UKURAN PEMUSATAN DAN LETAK DATA

PENGERTIAN, ISTILAH LAIN DAN JENIS MEAN

Apakah Mean?Mean merupakan salah satu ukuran untuk memberikan gambaran yang lebih jelas dan singkat tentang sekumpulan data. Mean dipelajari dalam materi Statistika, yaitu dalam sub materi ukuran pemusatan data.

Istilah lainrata-rata atau rerata atau rataan

Jenis Mean1. rata-rata hitung, 2.rata-rata ukur dan 3. rata-rata harmonis

Ukuran data

Ukuran Pemusatan data

Ukuran letak data

Ukuran penyebaran data

Mean

Median

Modus

Median

Kuartil

Desil

Persentil

Jangkauan

Jangkauan antar kuartil

Simpangan rata-rata

Simpangan Baku atau ragam

UKURAN PEMUSATAN

Nilai tunggal yang mewakili semua data atau kumpulan pengamatan dimana nilai tersebut menunjukkan pusat data.

Yang termasuk ukuran pemusatan :

1. Rata-rata a. Rata-rata Hitungb. Rata-rata Ukurc. Rata-rata Harmonis

2. Median3. Modus

1. RATA-RATA (MEAN)

1. Rata-Rata Hitung

Data Tunggal

Data Berbobot

Contoh

1.

2

3

Untuk Data Berkelompok Penyelesaia

n

LATIHAN

2. MEDIANMedian yang

disimbolkan dengan Me adalah nilai data yang terletak di tengah setelah data diurutkan. Dengan demikian, median membagi data menjadi dua bagian yang sama besar.

Langkah:1. Tentukan letak Me

data ke (n+1)/22. Tentukan Nilai

Median

Data Berkelompok

CONTOH

Data Berkelompok N

40Letak Me = -------- = ------ 2 2 = 20Sehingga

TB = 50,5 ; Fme = 12

Fkom = 13 ; P = 5Maka

20 – 13 Me = 50,5 + 5 ---------- 12 = 50,5 + 2,90 = 53,40

MEDIAN (lanjutan)

Contoh Perhatikan tabel di sampingLetak median ada pada data ke 30, yaitu pada interval 61 -73, sehingga :Tb = 60,5 p = 13 F = 19 fme = 12

Interval Kelas

f F

9-2122-3435-4748-6061-7374-8687-99

3448

12236

371119315460

Σ 60

72,42 12

19 - 2

60

13 60,5 Med

3. MODUS

d1 = 12-7=5 d2 = 12-10=2 P = 5

HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA NILAI

RATA-RATA HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS

Ada 3 kemungkinan kesimetrian kurva distribusi data : Jika nilai ketiganya hampir sama maka

kurva mendekati simetri. Jika Mod<Med<rata-rata hitung, maka

kurva miring ke kanan. Jika rata-rata hitung<Med<Mod, maka

kurva miring ke kiri.

Med X3 Mod - X

HUBUNGAN RATA-RATA – MEDIAN - MODUS

1. = Md= Mo

2. Mo < Md <

3. < Md < Mo

02468

1012

0

5

10

15

231 Mo Md Rt 663 807

0

5

10

15

231 375 Rt Md Mo 807

1. Jika data berikut mempunyairata-rata 7,06 tentukan nilai a !

Nilai Frekuensi

45678910

2614a 1083

2. Hitunglah rata-rata , Median dan Modus dari data berkelompok sebagai berikut !

Nilai F

12 – 1415 – 1718 – 2021 – 2324 – 2627 - 29

1481232

UKURAN LETAK Ukuran letak suatu rangkaian data adalah

ukuran yang didasarkan pada letak dari ukuran tersebut dalam suatu

distribusi

JENIS-JENIS UKURAN LETAK

Kuartil diberi simbol K/Q ; adalah ukuran letak yang membagi suatu distribusi menjadi 4 bagian yang

sama.

