· web viewsepertihalnya dalam aljabar, konsep trigonometri juga mengenal istilah persamaan...

BAB VI

PERSAMAAN TRIGONOMETRI

Bab VI buku ini membahas tiga hal pokok yang berhubungan dengan

persamaan trigonometri, antara lain (1) persamaan trigonometri sederhana (2)

persamaan trigonometri tipe khusus, dan (3) soal-soal.

Standar Kompetensi

Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat

memahami cara menentukan selesaian persamaan dalam trigonometri. .

Kompetensi Dasar

1. Mahasiswa dapat menentukan selesaian persamaan trigonometri sederhana

2. Mahasiswa dapat menentukan selesaian persmaan trigonometri tipe khusus.

Sepertihalnya dalam Aljabar, konsep trigonometri juga mengenal istilah

persamaan triginomeri. Persamaan trigonometri bedakan menjadi dua jenis, yaitu

persamaan trigonometri yang berhubungan dengan identitas dan persamaan

bersyarat. Persamaan trigonometri yang berhubungan dengan identitas adalah

persamaan yang memenuhi suatu nilai yang belum diketahui, sedangkan

persamaan bersyarat adalah persamaan yang variabelnya dibatasi.

Persamaan trigonometri memuat suatu variabel yang belum diketahui, dan

variabel tersebut merupakan besaran suatu sudut yang satuannya dapat dinyatakan

dalam bentuk derajat atau radian. Variabel-variabel yang dapat ditentukan

nilainya tersebut akan merupakan suatu selesaian jika disubstitusikan ke dalam

persamaan maka variable tersebut memenuhi nilai persamaan. Pada umumnya

selesaian tersebut dapat dihubungkan dengan periode grafik dari fungsi

trigonometri, yaitu 3600=2 π radian untuk fungsi sinus dan cosinus, dan

1800=π radian untuk tangen, cotengen, secan, dan cosecan.

Trigonometri: Dwi Purnomo- 122

6.1 Persamaan Trigonometri Sederhana

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat fungsi trigonometri

dari suatu sudut yang belum diketahui. Dengan demikian sin 2 x−tan x=1 adalah

persamaan trigonometri, karena x suatu sudut yang belum diketahui ukurannya

dan sebagaimana telah diketahui bersama bahwa ukuran sudut adalah derajat atau

radian yang keduanya mempunyai hubungan 3600=2 π radian.

Sebaliknya, dalam trigonometri dikenal istilah persamaan triginometri invers.

Jika cos x=k adalah suatu persamaan trigonometri maka persamaan tersebut

mempunyai selesaian x=arccos k=cos−1k . Bentuk-bentuk persamaan

sin x=k ,cos x=k ,tan x=k ,cot x=k ,sec x=k .csc x=k disebut persamaan

trigonometri sederhana.

Selesaian persamaan trigonometri sebagaimana tersebut di atas dapat

diselesaikan dengan beberapa langkah sederhana. Pertama, ubahlah persamaan

menjadi persamaan sederhana yang terdiri atas satu lebih persamaan, Kedua,

gunakan metode dalam Aljabar untuk menentukan varibel besarnya sudut yang

belum diketahui, misalnya dengan pemfaktoran atau cara lainnya. Ketiga, setelah

diperoleh variable yang belum diketahui tersebut, substitusikan ke persamaan

semula sebagai pengecekan nilai dalam persamaan.

Jika x adalah sebarang bilangan real yang memenuhi persamaan, maka

persamaan trignometri tersebut dapat ditentukan selesaiannya.

Perhatikan beberapa contoh persamaan trigonometri sederhana berikut ini.

Tentukan selesaian persamaan trigonometri:

1)sin2 x= 1

4

Jawab

Dengan cara memberikan tanda akar pada kedua bagian diperoleh


√sin2 x=√14

⇔sin x=±12

x=arcsin(±12 )

=π6

,5 π6

, 7 π6

, 11 π6

,. . .

Semua nilai sudut tersebut memenuhi persamaan di atas, sehingga

selesaiannya dapat dinyatakan dalam bentuk

x=± π6+nπ ,n∈Z+

2) tan x+cot x=2

Jawab

Dengan mengganti cot x= 1

tan x

Maka persamaan

tan x+cot x=2

⇔ tan x+1tan x

−2=0

⇔ tan2 x−2 tan x+1=0⇔( tan x−1)( tan x−1)=0

Sehingga diperoleh

tan x=1x=arctan 1

x=π4

, 5 π4

, 9 π4

,,. . .

