1

TRANSFORMASI LINEAR

Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear

Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, M.Pd

Disusun oleh :

Kelompok 7/ Kelas III A2

Endar Alviyunita 13144100094

Ahmat Sehari ---------------

Kunikatus Sangadah 151441000--

Nur Lailatus Shofiah 15144100060

PROGAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA

2016

2

TRANSFORMASI LINIER

A. Transformasi Linier dari nR ke

mR

Jika pada suatu fungsi f dengan nR sebagai domain dan

mR sebagai

kodomain ( m dan n mungkin sama) sehingga dapat dinyatakan bahwa

fungsi f memetakan nR ke

mR dengan notasi : n mf R R

Jika kita menotasikan suatu transformasi dengan T , maka

: n mT R R yang didefinisikan oleh persamaan-persamaan berikut:

1 11 1 12 2 1 ... n nw a x a x a x

2 21 1 22 2 2 ... n nw a x a x a x

.

.

1 1 2 2 ... m m m mn nw a x a x a x

Dalam notasi matriks

11 12 11 1

2 21 22 2 2

1 2

n

n

m nm m mn

a a aw x

w a a a x

w xa a a

Atau w Ax

B. Pengertian Transformasi Linier Secara Umum

Setelah mengetahui transformasi linier dari nR ke

mR , kita telah

menunjukkan bahwa sebuah transformasi : n mT R R adalah linier jika dan

hanya jika kedua hubungan T u v T u T v dan

T ku kT u

Berlaku untuk semua vektor u dan v pada nR dan setiap skalar k

Bentuk tersebut dapat juga didefinisikan :

Jika : T V W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor v kedalam

ruang vektor w maka T dinamakan transformasi linier jika:

3

(i) T u v T u T v untuk semua vektor u dan v di V

(ii) T ku kT u untuk semua vektor u didalam V dan semua

skalar k

f

Diagram Venn

C. Contoh-contoh Transformasi Linier

1. Pemetaan Nol

Pemetaan Nol adalah fungsi yang memetakan setiap vektor di V

ke vektor nol. Misalkan : T V W dengan 0T x adalah

pemetaan yang menghubungkan vektor nol 0 W ke setiap vektor v V

. Untuk sebarang vektor ,u v V maka

0T u v

0 0T u v

   T u v T u T v

0T ku

Oleh karena itu, T transformasi linier .0T ku k

T ku kT u

2. Pemetaan Identitas

u

u

u+v

ku

k

T(u)

T(v)

T(u+v)

T(ku)

k

4

Pemetaan identitas adalah fungsi yang memetakan v ke dirinya

sendiri .

Pemetaan : T V V yang didefinisakan oleh T v V , biasanya

dinotasikan oleh I.

Perhatikan pemetaan identitas : I V V , dengan , ,T x y x y yang

memetakan tiap v V ke dirinya sendiri. Maka untuk sebarang ,u v V

vektor kita mempunyai

I u v u v I u I v

Ambil u V dan k skalar, maka

I ku ku

I ku kI u

Jadi, I transformasi linier.

3. Pemetaan Konstan

Pemetaan konstan adalah suatu fungsi yang menghasilkan suatu

konstanta (tetapan). Pemetaan : T V W yang didefinisikan oleh

= T u c . Dengan u V dan c adalah suatu konstanta. Karena suatu

konstanta tidak bisa menjadi suatu vektor, maka pemetaan konstan bukan

merupakan suatu transformasi linier.

Bukti:

Misalkan 2 : T R C adalah fungsi yang didefinisikan oleh

,T v x y dengan ,v x y di 2R dan C R . Tunjukkan apakah T

merupakan suatu transformasi linier!

Misalkan 1 1, u x y dan 2 2, v x y

1 1 2 2    , , T u v T x y x y

1 2 1 2 , T x x y y

1 2 1 2,x x y y

5

1 1 2 2, , x y x y

T u T v

c

Karena syarat pertama tidak terpenuhi, maka T bukan merupakan suatu

transformasi linear.

