bab 4. probabilitas dasar dan distribusi probabilitas diskrit
TRANSCRIPT
PROBABILITAS DASARdan
DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT
BAB 4
TOPIK PEMBAHASAN• Konsep Dasar Probabilitas
- Ruang sampel dan peristiwa, Probabilitas sederhana, Probabilitas gabungan.
• Probabilitas Bersyarat- Independensi statistik, Probabilitas marjinal.
• Teorema Bayes• Probabilitas variabel acak diskrit• Kovarians dan aplikasinya dalam keuangan• Distribusi binomial• Distribusi poisson• Distribusi hipergeometrik
Konsep Dasar Probabilitas
Probabilitas adalah peluang kemungkinan terjadinya sebuah peristiwa (event) yang akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 atau dalam persentase.
Rumus : P (E) = X/NP: ProbabilitasE: Event (Kejadian)X: Jumlah kejadian yang diinginkan (peristiwa)N: Keseluruhan kejadian yang mungkin terjadiContoh : sebuah dadu untuk keluar mata ‘lima’ saat pelemparan dadu tersebut satu kali adalah 1/6 (karena banyaknya permukaan dadu adalah 6)
Konsep Dasar Probabilitas• Ruang sampel (S) :
• Merupakan gabungan dari semua kemungkinan dalam suatu masalah probabilitas.
*CONTOH;Ruang sampel pelemparan dadu 1 kali
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}n(S) = 6
• Peristiwa (Event) :
• Merupakan himpunan bagian dari ruang sampel.
*CONTOH;- Eksperimen : melempar
dadu 1 kali - Peristiwa A : Hasil
pelemparan dadu berupa angka genap =
{ 2, 4, 6}n(A) = 3
Lanjutan
Ruang Sampel (S)• Koleksi dari semua hasil yang mungkin
- misalnya : Semua enam wajah dari dadu:
• - misalnya : Semua 52 kartu yang di tumpuk:
Konsep Dasar ProbabilitasLa
njut
an
Peristiwa (Event)• Peristiwa sederhana
- Hasil dari ruang sampel dengan satu karakteristik-misalnya: Sebuah kartu merah dari setumpuk kartu
• Peristiwa Gabungan- Melibatkan dua hasil secara bersamaan- misalnya: Sebuah as yang juga merah dari setumpuk kartu
Memvisualisasikan Peristiwa
• Tabel kontingensi
• Diagram pohon
As Bukan As Total
Hitam 2 24 26merah 2 24 26Total 4 48 52
As
kartu merah
kartu hitamBukan As
Bukan As
AsDeck penuh Kartu
Konsep Dasar ProbabilitasLa
njut
an
• Probabilitas Sederhana adalah suatu peristiwa yang hanya memuat 1 elemen
• Probabilitas Gabungan : peritiwa tidak saling bebas adalah probabilitas terjadinya dua atau lebih peristiwa secara berurutan (bersamaan) dan peristiwa-peristiwa itu saling mempengaruhi.*Jika dua peristiwa A dan B gubungan, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah P(A dan B) = P(A B) = P(A) x P(B/A)
Konsep Dasar ProbabilitasLanjutan
Peristiwa sederhana• Peristiwa dari Segitiga
Peristiwa Gabungan
Ada 5 segitiga dalam koleksi ini dari 18 objek
• Peristiwa segitiga DAN berwarna biruDua segitiga yang
berwarna biru
Peristiwa Khusus
1. Kejadian/peristiwa Kosong (Null Event)
– Club & Diamond pada tarikan 1 kartu
2. Komplemen dari peristiwa – Untuk setiap Kejadian A, Seluruh
peristiwa tidak dalam A : A’3. Peristiwa Mutually Exclusive – Peristiwa yang tidak terjadi
serentak
4. Peristiwa saling eksklusif - Dua peristiwa tidak bisa terjadi
bersama-sama*misalnya : - A: ratu wajik; B: ratu klub- Peristiwa A dan B ini saling bertolak
- Peristiwa Secara bersama lengkap - Salah satu peristiwa harus terjadi - Seperangkat peristiwa meliputi
