probabilitas distribusi diskrit

37
Bab 5. Probabilitas Diskrit Eka sugianto 10402315 Kiki saepudin 10402316 Putra pratama 10402303 Kiky herlina 10402286

Upload: eka-soso

Post on 25-Jul-2015

734 views

Category:

Documents


8 download

TRANSCRIPT

Page 1: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

Eka sugianto 10402315Kiki saepudin 10402316Putra pratama 10402303Kiky herlina 10402286

Page 2: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

Tujuan Pembelajaran• Mengidentifikasi dan menghitung distribusi

probabilitas teoritis variabel diskrit: distribusi uniform, Bernoulli, binomial, negatif binomial, geometrik, hipergeometrik, Poisson

• Menentukan statistik deskriptif : ukuran-ukuran pemusatan, penyebaran kemencengan dan keruncingan pada distribusi probabilitas teoritis variabel diskrit

• Menggunakan beberapa pendekatan distribusi teoritis variabel acak diskrit untuk memecahkan masalah-masalah statistik yang berkaitan dengan kajian keteknikan

Page 3: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

Pokok Bahasan• Pendahuluan• Distribusi seragam (uniform)• Distribusi Bernoulli• Distribusi Binomial• Distribusi Binomial Negatif• Distribusi Geometrik• Distribusi Hipergeometrik• Distribusi Poisson

Page 4: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

1. Pendahuluan• Himpunan pasangan nilai-nilai variabel acak X

dengan probabilitas nilai-nilai variabel acak X, P(X = x) disebut probabilitas X atau disingkat distribusi X.

• Distribusi diskrit memiliki nilai variabel acak X yang bernilai diskrit pada suatu waktu.

• Ada beberapa jenis distribusi diskrit yang biasa digunakan yaitu distribusi seragam diskrit (uniform distribution), Binomial, Hipergeometrik, Distribusi Binomial Negatif dan Geometrik, dan Poisson

Page 5: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

2. Distribusi Seragam (Uniform)

Distribusi seragam (uniform distribution) diskrit adalah probabilitas

distribusi diskrit yang paling sederhana.

Bila variabel acak X mengambil nilai-nilai x1, x2, … , xk dengan

probabilitas yang sama, maka probabilitas

distribusi diskrit diberikan oleh

kxxxxk

kxf ,,, ,1

);( 21

Mean dan variansi distribusi seragam diskrit f(x;k) masing-masing diberikan

oleh:

k

xdan

k

xk

ii

k

ii

2

121

Page 6: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

2. Distribusi Seragam (Uniform)

Contoh 1

Bila sebuah dadu dilemparkan, setiap unsur ruang contoh S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} terjadi

dengan probabilitas 1/6. Sehingga kita mempunyai sebaran sevariansi dengan

1;6 , 1,2,3,4,5,6

6f x x

kita dapatkan bahwa

1 2 3 4 5 63,5

6

dan

2 2 2

2 1 3,5 2 3,5 ... 6 3,5 35

6 12

Page 7: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

3. Distribusi Bernoulli• Suatu distribusi Bernoulli dibentuk

oleh suatu percobaan Bernoulli (Bernoulli trial). Sebuah percobaan Bernoulli harus memenuhi syarat:– Keluaran (outcome) yang mungkin

hanya salah satu dari “sukses” atau “gagal”

– Jika probabilitas sukses p, maka probabilitas gagal q = 1 – p

Page 8: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

3. Distribusi Bernoulli

Dalam sebuah percobaan Bernoulli, dimana p adalah probabilitas “sukses” dan q = 1 – p adalah probabilitas gagal, dan jika X adalah variabel acak yang menyatakan sukses, maka dapat dibentuk sebuah distribusi probabilitas Bernoulli sebagai fungsi probabilitas sebagai berikut:

1

( ; ) (1 ) 0

0 x 0 atau 1B

p x

p x p p q x

atau

1( ; ) (1 ) ; 0,1

0 1

x xBp x p p p x

p

Page 9: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

3. Distribusi Bernoullibeberapa ukuran statistik deskriptif distribusi

Bernoulli. Mean (Nilai Harapan):

( )x E X p

Varians 2 (1 )x p p pq

Kemencengan (skewness)

21 3

(1 )2 2

(1 )

p p q p

p p p q

Keruncingan (kurtosis)

2 4

1 6 (1 ) 1 63 3

(1 )

p p pq

p p pq

Page 10: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

3. Distribusi BernoulliContoh 2

Di awal tahun ajaran baru, mahasiswa fakultas teknik biasanya membeli rapido untuk keperluan menggambar teknik. Di koperasi tersedia dua jenis rapido, yang tintanya dapat di isi ulang (refill) dan yang tintanya harus diganti bersama dengan cartridgenya. Data yang ada selama ini menunjukkan bahwa 30% mahasiswa membeli rapido yang tintanya dapat diisi ulang. Jika variabel acak X menyatakan mahasiswa yang membeli rapido yang tintanya dapat diisi ulang, maka dapat dibentuk distribusi probabilitas sebagai berikut:

Page 11: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

3. Distribusi Bernoulli

1 jika mahasiswa membeli rapido yang tintanya dapat diisi ulang

0 jika mahasiswa membeli rapido yang harus diganti

(1) ( 1) 0,3

(0) ( 0) 1 0,3 0,7

( 0 atau 1) ( 0 atau 1) 0

Xcartridgenya

p P X

p P X

p x P X

Maka fungsi probabilitasnya adalah fungsi Bernoulli dengan satu parameter p = 0,3. Dinotasikan:

0,3 1

( ;0,3) 0,7 0

0 x 0 atau 1B

x

p x x

atau 1

( ;0,3) 0,3 0,7 ; 0,1x x

Bp x x

Page 12: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

3. Distribusi Binomial

• Distribusi binomial berasal dari percobaan binomial yaitu suatu proses Bernoulli yang diulang sebanyak n kali dan saling bebas. Secara langsung, percobaan binomial memiliki ciri-ciri sebagai berikut:– percobaan tersebut dilakukan berulang-ulang

sebanyak n kali– setiap percobaan menghasilkan keluaran yang

dapat dikatagorikan sebagai gagal dan sukses– probabilitas sukses p tetap konstan dari satu

percobaan ke percobaan lain– percobaan yang berulang adalah saling bebas

Page 13: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

3. Distribusi Binomial

Percobaan Bernoulli dapat menghasilkan suatu sukses dengan probabilitas p dan gagal

dengan probabilitas q = 1 – p. Maka distribusi probabilitas variabel acak binomial X,

jumlah sukses di dalam n percobaan diberikan oleh

nxxnqxpp

npnxb ,,3,2,1,0 ,),;(

dimana !!

!

kkn

n

k

n

. Ada kalanya perhitungan probabilitas distribusi binomial lebih mudah

dilakukan dengan menggunakan distribusi kumulatif. Bila pada n percobaan terdapat

paling tidak sebanyak r sukses, maka distribusi binomial kumulatif rXP dinyatakan

sebagai:

n

rxr;n,pb

pnnbpnrbpnrbrXP

,;,;1,;

Page 14: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

3. Distribusi Binomial

Distribusi binomial memiliki rata-rata, variansi, standar deviasi, keofisien

kemiringan, dan koefisien keruncingan sebagai berikut:

a. mean pn

b. variansi qpn 2

c. standar deviasi npq

d. keofisien kemiringan npq

pq 3

e. koefisien keruncingan npq

pq6134

Page 15: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

3. Distribusi Binomial

Contoh 3

Probabilitas bahwa sejenis komponen tertentu yang akan bertahan terhadap uji-kejut

adalah ¾. Carilah probabilitas dimana 2 dari 4 komponen yang selanjutnya diuji akan

bertahan.