4. Pemetaan dari 2R ke

2R

Misalkan 2 2: T R R adalah fungsi yang didefinisikan oleh

2 ,T v x y dengan ,v x y di 2R ,Buktikan bahwa T merupakan

transformasi linear!

Bukti :

2 2: T R R

2 ,T v x y

1 1 2 2

1 1 2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 1

, ,

( ) , ,

                ,

                 2 ,

                 2 2 ,

                2 2 ,

               2

(

( )

( )

, 2

Misalkan u x y dan v x y

i T u v T x y x y

T x x y y

x x y y

x x y y

x x y y

x y

2 2,

              

x y

T u T v

5. Pemetaan dari 3R ke R

1, 1

                        1 1

                        1 1

                       

( )     

2 ,

2 ,

ii T ku T kx ky

k x k y

k x y

k T u

6

Periksa linearitas transformasi, 3: T R R dengan

, , !T x y z x y z

Penyelesaian :

3: T R R

, , T x y z x y z !

Misalkan 1 1 1 u x y z , 2 2 2 v x y z

1 1 1 2 2 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 1 1 2 2 2

( )  

, ,

, ,

() ) (

i T u v T x y z x y z

T x x y y z z

x x y y z z

x y z x y z

T u T v

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

( )  

                (

                

               

               

               

, ,

,

 

, )

ii T ku T kx ky kz

T kx ky kz

kx ky kz

k x y z

kT x y z

k T u

Dengan demikian, T transformasi linear

6. Pemetaan dari R ke 2R

Periksa linearitas transformasi, 2:T R R dengan

. !T x y x y

Misalkan 8x y maka,

8x y 1,7

2,6

7

(...,...)

Karena fungsi di atas mempunyai banyak pemetaan, sehingga T bukan

merrupakan suatu transformasi linear.

Contoh:

1. Apakah fungsi , 2 3T x y x y merupakan transformasi

linear?

Penyelesaian :

2:  T R R

  , 2 3 )(x y x y

Misalkan 1, 1u x y dan 2 2,v x y

1, 1 2 2( ) ,i T u v T x y x y

1 2 1 2  ,T x x y y

1 2 1 22 3 x x y y

1 2 1 22 3 3x x y y

1 1 2 22 3 3x y x y

1 1 2 22 3 3T x y T x y

2 23T u T x y

2 23T x y T v

1 1( ) 2 3ii T ku T k kx ky

1 12 3kT x ky

( )kT u

Karena pada pembuktian pertama tidak terbukti, maka T bukan

merupakan transformasi linear.

Contoh penyangkal

Misalkan : 2,3 , 5u k maka,

8

2, 3T ku T K K

5.2 , 5,3T

10,15T

2 3.10 15 17

Sedangkan untuk 5Kt u T u

5kT u T u

5 2,3T

5 2 3.2 3

5 5 25

( )T ku kT u

17 25

Jadi fungsi yang diberikan diatas bukan transformasi linear

D. Sifat-sifat Transformasi Linear

Jika :T V W adalah sebuah transformasi linear, maka 1v dan 2v

sebarang pada V dan skalar 1c dan 2c sebarang, kita memperoleh

Dan secara lebih umum, jika 1 2 ,, ,......, nv v v adalah vektor-vektor pada V dan

1 2, ,........., nc c c adalah skalar maka

1 1 2 2 1 1 2 2( ... ) ( ) ( ) ... ( )n n n nT c v c v c v c T v c T v c T v ... (1)

Rumus (1) terkadang diuraikan dengan sebutan transformasi linear yang

mempertahankan kombinasi linear. Teorema berikut ini mencantumkan tiga

sifat dasar yang umum untuk semua transformasi linear.

