kalkulus

16
1. tentukan turunan dari y = √ x² + 1 pembahasan : f(x) = x² + 1 f’(x) = 2x maka, y = √ x² + 1 y = (x² +1) ¹/²ˉ¹ . (2x) y’ = 1 (x² +1)ˉ¹/² . (2x) 2 y’ = x ( x²+1)ˉ¹/² y’ = x ( x²+1)¹/² y’ = x √ x² + 1 2. turunan kedua dari y = 2x³ + 6x² -10 adalah… pembahasan : y = 2x³ + 6x² -10 y’ = 6x² + 12x y’’= 12x + 12 3. tentukan turunan dari f(x) = x² + 3x – 4 ! pembahasan : f (x) = x² + 3x – 4 f’(x) = 2.x²ˉ¹ + 3.1x¹ˉ¹

Upload: ema-loveta-sari

Post on 22-Aug-2014

891 views

Category:

Documents


14 download

TRANSCRIPT

Page 1: kalkulus

1. tentukan turunan dari y = √ x² + 1

pembahasan :

f(x) = x² + 1f’(x) = 2x

maka,y = √ x² + 1

y = (x² +1) ¹/²ˉ¹ . (2x)

y’ = 1 (x² +1)ˉ¹/² . (2x) 2y’ = x ( x²+1)ˉ¹/²

y’ = x( x²+1)¹/²

y’ = x√ x² + 1

2. turunan kedua dari y = 2x³ + 6x² -10 adalah…

pembahasan :

y = 2x³ + 6x² -10

y’ = 6x² + 12x

y’’= 12x + 12

3. tentukan turunan dari f(x) = x² + 3x – 4 !

pembahasan :f (x) = x² + 3x – 4

f’(x) = 2.x²ˉ¹ + 3.1x¹ˉ¹

maka, f’(x) = 2x + 3

4. tentukan turunan y = 3x - 7x + 6 !

Page 2: kalkulus

pembahasan :

y = 3x - 7x + 6

y’ = 3.4x ˉ¹ - 7.1x¹ˉ¹

maka,y’ = 12x³ - 7

5. tentukan turunan dari y = 2x - 5x³ + 4x !

pembahasan :

y = 2x - 5x³ + 4x

y’ = 2.4x ˉ¹ - 5.3x³ˉ¹ + 4.1x¹ˉ¹

maka, y’ = 8x³ - 15x² + 4

6. tentukan turunan dari y = x³ (x² + 4) !

pembahasan :

y = u’.v + v’.u

u = x³ v = (x² + 4)u’ = 3x²v’ = 2x

jadi,y’ = 3x² (x² + 4) + (2x) x³ y’ = 3x + 12x² + 2x y’ = 5x + 12x²

7. tentukan turunan dari f(x) = (x² + 3) (2x + 4) !

pembahasan :

y’ = u’.v + v’.u

Page 3: kalkulus

u = (x² + 3) v = (2x + 4)u’ = 2xv’ = 2

jadi,y’ = 2x (2x + 4) + 2 (x² + 3)y’ = 4x² + 8x + 2x² + 6y’ = 6x² + 8x + 6

8. tentukan turunan dari y = (2x + 1) ! (x-1)

Pembahasan :

y’ = u’.v - v’.uv²

u = (2x + 1)v = (x-1)u’= 2v’= 1

jadi, y’ = 2(x-1) – 1(2x + 1)

(x-1)²

y’ = 2x – 2 – 2x -1 x² - 2x +1

y’ = - 3 1111 x² - 2x + 1

9. tentukan turunan dari f(x) = 5x³ + 2x² + 3x + 4, berapakah nilai x = 2 ?

pembahasan :

f’(x) = 5.3x³ˉ¹ + 2.2x²ˉ¹ + 3. 1x¹ˉ¹ = 15x² + 4x + 3

x=2, maka

Page 4: kalkulus

f (x=2) =15(2)² + 4(2) + 3= 15(4) + 8 + 3= 60 + 11= 71

10. tentukan turunan dari f(x) = (4x² + 3) ! (x + 1)

pembahasan :

y’ = u’.v - v’.uv²

u = (4x² + 3)v = (x + 1)u’ = 8xv’ = 1

jadi, y’ = 8x(x + 1) - 1(4x² + 3)

