review probabilitas
DESCRIPTION
Review probabilitas. Tutun Juhana [email protected]. Sample space, sample points, events. Sample space, , adalah sekumpulan semua sample points , , yang mungkin; dimana Contoh 1. Melemparkan satu buah koin: ={Gambar,Angka} - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Review probabilitas
Tutun [email protected]
2
Sample space, sample points, events
Sample space,, adalah sekumpulan semua sample points, yang mungkin; dimana
Contoh 1. Melemparkan satu buah koin:={Gambar,Angka} Contoh 2. Menggelindingkan dadu: ={1,2,3,4,5,6} Contoh 3. Jumlah pelanggan dalam antrian: ={0,1,2,…} Contoh 4. Waktu pendudukan panggilan (call holding time):
={xx>0} Events A,B,C,… adalah himpunan bagian (yang dapat diukur)
dari sample space Contoh 1. Angka genap pada sebuah dadu:A={2,4,6} Contoh 2. Tidak ada pelanggan yang mengantri : A={0} Contoh 3. Call holding time lebih dari 3 menit. A={xx>3}
Event yang pasti : sample space Event yang tidak mungkin : himpunan kosong ()
3
Kombinasi event Union (gabungan) :“A atau B” : AB={A
atau B} Irisan: “A dan B” : AB={A dan B} Komplemen : “bukan A”:Ac={A} Event A dan B disebut tidak beririsan (disjoint) bila :
AB= Sekumpulan event {B1,B2,…} merupakan partisi
dari event A jika (i) Bi Bj= untuk semua ij (ii) iBi =A
4
Probabilitas (peluang) Probabilitas suatu event dinyatakan oleh P(A) P(A)[0,1] Sifat-sifat peluang
5
Conditional Probability (Peluang bersyarat)
Asumsikan bahwa P(B)>0 Definisi : Conditional probability dari
suatu event A bila diketahui event B terjadi didefinisikan sebagai berikut
Dengan demikian
6
Teorema Probabilitas Total Bila {Bi} merupakan partisi dari sample
space Lalu {ABi} merupakan partisi dari
event A, maka berdasarkan sifat probabilitas yang ketujuh pada slide nomor 4
Kemudian asumsikan bahwa P(Bi)>0 untuk semua i. Maka berdasarkan uraian pada slide nomor 5 dapat didefinisikan teorema probabilitas total sbb
7
Teorema Bayes Bila {Bi} merupakan partisi dari sample space Asumsikan bahwa P(A)>0 dan P(Bi)>0 untuk semua i.
Maka berdasarkan uraian pada slide nomor 5
Kemudian, berdasarkan teorema probabilitas total, kita peroleh
Ini merupakan teorema Bayes Peluang P(Bi) disebut peluang a priori dari event Bi
Peluang P(BiA) disebut peluang a posteriori dari event Bi (bila diketahui event A terjadi)
8
Kesalingbebasan statistik dari event (Statistical independence of event)
Definisi : Event A dan B saling bebas (independent) jika
Dengan demikian
Demikian pula
9
Peubah acak (random variables)
Definisi : Peubah acak X (yang merupakan bilangan riil [real-valued]) adalah fungsi bernilai riil dan dapat diukur yang didefinisikan pada sample space ;X: Setiap titik sample (sample points)
dihubungkan dengan sebuah bilangan riil X()
10
Sebuah koin dilempar tiga kali; setiap lemparan akan menghasilkan head (H) atau tail (T)
Sample space:
Misalnya peubah acak X merupakan jumlah total tail (T) dalam ketiga eksperimen pelemparan koin tersebut, maka :
Contoh
11
Probability Distribution Function (PDF)
Definisi : PDF dari suatu peubah acak X adalah fungsi FX: [0,1] yang didefinisikan sebagai berikut
PDF menentukan distribusi dari peubah acak Sifat
12
Kesalingbebasan statistik dari peubah acak (Statistical independence of random variables)
Definisi : Peubah acak X dan Y saling bebas jika untuk semua x dan y
Definisi : Peubah acak X1, …,Xn saling bebas jika untuk semua i dan xi
13
Peubah acak diskrit Definisi : himpunan A disebut diskrit bila
Terbatas : A={x1,…,xn}, atau Tak terbatas : A={x1,x2,…}
Definisi : peubah acak X disebut diskrit bila terdapat sebuah himpunan diskrit Sx sedemikian hingga
Maka P{X=x} 0 untuk semua x Sx
P{X=x} = 0 untuk semua x Sx
Himpunan Sx disebut himpunan nilai (value set)
14
Misalkan X adalah peubah acak diskrit Distribusi X ditentukan oleh peluang titik pi
Definisi : probability mass function (pmf) dari X adalah merupakan fungsi pX: [0,1] yang didefinisikan sbb
Pada kasus ini, PDF merupakan fungsi step
Peluang titik (point probabilities)
15
Contoh
16
Kesalingbebasan peubah acak Peubah acak diskrit X dan Y
dikatakan saling bebas jika dan hanya jika untuk semua xiSX dan yjSy
17
Ekspektasi (harapan,rataan)
Definisi : Harga ekspektasi (rata-rata/mean value) dari X dinyatakan oleh
Sifat-sifat
18
Variance Definisi : Variance dari X didefinisikan
sbb
Rumus yang bermanfaat
Sifat-sifat
19
Covariance Definisi : Covariance antara X dan Y
didefinisikan sbb
Rumus yang bermanfaat
Sifat-sifat
20
Parameter lain yang berhubungan dengan distribusi
Deviasi standard dari X
Momen ke-k dari X
21
Distribusi Bernoulli
Menyatakan suatu eksperimen acak dengan dua keluaran yang mungkin
Sukses (1) Gagal (0)
Nilai 1 berpeluang p (nilai 0 berpeluang (1-p))
22
Distribusi binomial
Menyatakan jumlah sukses dalam sejumlah eksperimen acak yang saling bebas (masing-masing eksperimen bersifat Bernoulli);
n = jumlah total eksperimen p = peluang sukses dalam suatu eksperimen
23
Distribusi geometrik
Menyatakan jumlah sukses yang terjadi sampai didapatkan kegagalan yang pertama dari sejumlah eksperimen acak yang saling bebas (masing-masing eksperimen bersifat Bernoulli)
p = peluang sukses dalam suatu eksperimen
24
Distribusi PoissonLimit dari distribusi binomial dimana n dan p 0, sedemikian hingga np a
25
Contoh Asumsikan
200 pelanggan terhubung ke sentral lokal Trafik setiap pelanggan adalah 0.01 Pelanggan saling bebas
Maka jumlah panggilan yang aktif X ~ Bin(200,0.01)
Pendekatan Poisson X Poisson(2,0) Peluang titik
26
Peubah acak kontinu Definisi : peubah acak X kontinu jika terdapat fungsi yang
dapat diintegralkan fX:+, sedemikian hingga untuk semua x
Fungsi fX disebut probability density function (pdf) Himpunan SX, dimana fX>0 disebut value set
Sifat-sifat
27
Contoh
28
Ekspektasi dan parameter lain
Ekspektasi (nilai rata-rata/mean value) dari X didefinisikan sbb
Note 2: Jika , maka Sifat sama dengan distribusi diskrit
Parameter distrubusi lainnya didefinisikan dan memiliki sifat yang sama seperti pada distribusi diskrit
29
Distribusi Uniform (X~U(a,b), a<b)
30
Distribusi Eksponensial (X~Exp(), >0)
Versi kontinu dari distribusi geometrik (peluang gagal dt)