Teorema 8.1.1

Jika :T V W adalah sebuah transformasi linear, maka :

9

(a) (0) 0T

(b) ( ) ( )T v T v untuk semua v pada V

(c) ( ) ( ) ( )T v w T v T w untuk semua v dan w pada V

Bukti : Misalkan v adalah vektor sebarang pada .V Karena 0 0v , kita

memperoleh :

(a) (0) (0 ) 0 ( ) 0T T v T v

(b) ( ) (( 1) ) ( 1) ( ) ( )T v T v T v T v

Akhirnya, ( 1) ;v w v w sehingga,

(c) ( ) ( ( 1) )T v w T v w

( ) ( 1) ( )T v T w

( ) ( )T v T w

Dengan kata lain, bagian (a) dari teorema di atas menyatakan bahwa

sebuah transformasi linear memetakan 0 ke 0. Sifat ini sangat bermanfaat

untuk mengidentifikasi transformasi-transformasi yang tidak linear. Sebagai

contoh , jika 0x adalah sebuah vektor tak nol tetap pada 2R , maka

transformasi 0( )T x x x .

Memiliki efek geometrik untuk mentranslasikan setiap titik pada x ke

arah yang sejajar dengan 0x sejauh 0x (Gambar 8.14). Hal ini bukan

merupakan sebuah transformasi linear karena 0(0)T x , sehingga T tidak

memetakan 0 ke 0 .

E. Karnel dan Jangkauan

1. Kernel dari transformasi.

Misal :T V W merupakan transformasi linear, maka kernel (Inti/Ruang

10

nol) dari T adalah himpunan vektor di V yang dipetakan ke vektor o W

oleh T. Kernel dari transformasi T dinotasikan dengan

) ) ,( (K T ver oT v oV W │ .

Untuk memperjelas pengertian dari kernel suatu transformasi, perhatikan

transformasi T yang diberikan oleh gambar 1 berikut:

Gambar 1

Dari gambar 1 nampak bahwa kernel dari trasformasi T diberikan

1( ) ,Ker T o v sebab kedua vector o dan 1v dipetakan terhadap vektor

nol.

F. Jangkauan dari transformasi

Misal :T V W merupakan transformasi linear, maka Jangkauan/Range

dari T yaitu himpunan vektor di W yang merupakan bayangan atau peta

dari paling sedikit satu vektor di V. Jangkauan dari T dinotasikan dengan

( ), Im(T) (  ) ( ) ,R T R T w W T v w v V │

Contoh karnel dan jangkuan

a. :T R R adalah transformasi linear yang dirumuskan oleh

2T x x untuk setiap .x R

Apakah vektor berikut terletak dalam ker( )T dan ( )R T

1) (0)

Penyelesaian :

(0) ( 2.0) (0)T

11

Jadi (0) terletak dalam ker( )T

Dari vektor tersebut diperoleh SPL :

(x) 2 0T x

Dari SPL tersebut diperoleh 0x , sehingga (0)T terletak dalam

( )R T

2) (1)

Penyelesaian:

(1) ( 2.1) ( 2)T

Jadi (1) tidak terletak dalam ker( )T

Dari vektor tersebut diperoleh SPL:

( ) 2 1T x x

Dari SPL tersebut diperoleh 1

2x

sehingga (1)T terletak dalam

( )R T .

b. 2 2:T R R adalah transformasi linear yang dirumuskan oleh

), (2 2 ,T x y x y x y untuk setiap ( )x R .

Apakah vektor ( 1,1) terletak dalam ker T dan R T

Penyelesaian :

1,1 2 2, 1 1 0,0T

Jadi ( 1,1) terletak dalam ker T

Dari vektor tersebut diperoleh SPL :

2 2 1

   1

x y

x y

11 12 1

21 22 2

2; 2; 1

1; 1; 1

a a b

a a b

21 22

11 12

1

2

a a

a a dan 2 21 22 2

1 11 12 1

1b a a b

b a a b

Jadi, 1,1T tidak terletak dalam R T

c. 3 3:T R R adalah transformasi linear yang dirumuskan oleh

12

( , , ) (2 2 , 2 2 , )T x y z x y z x y z x y untuk setiap ( )x R

Apakah vektor (2,2,1) terletak pada ker (T) dan R(T)

Penyelesaian :

(2,2,1) (4 2 2,2 4 2,2 2) (0, 4,0)T

Jadi, vektor (2,2,1) tidak terletak pada ker (T).

