probabilitas lanjutan

KONSEP PROBABILITAS

Minggu ke-9

Apa Yang Akan Kita Bahas ?

PROBABILITAS DAN TEORI KEPUTUSAN

Konsep-konsep Dasar Probabilitas

Distribusi Probabilitas Diskrit

Distribusi Normal

Teori Keputusan

Pengertian Probabilitas dan Manfaat Probabilitas

Pendekatan Terhadap Probabilitas

Hukum Dasar Probabilitas

Teorema Bayes

Menggunakan R untuk Probabilitas

Review : Konsep Penting

PERCOBAAN : (1) Proses yang menghasilkan data mentah.(2) Pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses

yang memungkinkan timbulnya paling sedikit dua peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.

2 Sifat : (1) Setiap jenis percobaan mempunyai beberapa kemungkinan hasil atau peristiwa (event) yang akan terjadi (possible outcomes).

(2) Hasil setiap percobaan secara pasti sulit ditentukan.

Ruang Sample :

Ruang Contoh = sample space adalah Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan (total possible outcomes) yang dilambangkan dengan S

Titik Sample :

Titik Contoh (sample point) adalah elemen-elemen (anggota-anggota atau unsur-unsur) dari ruang sample

Hasil (Outcome)

Suatu hasil dari sebuah percobaan



Kejadian :

Peristiwa = event, merupakan himpunan bagian dari ruang sample atau bagian dari hasil percobaan yang diinginkan.

Jenis Kejadian :

Kejadian sederhana = elementer adalah kejadian yang hanya mempunyai satu titik sample.

Kejadian Majemuk adalah kejadian mempunyai titik sample lebih dari satu.


Kata probabilitas== peluang == kemungkinan

Probabilitas merupakan peluang bahwa sesuatu akan terjadi,. atauSuatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak (random).

Probabilitas biasanya dinyatakan dengan bilangan desimal atau bilangan pecahan.Nilai probabilitas berkisar antara 0 dan 1. Semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 0 maka semakin kecil kemungkinan suatu kejadian akan terjadi dan sebaliknya.

Sebuah eksperiment dilakukan dengan menanyakan kepada 125 mahasiswa Informatika angkatan 49 apakah mereka mengambil mata kuliah Probabilitas dan statistika atau mata kuliah Matematika Diskrit.Kemungkinan Hasil 1 : diperoleh 58 mahasiswa mengambil Probabilitas dan Statistika dan sisanya tidak mengambil mata kuliah apapun.Kemungkinan Hasil 2 : diperoleh 75 mahasiswa mengambil mata kuliah matematika diskrit dan sisasnya mengambil mata kuliah Probabilitas dan Statistika.

EKSPERIMENT

OUTCOMES

EVENTS

Contoh: Pelemparan (toss) suatu dadu

Sample Space : S ={1,2,3,4,5,6}

Event: A = {muncul angka genap}, B = {muncul angka ganjil}, D= {muncul angka 2}

HUKUM PROBABILITAS PENJUMLAHAN

Review : Hukum Probabilitas

HUKUM PROBABILITASHUKUM PROBABILITAS

PENJUMLAHANPENJUMLAHAN

PERKALIANPERKALIAN

MUTUALLY EXCLUSIVEMUTUALLY EXCLUSIVE

NON EXCLUSIVENON EXCLUSIVE

BERSYARATBERSYARAT

TAK BERSYARATTAK BERSYARAT

Review : Hukum Probabilitas :Aturan Penjumlahan

2 kejadian atau lebih disebut saling meniadakan == mutually exclusive ==disjoint jika kejadian-kejadian tersebut tidak dapat terjadi bersamaan.Satu kejadian tertentu akan menghalangi atau meniadakan satu atau lebih kejadian yang lain.

2 kejadian atau lebih disebut tidak saling meniadakan == non mutually exclusive jika kejadian-kejadian tersebut dapat terjadi bersamaan.

Aturan penjumlahan digunakan apabila kita ingin menentukan probabilitas satu peristiwa atau peristiwa lain (atau keduanya) yang terjadi pada satu percobaan.


S

A BA ∩ B

S

A B

DIAGRAM MUTUALLY EXCLUSIVE

“DISJOINT”

DIAGRAM NON EXCLUSIVE“JOINT”


Bila A dan B dua kejadian sembarang, maka :

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

P(A1 ∪ A2∪ A3. . . . ∪ An) = P(A

1) + P(A2) + P(A3) + P(An)

2 kejadian atau lebih disebut saling meniadakan == mutually exclusive ==disjoint menyatakan bahwa probabilitas kejadian A atau B sama dengan penjumlahan dari masing-masing nilai probabilitasnya.