(x + 1)²

y’ = 8x² + 8x – 4x² - 3 x² + 2x +2

y’ = 4x² +8x - 3 x² + 2x +2

11. tentukan turunan dari y = (x +4) (5x+7)

pembahasan :

y’ = u’.v + v’.u

u = (x +4)v = (5x+7)u’= 1v’= 5

maka,

y’ = 1(5x+7) + 5(x +4)y’ = 5x + 7 + 5x + 20y’ = 10x + 27

12. tentukan integral tentu dari 1∫³ (2x-1) dx

pembahasan :

Page 5: kalkulus

1∫³ (2x-1) dx = (x² - x) 1]³ = (3² - 3) – (1² - 1) = (9 – 3) – ( 1-1 ) = 6

13. tentukan integral dari ∫ 12x³ + 6x² + 7 dx

pembahasan :

f(x) = ∫ 12x³ + 6x² + 7 dx

= 12 x³+¹ + 6 x²+¹ + 7x + C 3+1 2+1

= 3x + 2x³ + 7x + C

14. tentukan integral dari ∫ (x²-1)² dx !

pembahasan :

∫ (x²-1)² dx = ∫ (x - 2x² + 1) dx

= 1 x +¹ - 2 x²+¹ + x 4+1 2+1

= 1 x - 2 x³ + x5 3

= 1 x - 2 x³ + x + C5 3

15. tentukan integral dari ∫ 4x dx = √x² -1

Pembahasan :

∫ 4x dx = ∫ 4x (x² - 1) dx √x² -1

= 4x.2 ∕ 1.1∕ 2x (x² - 1) + C

= 4 √x² -1 + C

Page 6: kalkulus

16. tentukan integral dari ∫ 2 sin x dx =

pembahasan :

∫ 2 sin dx = 2 ∫ sin x dx= 2 (-cos x) + C= - 2 cos x +C

17. tentukan integral dari ∫cos (2x+3) dx =

pembahasan :

∫ cos (2x+3) dx = ∫ 1 sin (2x+3) + C 2

18. tentukan integral dari ∫cos² 6 dx =

pembahasan :

∫ cos² 6 dx = 6 – 1 sin 2x + C2 4

= 12 sin 2x + C 4= 3 sin 2x + C

19. tentukan integral dari ∫ 2xˉ dx =

pembahasan :

∫ 2xˉ dx = - 2 xˉ + C 4= - 1 xˉ + C 2

20. tentukan integral dari ∫ 18x² + 8x³ - 4 dx =

pembahasan :

∫ 18x² + 8x³ - 4 dx = 18 x²+¹ + 8 x³+¹ + 4x + C 2+1 3+1

= 6x³ + 2x + 4x + C

Page 7: kalkulus

21. diketahui f(x) = x – 1 dan g(x) = x² + 2x – 2. tentukan (g ○f ) (x)!

pembahasan :

(g ○f ) (x) = g (f(x)= g (x-1)= (x-1)² + 2 (x-1) -2= x² - 2x + 1 +2x – 2 – 2

(g ○f ) (x) =x² - 3

22. diketahui g(x) = 2x-2 dan f(x) = x² - 5x + 1. tentukan (f ○ g) (x)!

pembahasan :

(f ○ g) (x) = f (g(x)= f (2x-2)= (2x-2)² - 5(2x-2) + 1= 4x² - 8x + 4 – 10x + 4 +1

(f ○ g) (x) = 4x² - 18x + 9

23. jika f(x) = 15 √x maka f(4) = 5

Pembahasan :Maka f(4) = 15 √4

5 = 15 . 2

5= 6

24. diketahui ( f ○g ) (x) = x² + 4x – 2 dengan f(x) = x-5. tentukan rumus fungsi g(x)!

pembahasan :

(f ○g ) (x) = x² + 4x – 2f(g(x) = x² + 4x – 2

g(x)-5 = x² + 4x – 2g(x) = x² + 4x – 2 + 5g(x) = x² + 4x +3

25. diketahui ( f ○g ) (x) = x² + 8x + 10 dan g(x) = x +3. tentukan rumus fungsi f(x)!

pembahasan :

( f ○g ) (x) = x² + 8x + 10f(g(x) = x² + 8x + 10f (x+3) = x² + 8x + 10

misal

Page 8: kalkulus

x+3 = p x = p – 3

maka,f(p) = (p-3)² + 8(p-3) + 10

= p² - 6p + 9 + 8p -24 +10f(p) = p² + 2p - 5

jadi,f(x) = x² + 2x – 5

26. f(x) = x-4 ; g(x) = 3x+2 dan h(x) x² -1. tentukan ((f ○ g) ○ h) (x)!

pembahasan :

