peubahnya tidak memuat eksponensial,eprints.dinus.ac.id/6267/1/spl.pdf•persamaan linear adalah...
TRANSCRIPT
• Persamaan linear adalah persamaan dimanapeubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinyasendiri.
• Secara umum persamaan linear untuk n peubahx1, x2, …, xn dapat dinyatakan dalam bentuk:
dimana a1, a2, …, an dan b adalah konstanta-konstanta real.
1 1 2 2 ... n na x a x a x b
Persamaan Linear
• x + 2y = 5000
• 3x + y = 10000
• 2x - 3y + 5z = 30
• x1 + x2 + x3 + x4 = 0
Bukan Persamaan Linear
• x2 – 2y = 3
• sinx + 2 cos y = 0
• 3e2x – sin (x+y) = 10
• Himpunan berhingga dari persamaan-persamaanlinear dalam peubah x1, x2, …, xn dinamakan sistempersamaan liniear
• Sebuah sistem sembarang yang terdiri dari mpersamaan linear dengan n bilangan tak diketahuidapat dituliskan dalam bentuk:
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 22 2 2
1 1 2 2
...
...
...
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
• Sistem persamaan linear tersebut dapat ditulis dalambentuk :
• atau
AX = B
dimana: A dinamakan matriks koefisien
X dinamakan matriks peubah
B dinamakan matriks konstanta
11 11 1
11 11 2
1 1
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
1
2
m
b
b
b
1
2
n
x
x
x
• Sintem Persamaan Linear dapat dituliskan dalambentuk matriks yang diperbesar (augmented matrix) sebagai berikut:
• Contoh
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 22 2 2
1 1 2 2
...
...
...
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
...
...
...
n
n
m m mn m
a a a b
a a a b
a a a b
2 8
2 3 1
3 7 4 10
x y z
x y z
x y z
1 1 2 8
1 2 3 1
3 7 4 10
• Solusi sebuah sitem persamaan linear (SPL) adalahhimpunan bilangan Real dimana jika disubstitusikanpada peubah suatu SPL akan memenuhi nilaikebenaran SPL tersebut.
• Contoh:
x – 2y = 7
2x + 3y = 7
{x = 5 , y = -1} merupakan solusi dari SPL tersebut
• Kemungkinan solusi dari sebuah sistempersamaan linear (SPL) adalah:– SPL mempunyai solusi tunggal– SPL mempunyai solusi tak hingga banyak– SPL tidak mempunyai solusi
Artinya : SPL 2x – y = 2
x – y = 0
Mempunyai solusi tunggal, yaitu x = 2, y = 2
y = x
y = 2x - 2(2, 2) merupakan titik potong dua garis
tersebut
Tidak titik potong yang lain selain titik
tersebut
(2, 2)x
y
1 2
2
Perhatikan SPLx – y = 0
2x – 2y = 0Jika digambar dalam kartesius
Terlihat bahwa dua garis tersebut adalah berimpit
Titik potong kedua garis banyak sekali disepanjang garis tersebut Artinya:
SPL diatas mempunyai solusi tak hingga banyak
x
x – y = 0
2x – 2y = 0y
Perhatikan SPLx – y = 02x – 2y = 2
Jika digambar dalam kartesius
Terlihat bahwa dua garis tersebut adalah sejajar
Tak akan pernah diperoleh titik potong kedua garis itu Artinya: SPL diatas TIDAK mempunyai solusi
x
yy = x y = x – 1
1
• Eliminasi Gauss merupakan prosedursistematik yang digunakan untukmemecahkan sistem persamaan linear.
• Prosedur ini didasarkan pada gagasan untukmereduksi matriks yang diperbesar(augmented marrix) menjadi bentuk yangsederhana
1. Jika baris tidak terdiri seluruhnyadari nol, maka bilangan taknolpertama dalam baris tersebutadalah 1. (kita namakan ini 1utama)
2. Jika terdapat baris yang seluruhnyaterdiri dari nol, maka kelompokkanbaris seperti ini di bawah matriks.
1 1 2 9
2 4 3 1
3 6 5 0
1 1 2 9
2 4 3 1
0 0 0 0
3. Dalam sembarang dua baris yangberurutan yang seluruhnya tidakterdiri dari nol, maka 1 utama dalambaris yang lebih rendah terdapatlebih jauh ke kanan dari satu utamadalam baris yang lebih tinggi.
4. Masing-masing kolom yangmengandung satu utamamempunyai nol di bawah satuutamanya.
1 1 2 9
2 1 3 1
3 6 5 0
1 4 3 7
0 1 6 2
0 0 1 5
5. Masing-masing kolom yang mengandung satu utama mempunyainol di atas satu utamanya
• Sembarang matriks yang memiliki sifat 1, 2, 3, dan 4dikatakan berada dalam bentuk eselon baris(Eliminasi Gauss).