Bila A dan B dua kejadian sembarang, maka :

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

2 kejadian atau lebih disebut tidak saling meniadakan == non mutually exclusive ==disjoint menyatakan kejadian dapat terjadi secara bersama-sama (non exclusive) == interseksi dari A dan B”

P(A ∪ B) atau P(A atau B) dapat dinyatakan dalam bentuk kalimat “peluang bahwa A mungkin terjadi dan B mungkin terjadi” yang artinya “kemungkinan bahwa A dan B terjadi”


● Addition Rule = utk dua events A dan B yg terpisah/ disjoint (no common outcomes)

P (A or B) = P(A) + P (B)

Contoh: Lempar suatu dadu: S = {1,2,3,4,5,6};mis A = {2}, B = {1,3,5}; P(A or B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/2 = 2/3

● Peluang seorang mahasiswa lulus ProbStat adalah 2/3 dan peluang lulus Bahasa Inggris 4/9. Bila peluang lulus kedua matakuliah tersebut adalah 1/4. Berapakah peluang lulus paling sedikit satu mata kuliah ?

Jawab :Bila peluang lulus ProbStat dinyatkan dengan M dan peluang lulus Bahasa Inggris dinyatakan dengan N, maka peluang lulus paling tidak satu matakuliah tersebut yang berarti peluang lulus M atau N adalah :P(M ∪ N) + 2/3 + 4/9 – 1/4


(1) Berapakah peluang mendapatkan jumlah 7 atau 11 jika dua dadu dilantunkan ?Jawab : 2/9

(2) Bila peluang seorang yang membeli motor akan memilih warna hijau, putih, merah atau biru masing-masing 0.09; 0.15; 0.21; 0.23. Berapakah peluang seorang pembeli tertentu akan membeli motor baru seperti salah satu dari warna tersebut ?Jawab :0.68

(3) Peluang seorang montir mobil memperbaiki 3,4,5,6,7,dan 8 lebih mobil pada setiap hari kerja masing masing 0.12; 0.19; 0.28; 0.24; 0.10; dan 0.07. Berapakah peluang bahwa dia akan memperbaiki paling sedikit 5 mobil pada hari kerja ?Jawab :0.69


(4) Peluang bahwa stasiun TV akan menerima 1, 2,3,...,9 atau paling sedikit 9 pengaduan sesudah menyiarkan suatu program sinetron berturut-turut adalah : 0.01, 0.03, 0.07, 0.15, 0.19, 0.18, 0.14, 0.12, 0.09, dan 0.02. Hitunglah probabilitasnya bahawa sesudah menyiarkan sinetron tersebut stasiun TV akan menerima :a. Kurang dari 4 pengaduan. (jwb : 0.11)b. Paling sedikit 6 pengaduan. (jwb : 0.55)c. 5 sampai dengan 8 pengaduan. (jwb : 0.63)

(5) Dari 100 siswa yang diwisuda, 54 belajar matematika, 69 belajar Sejarah, 35 belajar Matematika dan Sejarah. Jika seorang siswa dipilih secara acak hitunglah peluang :a. Dia belajar Matematika atau Sejarah (jwb : 0.88 )b.Tidak belajar keduanya (jwb : 0.12 )c. Belajar bahasa Sejarah tetapi tidak Matematika (jwb : 0.34 )

HUKUM PROBABILITAS PERKALIAN

Dalam konsep probabilitas, aturan perkalian diterapkan secara berbeda menurut jenis kejadiannya. Adau dua jenis kejadian dalam hal ini, yaitu kejadian bebas (independent == tak bersyarat) dan kejadian tak bebas (dependent == bersyarat).

P(A ∩ B) = P(A) . P(B) P(A ∩ B) = P(A) . P(B|A)

Probabilitas terjadinya kejadian A dengan syarat bahwa B sudah terjadi disebut probabilitas bersyarat atau sebaliknya peristiwa B dengan syarat peristiwa B telah terjadi.

Kejadian Tak Bebas = Bersyarat = Dependent

P(A | B) atau P(B | A)

P(A∣B) =P(A∩B)

P(B)

P(B∣A) =P(A∩B)

P(A)


(1) Peluang penerbangan yang telah terjadwal teratur berangkat tepat waktu P(B) = 0.83; peluang sampai tepat waktu P(S) = 0.82 dan peluang berangkat dan sampai tepat waktu P(B ∩ S) = 0.78.

a. Berapa probabilitas bahwa pesawat “a” sampai tepat waktu bila diketahui berangkat tepat waktu.b. Berapa probabilitas bahwa pesawat b berangkat tepat waktu jika diketahui sampai tepat waktu.

P(S∣B) =P(B∩S)

P(B)

P(B∣S) =P(B∩S)

P(S)


(2) Sebuah mesin bola karet berisi 50 bola hijau, 150 bolaputih, 100 bola merah dan 100 bola kuning. Bila kita memasukkan koin maka mesin tersebut akan mengeluarkan sebuah bola karet. 3 anak bermain pada mesin tersebut :a. Berapa probabilitas anak yang ke dua akan memperoleh bola merah, bila anak pertama memasukkan koin dan mendapatkan bola merah.b. Misalkan anak yang kedua mendapatkan bola merah dan anak yang ketiga tidak menghendaki mendapatkan bola merah. barapakah probabilitasnya anak yang ketiga mendapatkan bola yang bukan merah ?