Dari vektor tersebut diperoleh SPL :

2 2 2

2 2 2

1

x y z

x y z

x y

Dari SPL tersebut dengan menggunakan metode Cramer diperoleh

12

1,

2x y ,dan 1

4z

Ini berarti (2,2,1)T terletak dalam R(T)

Teorema 2

Jika :T V W adalah sebuah transformasi linear, maka :

(a) Kernel dari T adalah subruang dari V

(b) Jangkauan dari T adalah subruang dari W

Bukti :

(a) Berdasarkan teorema 1, vektor 0 berada didalam ker (T), sehingga

himpunan ini mengandung setidaknya satu vektor misalkan 1v dan

2v

adalah vektor-vektor didalam ker(T), dan misalkan k adalah skalar

sebarang, maka:

1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0 0 0T v v T v T v

Sehingga 1 2v v terletak pada ker (T), dan

1 1( ) ( ) 0 0T kv kT v k

Sehingga 1kv terletak pada ker(T)

(b) Karena T(0)=0 , terdapat setidaknya satu vektor pada R(T). Misalkan 1w

dan2w adalah vektor-vektor di dalam jangkauan dari T, dan k adalahskalar

sebarang. Untuk membuktikan hal tersebut, harus ditunjukkan bahwa

13

1 2w w dan 1kw terletak didalam jangkauan dari T. Dengan menemukan

vektor a dan vektor b pada V sedemikian rupa sehingga 1 2( )T a w w dan

1( )T b kw karena 1w dan

2w berada didalam jangkauan dari T, terhadap

vektor-vektor a1dan a

2 dan V sedemikian rupa sehingga

1 1( )T a w dan

2 2( )T a w

Jika 1 2a a a dan 1b ka maka:

1 2 1 2 1 2

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

T a a a T a T a w w

T b T ka kT a kw

Definisi 2

Jika :T V W adalah sebuah transformasi linear, maka dimensi range dari T

disebut sebagai rank dari T (rank of T) dan dinotasikan dengan rank (T);

dimensi karnelnya disebut nulitas dari T (nulity of T) dan dinotasikan dengan

nuitas (T) jangkauan T adalah ruang kolom dari A.

Karnel T adalah ruang pemecahan 0Ax sehingga :

Rank (T)=dim(ruang kolom A)=rank(A)

Nulitas(T)=dim(ruang pemecahan 0Ax )

Teorema 4 (Teorema dimensi)

Jika :T V W adalah sebuah transformasi linear dari ruang vektor V yang

berdimensi n kepada sebuah ruang vektor W, maka:

Rank dari T nulitas dari T n

Dengan kata lain, teorema ini menyatakan bahwa rank + nulitas dari

transformasi linear sama dengan dimensi domainnya. dalam kasus khusus

dimana ,n mV R W R dan :T V W merupakan perkalian oleh sebuah

matriks A yang berukuran m x n dan Rank(A) + dim (ruang pemecahan Ax =

0) = n

Contoh soal:

14

Tentukan rank dan nulitas dari transformasi linear 2 3:T P P yang

didefinisikan dengan (p(x)) xp(x)T .

Penyelesaian:

2

2

2

2 3

ker {

a bx cx

( ( )) ( )

( ( )) 0

(a bx cx ) 0

(a bx cx ) 0

ax+bx cx

a=b=c=

( ) 0}

0

(

( )

) 0

T v V

T p x xp x

T p x

T

x

Ker T

T v

p x

│

Nulitas (T) dimensi ( ( )) 0Ker T

Sehingga rank (T) dimensi 2( )P nullitas (T) 3 0 3

F. Representasi Transformasi Linear

Misalkan : Rn mT R adalah transformasi linear dari ruang vektor V ke ruang

vektor W , bila V dan W berdimensi berhingga, maka transformasi linear

tersebut dapat dinyatakan dengan suatu matriks, yang disebut matriks

penyajian (representasi matriks). Misalkan 1 2, , , ne e e adalah basis baku

untuk nR dan misalkan A adalah sebuah matriks m n yang dibentuk oleh

1 2( ), ( ),..., ( )nT e T e T e sebagai vektor-vektor kolomnya, maka A disebut

sebagai matriks penyajian (representasi matriks).