ruang sampel secara keseluruhan*misalnya : - A: semua kartu As; B: semua kartu hitam; C: semua wajik; D: semua hati - peristiwa A, B, C dan D secara bersama lengkap - peristiwa B, C dan D juga secara bersama lengkap
Null Event
Tabel Kontingensi
As Bukan As Total
Merah 2 24 26
Hitam 2 24 26
Total 4 48 52
Sebuah Deck dari 52 KartuAs Merah
Ruang sampel
Diagram Pohon
Peristiwa yang mungkin
Deck Kartu lengkap
Kartu merah
Kartu hitam
As
Bukan As
As
Bukan As
Menghitung Probabilitas Gabungan• Probabilitas dari Peristiwa gabungan, A dan B: P(A dan B) =
P(A∩B)= jumlah hasil dari kedua A dan B
jumlah total hasil yang mungkin di ruang sampelMisalnya : P(kartu merah dan As) = 2 As Merah = 1
52 jumlah kartu 26
Peluang gabungan Dengan menggunakan tabel Kontingensi
PeristiwaPeristiwa
TotalB1 B2
A1 P(A1 dan B1) P(A1 dan B2) P(A1)A2 P(A2 dan B1) P(A2 dan B2) P(A2)
Total P(B1) P(B2) 1
Peluang gabungan Peluang Marjinal yang (sederhana)
Menghitung Probabilitas Majemuk
Probabilitas dari peristiwa senyawa, A atau B: P(A atau B) = P(A U B)
= jumlah hasil dari A atau B atau keduanyajumlah hasil dalam ruang
sampelMisalnya : P(kartu merah atau As)4 As + 26 kartu merah – 2 As merah
52 jumlah nomor pada kartu= 28 = 7 52 13
Probabilitas Majemuk (Penambahan Aturan)
P(A1 or B1 ) = P(A1) + P(B1) - P(A1 and B1)
PeristiwaPeristiwa
TotalB1 B2
A1 P(A1 and B1) P(A1 and B2) P(A1)
A2 P(A2 and B1) P(A2 and B2) P(A2)
Total P(B1) P(B2) 1
Untuk peristiwa yang mutually Eksklusif: P (A atau B) = P (A) + P (B)
Probabilitas Bersyarat
Probabilitas bersyarat peristiwa tidak saling bebas adalah probabilitas terjadinya suatu peristiwa dengan syarat peristiwa lain harus terjadi dan peristiwa-peristiwa tersebut saling mempengaruhi.
• Independensi statistik Dua peristiwa dikatakan independen (bebas) jika terjadinya atau tidak terjadinya peristiwa satu tidak mempengaruhi atau tidak dipengaruhi oleh peristiwa yang lain. Jika X dan Y merupakan dua peristiwa yang independen, maka probabilitas untuk terjadinya kedua peristiwa tersebut adalah : P(X ∩ Y) = P(X) x (Y)
• Probabilitas marjinal peristiwa tidak saling bebas adalah probabilitas terjadinya suatu peristiwa yang tidak memiliki hubungan dengan terjadinya peristiwa lain dan peristiwa tersebut saling mempengaruhi.*Jika dua peristiwa A adalah marjinal, probabilitas terjadinya peristiwa A tersebut adalahP(A) = P(B A) = P(Ai) x P(B/Ai), i = 1, 2, 3, …..
Menghitung Probabilitas BersyaratProbabilitas kejadian A mengingat bahwa peristiwa B telah terjadi:P(A | B) = P(A and B)
P(B)Misalnya:
P(Kartu merah diberikan bahwa itu adalah As)
= 2 As merah = 14 As 2
Probabilitas Bersyarat Dengan Menggunakan Tabel Kontingensi
TipeWarna
TotalMerah Hitam
As 2 2 4
Bukan As 24 24 48
Total 26 26 52
Ruang Sampel direvisi
P(As | Merah) = P(As dan Merah) = 2/52 = 2 P(Merah) 26/52 26
Probabilitas Bersyarat Statistik Independensi
• Probabilitas (peluang) bersyarat:P(A|B) = P(A and B)P(B)
• Aturan perkalianP(A and B) = P(A|B) P(B)
= P(B|A) P(A)• Kegiatan A dan B independen jikaP(A|B) = P(A)Atau P(B|A) = P(B)Atau P(A dan B) = P(A) P(B)• Peristiwa A dan B adalah independen ketika probabilitas dari satu
peristiwa, A, tidak terpengaruh oleh peristiwa lain, B.
TEOREMA BAYES
• Merupakan probabilitas bersyarat dari suatu kejadian yang terjadi setelah adanya kejadian lain.