Secara umum selesaian persamaan tan x+cot x=2 adalah


x= π4+nπ=(n+ 1

4 )π

3) 3sin 2 x+2cos2x=2

Jawab

Karena

sin 2 x=2 sin x cos x ,cos2 x=1−sin2 x maka

3sin 2 x+2cos2 x=2⇔3 (2sin x cos x )+2(1−sin2 x )=2⇔6sin x cos x+2−2sin2 x=2⇔6sin x cos x−2 sin2 x=0⇔sin x (3cos x−sin x )=0

Sehingga diperoleh

sin x=0x=arcsin 0x=0 , π ,2 π ,3 π ,. . .

Atau

3 cos x−sin x=0⇔3−tan x=0⇔ tan x=3⇔ x=arctan 3x=710 34 ',251031 ', .. .. .

Sehingga secara umum selesaian persamaan 3sin 2 x+2cos2 x=2 adalah

x=0+nπ , n∈Z+ atau x=710 34 '+nπ=710 34 ' +n(1800 )

4) sin x−2 cos x=1

Jawab


sin x−2cos x=1⇔sin x=1+2 cos x

Dengan mengkuadratkan masing-masing bagian, diperoleh

sin2 x=(1+2 cos x )2

⇔sin2 x=1+4 cos x+4 cos2 x⇔(1−cos2 x )=1+4 cos x+4 cos2 x⇔5 cos2 x+4 cos x=0⇔cos x(5cos x+4 )=0

Sehingga diperoleh

cos x=0x=arccos 0

x=±π2

,±3π2

,±5 π2

,±7 π2

,. .

Atau

5 cos x+4=0

⇔cos x=−45

⇔ x=arccos(−45 )

x=±1480 8 ',. . .

Setelah dicek ke dalam persamaan sin x−2 cos x=1 yang memenuhi adalah

untuk x=90 , x=−14308 '

Sehingga secara umum selesaian persamaannya adalah

x=0+n 2 π ,n∈Z+ atau x=−1430 8 '+n 2 π ,n∈Z+

5) sin 3 x+sin x=cos x

Jawab


sin 3 x+sin x=cos x⇔sin 3 x+sin x−cos x=0

⇔2 sin (3 x+x2 )cos (3 x−x

x )−cos x=0

⇔2 sin 2x cos x−cos x=0⇔cos x(2 sin 2 x−1)=0

Sehingga diperoleh

cos x=0x=arccos 0

x=±π2

,±3π2

,±5 π2

,±7 π2

,. .

Atau

2 sin 2 x−1=0

⇔sin 2 x=12

⇔2 x=arcsin (π2 )

2 x=π6

,5 π6

, .. . ..

Setelah dicek ke dalam persamaan yang memenuhi adalah untuk

x=π2

, 3 π2

, 5π2

,. . .

Sehingga secara umum selesaian persamaannya adalah

x=π2+n 2 π ,n∈Z+

6.2 Persamaan Trigonometri Tipe-tipe Khusus

Persamaan trigonometri tipe khusus dibedakan menjadi dibedakan menjadi dua

tipe.

1) acos x+b sin x=c , c2≤a2+b2

Kedua bagian dibagi dengan √a2+b2diperoleh


a√a2+b2

cos x+ b√a2+b2

sin x= c√a2+b2

Selanjutnya kita definisikan 0≤α≤2 π

Dengan sin α= a

√a2+b2dan

cos α= b√a2+b2

Sehingga

a√a2+b2

cos x+ b√a2+b2

sin x= c√a2+b2

⇔sin α cos x+cosα sin x= c√a2+b2

⇔sin (α+x )= c√a2+b2

⇔α+x=arcsin ( c√a2+b2 )

⇔ x=arcsin( c√a2+b2 )−α

Contoh1)

Tentukan selesian persamaan

3 cos x−√7 sin x=12

Jawab

Dengan membagi kedua bagian dari persamaan 3cos x−√7sin x=2Diperoleh

3cos x−√7sin x=2

⇔ 34

cos x−√74

sin x=12


Karena

sin α=34

, dan cos α=−√74

, α=1310 25 '

sin( α+x )=12

Sehingga

(α+ x )=arcsin ( 12 )=300 ,1500 , 3900 ,. ..

(α+ x )= 12

Karena

α=1310 25 '

Maka

x=180 35', 258035 ', .. ..

Secara umum selesesaian dari persamaan

3cos x−√7sin x=2

Adalah

x=180 35 ' +n(3600 ) dan x=2580 35 '+n(360o )

2) sin ax=cosbx , tan ax=cot bx , secax=cscbx

Persamaan triginometri bentuk di atas dapat diselesaikan dengan menggubah

salah satu bagian dari persamaan menjadi bentuk penjumlahan atau


pengurangan dua sudut sebegaiamana yang telah dijelaskan pada bab

sebelumnya.