25% 25% 25% 25%

K1 K2 K3

Berdasarkan gambar ini, maka ada 25% dari data dibawah kuartil I, dan 75%dari data berada diatas kuartil I

KUARTIL (lanjutan)

Untuk data tidak berkelompok

Untuk data berkelompok

Tb = batas bawah kelas kuartil

F = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas kuartil Qi

f = frekuensi kelas kuartil Qi

1,2,3 i ,

4

1ni-ke nilai Qi

1,2,3 i , f

F -4

in

pT Q bi

Kuartil II = median Dibawah kuartil III ada 75%, sedang

diatas kuartil II ada 25%

KUARTIL DATA TUNGGAL

RUMUS :Q1 = 1 (n+1) 4Q2 = 2 (n + 1) 4Q3 = 3 (n + 1) 4

Contoh : Data penjualan komputer setiap bulan

selama 7 bulan terakhir tahun 2002 adalah :

2,4,3,3,6,5,7Jawab ;Urutkan data, sehingga menjadi :

2,3,3,4,5,6,7Q1= 1 (7+1) 4 = 8/4 = 2 artinya data dengan posisi

ke-2,Jadi nilai Q1 = 3

Q2= 2 (7+1) 4 = 16/4 = 4, artinya data dengan

posisi ke-4, Q2 yaitu 4Q3= 3 (7+1) 4 = 24/4 = 6, artinya data dengan posisi

ke-6, Q3 yaitu 6

KUARTIL DATA KELOMPOK

Rumus ; Q1 = 1 (n)/4 Q2 = 2 (n)/4 Q3 = 3 (n)/4

CONTOH SO’AL ; Tabel perhitungan kuartil pada distribusi

frekuensi gaji 50 karyawan perusahaan percetakan buku tahun 2008 sbb ;

Kelas frekuensi Tepi kelas atas

Frekuensi kumulatif

30-3940-4950-5960-69

46812

39,549,559,569,5

4101830

49,5

Kelas frekuensi Tepi kelas bawah

Frekuensi kumulatif

70-7980-8990-99

974

79,589,599,5

394650

N = 50

Nilai kuartil ditentukan dengan rumus ;Ki = Tb + p (i. n/4 - ∑F) f

Keterangan ; Qi = kuartil ke-1, 2 atau 3 Tb = batas bawah tepi kelas yang

memuat kuartil C = panjang kelas n = jumlah frekuensi ∑F = jumlah frekuensi kumulatif sebelum

kelas yang memuat kuartil f = frekuensi kelas dari kelas yang

memuat kuartil

Dari tabel tersebut, maka didapatkan ;a. kuartil 1 letak kuartil 1 = 1 (n/4) = 1 (50/4) = 12,5 Nilai kuartil 1 (Q1) = 49,5+10(12,5-10) 8 = 49,5+10 (2,5)/8 = 49,5+3,13 = 52,63

1. Kuartil Kelompok data yang sudah diurutkan

(membesar atau mengecil) dibagi empat bagian yang sama besar.

Ada 3 jenis yaitu kuartil pertama (Q1) atau kuartil bawah, kuartil kedua (Q2) atau kuartil tengah, dan kuartil ketiga (Q3) atau kuartil atas.

KUARTIL, DESIL, PERSENTIL

KUARTIL (lanjutan)

Contoh :Q1 membagi data menjadi 25 %

Q2 membagi data menjadi 50 %

Q3 membagi data menjadi 75 %

Sehingga :

Q1 terletak pada 48-60

Q2 terletak pada 61-73

Q3 terletak pada 74-86

Interval Kelas

Nilai Tengah

(X)

Frekuensi

9-2122-3435-4748-6061-7374-8687-99

15284154678093

3448

12236

Σf = 60

KUARTIL (lanjutan)

Untuk Q1, maka :

Untuk Q2, maka :

Untuk Q3, maka :

54 8

11 -4

1.60

1347,5 Q1

72,42 12

19 -4

2.60

1360,5 Q2

81,41 23

31 -4

3.60

1373,5 Q3

DESIL (D) Desil dari suatu

rangkaian data adalah ukuran letak yang

membagi suatu distribusi menjadi 10 bagian yang

sama besarnya.

