat dituliskan dalam sudut rotasi 𝜃 sehingga persamaan menjadi:

𝑥 ′ = 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑦 𝑠𝑖𝑛 𝜃 atau (𝑥′

𝑦′) = (

cos 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜃−𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃

) (𝑥𝑦)

𝑦 ′ = −𝑥 sin 𝜃 + 𝑦 cos 𝜃 ..............(3.1)

Kasus khusus dari transformasi linear, yang mana disebut sebagai

transformasi ortogonal. Dengan definisi, sebuah transformasi ortogonal adalah

transformasi linear dari x, y ke x’, y’, sehingga

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑥′2 + 𝑦′

2 ..............(3.2)

Atau, pada gambar 2.1 persamaan (2.1) mewakili sebuah transformasi

ortogonal jika

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑋2 + 𝑌2 ..............(3.3)

Dapat dilihat dari gambar untuk persamaan (3.1) dan (3.2) bahwa panjang

vektor a tidak berubah oleh sebuah transformasi ortogonal. Matriks M dari

transformasi ortogonal di sebut sebuah matriks ortogonal.

r = r’ x’

y’

y

y

y’

x x

x’

4

Syarat

𝑀𝑇 = 𝑀−1(𝑀 𝑜𝑟𝑡𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙)

Dari persamaan (3.1) dan (2.4) diperoleh

𝑥 ′2 + 𝑦 ′2 = (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)2 + (𝑐𝑥 + 𝑑𝑦)2

= (𝑎2 + 𝑐2)𝑥2 + 2(𝑎𝑏 + 𝑐𝑑)𝑥𝑦 + (𝑏2 + 𝑑2)𝑦2

= 𝑥2 + 𝑦2

dengan syarat

𝑎2 + 𝑐2 = 1, 𝑎𝑏 + 𝑐𝑑 = 0, 𝑏2 + 𝑑2 = 1

Maka

𝑀𝑇𝑀 = (𝑎 𝑐𝑏 𝑑

) (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) = (𝑎2 + 𝑐2 𝑎𝑏 + 𝑐𝑑𝑎𝑏 + 𝑐𝑑 𝑏2 + 𝑑2)

= (1 00 1

) matriks identitas

Sedemikian rupa sehingga

[𝑀𝑇][𝑀] = [𝐼]

Maka dapat dikatakan 𝑀𝑇𝑀 matriks satuan, sehingga 𝑀𝑇 dan M merupakan

invers dari matriks terbukti.

4. Nilai Eigen dan Vektor Eigen, matriks Pendiagonalan

Kita dapat memberikan gambaran fisik dari gambar 2.1 dan persamaan

2.1 atau 2.3. Ditinjau bidang (x, y) yang ditutupi oleh membran elastik yang dapat

di putar atau ditarik (dengan titk asal tetap). Kemudian ada titik ( x, y ) dibagi

beberapa titik ( X, Y ) setelah deformasi, dan dapat dikatakan bahwa matriks M

menggambarkan deformasi, nilai (x, y) dan vector r dan sama untuk R. Andaikan

ada vector yang tidak berubah arah oleh deformasi, sedemikian rupa sehingga R =

µr dimana µ= konstan. Vektor tersebut dikatakan vektor eigen ( vektor-vektor

karakteristik vektor) transformasi, dan nilai dari µ adalah nilai eigen (nilai-nilai

karakteristik) dari matriks transformasi M.

Nilai Eigen

Gambaran untuk menentukan nilai eigen, dapat digunakan persamaan (2.2)

dengan matriks:

5

(𝑋𝑌) = ( 5 −2

−2 2 ) (𝑥

𝑦) (4.1)

Bentuk vektor eigen, R = µr yang dalam notasi matriks:

(𝑋

𝑌) = (

5 − 2

−2 2 ) (

𝑥

𝑦) = µ (

𝑥

𝑦) = (

µ𝑥

µ𝑦)

Atau

5x – 2y = µ𝑥 or ( 5 - µ )x – 2y = 0 ( 4. 2 )

-2x + 2y = µ𝑦 -2x + ( 2 - µ )y = 0

Jika kita mencoba untuk memecahkan suatu persamaan homogen

dengan determinan, kita akan memperoleh x = 0, y = 0 (karena konstanta

pada ruas kanan adalah nol) kecuali determinan dari koefisien yang sama

dengan nol. Dalam kasus persamaan yang terakhir akan bergantung dan

akan memperoleh himpunan tak berhingga dari solusi tersebut. Kondisi

tersebut dijadikan solusi dari (4.2) selain x = y = 0, yakni:

( 4.3 )

|5 − µ −2−2 2 − µ

| = 0

Persamaan tersebut diatas dapat dikatakan persamaan karakteristik dari

matriks M.