((f ○ g) ○ h(x) = (f ○ g) h(x)= (f ○ g) (x² -1)= f(3x+2) (x² -1)= 3x-2 (x² -1)= 3 (x² -1) – 2

((f ○ g) ○ h(x) = 3x² -5

27. jika f(x) = 5x² + 2x - 7, maka f(x-2) !

pembahasan :

f(x) = 5x² + 2x – 7f(x-2) = 5(x-2)² + 2(x-2) – 7f(x-2) = 5 (x²-4x+4) + 2x - 4 – 7

= 5x² - 20x + 20 + 2x – 4 – 7f(x-2) = 5x² - 18x + 9

28. tentukan fungsi invers dari f(x) = 4x + 8 !

pembahasan :

f(x) = ax + bf(x)ˉ¹ = x – b

a maka,f(x)ˉ¹ = 4x + 8

= x – 8 4

f(x)ˉ¹ = 1 (x-8) 4

29. tentukan fungsi invers dari f(x) = 3x + 2 ! 5x + 4

Pembahasan :

Page 9: kalkulus

f(x) = ax + b cx - a

f(x)ˉ¹ = -dx + b cx - a

maka,f(x) ˉ¹ = 3x + 2 5x + 4f(x)ˉ¹ = -4x + 2

5x – 3

30. tentukan fungsi invers dari f(x) = 2x – 4 !x - 5

pembahasan :

f(x) = ax + b cx - a

f(x)ˉ¹ = -dx + b cx - a

f(x) = 2x – 4 x - 5

f(x)ˉ¹ = 5x – 4 x - 2

31. diketahui f(x) =2x, g(x) = 3 - 5x, maka (g ○ f) (x) !

pembahasan :

(g ○ f) (x) = g (f(x))= g (2x)= 3 – 5 (2x)

(g ○ f) (x) = 3 – 10x

32. tentukan fungsi invers dari f(x) = 5x - 9 !

pembahasan :

f(x) = ax + bf(x)ˉ¹ = x – b

a maka,

f(x) = 5x + 9f(x)ˉ¹ = x + 9

5

33. tentukan fungsi invers dari f(x) = 8x – 5 !2x + 4

Page 10: kalkulus

Pembahasan :

f(x) = ax + b cx - a

f(x)ˉ¹ = -dx + b cx – a

maka,

f(x) = 8x – 5 2x + 4

f(x)ˉ¹ = -4x – 5 2x – 8

34. tentukan fungsi invers dari f(x) = 7x + 3 !

pembahasan :

f(x) = ax + bf(x)ˉ¹ = x – b

a maka, f(x) = 7x + 3f(x)ˉ¹ = x - 3

7f(x)ˉ¹ = 1 (x-3)

7

35. tentukan fungsi invers dari f(x) = 17x + 5 !- 8x - 2

Pembahasan :

f(x) = ax + b cx - a

f(x)ˉ¹ = -dx + b cx – a

maka,

f(x) = 17x + 5 - 8x - 2

f(x)ˉ¹ = 2x + 5 -8x – 17

36. tentukan fungsi invers dari f(x) = 4x + 6 !f(x) = ax + bf(x)ˉ¹ = x – b

a

Page 11: kalkulus

maka, f(x) = 4x +6f(x)ˉ¹ = x – 6

437. tentukan fungsi invers dari f(x) = -3x + 2 !

x + 10

pembahasan :

f(x) = ax + b cx - a

f(x)ˉ¹ = -dx + b cx – a

maka, f(x) = -3x + 2

x + 10f(x) = -10x + 2

x + 338. diketahui f(x) = 3x – 1 dan g(x) x³. tentukan (g ○f)ˉ¹ !

pembahasan :

(g ○f) (x) = g(f(x))= g (3x-1)

(g ○f) (x) = (3x-1) ³Y = (3x-1) ³³√y = 3x-13x = ³√y + 1x = ³√y + 1

3

(g ○f)ˉ¹ (x) = ³√x + 1 3

39. tentukan fungsi invers dari f(x) = 3x +1 !

pembahasan :

f(x) = ax + bf(x)ˉ¹ = x – b

a maka,

f(x) = 3x + 1f(x)ˉ¹ = x – 1

3f(x)ˉ¹ = 1 (x-1)

3

Page 12: kalkulus

40. tentukan fungsi invers dari f(x) = 6x – 7 !5x + 2

Pembahasan :

f(x) = ax + b cx - a

f(x)ˉ¹ = -dx + b cx – a

maka, f(x) = 6x – 7

5x + 2f(x) = -2x – 7

5x – 6

41.