Penyelesaian:

Dengan mengasumsikan bahwa pengujian tersebut bebas dan p=3/4 untuk masing-masing

dari keempat pengujian tersebut, kita dapatkan

2 2 2

4

41 3 1 4! 3 27;3, .

24 4 4 2!2! 4 128b x

Page 16: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

3. Distribusi BinomialContoh 4

Probabilitas bahwa seorang pasien sembuh dari penyakit darah yang langka adalah 0,4.

Bila 15 orang diketahui terkena penyakit ini, berapakah probabilitas (a) paling tidak 10

selamat, (b) dari 3 sampai 8 selamat, dan (c) tepat 5 selamat?

Penyelesaian:

(a) 9

0

10 1 10 1 ;15, 0,4 1 0,9662 0,0338x

P X P X b x

(b) 8

3

3 8 ;15,0,4x

P X b x

8 2

3 0

;15,0,4 ;15,0,4 0,9050 0,0271 0,8779x x

b x b x

(c) 5 4

0 0

5 5;15,0,4 5;15,0,4 5;15,0,4x x

P X b b b

0,4032 0,2173 0,1859

Page 17: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

4. Distribusi Binomial Negatif• Suatu distribusi binomial negatif dibentuk oleh suatu

eksperimen yang memenuhi kondisi-kondisi berikut:– Eksperimen terdiri dari serangkaian percobaan yang

saling bebas– Setiap percobaan (trial) hanya dapat menghasilkan

satu dari dua keluaran yang mungkin, sukses atau gagal

– Probabilitas sukses p, dan demikian pula probabilitas gagal q = 1 - p selalu konstan dalam setiap percobaan (trial)

– Eksperimen terus berlanjut (percobaan terus dilakukan) sampai sejumlah total k sukses diperoleh, dimana k berupa bilangan bulat tertentu

• Jadi pada suatu eksperimen binomial negatif, jumlah suksesnya tertentu sedangkan jumlah percobaannya yang acak.

Page 18: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

4. Distribusi Binomial Negatif

Distribusi Binomial Negatif, bila percobaan bebas berulang dapat

menghasilkan sebuah sukses dengan probabilitas p dan gagal dengan probabilitas q =

1 – p, maka distribusi probabilitas dari variabel acak X, jumlah percobaan dimana

sukses ke-k terjadi diberikan oleh:

,2,1, ,1

1,;

kkkxqpk

xpkxb kxk

Page 19: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

4. Distribusi Binomial Negatifbeberapa ukuran statistik deskriptif distribusi binomial

negatif

Mean (Nilai Harapan):

(1 )( )x

r pE X

p

Varians

22

(1 )x

r p

p

Kemencengan (skewness) 2

21 3

(2 )

(1 )

p

r p

Keruncingan (kurtosis) 2

2 43 (1 ) 6(1 )

(1 )

r p p p

r p

Page 20: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

4. Distribusi Binomial Negatif

Contoh 5

Carilah probabilitas bahwa seseorang yang melemparkan tiga koin akan mendapatkan

kepala semua atau ekor semua untuk kali ke dua pada pelemparan yang ke 5!

Penyelesaian:

Dengan menggunakan sebaran binomial negatif dengan x = 5, k = 2, dan p = 1/4, kita

dapatkan

2 3 3*

5

41 1 3 4! 3 275;2, .

14 4 4 1!3! 4 256b

Page 21: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

5. Distribusi GeometrikJika pada eksperimen binomial negatif, percobaan terus dilakukan sampai

diperolehnya sukses pertama (diperoleh hanya satu sukse, k = 1), maka eksperimen itu disebut eksperimen geometrik.