Jawab :Jumlah keseluruhan bola = 400Probabilitas anak pertama mendapatkan bola merah P(M1) = 100/400 = 1/4

Bola merah tinggal (100 -1) = 99 dan jumlah seluruh bola (400-1) = 399. Jadi probabilitas anak kedua mendapatkan bola merah juga adalah :P(M2) = 99/399 = 0.248

Jawab :Jumlah bola bukan merah = 300 buahJumlah seluruh bola tinggal 398 = (400 -2). jadi probabilitas anak ketiga mendapatkan bola bukan merah adalah :

P(M3) = 300 / 398 = 0.754


Hasil TesStatus

TotalBekerja, B Tdk bekerja, TB

Pria, P 460 40 500

Wanita, W 140 260 400

Total 600 300 900

a) Berapakah probabilitasnya bahwa dari kelompok pria akan didaptkan orang yang tidak bekerja ?

b) Berapakah probabilitasnya bahwa dari kelompok wanita akan didapatkan orang yang bekerja ?

c) Berapakah probabilitasnya bahwa dari kelompok yang bekerja didapatkan wanita ?

d) Berapakah probabilitasnya bahwa dari keompok yang tidak bekerja didapatkan pria ?


Hasil TesStatus

TotalBekerja, B Tdk bekerja, TB

Pria, P 460 40 500

Wanita, W 140 260 400

Total 600 300 900

P(TB∣P) =P(P∩TB)

P(P)

P(B∣W) =P(W∩B)

P(B)

P(W∣B) =P(B∩W )

P(B)

P(P∣TB) =P(TB∩P)

P(TB)

Kejadian Bebas

P(A∣B) = P(A)

Artinya adalah kejadian B sama sekali tidak mempengaruhi terjadinya A. Dalam hal ini A bebas dari terjadinya B.

Dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika :

P(A∣B) = P(A)

P(B∣A) = P(B)

dan

Kejadian Bebas

Hukum perkalian untuk kejadian bebas A dan B adalah :

P(A dan B) = P(A) . P(B)

P(B∣A) =P(A∩B)

P(A)= P(A∩B) = P(B∣A).P(A)

yang memungkinkan kita menghitung peluang dua kejadian akan terjadi secara serentak. Artinya peluang A dan B terjadi secara serentak sama dengan peluang terjadinya A dikalikan dengan peluang terjadinya B jika A terjadi.

Karena A ∩ B adalah ekivalen dengan B ∩ A, maka :P(A ∩ B) = P(B ∩ A) = P(B) . P(A|B)

Kejadian Bebas

Kita mempunyai kotak yang berisi 20 sekering, lima diantaranya cacat. Bila dua sekering dikelurkan dari kotak satu per satu secara acak (tanpa mengembalikan yang pertama ke dalam kotak), berapakah peluang bahwa kedua sekering yang terambil cacat ?

Jawab :Kejadian sekering yang pertama cacat dinyatakan dengan A dan B kejadian pengambilan yang kedua cacat. Kemudian kita tafsirkan bahwa A ∩ B adalah kejadian A terjadi dan B terjadi setelah A.Peluang mengeluarkan sekering pertama cacat = 5/20 = 1/4Peluang mengelurkan sekering kedua cacat = 4/19.Jadi P(A ∩ B ) = 1/4 . 4/19

Kejadian Bebas

Suatu kantong pertama berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam dan kantong kedua berisi 3 bola merah dan 5 bola hitam. Satu bola diambil dari kantong pertama dan tanpa melihat dimasukkan ke dalam kantong kedua.Sekarang berapa probabilitasnya pengambilan bola di kantong kedua berwarna hitam ?

Kantong 14M, 3H

Kantong 23M, 6H

Kantong 24M, 5H

H = 3/7

M = 4/7

H = 6/9

M = 3/9

M = 4/9

H = 5/9

(H1 ∩ H2) = (3/7) . (6/9)

(H1 ∩ M2)

(M1 ∩ M2)

(M1 ∩ H2) = (4/7). (5/9)

Kejadian Bebas

P[(H1 ∩ H2) atau (M1∩ H2)] = P(H1 ∩ H2) + P(M1∩ H2)]

= P(H1) . P(H1|H2) + P(M1) . P(H2|M1)

=(3/7) . (6/9) + (4/7) . (5/9)

Kejadian Bebas

Kota Bogor mempunyai satu unit mobil pemadam kebakaran dan satu unit mobil ambulans untuk keadaan darurat. Peluang mobil pemadam kebakaran siap jika sewaktu-waktu dibutuhkan adalah 0.98 dan peluang ambulans siap dipanggil 0.92.Terdapat kasus kecelakan karena terjadi kebakaran gedung, hitung peluang keduanya siap.

Terdapat satu set komponen yang terdiri atas 10 IC yang mana 8 diantaranya berjenis “X” dan dua lainnya berjenis “Y”. Seandainya 2 dari 10 IC tersebut diambil 2 IC secara berurutan tanpa pengembalian, maka berapa probabilitas bahwa kedua IC yang diambil tersebut berjenis sama, yaitu X1 dan X2.

probabilitas lanjutan

Documents