PowerPoint Presentation

Kelompok VIIInversi Non Linear Dengan Pendekatan LinearAnggota : Yusuf Gatut Yopi April, Geofisika 7ASekolah Tinggi Meteorologi Klimatologi dan Geofisika20161OUTLINE1.Deret Taylor2.Matrik Jacobian3. Inversi non Linear dengan Pendekatan Linear4. metode iteratif dengan inversi 5. Aplikasi Penentuan Parameter Kenematik Gempa Bumi berdasarkan Inversi Non-linier

Jika suatu fungsi f(x) diketahui di titik xi dan semua turunan f terhadap x diketahui pada titik tersebut, maka dengan deret Taylor dapat dinyatakan nilai f pada titik xi+1 yang terletak pada jarak x dari titik xi .

f(x)Order 2Order 1xixi+1f(xi ) : fungsi di titik xi f(xi+1 ): fungsi di titik xi+1f, f,..., f n: turunan pertama, kedua, ...., ke n dari fungsix : jarak antara xi dan xi+1Rn : kesalahan pemotongan! : operator faktorialDeret TaylorDeret TaylorDeret TaylorDeret TaylorMatriks JacobianMatriks Jacobian adalah matriks dengan turunan parsial pertama dari suatu fungsi (vektor atau skalar). Pada prinsipnya, matriks Jacobian merupakan gradien, bukan divergen.Misalkan f : Rn Rm adalah fungsi dengan input vektor x Rn dan menghasilkan output vector f(x) Rm. Maka matriks Jacobian J dari f adalah matriks m x n, yang didefinisikan sebagai berikut:

Atau, dapat dinyatakan dengan:

Matriks Jacobian

Matriks Jacobian

Determinan dan Invers Matriks JacobianDeterminan dan invers matriks Jacobian sama dengan matriks biasa, dengan syarat matriks berbentuk bujur sangkar (m=n).

Contoh 1Fungsi f : R2 R2 :

Contoh 2Fungsi F : R+ x [0 , 2] R2 (pada koordinat spheris):

Determinan matriksr

Contoh 3Fungsi F : R+ x [0 , ] x [0 , 2] R3 (pada koordinat spheris):

Determinan matriksisr2sin

Contoh 4

Fungsi F : R3 R4 :

Matriks tidak bujur sangkar

Contoh 5Fungsi F : R3 R3 :

Determinan Matriks JF

Inversi non Linear dengan Pendekatan LinearHubungan data dan parameter model :

d = g(m) (1)

d=datag= fungsi pemodelan ke depanm= parameter model.

Persamaan (2) Metode Kuadrat terkecil

mencari solusi m0 yang menghasilkan (d (g(m0) + J0 m0) minimum

m0= [J0T J0 ]-1J0T (d - g(m0))..(3) kuantitas yang diminimumkan adalah selisih data pengamatan dengan data perhitungan dengan menggunakan pendekatan orde pertama ekspansi Taylor

memperhatikan m0 = [ m - m0], maka solusi tersebut dapat diartikan sebagai suatu modifikasi terhadap model awal m0 untuk memperoleh model m yang lebih baik, sehingga m = m0 + m0 .

Model yang optimum diperoleh melalui proses modifikasi terhadap model awal m0 secara iteratif menggunakan persamaan (3)

maka model pada iterasi ke n+1, dapat ditulis: mn+1= mn + [JnT Jn ]-1JnT(d - g(mn)) .............(4)

Aplikasi Inversi non Linier dengan pendekatan Linier untuk Menentukan Hiposenter

Metode penentuan hiposenter berbasis komputer (Purwana, 2012)

Waktu tiba (arrival time) di stasiun #i :

tIarr = titra (xi,yi,zi,x0,y0,z0)+t0 = titra + t0 (5)

titra = wkt tempuh yg dihitung berdasarkan lokasi stasiun # i (xi,yi,zi), asumsi hiposenter (x0,y0,z0) dan model kecepatan yg dipilih serta origin time t0

Persm tsb memiliki 4 anu (unknown) yaitu x0, y0, z0 dan t0, shg pd prinsipnya data yg diperlukan utk menentukan hiposenter dan origin time adalah minimal 4 arrival time hasil pengamatan (observasi) di 3 stasiun.

Subarya, 2010Jika jumlah data hasil observasi ada n (n > 4)n persamaan sistem persamaanya over determined. Solusi overdetermined? meminimalkan residual ri= tiobs - ti arr = tiobs (titra+ t0) (6)

- ri = residual stasiun #i- tiobs = pembacaan (observasi) arrival time di stasiun #i Kenapa terdapat residual?Perbedaan model bumi dengan fakta sebenarnyaError dalam pembacaan fase2 gel gempabumi.Asumsi2 parameter hiposenter.Faktor2 kondisi lapangan yang tidak dimasukkan dalam perhitungan, misal elevasi stasiun. Bagaimanakah Cara menyelasaikan suatu persamaan yang non linier ?

Dengan Solusi inversi non linier dengan pendekatan linier. =>> Metode Iteratif

Bagamainakah menggunakan Metode iteratif dalam menentukan Hiposenter gempabumi ???