P(B i |A) = P(A|B i)P(B i) P(A|B1)P(B1)+•••+P(A|Bk) P(Bk)= P(B i dan A) P(A)
{Kegiatan yang sama}
Misalnya: kantong A berisi 5 bola biru dan 3 bola kuning, sedangkan kantong B berisi 2 bola biru dan 6 bola kuning. Dengan teori Bayes, kita dapatkan nilai probabilitas untuk pengambilan bola biru dari kantong A adalah 5/7.
Bayes Teorema Menggunakan Tabel Kontingensi
Lima puluh persen dari peminjam melunasi pinjaman mereka. Dari mereka yang dibayar, 40% memiliki gelar sarjana. Sepuluh persen dari mereka yang gagal memiliki gelar sarjana. Berapa probabilitas bahwa peminjam yang dipilih secara acak yang memiliki gelar sarjana akan membayar kembali pinjaman?
P(R)=.50 P(C|R)=.4 P(C|Ṝ)=.10P(R|C)=? Membayar kembali Membayar kembali TOTAL
Perguruan tinggi .2 .05 .25
Perguruan tinggi .3 .45 .75
TOTAL .5 .5 1.0
||
| |
.4 .5 .2 .8.4 .5 .1 .5 .25
P C R P RP R C
P C R P R P C R P R
Probabilitas Variabel Acak Diskrit• Variabel acak :
– Hasil dari eksperimen dinyatakan secara numerik – misalnya: Aduk mati dua kali; menghitung berapa kali jumlah 4 muncul (0,
1 atau 2 kali).• Distribusi probabilitas variabel acak diskrit menggambarkan bagaimana suatu
probabilitas didistribusikan terhadap nilai-nilai dari variabel acak tersebut. Untuk variabel diskrit X, distribusi probabilitas didefinisikan dengan fungsi probabilitas dan dinotasikan sebagai p(x). Fungsi probabilitas p(x) menyatakan probabilitas untuk setiap nilai variabel acak X.
• Variabel acak diskrit:– Diperoleh dengan menghitung (1, 2, 3, dll) – Biasanya jumlah terbatas nilai yang berbeda – misalnya: Aduk koin lima kali; menghitung jumlah ekor (0, 1, 2, 3, 4, atau 5
kali).
Contoh Distribusi Probabilitas Diskrit
© 2002 Prentice-Hall, Inc. Chap 4-20
Distribusi kemungkinan NilaiKemungkinan
0 1/4 = .25
1 2/4 = .50
2 1/4 = .25
T
Acara: Aduk dua koin Menghitung jumlah ekor
T T
Distribusi Probabilitas Diskrit
• Daftar semua kemungkinan [X j, p (X j)] pasangan- X j = nilai variabel random- P (X j) = probabilitas yang terkait dengan nilai
• Mutually eksklusif (tidak ada kesamaan)
• Kolektif lengkap (tidak ditinggalkan)
0 1 1j jP X P X
T
Mengukur Summary• Nilai yang diharapkan (mean)
- Rata-rata tertimbang dari distribusi probabilitas
- Misalnya: Aduk 2 koin, menghitung jumlah ekor, menghitung diharapkan nilai
• Perbedaan – Berat rata-rata kuadrat deviasi terhadap mean –
• Misalnya Toss dua koin, menghitung jumlah ekor, varians menghitung
j jj
E X X P X
0 2.5 1 .5 2 .25 1
j jj
X P X
222j jE X X P X
22
2 2 2 0 1 .25 1 1 .5 2 1 .25 .5
j jX P X
Kovarians adalah suatu pengukur yang menyatakan variasi bersama dari dua variable acak. Kovarians antara dua variabel acak diskrit X dan Y dinotasikan dengan xy dan didefinisikan sebagai berikut dimanaXi = nilai variable acak X ke-iYi = nilai variable acak Y ke-iP(xi, yi) = probabilitas terjadinya xi dan yi
i = 1, 2, …, N
• σXY = ∑ P(X𝑖Y𝑖)X : variabel acak diskritX 𝑖 : 𝑖 th hasil dari XY : variabel acak diskritY𝑖 : 𝑖th hasil dari Y P(X𝑖Y𝑖) : probabilitas terjadinya hasil 𝑖th dari X dan hasil 𝑖th dari Y
Kovarians dan Aplikasinya dalam Keuangan
Xi – E(X)
Kovarians dan Aplikasinya dalam KeuanganNilai harapan dari penjumlahan dua variable acak adalah sama dengan penjumlahan dari
nilai harapan masing-masing variabel acak. => E(X + Y) = E(X) + E(Y)Varians dari penjumlahan dua variabel acak adalah sama dengan jumlah varians dari
masing-masing variabel ditambah dua kali kovarians.Setelah mendefinisikan kovarians, dll, maka dapat menerapkan konsep-konsep tersebut
pada studi mengenai sekelompok asset yang merujuk pada apa yang disebut sebagai portfolio. Dengan menanamkan investasi yang disebarkan pada tidak hanya satu perusahaan, investor mengkombinasikan pengembalian dan meminimumkan resiko. Dalam studi portfolio, kita menggunakan penimbang untuk setiap jenis investasi dengan proporsi asset pada investasi tersebut. Hal ini memungkinkan kita untuk menghitung portfolio expected return dan portfolio risk.Portfolio expected return untuk investasi dua asset sama dengan penimbang bagi asset X dikalikan dengan expected return dari asset X ditambah dengan penimbang bagi asset Y dikalikan dengan expected return asset Y.