Misalkan : VT W

: VT W

n mR R

15

1 1

2 2

n m

x b

x b

x b

1 1

2 2

n m

x b

x bT

x b

Maka diperoleh sistem persamaan linear 0Ax

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

Bentuk perkalian matriks:

111 12 1 1

21 21 2 2 2

1 2

n

n

n nm m mn

aa a x b

a a a x b

x ba a a

Jadi

111 12

21 21 2

1 2

n

n

m m mn

aa a

a a a

A

a a a

sebagai matriks standarnya.

Definisi

16

Transpose dari matriks koefisien-koefisien di atas, yang dilambangkan dengan

( )sm T atau [ ]T s disebut representasi matriks T relatif terhadap basis S , atau

cukup dinyatakan dengan matriks T pada basis S .

Dengan menggunakan notasi vektor koordinat (kolom), representasi matriks

T dapat ditulis dalam bentuk 1( ) [ ] [ ( )] ,......, [ ( )]ss sm T T s T e s T e

Yaitu kolom-kolom ( )m T , berturut-turut adalah vektor-vektor koordinat dari

1 2(e ), ( ),...,T(e )nT T e

Contoh:

1. Misalkan jika 2 2:T R R diberikan oleh:

1 1 2

2 1 2

3 2

2

x x xT

x x x

Apakah merupakan representasi matriks?

Maka penyelesaian:

1

1 3(e ) T

0 1T

dan 2

0 2(e ) T

1 2T

Ini didapat dari:

1

3 2 1 3(e )

1 2 0 1T

2

3 2 0 2(e )

1 2 1 2T

1

0

0

1

Atau dapat juga diselesaikan dengan mengeluarkan x dari matriks yang

diketahui:

1 1 2

2 1 2

3 2

2

x x xT

x x x

1

2

3 2

1 2

x

x

17

Jadi 3 2

1 2A

adalah representasi matriks untuk

1 1 2

2 1 2

3 2

2

x x xT

x x x

2. Misalkan 2 2:T R R adalah operator linear yang didefinisikan sebagai

, 2 3 ,4 5T x y x y x y tentukan matriks 1( )T e terhadap basis

1 2, 1,2 , 2,5S e e

Penyelesaian:

Tentukan representasi matriks 1( )T e , dan kemudian nyatakan sebagai

kombinasi linear dan vektor-vektor 1 2,e e

1

1 8 1 2(e )

2 6 2 5T T x y

dan 2 8,x y 2 5 6x y

Atau dengan cara:

diubah ke dalam bentuk matriks menjadi

2 3( , )

4 5

x yT x y

x y

Sehingga:

1

1 2 3 1 8( ) T

2 4 5 2 6T e

Dengan menyelesaikan SPL tersebut, maka didapat 52x dan 22y

Sehingga 1 1 2(e ) 52e 22eT . (dengan eliminasi substitusi)

Selanjutnya tentukan 2(e )T dan kemudian nyatakan sebagai kombinasi

linear dari 1e dan 2e ;

2

2 19 1 2(e )

5 17 2 5T T x y

dan 2 19x y ,

2 5 17x y

Atau dengan cara:

18

2

2 2 3 2 19( ) T

5 4 5 5 17T e

Dengan menyelesaikan SPL tersebut, maka didapat 129x dan 55y .

Jadi, 2 1 2129 55T e e e . (dengan eliminasi substitusi)

Kemudian menuliskan koordinat-koordinat dan dan sebagai

kolom-kolom untuk memperoleh representasi matriks dari

.