Jika variabel acak X menyatakan banyaknya x gagal sebelum sebuah sukes tercapai maka dapat dibentuk distribusi probabilitas geometrik dengan menetapkan harga r = 1 pada distribusi probabilitas binomial negatif. Dengan demikian dengan fungsi probabilitas geometrik adalah:

0,1,2,...( ; ) (1 )0 1

x xg

xp x p p p pqp

Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi probabilitas binomial negatif di atas dapat dinyatakan sebagai:

0 0

( ; ) ( ; ) (1 ) 0,1,2,...0 1

x xk

g nbk k

F x p p k p p p xp

Page 22: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

5. Distribusi Geometrikbeberapa ukuran statistik deskriptif untuk distribusi geometrik

Mean (Nilai Harapan):

1( )x

pE X

p

Varians

22

1x

p

p

Kemencengan (skewness) 2

21 3

(2 )

1

p

p

Keruncingan (kurtosis)

2

2 4 9(1 )

p

p

Page 23: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

5. Distribusi Geometrik

Contoh 6

Di dalam suatu proses produksi tertentu diketahui bahwa, secara rata-rata, 1 di dalam

setiap 100 barang adalah cacat. Berapakah probabilitas bahwa barang kelima yang diperiksa

merupakan barang cacat pertama yang ditemukan?

Penyelesaian:

Dengan menggunakan sebaran geometri dengan x = 5 dan p = 0,01, kita peroleh

45;0,01 0,01 0,90 0,0096g

Page 24: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

5. Distribusi Geometrik

Contoh 7

Pada saat ”waktu sibuk” sebuah papan sakelar telepon sangat mendekati kapasitasnya,

sehingga para penelpon mengalami kesulitan melakukan hubungan telepon. Mungkin

menarik untuk mengetahui jumlah upaya yang perlu untuk memperoleh sambungan.

Andaikan bahwa kita mengambil p = 0,05 sebagai probabilitas dari sebuah sambungan

selama waktu sibuk. Kita tertarik untuk mengetahui bahwa 5 kali upaya diperlukan untuk

suatu sambungan yang berhasil.

Penyelesaian:

Dengan menggunakan sebaran geometris dengan x = 5 dan p = 0,05 menghasilkan

45;0,05 0,05 0,95 0,041P X x g

Page 25: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

6. Distribusi Hipergeometrik• Setiap percobaan statistik keluaran yang telah

dihasilkan obyeknya selalu dikembalikan, sehingga probabilitas setiap percobaan peluang seluruh obyek memiliki probabilitas yang sama. Dalam pengujian kualitas suatu produksi, maka obyek yang diuji tidak akan diikutkan lagi dalam pengujian selanjutnya, dapat dikatakan obyek tersebut tidak dikembalikan. Probabilitas kejadian suatu obyek dengan tanpa dikembalikan disebut sebagai distribusi hipergeometik. Percobaan hipergeometrik memiliki sifat-sifat sebagai berikut:– sebuah pengambilan acak dengan ukuran n dipilih tanpa

pengembalian dari N obyek– k dari N obyek dapat diklasifikasikan sebagai sukses dan

N – k diklasifikasikan sebagai gagal.

Page 26: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

6. Distribusi Hipergeometrik

Distribusi probabilitas dari variabel acak hipergeometrik X, jumlah sukses

dalam sebuah pengambilan acak berukuran n yang dipilih dari N obyek

dimana k obyek sebagai sukses dan N – k obyek sebagai gagal diberikan oleh:

n

N

xn

kN

x

k

knNxh ,,;

Page 27: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

6. Distribusi Hipergeometrikbeberapa ukuran statistik deskriptif distribusi hipergeometrik

Mean (Nilai Harapan):

( )xnM

E XN

Varians

2 1

1xnM M N n

N N N

Kemencengan (skewness)

2 2

21 3 2

2 2 1

2

N M N n N

nM N M N n N

Keruncingan (kurtosis)