E(P) = E(X) + (1 - ) E(Y)Dimana => E(P) = portfolio expected return E(X) = expected return asset X
w = proporsi nilai portfolio dari asset X E(Y) = expected return asset Y
(1 - ) = proporsi nilai portfolio dari asset Y
Lanjutan
Komputasi Mean untuk Pengembalian Investasi
Kembali per $ 1.000 untuk dua jenis investasi
InvestasiP (Xi Yi) kondisi
ekonomiDow Jones dana X
Pertumbuhan Stock Y
.2 Resesi - $ 100 - $ 200
.5 Stabil Ekonomi + 100 + 50
.3 Memperluas Ekonomi
+ 250 + 350
100 .2 100 .5 250 .3 $105XE X
200 .2 50 .5 350 .3 $90YE Y
Menghitung Variance untuk Pengembalian
Investasi
InvestasiP (Xi Yi) kondisi
ekonomiDow Jones dana X
Pertumbuhan Stock Y
.2 Resesi - $ 100 - $ 200
.5 Stabil Ekonomi
+ 100 + 50
.3 Memperluas Ekonomi
+ 250 + 350
2 2 22 100 105 .2 100 105 .5 250 105 .3
14,725 121.35X
X
2 2 22 200 90 .2 50 90 .5 350 90 .3
37,900 194.68Y
Y
Distribusi Probabilitas Binomial Digunakan untuk probabilitas yang bersifat diskrit, dengan asumsi:1. Terdapat n kejadian pada sampling variabel acak2. Hasil dari n independent antara satu dengan lainnya3. Hanya ada dua kemungkinan hasil4. Probabilitas setiap hasil konstant dari satu pengambilan sampel terhadap pengambilan sampel berikutnya
• Probabilitas keberhasilan suatu peristiwa terjadi = p
• Probabilitas tidak berhasil/kegagalan = q=1-p
• Probabilitas keberhasilan suatu peristiwa terjadi tepat x kali dalam setiap perlakuan (x berhasil dan n-x gagal) = b
Distribusi Probabilitas Binomial • 'N' uji identik
– Misalnya: 15 kali pelemparan koin; sepuluh bola lampu yang diambil dari gudang
• Dua hasil saling eksklusif pada setiap persidangan – Misalnya: Kepala atau ekor di setiap lemparan koin; bola lampu
cacat atau tidak cacat• Uji independen
– Hasil dari satu percobaan tidak mempengaruhi hasil yang lain• Probabilitas konstan untuk setiap percobaan
– Misalnya: Probabilitas mendapatkan ekor adalah sama setiap kali kita melemparkan koin
• Dua metode pengambilan sampel – Populasi tak terbatas tanpa penggantian – Populasi terbatas dengan penggantian
Lanjutan
Fungsi Distribusi Probabilitas Binomial
P(X)= n! . pˣ(1-p) ⁿ-ˣ X!(n-X)!
P(X) : probabilitas keberhasilan X diberikan n dan pX : jumlah "keberhasilan" dalam sampel (X = 0,1, ..., n)P : probabilitas dari setiap "kesuksesan“n: ukuran sampel
• Ekor di 2 lemparan dari CoinX P(X) 0 1/4 = .25
1 2/4 = .50
2 1/4 = .25
Karakteristik Distribusi Binomial• Mean
-- Misalnya:
• Varians dan Standar Deviasi-
- Misalnya:
Distribusi Binomial dalam PHStat• PHStat | probabilitas & prob.
distribusi | binomium • Misalnya di excel spreadsheet
E X np 5 .1 .5np
2 1
1
np p
np p
1 5 .1 1 .1 .6708np p
n = 5 p = 0.1
0.2.4.6
0 1 2 3 4 5X
P(X)
Microsoft Excel Worksheet
Distribusi Probabilitas PoissonDistribusi Poisson adalah suatu Observasi yang
dapat dilakukan pada kejadian diskret dalam suatu area kesempatan.
*contoh: Jumlah telepon panggilan perjam pada kantor polisi; jumlah laporan kehilangan kopor perhari pada suatu airport, dll
Merupakan pendekatan terhadap distribusi binomial jika n>> dan p<< n.p ≤10
Proses Poisson:– Peristiwa diskrit dalam "interval" • Probabilitas One Sukses dalam interval stabil• Probabilitas Lebih dari satu Sukses di interval ini adalah 0
Probabilitas keberhasilan adalah independen dari interval silang– misalnya: jumlah pelanggan tiba di 15 menit – misalnya: jumlah cacat per kasus lampu
Fungsi Distribusi Probabilitas Poisson
P (X)= e¯ 𝜆ˣ X!
P(X) : probabilitas X "sukses" diberikan 𝜆
X : jumlah "keberhasilan" per unit𝜆 : diharapkan (rata-rata) jumlah "keberhasilan“𝑒 : 2,71828 (basis log alamiah)
• Misalnya: Cari probabilitas untuk 4 pelanggan yang sampai di 3 menit saat jumlah keberhasilannya adalah 3,6.
3.6 43.6 .19124!
eP X
Poisson Distribusi di PHStat• PHStat | probabilitas & prob.
distribusi | Poisson • Misalnya di excel spreadsheet
Microsoft Excel Worksheet
Karakteristik Distribusi Poisson
• Mean–
• Standar Deviasi dan Variance–
1
N
i ii
E X
X P X
2
= 0.5
= 6
0.2.4.6
0 1 2 3 4 5X
P(X)
0.2.4.6
0 2 4 6 8 10X
P(X)
Distribusi Hipergeometrik
• "N" uji coba dalam sampel yang diambil dari populasi terbatas ukuran N
• Sampel diambil tanpa adanya penggantian
• Percobaan yang bergantung
• Berkaitan dengan menemukan probabilitas keberhasilan "X" dalam sampel itu di mana terdapat "A" keberhasilan di dalam populasi
Fungsi Distribusi Hipergeometrik
P(X)=
P(X) : probabilitas bahwa keberhasilan X diberikan n, N, dan A
n : ukuran sampelN : ukuran populasiA : jumlah "keberhasilan" dalam
populasiX : jumlah "keberhasilan" dalam sampelMisalnya. 3 Lampu yang dipilih dari 10.Dari 10 ada 4 rusak. Berapa probabilitasbahwa 2 dari 3 operator yang rusak?
AX
N – AN – X
Nn
4 62 1
2 .30103
P
Karakteristik Distribusi hipergeometrik
• Mean–
• Variance dan Standard Deviasi
AE X nN
22
2
1
1
nA N A N nN N
nA N A N nN N
Faktor Koreksi Hingga Populasi
Distribusi hipergeometrik di PHStat• PHStat | probabilitas & prob. distribusi | Hipergeometrik ...• Misalnya di excel spreadsheet
Microsoft Excel
Worksheet
RANGKUMAN BAB
• Dibahas konsep probabilitas dasar
– Ruang sampel dan peristiwa, probabilitas sederhana, dan probabilitas gabungan
• Probabilitas bersyarat didefinisikan
– Independensi statistik, probabilitas marjinal
• Teorema dibahas Bayes 's
• Ditujukan probabilitas dari variabel acak diskrit
• Ditetapkan kovarians dan dibahas penerapannya di bidang keuangan
• Dibahas distribusi binomial • Distribusi Poisson
ditujukan• Dibahas distribusi
hipergeometrik