Jadi, 1

1 2

2

e52 22(e ,e )

e129 55T

merupakan representasi matriks dari

( , ) (2 3 ,4 5 )T x y x y x y atau 52 129

22 55ST

19

LATIHAN SOAL

1. Misalkan 2 3:T R R adalah fungsi yang didefinisikan oleh

( ) ( , , )T v x x y x y dengan ( , )v x y di 2R . Buktikan bahwa T

merupakan transformasi linear!

2. Periksa linearitas transformasi, 2 3:T R R dengan

( , ) (2 , 3 ,3 1)T x y x y x y x !

Tentukan 1 2 3(2 3 4 )T v v v !

3. Diketahui 2 3:T R R dengan ( , ) ( , , )T x y x y x y apakah T

merupakan transformasi linear ?

4. Diketahui 2 3:T R R dengan 2 2( , ) (2 , , )T x y x x y apakah T

merupakan transformasi linear ?

5. Gunakan definisi transformasi linear untuk menunjukkan bahwa

fungsi 3 2:T R R yang dirumuskan oleh

( , , ) (2 , 4 )T x y z x y z y z adalah transformasi linear!

6. Misaldiberikantransformasi linear, 3 2:T R R dengan

2

2 3

xx y z

T yx y z

z

, manakah di antaravektorberikut yang

merupakananggota Ker(T)?

a.

2

2

2

b.

2

1

3

7. Diketahui sebuah transformasi linear T: R3→R

3, dimana T[x,y,z] = [x

+ 2y – z, y+z, x+y-2z]

Tentukan basis, rank(T), nulitas(T), Ker(T) !

20

8. Misalkan 2 2:F R R adalah operator linear yang didefinisikan

sebagai ( , ) ( 3 , 5 )F x y x y x y

a. Tentukan representasi matriks F relative terhadap basis

1 2{ , } {(1,3),(3,5)}S u u

b. Tentukan representasi matriks relative terhadap basis (standar)

1 2{ , } {(1,0),(0,1)}E e e

9. W adalah ruang vector dari matriks simetris yang berukuran 2 2 .

2:T W P didefinisikan dengan:

2( ) ( ) ( )a b

T a b b c x c a xb c

Tentukan rank dan nullitas dari transformasi linear T .

10. Tentukan matriks standar transformasi linier 2 3:T R R dengan

definisi

1 2

1

1 2

2

1 2

3

5 7

3

x xx

T x xx

x x

21

JAWAB

1. Diketahui :

2 3:T R R

( ) ( , , )T v x x y x y dengan ( , )v x y di 2R

Penyelesaian :

Misalkan 1 1( , )u x y

2 2( , )v x y

1 1 2 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

1 1 2 2

( ) , ,

,

, ,

,

, , , , ,

, ,

( ) ( )

i T u v T x y x y

T x x y y

x x x x y y x x y y

x x x x y y x x y y

x x y x y x x y x y

T x y T x y

T u T v

1 1

1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1

( ) ( ) ,

,

, ,

, ,

( , )

( )

ii T ku T k x y

T kx ky

kx k x y k x y

k x x y x y

kT x y

kT u

Karena syarat(i) dan (ii) terbukti maka fungsi tersebut merupakan

transformasi linear..

2. Diketahui :

2 3:T R R

( , ) (2 , 3 ,3 1)T x y x y x y x

Penyelesaian :

Misalkan 1 1( , )u x y

2 2( , )v x y

22

1 1 2 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

1 1 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

( ) , ,

,

2 , 3 ,3 1

2 2 , 3 3 ,3 3 1

2 , 3 ,3 1 , 2 , 3 ,3

, 2 , 3 ,3

( ) 2 , 3 ,3

i T u v T x y x y

T x x y y

x x y y x x y y x x

x x y y x x y y x x

x y x y x x y x y x

T x y x y x y x

T u x y x y x

2 2 2 2 2( ) 2 , 3 ,3T v x y x y x , Sehingga pembuktian (i) tidak

terbukti.