Untuk memperoleh persamaan karakteristik dari matriks M, kita

kurangi µ dari elemen pada diagonal utama M, kemudian kita atur

determinan dari matriks yang dihasilkan sama dengan nol.

Untuk menentukan nilai karakteristik µ dari M:

( 5 - µ )( 2 - µ ) – 4 = µ2 - 7 µ + 6 = 0 ( 4.4 )

µ=1 µ=6 ( nilai eigen ).

Vektor Eigen

Substitusi nilai µ dari persamaan( 4.4 ) ke persamaan ( 4.2 ), diperoleh:

2x – y = 0 dari persamaan ( 4.2 ) ketika µ = 1;

x + 2y = 0 dari persamaan ( 4.2 ) ketika µ = 6; (4.5)

jadi vector eigen adalah:

r i= ix+iy

6

sementara komponen matriksnya adalah

�̂�𝒊 =�⃗� 𝒊|�⃗� 𝒊|

Contoh

Carilah nilai Eigen dan vektor Eigen dari matriks di bawah ini.

(2 0 20 2 02 0 −1

)

Penyelesaian :

(𝑋𝑌𝑍) = (

2 0 20 2 02 0 −1

)(𝑥𝑦𝑧) = 𝜇 (

𝑥𝑦𝑧) = (

𝜇𝑥𝜇𝑦𝜇𝑧

)

Dapat di tuliskan;

2𝑥 − 2𝑧 = 𝜇𝑥 ; (2 − 𝜇)𝑥 − 2𝑧 = 0

2𝑦 = 𝜇𝑦 ; (2 − 𝜇)𝑦 = 0

2𝑥 − 𝑧 = 𝜇𝑧 ; 2𝑥 − (1 + 𝜇)𝑧 = 0

Matriks nya dapat di tuliskan;

(

(2 − 𝜇) 0 20 (2 − 𝜇) 02 0 −(1 + 𝜇)

)

Untuk mencari nilai Eigen dan vektor Eigen maka, matriks di atas harus di

determinankan,

Note :

Determinan untuk matriks orde 3 adalah,

Det (𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖

) = |𝑎 (𝑒 𝑓ℎ 𝑖

) − 𝑏 (𝑑 𝑓𝑔 𝑖

) + 𝑐 (𝑑 𝑒𝑔 ℎ

)|

= 𝑎(𝑒𝑖 − 𝑓ℎ) − 𝑏(𝑑𝑖 − 𝑓𝑔) + 𝑐(𝑑ℎ − 𝑒𝑔)

Jadi,

7

Det M = [(2 − 𝜇)𝑥((2 − 𝜇)𝑥(−1 − 𝜇) − 0.0) − 0(0𝑥(−1 − 𝜇) − 0𝑥2) +

2(0𝑥0 − (2 − 𝜇)𝑥2)]

= [((2 − 𝜇)𝑥(−2 − 2𝜇 + 𝜇 + 𝜇2 − 0)) − (0) + 2(0 − (4 − 2𝜇))]

= [((2 − 𝜇)𝑥(−2 − 𝜇 + 𝜇2)) + 2(−4 − 2𝜇)]

= [(−4 − 2𝜇 + 2𝜇2 + 2𝜇 + 𝜇2 − 𝜇3) + (−8 + 4𝜇)]

= [(−𝜇3 + 2𝜇2 + 𝜇2 − 2𝜇 + 2𝜇 + 4𝜇 − 4 − 8)]

= [(−𝜇3 + 3𝜇2 + 4𝜇 − 12)]

Kemudian dapat di tentukan nilai Eigen dengan cara mencari akar-akar dari

persamaan diatas ;

−𝜇3 + 3𝜇2 + 4𝜇 − 12 = 0

Cara sederhana mencari akar-akarnya adalah:

1. Bagi persamaan menjadi dua bagian sesuai dengan banyaknya orde (3 dan

2, 1 dan 0)

(−𝜇3 + 3𝜇2) (4𝜇 − 12)

2. Cari faktor dari masing-masing persamaan

−𝜇2(𝜇 − 3) 4(𝜇 − 3)

3. Karena faktor persamaannya telah sama, maka dapat dituliskan;

(−𝜇2 + 4)(𝜇 − 3)

Jika di kali pelangi maka, hasinya akan sama seperti persamaan awal.