D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9

MEDIAN

Berdasarkan gambar berikut, diketahui bahwa ada 10% dari data berada diBawah D1, dan 90% dari data berada diatas D1

Untuk data tidak berkelompok

Untuk data berkelompokL0 = batas bawah kelas desil Di

F = jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas desil Di

f = frekuensi kelas desil Di

DESIL (lanjutan)

91,2,3,..., i ,

10

1ni-ke nilai Di

91,2,3,..., i , f

F -10

in

pT D bi

DESIL UNTUK DATA TUNGGAL

Untuk data tunggal, berlaku rumus ; Desil1=D1=1(n+1)/10 Desil5=D5=5(n+1)/10 Desil9=D9=9(n+1)/10

DESIL UNTUK DATA KELOMPOK

DESIL1=1(n)/10 DESIL5=5(n)/10 DESIL9=9(n)/10

CONTOH DESIL DATA BERKELOMPOK

Kelas frekuensi Tepi kelas atas

Frekuensi kumulatif

30-3940-4950-5960-69

46812

39,549,559,569,5

4101830

Kelas frekuensi Tepi kelas bawah

Frekuensi kumulatif

70-7980-8990-99

974

79,589,599,5

394650

N = 50

RUMUS DESIL BERKELOMPOK ;Di = Tb + p (i.n/10 - ∑F) f

KETERANGAN

Di = desil ke-1,2 s/d 9 Tb = Batas nyata dari kelas yang

memuat desil p = panjang kelas i = 1,2,3 s/d 9 n = jumlah frekuensi ∑F = jumlah frekuensi kumulatif sebelum kelas yang memuat desil f = frekuensi kelas dari kelas yang

memuat desil

Letak desil1 : D1=1(50/10)=5 Nilai desil1 : D1=39,5+10(5-4) 6 = 39,5 + 1,7 = 41,2 Demikian pula cara untuk menentukan

letak dan nilai desil 2 sampai dengan 9

DESIL (lanjutan)

Contoh :D3 membagi data 30%

D7 membagi data 70%

Sehingga :

D3 berada pada 48-60

D7 berada pada 74-86

Interval Kelas

Nilai Tengah

(X)

Frekuensi

9-2122-3435-4748-6061-7374-8687-99

15284154678093

3448

12236

Σf = 60

58,875 8

11 -10

3.60

1347,5 D3

79,72 23

31 -10

7.60

1373,5 D7

DESIL (lanjutan)

0%

0

20%

D2

40%

D4

60%

D6

80%

D'8

100%

n

GRAFIK LETAK PERSENTIL

3. Persentil Untuk data tidak berkelompok

Untuk data berkelompok

KUARTIL, DESIL, PERSENTIL (lanjutan)

991,2,3,..., i ,

100

1ni-ke nilai Pi

991,2,3,..., i , f

F -100

in

pT P bi

1%

P1

3%

P3

…

…

…

…

…

…

99%

P99

UKURAN LETAK PERSENTIL

UKURAN LETAK: PERSENTIL

Definisi: Ukuran letak yang membagi 100 bagian yang sama. P1 sebesar 1%,

P2 sampai 2%P99 sampai 99%

Rumus Letak Persentil: DATA TIDAK BERKELOMPOK DATA BERKELOMPOK

Dimana :

fP= Frek kls yang mengandung Pk

f

Fni

pTP bi100

100

)1( Ni

Pi

CONTOH PERSENTIL DATA TIDAK BERKELOMPOK

Tentukan Letak P20 dan nilainya dari data berikut :25 35 40 50 61 70 80 91 95.

Penyelesaian :Letak persentil 20 (P20) adalah :P20 = 20(9 + 1) : 100 = 2, jadi persentil 20 terletak pada data ke 2 yaitu 35.

CONTOH PERSENTIL DATA BERKELOMPOK

Kelas interval

Frekuensi (fi)

31 – 40 1

41 – 50 2

51 – 60 5

61 – 70 15

71 – 80 20

81 – 90 25

91 – 100 12

f = 80

Cari letak dan nilai dari P50 dan P75 dari daftar distribusi frekuensi :

Letak P50 =(50 x 80)/100 = 40

Maka nilai :0.79

20

)2340105.7050

P

Letak P50

Letak P75