1 1

1 1

1 1 1 1 1

( ) ( ) ,

,

2 , 3 ,3 1

ii T ku T k x y

T kx ky

kx ky kx ky kx

1 1 1 1 1( ) 2 , 3 ,3 1kT u kx ky kx ky kx Sehingga pembuktian (ii)

tidak terbukti.

Karena pembuktian (i) dan (ii) tidak terbukti, maka fungsi tersebut

bukan merupakan transformasi linear.

3. Diketahui :

2 3:T R R dan ( , ) ( , , )T x y x y x y

Penyelesaian :

Misalkan 1 1( , )u x y

2 2( , )v x y

1 1 2 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 2 2

( ) , ,

,

, ,

, ,

, , , , ,

, ,

( ) ( )

i T u v T x y x y

T x x y y

x x y y x x y y

x x y y x x y y

x y x y x y x y

T x y T x y

T u T v

23

1 1

1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1

( ) ( ) ,

,

, ,

, ,

( , )

( )

ii T ku T k x y

T kx ky

kx ky kx ky

k x y x y

kT x y

kT u

Karena syarat(i) dan (ii) terbukti maka fungsi tersebut merupakan

transformasi linear.

4. Diketahui :

2 3:T R R

2 2( , ) (2 , , )T x y x x y

Penyelesaian:

Misalkan 1 1( , )u x y

2 2( , )v x y

1 1 2 2

1 2 1 2

2 2

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2

1 2 1 1 2 1 1 1 2 2

2 2 2 2

1 1 1 2 1 2 2 1 2 2

1 1 2 2

( ) , ,

,

2 , ,

2 2 , 2 , 2

2 , 2 , 2 , , 2

, ,

( ) ( )

i T u v T x y x y

T x x y y

x x x x y y

x x x x x x y y y y

x x x x y x x y y y

T x y T x y

T u T v

1 1

1 1

2 2

1 1 1

2 2 2 2

1 1 1

2 2

1 1 1

( ) ( ) ,

,

2 , ,

2 , ,

2 , ,

ii T ku T k x y

T kx ky

kx kx ky

kx k x k y

k x kx ky

2 2

1 1 1( ) 2 , ,T u x kx ky sehingga syarat (ii) tidak terpenuhi

24

Jadi, karena syarat (i) dan (ii) tidak terpenuhi maka fungsi tersebut

bukan merupakan transformasi linear.

5. Diketahui :

3 2:T R R dengan ( , , ) (2 , 4 )T x y z x y z y z

Penyelesaian :

Misalkan 1 1 1( , , )u x y z

2 2 2( , , )v x y z

1 1 1 2 2 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

( ) , , , ,

, ,

2 , 4

2 2 , 4 4

2 , 4 , 2 , 4

, , , ,

( ) ( )

i T u v T x y z x y z

T x x y y z z

x x y y z z y y z z

x x y y z z y y z z

x y z y z x y z y z

T x y z T x y z

T u T v

1 1 1

1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1

( ) ( ) , ,

, ,

2 , 4

2 , 4

( , , )

( )

ii T ku T k x y z

T kx ky kz

kx ky kz ky kz

k x y z y z

kT x y z

kT u

Karena syarat(i) dan (ii) terbukti maka fungsi tersebut merupakan

transformasi linear.

6. Bayangandari

2

2

2

dan

2

1

3

olehtransformasi T adalahsebagaiberikut:

T

2

2

2

= 2 4 2 0

4 6 2 0

25

T

2

1

3

= 2 2 3

4 3 3

=

1

4

Sehinggadapatdisimpulkan

2

2

2

∈Ker(T) dan

2

1

3

Ker(T)

7. Kita tentukan dulu matriks transformasinya:

T[1,0,0] = [1,0,1]

T[0,1,0] = [2,1,1]

T[0,0,1] = [-1,1,-2]

A = 32( 1) 31(3)

1 2 1 1 2 3 1 2 0

0 1 1 0 1 0 0 1 0

1 1 2 1 1 3 1 1 0

K K

Rank matriksA (secarakolom) adalah 2. Jadi rank(T) = 2 dan basis nya

dapat diambil {[1,0,1], [2,1,1]}.

