TUGAS METODE STOKASTIK

Disusun Oleh :SEFTY ASTRIA NUGRAHAWATI3333130476

JURUSAN TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNIKUNIVERSITAS SULTAN AGENG TIRTAYASABANTEN20151. Jelaskan yang terkait dengan :a) Intersectionb) Unionc) Mutually exclusiveJawab :a) Intersection (Irisan)Intersection 2 peristiwa A dan B ditulis A B adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam A dan di dalam B. Irisan dilambangkan dengan A B. P(A B) menyatakan probabilitas bahwa baik A maupun B akan terjadi secara simultan.Contoh :Jika diketahui:S

S= { X: 010 }P = { 2, 3, 5, 7 }G = {2, 4, 6, 8, 10}Tentukan !Jawab : = { 2 }

b) Union (Gabungan)Union adalah 2 peristiwa A dan B ditulis A B adalah himpunan semua elemen yang berada di dalam himpunan A dan himpunan B (gabungan elemen). P(A B) menyatakan probabilitas bahwa A atau B akan terjadi. Aturan penjumlahan pada himpunan gabungan ini yaitu, jika ada dua event A dan B, maka probabilitas A atau B akan terjadi adalah P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B).S

Contoh :Jika diketahui:

S= { X: 010 }P = { 2, 3, 5, 7 }G = {2, 4, 6, 8, 10}Tentukan !Jawab : = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 }

c) Mutually exclusiveKejadian saling meniadakan disebut mutually exclusive atau disjoint. Dua event A dan B adalah mutually exclusive jika tidak memiliki hasil ruang sampel yang sama. Dua peristiwa A dan B yang tidak memiliki elemen berserikat. Pada kasus ini, event A dan B tidak dapat terjadi secara simultan, dengan demikianP(A B) = 0Kejadian M. E. Juga disebut kejadian alternatif artinya hanya diharapkan salah satu kejadian dari kemungkinan yang terjadi. Untuk persitiwa saling asing berlaku rumus : P ( A B) = P(A) + P(B)Sedangkan untuk aturan penjumlahan untuk N Mutually Exclusive Event, yaitu Jika A1, A2, ..., AN adalah mutually exclusive event, makaP(A1 A2 ... AN) = P(A1) + P(A2) + ... + P(AN)

2. Sebutkan dan jelaskan secara ringkas enam macam distribusi probabilitas !Jawab :a) Distribusi BinomialPenemu Distribusi Binomial adalah James Bernaulli sehingga dikenal sebagai Distribusi Bernaulli. Distribusi ini menggambarkan fenomena dengan dua hasil atau outcome. Contoh: peluang sukses dan gagal,sehat dan sakit, dsb.Syarat distribusi binomial adalah sebagai berikut :1) Jumlah trial merupakan bilangan bulat. Contoh melambungkan koin 2 kali, tidak mungkin 2 kali.2) Setiap eksperimen mempunyai dua outcome (hasil). Contoh : sukses/gagal, laki/perempuan, sehat/sakit, setuju/tidak setuju.3) Peluang sukses sama setiap eksperimen.Rumus umum :Rumus umum dari Distribusi Probabilitas Binomial:

P(R) = nCx . (P)^x . (Q)^n-x

dimana:P(R) = Peluang Kejadian (R) yang diharapkan.n = Banyaknya Ulangan/Kejadian.x = Banyaknya keberhasilan dalam peubah acak x.P = Peluang Kejadian Keberhasilan.Q = Peluang Kegagalan.nCx = Rumus Kombinasi.Contoh soal :Probabilitas seorang bayi tidak di imunisasi polio adalah 0,1 (p). Pada suatu hari di Puskesmas X ada 4 orang bayi. Hitunglah peluang dari bayi tersebut 3 orang belum imunisasi polio. Jadi, di dalam kejadian binomial ini dikatakan b (x=3, n=4, p=0,1) -> b (3, 4, 0,1) Rumus untuk b (x,n,p) adalah:P (x)= n! P^x . (1-p)^(n-x) x! (n-x)! = 4! 0,1^3 . (1 0,1)^(4 3) 3! (4-3)! = 4.3.2.1 0,1^3 . 0,9^1 3.2.1 (1) = 0,0036

b) Distribusi PoissonDalam mempelajari distribusi Binomial kita dihadapkan pada probabilitas variabel random diskrit (bilangan bulat) yang jumlah trial nya kecil (daftar binomial), sedangkan jika dihadapkan pada suatu kejadian dengan p > maka digunakan distribusi Poisson. Distribusi Poisson dipakai untuk menentukan peluang suatu kejadian yang jarang terjadi, tetapi mengenai populasi yang luas atau area yang luas dan juga berhubungan dengan waktu.Rumus : Rumus Distribusi Poissonp (x) = x e- = xe-x!x! = = n.p = E(x) Nilai rata-ratae = konstanta = 2,71828x = variabel random diskrtit (1,2,3, .,x)Contoh :Diketahui probabilitas untuk terjadi shock pada saat imunisasi dengan vaksinasi meningitis adalah 0,0005. Kalau di suatu kota jumlah orang yang dilakukan vaksinasi sebanyak 4000. Hitunglah peluang tepat tiga orang akan terjadi shock!