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini,

1. Tentukan selesaian persamaan

tan2 x=cot 3 x

Jawab

Dengan mengubah

cot 3 x= tan(900−3 x )

Persamaan

tan2 x=cot 3 x

⇔ tan 2x= tan(900−3 x )

Karena grafik fungsi tangen mempunyai periodik 1800

maka diperoleh

2 x=900−3 x ,2 x=2700−3 x ,2 x=4500−3x , 2 x=6300−3 x , 2 x=8100−3 x , . .. ..5 x=900 ,5 x=2700 , 5 x=4500 ,5 x=6300 ,5 x=8100 , .. .x=150 , 840 ,900 , 1260 , 1620 , . .. .

2. Tentukan selesaian persamaan

cos 4 x=sin 5 x

Jawab

Dengan mengubah

sin( 900−4 x )=cos 4 x


Persamaan

12 sin x+5cos x=13

⇔sin (900−4 x )=sin 5 x

Karena grafik fungsi sinus mempunyai periodik 360

maka diperoleh

5 x=900−4 x ,5 x=4500−4 x ,5 x=8100−4 x , .. . 5 x=(900+n 3600−4 x )9 x=900 ,9 x=4500 , 9 x=8100 , 9 x=(900+n. 3600 )x=100 ,500 , 900 , . ..(100+n . 400)

6.3 Soal-soal

Soal-soal

A. Tentukan selesaian persamaa berikut ini.

1) cos2 x=cos700

2) sin 2 x=sin π

3)tan3 x=tan 3 π

4

4)cos2 x= 1

2

5) tan2 x=√3

6)sin2 x=1

2

7) tan x+cot x=2

8) 3 sin 2 x+2 cos2x=2

9) sin x−2 cos x=1

10) sin 5 x+sin3 x=0


12) 2 cos2 x+11cos x−6=0

13) 4 sin2 x=3


14) tan2 x=3

15) cot2 x=1

16) sec2 x=2

17) 2cos2 x=1

18) sin 3 x=1

19) 4 cos2 2 x=3

20) tan5 x=−1

21) cot 4 x=√3

22) sin 2 x=sin2

23) cot x=3 tan x

24) sec x=1+ tan x

25) 2cos2 x(1+sin x )=0

26) sin 2 x=cos x

27) sin 2 x=√2sin x

28) tan2 x−3 tan x=0

29) 2−3 cos x+cos 2x=0

30) sin 4 x=sin 2 x

31) cos x−cos2x=1

32)sin( x

2 )=1−cos x

33)cos ( x

2 )=1−cos x

34)tan ( x

2 )+cos x=1

35) sin x+2cos x=2

36) 8sin x+cos x=7

37) tan x−cot x−2=0


38) cot 2 xcot x=1

39) csc x+2 sin x=3

40) cos+cos5 x=cos2 x

41) 2 sin2 3 x−cos3 x=0

42)cos2 x+6cos2 ( x

2 )=4

43)sin4 x+cos4 x= 1

2

44) cos x+cos7 x=cos4 x


46) sin 3 x+sin x=cos2 x csc x

47) sin 5 x+sin3 x+2cos x=0

48) cos5 x+cos3 x+cos x=0

49) sin 5 x−sin 3 x+sin x=0

50) tan3 x=tan x

51) sin 2 x+sin x=cos2 x+cos x

52) tan2 x−2 cos x=0

53) 5sin x−cos x=3

54) sin 3 x−4 sin2 x=0

55) tan2 x−3csc x=7

56) cos3 x+4 cos2 x=0

57) 4 sin 2x−3 cos 2x=4

58) tan 4 x=2 tan 2 x

59) 6 cot22 x=1+cos2 2x

60) cos 4 x+4sec2 x=4+cos2 2 x

61) 2 sin3 x−3 sin2 x−3sin x+2=0

62) 3 tan3 x+5 tan2 x−11 tan x+3=0


63) 3 sec4 x−4 sec2 x+1=0

64) csc4 x−csc3 x−csc2 x−2=0

65) tan x ( tan2 x−4 )=sec2 x−5

66) 6 sin3 x+17 sin 2 x−4 sin x=3

B. Tentukan selesaian persamaan trigonometri berikut ini.

1) sin x+√3 cos x=2

2) 4 sin x+3 cos x=5

3) 12 sin x+5cos x=13

4) 2 sin x−3 cos x=√5

5) 3 sin x−4 cos x=2

6) 4 sin x+5 cos x=5

7) sin x−5cos x=3

8) 3 sin x−7cos x=2

9) sin 3 x=cos2 x

10) sin 5 x=cos3 x

11) tan3 x=cot 2 x

12) sec5 x=csc x

13)cot(3 x

4 )= tan( 23 ) x

14)csc ( 3 x

5 )=sec ( 5 x8 )


6.4 Persamaan-persamaan Trigonometri Bersyarat

6.5 Invers Fungsi Trigonometri

6.6 Identitas dalam Invers Fungsi Trigonometri


Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur)

adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan

fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki

hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa

hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.