2

2 4

2 2

1 1 6 1

2 3 2 3

3 1 2 6

2 3

N N N N N N n

nM N n n N M N n n N

N N n Nn n N n

n N n n N

Dimana M = k

Page 28: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

Contoh 8

Sebuah komisi dengan anggota 5 orang akan dipilih secara acak dari 3 ahli kimia dan

5 fisikawan. Carilah sebaran probabilitas untuk jumlah ahli kimia dalam komisi tersebut

Penyelesaian:

Misalkan peubah acak X sebagai jumlah ahli kimia dalam komisi tersebut. Kedua sifat

percobaan hipergeometri tersebut terpenuhi. Sehingga

3 5

0 5 10 0;8,5,3

8 56

5

P X h

3 5

1 4 151 1;8,5,3

8 56

5

P X h

3 5

2 3 302 2;8,5,3

8 56

5

P X h

Page 29: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

6. Distribusi Hipergeometrik

3 5

3 2 103 3;8,5,3

8 56

5

P X h

Dalam bentuk tabel sebaran hipergeometri X adalah sebagai

berikut:

x 0 1 2 3

h(x;8,5,3) 1

56

15

56

30

56

10

56

Sebaran probabilitas tersebut dinyatakan dengan rumus

3 5

5;8,5,3 , 0,1,2,3

8

5

x xh x x

Page 30: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

6. Distribusi Hipergeometrik

Contoh 9

Tumpukan 40 komponen masing-masing dikatakan dapat diterima bila isinya tidak

lebih dari 3 yang cacat. Prosedur penarikan contoh tumpukan tersebut adalah memilih 5

komponen secara acak dan menolak tumpukan tersebut bila ditemukan suatu cacat.

Berapakah probabilitas bahwa tepat 1 cacat ditemukan dalam contoh itu bila ada 3 cacat

dalam keseluruhan tumpukan itu?

Penyelesaian:

Dengan menggunakan sebaran hipergeometri dengan n = 5, N = 4, k = 3 dan x = 1 kita

dapatkan probabilitas perolehan satu cacat menjadi

3 37

1 41;40,5,3 0,3011

40

5

h

Page 31: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

6. Distribusi HipergeometrikContoh 10

Sebuah pabrik ban mobil melaporkan bahwa diantara pengiriman 5000 ban ke sebuah

distributor lokal, 1000 ban sedikit cacat. Bila seseorang membeli 10 ban ini secara acak dari

distributor tersebut, berapakah probabilitas bahwa tepat 3 diantaranya cacat?

Penyelesaian:

Karena N = 5000 relatif besar terhadap ukuran contoh n = 10, kita akan memperkirakan

probabilitas yang diinginkan dengan menggunakan sebaran binomial. Probabilitas

mendapatkan sebuah ban yang cacat adalah 0,2. Oleh sebab itu probabilitas mendapatkan

ban cacat adalah

3;5000,10,1000 3;10,0,2h

3 2

0 0

;10,0,2 ;10,0,2x x

b x b x

0,8791 0,6778 0,2013

Page 32: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

7. Distribusi Poisson• Percobaan-percobaan yang menghasilkan nilai-nilai numerik

suatu variabel acak X, jumlah keluaran yang terjadi selama suatu selang waktu yang diketahui atau di dalam suatu daerah (ruang) yang ditentukan disebut sebagai percobaan Poisson. Sifat-sifat proses Poisson adalah:– jumlah keluaran yang terjadi di dalam satu selang waktu

atau daerah yang ditentukan tidak tergantung dari jumlah yang terjadi di dalam setiap selang waktu atau daerah ruang yang tak berhubungan lainnya. Dapat disimpulkan bahwa proses Poisson tidak memiliki memori

– probabilitas bahwa sebuah keluaran tunggal akan terjadi selama suatu selang waktu yang singkat atau dalam suatu daerah kecil sebanding dengan lama waktu atau ukuran daerah itu dan tidak bergantung pada jumlah keluaran yang terjadi di luar selang waktu atau daerah ini