4. Sehingga dapat ditentukan akar-akarnya

(−𝜇 + 2) (𝜇 + 2) (𝜇 − 3)

− 𝜇 = −2 𝜇 = −2 𝜇 = 3

𝜇 = 2 𝜇 = −2 𝜇 = 3

5. Jadi, diketahui akar-akarnya yaitu , 𝜇 = −2 , 𝜇 = 2 , 𝜇 = 3. Dan sekaligus

diketahui nilai Eigennya.

(2 − 𝜇)𝑥 − 2𝑧 = 0

(2 − 𝜇)𝑦 = 0

2𝑥 − (1 + 𝜇)𝑧 = 0

8

𝜇 = −2

(2 − (−2))𝑥 − 2𝑧 = 0

4𝑥 − 2𝑧 = 0

2𝑥 − 𝑧 = 0

(2 − (−2))𝑦 = 0

4𝑦 = 0

2𝑥 − (1 + (−2))𝑧 = 0

2𝑥 − 1𝑧 = 0

𝜇 = 2

(2 − 2)𝑥 − 2𝑧 = 0

−2𝑧 = 0

(2 − (2))𝑦 = 0

0𝑦 = 0

2𝑥 − (1 + 2)𝑧 = 0

2𝑥 − 3𝑧 = 0

𝜇 = 3

(2 − 3))𝑥 − 2𝑧 = 0

−𝑥 − 2𝑧 = 0

(2 − 3)𝑦 = 0

−𝑦 = 0

2𝑥 − (1 + 3)𝑧 = 0

2𝑥 + 4𝑧 = 0

Maka, vektor Eigennya adalah

𝑟𝜇 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗

𝑟−2 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘

𝑟−2 = 𝑖 − 2𝑘

𝑟2 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘

𝑟2 = 0

𝑥 = 1

𝑦 = 0

𝑧 = −2

𝑥 = 0

𝑦 = 0

𝑧 = 0

𝑥 = 2

𝑦 = 0

𝑧 = 1

𝑟3 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘

𝑟3 = 2𝑖 + 𝑘

9

Soal:

1. Tentukan invers dari transformasi, tentukan x,y dalam bentuk x’, y’, dan

apakah transformasi ini disebut ortogonal?

yxy

yxx

'

,32'

2. Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks

02

23

5. APLIKASI DIAGONALISASI

Kita mengambil beberapa contoh sederhana, dengan menggunakan proses

pendiagonalan. Bagian pusat kerucut di titik asal memiliki persamaan :

𝐴𝑥2 + 2𝐻𝑥𝑦 + 𝐵𝑦2 = 𝐾 (5.1)

Dimana A,B,H dan K adalah konstanta. Dalam matriks dapat ditulis

dengan persamaan :

(𝑥 𝑦) (𝐴 𝐻𝐻 𝐵

) (𝑥𝑦) = 𝐾 Atau (𝑥 𝑦)𝑀 (

𝑥𝑦) = 𝐾 (5.2)

Jadi kita tulis dengan persamaan :

(𝐴 𝐻𝐻 𝐵

) = 𝑀

Misalkan sumbu (x’, y’) diputar oleh sudut 𝜃 dari titik (x,y). Maka koordinat

(x,y) dan (x’,y’) adalah

(𝑥𝑦) = (

𝑐𝑜𝑠 𝜃 −𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃

) (𝑥′𝑦′

) 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝑥𝑦) = 𝐶 (

𝑥′𝑦′

) (5.3)

Oleh (1.2), transpos dari persamaan (5.3) yaitu:

(𝑥 𝑦) = ( 𝑥′𝑦′) (𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃−𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃

) (5.4)

Atau (𝑥 𝑦) = (𝑥′ 𝑦′)𝐶𝑇 = (𝑥′ 𝑦′)𝐶−1

dimana C disebut matriks yang mendiagonalkan matriks M. Dengan mensubsitusi

(5.3) dan(5.4) ke (5.2) diperoleh :

10

(𝑥′𝑦′)𝐶−1 𝑀𝐶 (𝑥′𝑦′

) = 𝐾 (5.5)

Contoh:

Tinjau suatu konik

5𝑥2 − 4𝑥𝑦 + 2𝑦2 = 30 (5.6)

Dapat ditulis dalam bentuk matriks

3022

25

y

xyx (5.7)

Sehingga

22

25M

Dengan nilai eigennya telah ditentukan pada contoh sebelumnya, sehingga

60

011 DMCC

Berdasarkan persamaan (5.5), maka

30'6''