Penyelesaian:= = n.p = 4000 x 0,0005 = 2p(x=3) = 23 x 2,71828-2 = 0,18043 x 2x 1c) Distribusi Normal (Gauss)Pada kasus di mana n cukup besar dan p tidak terlalu kecil (tidak mendekati 0,.,1 dilakukan pendekatan memakai distribusi Normal (Gauss). Rumus fungsi kepadatannyanya adalah sebagai berikut :

Sedangkan rumus fungsi umumnya adalah :Contoh :Dari data menunjukkan curah hujan total tahunan di suatu kolam penampung diperkirakan memiliki distribusi normal dengan rata-rata 60 in, dan deviasi standar 15 in. Tentukan probabilitas bahwa pada tahun depan curah hujan tahunan antara 40 sampai 70 in.Jawab:

d) Distribusi GeometrikDistribusi geometrik diaplikasikan dalam percobaan bernoulli diulang beberapa kali sampai mendapatkan sukses yang pertama.Fungsi Padat Peluangx = jumlah pengulangan sebelum mendapatkan sukses yang pertama.Mean ()E(X) = 1 / p

VarianVar(X) = (1 p) / p2Fungsi Pembangkit Momen (MGF)Mx(t) = pet / (1 et + pet)Contoh :Pada suatu daerah, P-Cola menguasai pangsa pasar sebesar 33.2% (bandingkan dengan pangsa pasar sebesar 40.9% oleh C-Cola). Seorang mahasiswa melakukan penelitian tentang produk cola baru dan memerlukan seseorang yang terbiasa meminum P-Cola. Responden diambil secara random dari peminum cola. Berapa probabilitas responden pertama adalah peminum P-cola, berapa probabilitas pada responden kedua, ketiga atau keempat?Penyelesaian :

e) Distribusi HipergeometrikDistribusi probabilitas hipergeometrik digunakan untuk menentukan probabilitas kemunculan sukses jika sampling dilakukan tanpa pengembalian. Variabel random hipergeometrik adalah jumlah sukses (x) dalam n pilihan, tanpa pengembalian, dari sebuah populasi terbatas N , dimana D diantaranya adalah sukses dan (N-D) adalah gagal.Penurunan fungsi distribusi hipergeometrik diturunkan dengan menghitung kombinasi-kombinasi yang terjadi. Kombinasi yang dapat dibentuk dari populasi berukuran N untuk sampel berukuran n adalah kombinasi C(N,n). Jika sebuah variabel random (diskrit) X menyatakan jumlah sukses, selanjutnya dapat dihitung kombinasi diperoleh x sukses dari sejumlah D sukses dalam populasi yang diketahui yaitu C(D,x), dan demikian pula halnya dapat dicari (n-x) kombinasi gagal dari sisanya (N-D), yaitu kombinasi C((N-D),(n-x)).Fungsi Padat Peluangx = jumlah terambil dari kelompok suksesN = Jumlah sampel populasin = jumlah sampelk = jumlah sukses

Mean ()E(X) = nk / N

Varian

Contoh soal :Tumpukan 40 komponen masing-masing dikatakan dapat diterima bila isinya tidak lebih dari 3 yang cacat. Prosedur penarikan contoh tumpukan tersebut adalah memilih 5 komponen secara acak dan menolak tumpukan tersebut bila ditemukan suatu cacat. Berapakah probabilitas bahwa tepat 1 cacat ditemukan dalam contoh itu bila ada 3 cacat dalam keseluruhan tumpukan itu?Penyelesaian:Dengan menggunakan sebaran hipergeometri dengan n = 5, N = 4, k = 3 dan x = 1 kita dapatkan probabilitas perolehan satu cacat menjadi

f) Distribusi MultinomialDistribusi probabilitas binomial digunakan untuk sejumlah sukses dari n percobaan yang independen, dimana seluruh hasil (outcomes) dikategorikan ke dalam dua kelompok (sukses dan gagal). Distribusi probabilitas multinomial digunakan untuk penentuan probabilitas hasil yang dikategorikan ke dalam lebih dari dua kelompok. Fungsi distribusi probabilitas multinomial:

Contoh :Berdasarkan laporan sebuah penelitian tahun 1995, diantara produk mikroprosesor pentium generasi pertama diketahui terdapat cacat yang mengakibatkan kesalahan dalam operasi aritmatika. Setiap mikroprosesor dapat dikategorikan sebagai baik, rusak dan cacat (dapat digunakan dengan kemungkinan muncul kesalahan operasi aritmatika). Diketahui bahwa 70% mirkoprosesor dikategorikan baik, 25% cacat dan 5% rusak. Jika sebuah sample random berukuran 20 diambil, berapa probabilitas ditemukan 15 mikroprosesor baik, 3 cacat dan 2 rusak.Penyelesaian: