distribusi probabilitas diskrit dan kontinu

Resista Vikaliana 1

DISTRIBUSI PROBABILITAS DISKRIT DAN KONTINU

4/6/2013

2

Resista Vikaliana, S.Si. MM

Sebuah variabel acak diskret hanya dapat berisi nilai yang terpisah dengan jelas

Hasil menghitung sesuatu Contoh

Jumlah mahasiswa yang mendapat nilai A di kelas ini

Jumlah iklan 30 detik di RCTI dari jam 20-23 malam ini

Sebuah variabel acak yang dapat bersi satu dari sekian banyak nilai yang jumlahnya tak hingga dalam batas tertentu

Hasil suatu pengukuran Contoh

Berat setiap mahasiswa di kelas ini

Panjang setiap lagu pada album terbaru Noah

3/30/2013

VARIABEL ACAK DISKRET VARIABEL ACAK KONTINU

3

Resista Vikaliana

DISTRIBUSI BINOMIALDISTRIBUSI HIPERGEOMETRIKDITRIBUSI POISSON

DISTRIBUSI DISKRIT

4/6/2013

4


DISTRIBUSI DISKRIT

DISTRIBUSI BINOMIAL

3/30/2013

DIST. BINOMIAL - 1

3/30/2013


5

Dist. Binomial → Banyaknya X yang sukses dari n usaha/proses Bernoulli.

Syarat proses Bernoulli: Percobaan terdiri dari n usaha yang berulang Tiap usaha memberi hasil yang dapat

dikelompokkan menjadi sukses atau gagal Peluang sukses, dinyatakan dengan p, tidak

berubah dari usaha yang satu ke usaha berikutnya

Tiap usaha bebas dengan usaha yang lainnya.

DIST. BINOMIAL - 2

3/30/2013


6

Perhatikan: Tiga bahan diambil secara acak dari suatu hasil pabrik, diperiksa dan kemudian yang cacat dipisahkan dari yang tidak cacat. Bahan yang cacat akan disebut sukses. → X adalah banyaknya bahan yang cacat dan S={TTT, TCT, TTC, CTT, TCC, CTC, CCT, CCC} [C=cacat; T=tak cacat]. Hasil TTT TTC TCT CTT TCC CTC CCT CCC

x 0 1 1 1 2 2 2 3

DIST. BINOMIAL - 3

3/30/2013


7

Misalkan ada info bahwa bahan tersebut dipilih secara acak dari proses yang dianggap menghasilkan 25% bahan yang cacat, p = 0.25, makaP(CTT) = (0.25)(0.75)(0.75) = 0.141dengan cara yang sama didapatkan dist. peluang X adalah

x 0 1 2 3f(x) 0.42

20.42

20.14

10.01

6Dist. Binomial

DIST. BINOMIAL - 4

3/30/2013


8

Definisi: Suatu usaha Bernoulli dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q = 1-p, maka dist. peluang peubah acak binomial X, yaitu banyaknya sukses dalam n usaha Bernoulli adalah

Teorema:Distribusi binomial b(x;n,p) mempunyai rata-rata dan varians μ = np dan σ2 = npq

( ; , ) , 0,1, 2,...,x n xnb x n p p q x n

x

DIST. BINOMIAL - 5

3/30/2013


9

Perhatikan contoh lalu:

Ini, dapat juga ditulis sebagai

x 0 1 2 3f(x) 0.42

20.42

20.14

10.01

6

33( ;3,0.25) (0.25) (0.75) , 0,1, 2,...,x xb x x n

x

DIST. BINOMIAL - 6

3/30/2013


10

Contoh: Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan tertentu dengan peluang ¾. Hitunglah peluang bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak!

Solusi:n = 4; p = ¾ → q = ¼. Berapa P(X=2)?

2 2 2

4

43 3 1 4! 3 272;4, .24 4 4 2!2! 4 128

b

DIST. BINOMIAL - 7

3/30/2013


11

Berapa P(X < x) atau P(x1 < X < x2)? → Tabel Binomial: b(x;n,p) = ∑n

x=0b(x;n,p).

Contoh:Peluang untuk sembuh seorang penderita penyakit darah yang jarang adalah 0.4. Bila diketahui ada 15 orang yang telah mengidap penyakit tersebut, berapakah peluangnya: a) paling sedikit 10 akan sembuh; b) antara 3 sampai 8 yang sembuh; c) tepat 5 yang sembuh!

DIST. BINOMIAL - 8

3/30/2013


12

Solusi:X = # penderita yang sembuh; n = 15; p = 0.4; q = 0.6.

a). P(X ≥ 10) = 1 – P(X ≤ 9) = 1 – ∑9

x=0b(x;15,0.4)= 1 – 0.9662 = 0.0338

3/30/2013


13

DIST. BINOMIAL - 9

3/30/2013


14

b). P(3 ≤ X ≤ 8)= P(X ≤ 8) – P(X ≤ 3)= ∑8

x=0b(x;15,0.4) – ∑3x=0b(x;15,0.4)= 0.9050 – 0.0271= 0.8779

c). P(X = 5)= P(X ≤ 5) – P(X ≤ 4)= ∑5

x=0b(x;15,0.4) – ∑4x=0b(x;15,0.4)

= 0.4032 – 0.2173= 0.1859

DIST. BINOMIAL - 10

3/30/2013


150 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

bin(x;12,0.3)

16


DISTRIBUSI DISKRITDISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

3/30/2013

DIST. HIPERGEOMETRIK - 1

3/30/2013


17

Perhatikan: Misal diambil 5 kartu secara acak dari 52 kartu bridge (13 diamond, 13 heart, 13 spade, dan 13 club). Ingin diketahui peluang terambil 3 dari kartu berwarna merah dan 2 warna hitam.

Ada sebanyak 26C3 cara untuk mengambil 3 kartu merah Ada sebanyak 26C2 cara untuk mengambil 2 kartu hitam Ada sebanyak 52C5 cara untuk mengambil 5 kartu dari semua kartu

bridge.Maka peluang terambil 3 merah dan 2 hitam adalah

26 263 2 (26!/ 3!23!)(26!/ 3!23!)(3 ,2 ) 0.3251

52 (52!/ 5!47!)5

P M H


3/30/2013


18

Definisi: Dist. peluang hipergeometrik X, yaitu banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n yang diambil dari N benda yang mengandung k bernama sukses dan N-k bernama gagal, ialah

( ; , , ) ; 0,1,2,...

k N kx n x

h x N n k x nNn


3/30/2013


19

Kalimat verbalnya:

Yakni banyaknya macam sampel ukuran n yang dapat diambil dari N benda ialah NCn. Sampel ini dianggap mempunyai peluang sama. Ada sebanyak kCx cara memilih x sukses dari sebanyak k yang tersedia, dan untuk tiap cara ini dapat dipilih n-x gagal dalam N-kCn-x cara. Jadi semuanya ada kCx.N-kCn-x macam sampel dari NCn sampel yang mungkin diambil.


3/30/2013


20

Teorema: Rata-rata dan varians distribusi hipergeometrik h(x; N, n, k) adalah

Contoh:Suatu kotak berisi 40 suku cadang dikatakan memenuhi syarat penerimaan bila berisi tidak lebih dari 3 yang cacat. Cara sampling kotak ialah dengan memilih 5 suku cadang secara acak dari dalamnya dan menolak kotak tersebut bila di antaranya ada yang cacat. Berapakah peluang mendapatkan tepat satu yang cacat dalam sampel berukuran 5 bila kotak tersebut berisi 3 yang cacat?

2. dan . . 11

n k N n k knN N N N


3/30/2013


21

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

h(x;40,16,11)

x sukses

Pelu

ang


3/30/2013


22

Jika N → ∞ maka dist. Hipergeometri dapat dihampiri dengan dist. Binomial.

Contoh: Suatu pabrik ban melaporkan bahwa dari pengiriman sebanyak 5000 ban ke suatu toko tertentu terdapat 1000 yang cacat. Bila seseorang membeli 10 ban ini secara acak dari toko tersebut, berapakah peluangnya mengandung 3 yang cacat→h(3; 5000, 10, 1000) = 0.201478 ataupeluang mendapat ban cacat (p) = 1000/5000 = 0.2; makah(3; 5000, 10, 1000) ≈ b(3; 10, 0.2)= ∑3

x=0b(x;10,0.2) – ∑2x=0b(x;10,0.2)

= 0.8791 – 0.6778= 0.2013

23


DISTRIBUSI DISKRIT

Distribusi Poisson

3/30/2013

DIST. POISSON - 1

3/30/2013


24

Definisi: Dist peluang p.a Poisson X, yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu dinyatakan dengan t, diberikan oleh

λt menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang terjadi per satuan waktu atau daerah tersebut.e = 2.71828…

( )( ; ) ; 0,1, 2,...!

t xe tp x t xx

DIST. POISSON - 2

3/30/2013


25

Contoh: Rata-rata banyaknya tanker minyak yang tiba tiap hari di suatu pelabuhan adalah 10. Pelabuhan tersebut hanya mampu menerima paling banyak 15 tanker sehari. Berapakah peluang pada suatu hari tertentu tanker terpaksa ditolak karena pelabuhan tak mampu melayani?

P(X > 15)= 1 – P(X ≤ 15)= 1 – ∑15

x=0 p(x;10)= 1 – 0.9513= 0.0487

3/30/2013


26

DIST. POISSON - 3

3/30/2013


27

Teorema: Misalkan X p.a binomial dengan dist peluang b(x;n,p). Bila n → ∞, p → 0 dan (λt) = np tetap sama, maka

b(x;n,p) → p[x; (λt)]

Contoh: Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan barang dari gelas, terjadi gelembung atau cacat yang kadang-kadang menyebabkan barang tersebut sulit dipasarkan, Diketahui bahwa rata-rata 1 dari 1000 barang yang dihasilkan mempunyai satu atau lebih gelembung. Berapakah peluang bahwa dalam sampel acak sebesar 8000 barang akan berisi kurang dari 7 yang bergelembung?

DIST. POISSON - 4

3/30/2013


28

n = 8000; p = 1/1000 = 0.001 → (λt) = np = (8000)(0.001) = 8.Jika X = # barang yang bergelembung, maka

P(X < 7) = P(X ≤ 6)= ∑6

x=0 b(x;8000,0.001)≈ ∑6

x=0 p(x;8)= 0.3134

DIST. POISSON - 5

3/30/2013


290 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 620

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

p(x;20)

30

Resista Vikaliana

DISTRIBUSI SERAGAMDISTRIBUSI NORMALDISTRIBUSI EKSPONENSIAL

DISTRIBUSI KONTINU

4/6/2013

Resista Vikaliana 31

Distribusi Kontinu Distribusi kontinu merupakan

salah satu macam distribusi probabilitas,

Hasil dari pengukuran sesuatu Berat badan setiap orang Jumlah bonus yang diterima CEO

4/6/2013

Resista Vikaliana 324/6/2013

Resista Vikaliana

33

Distribusi Probabilitas

SeragamDistribusi

Probabilitas Normal

Distibusi Probabilitas

Eksponensial

4/6/2013

34

Resista Vikaliana

Distribusi Seragam

4/6/2013

DIST. SERAGAM-1Resista Vikaliana

35

Definisi: Bila peubah acak X mandapat nilai X1, X2, …, Xk, dengan peluang yang sama, maka distribusi seragam diskrit diberikan oleh:

Lambang f(x;k) merupakan pengganti f(x) untuk menunjukkan bahwa distribusi seragam tersebut bergantung pada parameter k.

1 21( ; ) , , ,..., kf x k x x x xk

4/6/2013


36

Teorema: Rata-rata dan varians untuk distribusi seragam diskrit f(x;k) adalah

Bila sebuah bola lampu dipilih secara acak dari sekotak bola lampu yang berisi 1 yang 40-watt, 1 yang 60-watt, 1 yang 75-watt, dan 1 yang 100-watt, maka tiap unsur ruang sampel S={40, 60, 75, 100} muncul dengan peluang ¼. Jadi distribusinya seragam dengan …

2

21 1 dan

k k

i ii i

x x

k k

4/6/2013


37

1( ;4) , 40,60,75,1004

f x x

4

1 40 60 75 100 68.754 4

ii

x

42

2 22 1

( )(40 68.75) ... (100 68.75) 639.6

4 4

ii

x

4/6/2013


38

40 60 75 100 -

0.050

0.100

0.150

0.200

0.250

Watt

Pelu

ang

4/6/2013

39

Resista Vikaliana

Distribusi Normal

4/6/2013

Resista Vikaliana 40

1. Distribusi Normal

4/6/2013

Resista Vikaliana

41

4/6/2013

Resista Vikaliana

42

Contoh:1

4/6/2013

Resista Vikaliana

43

4/6/2013

44

Resista Vikaliana

Distribusi Eksponensial

4/6/2013

Resista Vikaliana

45

Distribusi Eksponensial

4/6/2013

Resista Vikaliana

46

4/6/2013

Resista Vikaliana

47

Latihan Soal1. Sebuah perusahaan ingin menilai cara pemeriksaan

yang sekarang dalam pengiriman 50 barang yang sama. Cara ini dengan mengambil sampel sebesar 5 dan lolos pemeriksaan bila berisi tidak lebih dari 2 yang cacat. Berapa proporsi yang mengandung 20% cacat akan lolos pemeriksaan?

2. Dalam pengujian sejenis ban truk melalui jalan yang kasar ditemukan bahwa 25% truk mengalami kegagalan karena ban pecah. Dari truk yang diuji selanjutnya, hitung peluang bahwa :a. 3 sampai 6 mengalami ban pecahb. kurang dari 4 yang mengalami ban pecahc. lebih dari 5 yang mengalami ban pecah

4/6/2013

Resista Vikaliana

48

3. Mesin pesawat terbang bekerja bebas satu dari yang lain dalam penerbangan dan rusak dengan peluang 0,4. Bila dimisalkan bahwa sebuah pesawat terbang melakukan penerbangan dengan selamat jika paling sedikit setengah mesinnya bekerja, tentukan apakah pesawat bermesin empat atau bermesin dua yang lebih tinggi keselamatan penerbangannya?

4/6/2013

Resista Vikaliana

49

3. Diameter sebelah dalam suatu cincin torak berdistribusi normal dengan rataan 10 cm dan simpangan baku 0,03 cm.a. Berapa proporsi cincin yang mempunyai diameter dalam melebihi 10,075 cm?b. Berapa peluang suatu cicncin torak berdiameter dalam antara 9,97 dan 10,03 cm?c. Di bawah nilai diameter dalam berapakah terdapat 15% dari seluruh cincin torak?

4/6/2013

distribusi probabilitas diskrit dan kontinu

Documents