– probabilitas bahwa lebih dari satu keluaran akan terjadi di dalam suatu selang waktu yang singkat atau jatuh pada suatu daerah yang kecil semacam itu dapat diabaikan

Page 33: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

7. Distribusi Poisson

Distribusi probabilitas variabel acak Poisson X, yang mewakili jumlah keluaran yang

terjadi di dalam suatu selang waktu yang diketahui atau daerah yang ditentukan yang

ditunjukkan oleh t diberikan oleh

,3,2,1,0 ,

!;

xx

tetxp

xt

Dengan t maka persamaan diatas dapat ditulis sebagai

,3,2,1,0 ,

!;

xx

exp

x

Distribusi Poisson adalah pendekatan yang baik untuk distribusi Binomial untuk n yang

besar dan p yang kecil sekali. Pendekatan distribusi Binomial sebagai distribusi Poisson

bila np .

Page 34: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

7. Distribusi Poisson

Besarnya mean, variansi, standar deviasi, koefisien kemiringan, dan koefisien keruncingan dari

distribusi Poisson diberikan oleh:

a. mean np

b. variansi np 2

c. standar deviasi np

d. koefisien kemiringan

113

e. koefisien keruncingan

13

134

Page 35: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

7. Distribusi Poisson

Contoh 11

Contoh yang mudah menggambarkan eksperimen Poison adalah pada peristiwa emisi dari partikel radioaktif yang dideteksi dengan sebuah Geiger counter. Partikel-partikel ini diemisikan dalam waktu yang acak. Namun, jika kita hitung jumlah emisi tersebut untuk waktu yang “lama”, maka laju rata-rata emisi partikel-partikel perdetik dapat dihitung. Jika kemudian kita ingin memperkirakan probabilitas banyaknya x partikel yang terdeteksi dalam selang satu detik, PP(X=x) atau pP(x), fungsi probabilitas Poisson dapat dipakai. Sebagai contoh jika laju rata-rata adalah = 3 partikel perdetik, maka probabilitas banyaknya 5 partikel yang terdeteksi dalam suatu pengukuran adalah:

5 33( ; ) (5;3) 0,1008

5!P Pe

p x p

Page 36: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

7. Distribusi Poisson

Contoh 12

Sepuluh adalah jumlah rata-rata kapal tangki minyak datang setiap hari di sebuah

banda tertentu. Fasilitas pada pelabuhan itu dapat menangani paling banyak 15 kapal tangki

per hari. Berapa probabilitas pada suatu hari yang diketahui tanker-tanker harus berbalik

arah?

Penyelesaian:

Misalkan X sebagai jumlah kapal tangki yang datang setiap hari. Kemudian, dengan

menggunakan tabel A.2, kita dapatkan

15

0

15 1 15 1 ;10 1 0,9513x

P X P X p x

0,0487

Page 37: probabilitas distribusi diskrit

Bab 5. Probabilitas Diskrit

7. Distribusi PoissonContoh 13

Di dalam proses produksi dimana produk kaca dihasilkan, terjadi cacat atau

gelembung, yang kadang-kadang menyebabkan produk yang tidak diinginkan untuk

pemasaran. Diketahui bahwa, rata-rata, 1 dalam setiap 1000 barang yang dihasilkan ini

mempunyai satu gelembung atau lebih. Berapakah probabilitas sebuah contoh acak yang

berisi 8000 akan membuahkan kurang dari 7 barang mempunyai gelembung?

Penyelesaian:

Ini adalah sebuah percobaan binomial dengan n = 8000 dan p = 0,001. Karena p sangat

mendekati nol dan n sangat besar, kita akan memperkirakannya dengan sebaran Poisson

dengan menggunakan

8000 0,001 8

Sehingga, bila X mewakili jumlah gelembung, kita dapatkan

6 6

0 0

7 ;8000,0,001 ;8 0,3134x x

P X b x p x