• Jika matriks tersebut juga memiliki sifat 5 makadikatakan berada dalam bentuk eselon baristereduksi. (Eliminasi Gaus – Jordan)
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3
• Pecahkanlah sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan eliminasiGaus-Jordan
2 8
2 3 1
3 7 4 10
x y z
x y z
x y z
2 1 3 1
3
2 3 3 2
1 0 7 17 1 0 7 17 1 0 0 371
0 1 5 9 0 1 5 9 0 1 0 110 552
0 0 52 104 0 0 1 2 0 0 1 2
b b b bb
b b b b
Jadi solusi dari SPL x = 3
y = 1
z = 2
1 2
2
1 3
1 1 2 8 1 1 2 8 1 1 2 8
1 2 3 1 0 1 5 9 0 1 5 93
3 7 4 10 0 10 2 14 0 10 2 14
b bb
b b
2 8
2 3 1
3 7 4 10
x y z
x y z
x y z
Misalkan SPL ditulis dalam bentuk AX = B, yaitu :
Jika determinan A tidak sama dengan nol
maka solusi dapat ditentukan satu persatu (peubahke-i, xi)
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
11
21111
11111
nx
x
x
2
1
nb
b
b
2
1
• Hitung determinan A (|A|)
• Tentukan Aimatriks A dimana kolom ke-idiganti oleh Matriks B.
Contoh :
• Hitung |Ai|
• Solusi SPL untuk peubah xi adalah
1 12 1
2 21 2
1
2
n
n
n n nn
b a a
b a aA
b a a
11 1 1
11 2 2
2
1
n
n
n n nn
a b a
a b aA
a b a
det( )
det( )
ii
Ax
A
• Pecahkanlah sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan aturan cramer
• Solusi: Bentuk SPL menjadi AX = B
2 8
2 3 1
3 7 4 10
x y z
x y z
x y z
1 1 2 8
1 2 3 1
3 7 4 10
x
y
z
• det (A) = |A|(ekspansi kofaktor baris ke-1)
8
1
10
B
1 1 2
1 2 3
3 7 4
A
x
X y
z
2 3 1 3 1 21 1 2
7 4 3 4 3 7
1( 8 21) 1( 4 9) 2(7 6)
13 13 26 52
A
1
8 1 2
1 2 3
10 7 4
A 1
2 3 1 3 1 28 1 2
7 4 10 4 10 7
8( 8 21) 1(4 30) 2( 7 20)
8(13) 26 26 156
A
2
1 8 2
1 1 3
3 10 4
A2
1 3 1 3 1 11 8 2
10 4 3 4 3 10
1(4 30) 8( 4 9) 2( 10 3)
26) 104 26 52
A
3
2 1 1 1 1 21 1 8
7 10 3 10 3 7
1( 20 7) 1( 10 3) 8(7 6)
13 13 104 104
A
3
1 1 8
1 2 1
3 7 10
A
Solusi dari SPL
x = 3
y = 1
z = 2
1
2
3
det( ) 1563
det( ) 52
det( ) 521
det( ) 52
det( ) 1042
det( ) 52
Ax
A
Ay
A
Az
A
2 8
2 3 1
3 7 4 10
x y z
x y z
x y z
Bentuk umum:
• SPL homogen merupakan SPL yang konsisten,
selalu mempunyai solusi.
• Solusi SPL homogen dikatakan tunggal jika solusi itu adalah
• Jika tidak demikian,
SPL homogen mempunyai solusi tak hingga banyak.
(biasanya ditulis dalam bentuk parameter)
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
0
0
0
n n
n n
m m mn n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
Tetentukan solusi dari SPL berikut dengan Eliminasi Gauss-Jordan
1. -2x - 3y - 4z = 2 2. 4x + 6y - 3z = 1
x + 3y = 1 -3x - 7y + 2z = 3
2x + 5y + z = -1 x + 2y - z = 1
3. 3x - 5y + 2z = 2 4. -3x + 4y - 13z = 1
-2x + 3y + 4z = 3 -x + 2y - 3z = 1
x - 2y + z = 1 2x - y + 11 z = 1
Tetentukan solusi dari SPL berikut dengan aturan cramer!
1. -2x - 3y - 4z = 2 2. 4x + 6y - 3z = 1
x + 3y = 1 -3x - 7y + 2z = 3
2x + 5y + z = -1 x + 2y - z = 1
3. 3x - 5y + 2z = 2 4. -3x + 4y - 13z = 1
-2x + 3y + 4z = 3 -x + 2y - 3z = 1
x - 2y + z = 1 2x - y + 11 z = 1