Membuat initial guess( perkiraan awal) hiposenter dan origin time (x0,y0,z0,t0)

Jika hiposenter berada di dalam jaringan, maka untuk perkiraan awalnya dapat dipilih sekitar lokasi stasiun yang pertama kali merekam gelombang P

Untuk linearisasi masalah, diasumsikan bahwa hiposenter yang sebenarnya cukup dekat dengan hiposenter perkiraan, sehingga residual travel-time pada hiposenter perkiraan merupakan fungsi linier dari koreksi-koreksi yang harus dilakukan untuk memperoleh hiposenter yang lebih baikSyarat-syarat menentukan hiposenter gempabumi dengan metode iteratifMETODE ITERATIF Nilai koreksinya dapat dihitung dengan pendekatan fungsi travel time dlm ekspansi deret Taylor suku pertama saja => fungsi linier: .... (8)

Metode Iteratif ... (9)r = vektor residualJ = matrix turunan parsial dg elemen 1 pada kolom terakhirx = vektor koreksi unknown utk hiposenter dan OTBagaimana persamaan matrixnya??r = J xMetode Iteratif

... (10) Metode Iteratif Turunan parsial ke arah x0, y0 dan z0 adalah:

Metode IteratifPerkiraan awal hiposenter dan origin time selanjutnya dikoreksi menjadi (x0+x), (y0+y), (z0+z) dan (t0+t)

Perkiraan yang sudah dikoreksi tersebut digunakan sebagai input perkiraan baru untuk melakukan hitung ulang proses yg sama => disebut proses iterasi

Metode iteratif tersebut pertama kali ditemukan oleh Geiger (1910) sehingga terkenal dengan sebutan metode Geiger untuk penentuan hiposenter

Metode IteratifProses iterasi biasanya berlangsung konvergen dengan cepat, kecuali jika konfigurasi data observasinya buruk atau perkiraan awalnya terlalu jauh dari solusi terbaik yang seharusnya diperoleh. Persamaan (9) dan (10) berlaku untuk model bumi datar maupun sferis (utk skala lokal ataupun global).

Perhitungan travel-time untuk skala lokal biasanya digunakan model 1D, sedangkan untuk skala global digunakan interpolasi tabel travel-time IASP91.

Metode Iteratif dengan Inversi Matrixperumusan jumlah kuadrat residual adalah e, yaitu :

Agar e mencapai harga minimum maka:

Persm2 tsb dpt disusun dlm bentuk matrix:

Metode Iteratif dengan Inversi MatrixMatrix A adalah matrix simetris berukuran 44, dengan elemen a44 = n (jumlah data observasi):

Metode Iteratif dengan Inversi MatrixSedangkan X dan Y adalah vektor kolom dg susunan sbb:

Iteratif dengan Inversi MatrixUntuk memudahkan penulisan, Herman menyeder-hanakan simbol2 sbb:

Penyederhanaan simbol2 tsb sbb:

Dan kenyataan bahwa :

Iteratif dengan Inversi MatrixSolusi formal untk mendapatkan vektor kolom X adalah:

Setelah harga x, y, z dan t dapat ditentukan, perkiraan awal hiposenter dan origin time selanjutnya dikoreksi menjadi (x0+x), (y0+y), (z0+z) dan (t0+t)

Perkiraan yang sudah dikoreksi tersebut digunakan sebagai input perkiraan baru untuk melakukan hitung ulang proses yg sama

Prinsip pengulangannya seperti pada metode iteratif dengan regresi berganda

Iteratif dengan Inversi MatrixCara yang paling praktis untuk menghitung inversi matrix adalah dengan paket software Matlab

Kasus yg telah diselesaikan dengan metode Grid Search dan metode Iteratif Regresi Berganda dapat dicoba lagi dengan menggunakan metode Iteratif Inversi Matrix => Ternyata memberikan hasil yg identik sejak iterasi 1

Catatan: Untuk menghitung inversi matrix A cara yg termudah adalah dengan menggunakan Matlab

Aplikasi Penentuan Parameter Kenematik Gempa Bumi berdasarkan Inversi Non-linierDiagram alir penyusunan program penentuan parameter kinematik gempa bumi

Contoh : Gempa bumi 1

Apa rahasianya ??

Inilah yang bekerja di balik layar !!Data-data gempa untuk latihan.Silahkan dicoba

Gempa bumi 2Gempa bumi 3Gempa bumi 4Gempa bumi 5Contoh Kasus Menentukan Hiposenter di G. KeludCecep Subarya (2010)Metoda ini diterapkan untuk menentukan hiposenter di G. Kelud untuk 6 data gempa vulkanik pada tanggal 1 Nopember 2007

Dalam contoh kasus ini, matriks parameter model awal (n = 0) terdiri atas 3 baris dan 1 kolom, baris pertama sampai ke tiga masing- masing berisi x0, y0, z0

Matriks Jacobi terdiri atas 4 baris dan 1 kolom, matriks selisih data waktu tiba pengamatan dengan perhitungan terdiri atas 4 baris dan 1 kolom.

Kecepatan gelombang P dianggap tetap sebesar 3 km/detik, dan waktu terjadi gempa dicari dari hubungan (ts tp ) dengan tp

Pemakaian metoda ini memperlihatkan hasil yang cukup baik.

Banyaknya iterasi sampai memperoleh kesalahan yang kecil (kriteria yang diinginkan) bergantung pada pemberian model awal.

Dalam contoh kasus di atas, banyaknya iterasi hanya sampai dua kali dengan nilai model awal di sekitar kawah (x0 = 0, y0 = 0, z0=2 km)

pemakaian metoda pendekatan linier ini, memerlukan pengetahuan mengenai struktur daerah penelitian dan atau permasalahan yang ditinjau.

Hasil perhitungan menunjukkan gempa vulkanik tersebut berada di area kawah G. Kelud pada kedalaman antara 0,5 0 3,5 km dari kawah (Gambar 3) dengan kesalahan bervariasi antara 0,0017 sampai dengan 0,0172.