Untuk mencariker(T):

Misalkan 1 2 3, , ( )v v v v Ker T maka Av = 0 atau

1

2

3

1 2 1 0

0 1 1 0

1 1 2 0

v

v

v

nulitas(T) = n - rank(A)

= 3 – 2 = 1

Ambil dua persamaan yang bebas :1 2 3

2 3

2 0

0

v v v

v v

Ambil parameter, misalnya 2v maka 1 3v , 3v . Jadi

[ 3,1, 1]v ; Ker(T) mempunyai basis (-3,1,-1) atau Ker(T) = L{[-

3,1,-1]}

26

8. a. 1

1 10 1 3( )

3 14 3 5F u F x y

dan 3 10,x y 3 5 14x y

Atau dengan cara:

diubah ke dalam bentuk matriks menjadi

( , )3 5

x yF x y

x y

Sehingga:

1

1 1 3 1 10( ) T

3 1 5 3 14F u

Dengan menyelesaikan SPL tersebut, maka didapat 23x dan 11y

Sehingga 1 1 2( ) 23 11F u u u . (dengan eliminasi substitusi)

Selanjutnya tentukan 2( )F u dan kemudian nyatakan sebagai kombinasi

linear dari 1u dan 2u ;

2

3 18 1 3( )

5 22 3 5F u F x y

dan 3 18x y ,

3 5 22x y

Atau dengan cara:

2

3 1 3 3 18( )

5 1 5 5 22F u F

Dengan menyelesaikan SPL tersebut, maka didapat 39x dan 19y .

Jadi, 2 1 21939F uu u . (dengan eliminasi substitusi)

Kemudian menuliskan koordinat-koordinat dan dan sebagai

kolom-kolom untuk memperoleh representasi matriks dari

.

27

Jadi, 1

1 2

2

23 11( , )

39 19

uF u u

u

merupakan representasi matriks dari

( , ) ( 3 , 5 )F x y x y x y atau 23 39

11 19SF

b. 1

1 1( )

0 1F u F

dan 2

0 3( )

1 5F u F

Ini didapat dari:

1

1 3 1 1( )

1 5 0 1F u

2

1 3 0 3( )

1 5 1 5F u

1

0

0

1

Atau dapat juga diselesaikan dengan mengeluarkan x dari matriks yang

diketahui:

3

5

x x yF

y x y

1 3

1 5

x

y

Jadi 1 3

1 5EF

9. P(x) = a+bx+cx2

28

2

( ) : 0

( ) : ( ) ( ) ( ) 0

( ) : ( ) ( ) ( ) 0

( ) :

( ) :

a b a bKer T T

b c b c

a bKer T a b b c x c a x

b c

a bKer T a b b c c a

b c

a bKer T a b c

b c

c cKer T c

c c

Jadi, basis Ker(T) 1 1

1 1

sehingganulitas(T) = dimensiker(T) = 1

Rank(T)= dimensi W – nulitas(T) = 3 - 1 = 2

10.

Kemudian menuliskan koordinat-koordinat dan sebagai kolom-

kolom matriks standar yaitu

29

DAFTAR PUSTAKA

Abdul Aziz Saefudin. 2015. Modul Aljabar Linear.Yogyakarta: Universitas PGRI

Yogyakarta.

Andrilli, Stephen and David Hecker. 2010. Elementary Linear Algebra Fourth

Edition. Canada: Elsevier.

Anton, Howard. 2004. Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi. Jakarta: Erlangga

Danang Mursita. 2010. Aljabar Linear. Bandung: Rekayasa Sains.

Matthews, K. R. 1998. Elementary Linear Algebra. Department of Mathematics:

University of Queensland.