'

60

01'' 22

yx

y

xyx (5.8)

Dengan menentukan vektor eigennya, maka diperoleh sudut rotasi 𝜃 dari sumbu

asal (x,y) ke sumbu (x’,y’)

5

1arccos (5.9)

Soal:

1. Tentukan sudut rotasi dari persamaan konik 2𝑥2 + 4𝑥𝑦 − 𝑦2 = 24

2. Tentukan frekuensi karakteristik dan mode getaran karakteristik dari

sistem pegas

11

6. KOORDINAT LENGKUNG

Sebelum kita membahas tensor non-Cartesian kita perlu berbicara tentang

beberapa sifat-sifat lengkung sistem koordinat seperti koordinat bola atau

silinder.Dengan menggunakan dua familiar sistem-sistem koordinat kartesian (x,

y, z) dan koordinat silinder (R, θ, z). Unsur-unsur dari panjang busur dalam dua

sistem ini diberikan oleh:

𝑑𝑠2 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 + 𝑑𝑧2 (6.1)

𝑑𝑠2 = 𝑑𝑟2 + 𝑟2𝑑𝜃2 + 𝑑𝑧2

sebagai contoh untuk koordinat silinder terdiri dari :

x = r cos θ,

y = r sin θ,

z = z,

maka kita peroleh

dx = cosθ dr − r sinθ dθ,

dy = sinθ dr + r cosθ dθ, (6.2)

dz = dz

dengan mengkuadratkan persamaan tersebut dan menjumlahkan hasilnya, maka

diperoleh

𝑑𝑠2 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 + 𝑑𝑧2 = 𝑑𝑟2 + 𝑟2𝑑𝜃2 + 𝑑𝑧2 (6.3)

Vektor-vektor satuan dalam Koordinat lengkung

Misalkan suatu titik dalam koordinat kartesian (X,Y,Z) sebagai fungsi dari

(U1,U2,U3), maka dapat ditulis:

(6.4)

atau

1 2 3

1 2 3

1 2 3

, ,

, ,

, ,

X X U U U

Y Y U U U

Z Z U U U

1 1

2 2

3 3

, ,

, ,

, ,

U U X Y Z

U U X Y Z

U U X Y Z

12

Untuk permukaan koordinat lengkung misalkan:

u1=c1 ,u2=c2 ,u3=c3

dimana c1, c2, c3, adalah konstan, sedangkan u1, u2, u3 adalah garis koordinatnya

yang tegak lurus terhadap koordinat ortogonalnya.

Misalkan titik P dalam koordinat kartesian dinyatakan dengan vektor posisi

(6.5)

Sesuai persamaan (6.4), dapat ditulis

(6.6)

Dengan U1,U2,U3 adalah garis-garis koordinat lengkung

Sebuah vektor singgung pada kurva U1 di P adalah

Dimana U2 dan U3 konstan

Maka vektor satuan pada U1 adalah

(6.7)

ˆˆ ˆ , ,r xi yj zk r r x y z

1 2 3, ,r r U U U

1

r

U

11 1

1 1

1

1 1

1

22 2

2 2

2

2 2

2

33 3

3 3

3

3 3

3

ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

rU r r

e eU Ur

U

rh e

U

rU r r

e eU Ur

U

rh e

U

rU r r

e eU Ur

U

rh e

U

13

Karna U1 adalah sebuah vektor normal terhadap permukaan U1= U1 maka vektor

satuan dalam arah ini (dititik P) adalah

Suatu vektor A di dalam koordinat lengkung dapat dinyatakan dalam vektor

satuan

Misalnya

Elemen elemen busur dan elemen volume koordinat lengkung

1. Elemen panjang busur (ds)

Misalkan suatu titik P dalam ordinat tegak lurus (ortogonal) dinyatakan dalam

kartesian

Mengingat persamaan (6.6) titik P dalam koordinat lengkung dapat

dinyatakan secara umum

(6.8)

Maka

(6.9)

11 1 1 1

1

2 2 2

3 3 3

ˆ ˆ

sehingga

ˆ

ˆ

UE U U E

U

U U E

U U E

1 2 3

1 2 3

ˆ ˆ ˆ, , normal terhadap permukaan-permukaan koordinat

ˆ ˆ ˆ, , vektor satuan yang menyinggung kurva-kurva koordinat

E E E

e e e

1 2 3 1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , atau , ,E E E e e e

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆA A e A e a e a E a E a E

ˆˆ ˆr xi yj zk

1 2 3, ,r r U U U

1 2 3

1 2 3

r r rdr dU dU dU

U U U

2

1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3

.