Daftar isi [sembunyikan]

1 Sejarah awal 2 Trigonometri sekarang ini 3 Hubungan fungsi trigonometri 4 Identitas trigonometri 5 Penjumlahan 6 Rumus sudut rangkap dua 7 Rumus sudut rangkap tiga 8 Rumus setengah sudut 9 Lihat pula

[sunting] Sejarah awalAwal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.

Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga.

Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.

Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis.

[sunting] Trigonometri sekarang ini


Ada banyak aplikasi trigonometri. Terutama adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit.

Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging (CAT scan dan ultrasound), farmasi, kimia, teori angka (dan termasuk kriptologi), seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dan geodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, teknik sipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi.

Ada pengembangan modern trigonometri yang melibatkan "penyebaran" dan "quadrance", bukan sudut dan panjang. Pendekatan baru ini disebut trigonometri rasional dan merupakan hasil kerja dari Dr. Norman Wildberger dari Universitas New South Wales. Informasi lebih lanjut bisa dilihat di situs webnya [1].

[sunting] Hubungan fungsi trigonometri

Fungsi dasar:


http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Berkas:TrigonometryTriangle.svg&filetimestamp=20070706040028

[sunting] Identitas trigonometri

[sunting] Penjumlahan

[sunting] Rumus sudut rangkap dua

[sunting] Rumus sudut rangkap tiga

[sunting] Rumus setengah sudut


IDENTITAS TRIGONOMETRI

1. Rumus – rumus yang perlu dipahami:a. Rumus Dasar yang merupakan Kebalikan

b. Rumus Dasar yang merupakan hubungan perbandingan

¿ tan α=sin αcosα

¿cot α=cos αsin α

c. Rumus Dasar yang diturunkan dari teorema phytagoras

⊗Cos2 α+Sin2 α=1⊗1+ tan2 α=sec2α⊗1+Cot 2 α=Co sec2α

Contoh 1Buktikan identitas berikut:

a. Sin α . Cos α . Tan α = (1 – Cos α) (1 + Cos α)


¿ tan α=sin αcosα

¿cot α=cos αsin α

Jawab:Ruas kiri = Sin α . Cos α . Tan α

= Sin α . Cos α .

Sin αCos α

= Sin2 α = 1 – Cos2 α = (1 – Cos α) (1 + Cos α) = Ruas Kanan

Terbukti!b. Sin β . Tan β + Cos β = Sec β

Jawab:Ruas Kiri = Sin β . Tan β + Cos β

= Sin β .

Sin βCos β + Cos β

=

Sin2 βCos β

+Cos2 βCos β

=

1Cos β

=Sec β = Ruas Kanan Terbukti

2. Persamaan Trigonometria. Persamaan Trigonometri Sederhana

Jika Sin x = Sin αX1 = α + k . 360o

X2 = (180o – α) + k . 360o

Jika Cos x = Cos αX1 = α + k . 360o

X2 = - α + k . 360o

Jika Tan x = Tan αX = α + k . 180o

K Є bilangan bulat

Contoh 2

Tentukan himpunan Penyelesaian dari Persamaan Sin x =

12 , 0o ≤ x ≤ 360o

Jawab:

Sin x =

12

Sin x = Sin 30o

x = 30o + k . 360o

untuk k= 1 ↔ x = 30o

untuk k = 2 ↔ x = (180o – 30o) + k . 360o

= 150o


HP:{30o, 150o}

b. Persamaan Trigonometri dalam bentuk a cos x + b sin x = c

Cara penyelesaian persamaan tersebut di atas sebagai berikut:

k Cos x (x - α) = c

dengan k = √a2+b2

α = arc tan

ba

dan syarat supaya penylesaian ada yaitu c2 ≤ a2 + b2

Contoh 3Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:Cos y – Sin y = 1, jika 0o ≤ y ≤ 360oJawab:Cos y – Sin y = 1 ↔ a = 1; b = - 1 ; c = 1

Sehingga diperoleh k = √a2+b2=√12+(−1 )2=√2

Tan α =

ab= 1

−1 = - 1 ↔ α dikuadran IV α = 315o

jadi Cos y – Sin y = 1

↔ √2 Cos (x – 315o) = 1

↔ Cos (x – 315o) =

12 √2

↔ Cos (x – 315o) = Cos 45o

↔ (x – 315o) = 45o + k . 360o

↔ x = 360o + k . 360o

↔ x = 360o

Atau (x – 315o) = - 45o + 360o

x = 270o + k . 360o

x = 270o

HP:{270o, 360o}


· web viewsepertihalnya dalam aljabar, konsep trigonometri juga mengenal istilah persamaan...

Documents