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ds dr dr

h e dU h e dU h e dU h e dU h e dU h e dU

2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 3 3ds h dU h dU h dU

14

2. Elemen volume (dV)

Untuk menentukan elemen volume suatu koordinat lengkung

7. Faktor skala dan Vektor Basis Untuk Sistem Ortogonal

Dalam koordinat kartesian, jika x, y, z, adalah koordinat partikel, dan x berubah

oleh dx dengan y dan z konstan, maka jarak partikel yang berpindah ds = dx.

Namun, dalam sistem silinder, jika θ berubah oleh dθ dengan r dan z konstan,

jarak partikel berpindah tidak sama dengan dθ, tapi ds = r dθ. Faktor-faktor

seperti r di rdθ yang memperbanyak turunan-turunan dari koordinat untuk

mendapatkan jarak yang dikenal sebagai faktor skala .

Dalam koordinat silinder memiliki komponen dr, rdθ, dz dalam arah er, eθ, ez:

ds = er dr + eθ r dθ + ez dz. (7.1)

Maka 𝑑𝑠2 = 𝑑𝑠 ∙ 𝑑𝑠 yang diberikan oleh persamaan (6.1), karena vektor e tegak

lurus dan merupakan satuan panjang.

Kita dapat menentukan hubungan antara vektor basis dari sistem koordinat

lengkung (er, eθ, ez dalam koordinat silinder) dan i, j, k. Sebagai ilustrasi dengan

metode aljabar untuk menentukan hubungan antara dua himpunan vektor basis

dengan menentukannya dalam sistem koordinat silinder.

ds = i dx + j dy + k dz

3 3 3ˆh e dU

2 2 2ˆh e dU

1 1 1ˆh e dU

1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 2 3 1 2 3

ˆ ˆ ˆ.dV h e dU h e dU h e dU

h h h dU dU dU

15

= i (𝜕𝑥

𝜕𝑟 𝑑𝑟 +

𝜕𝑥

𝜕𝑟 𝑑𝜃) + j (

𝜕𝑦

𝜕𝑟 𝑑𝑟 +

𝜕𝑦

𝜕𝑟 𝑑𝜃) + k dz. (7.2)

Dengan menggunakan x = r cos θ, y = r sin θ maka diperoleh

er = i 𝜕𝑥

𝜕𝑟 + j

𝜕𝑦

𝜕𝑟 = i cos θ + j sin θ,

reθ= i 𝜕𝑥

𝜕𝜃 + j

𝜕𝑦

𝜕𝜃 = -ir sin θ + jr cos θ, (7.3)

ez = k

Perhatikan bahwa er sudah merupakan vektor satuan sejak sin2 θ + cos2 θ = 1, tapi

reθ harus dibagi dengan faktor skala r untuk mendapatkan eθ vektor satuan. Hal ini

sering digunakan untuk vektor basis yang akan kita sebut ar dan aθ (yang belum

tentu satuan panjang), yang diberikan oleh koefisien dr dan dθ . Sedemikian rupa

sehingga

ar= er merupakan vaktor satuan

aθ= −ir sin θ + j r cos θ memiliki magnitudo | aθ |= r,

eθ = 1

𝑟 aθ = -i sin θ + j cos θ

Kita dapat menggunakan formula ini untuk menentukan kecepatan dan percepatan

partikel dalam koordinat silinder, dan formula yang sama untuk setiap sistem

koordinat. Perpindahan partikel tersebut dari titik asal pada waktu t dalam

koordinat silinder:

S = rer + zez

Maka:

𝑑𝑠

𝑑𝑡 =

𝑑𝑟

𝑑𝑡 er + r

𝑑

𝑑𝑡 (er) + =

𝑑𝑧

𝑑𝑡 ez

𝑑

𝑑𝑡(𝑒𝑟) = −𝑖 sin 𝜃

𝑑𝜃

𝑑𝑡 er + j cos θ

𝑑𝜃

𝑑𝑡+ =eθ

𝑑𝜃

𝑑𝑡

𝑑𝑠

𝑑𝑡 = r˚ er + r θ˚ eθ + z˚ ez

16

Soal :

1. Tunjukkan bahwa sistem koordinat silinder adalah sistem koordinat

orthogonal!

2. Tentukan ds2, faktor skala, vektor ds, dan elemen volume dari sistem

koordinat paraboloidal u, v, :

22

2

1

sin

cos

vuz

uvy

uvx