model stokastik susceptible infected …eprints.uns.ac.id/12159/1/333791712201310132.pdf · model...

9
MODEL STOKASTIK SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED (SIR) oleh FELIN YUNITA M0109028 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2013 i perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id commit to user

Upload: duongtuyen

Post on 06-Jul-2018

244 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: MODEL STOKASTIK SUSCEPTIBLE INFECTED …eprints.uns.ac.id/12159/1/333791712201310132.pdf · Model stokastik SIR disimulasikan dengan mengambil laju kontak , laju kesembuhan , dan

MODEL STOKASTIK SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED

(SIR)

oleh

FELIN YUNITA

M0109028

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar

Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2013

i

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

Page 2: MODEL STOKASTIK SUSCEPTIBLE INFECTED …eprints.uns.ac.id/12159/1/333791712201310132.pdf · Model stokastik SIR disimulasikan dengan mengambil laju kontak , laju kesembuhan , dan

ii

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

Page 3: MODEL STOKASTIK SUSCEPTIBLE INFECTED …eprints.uns.ac.id/12159/1/333791712201310132.pdf · Model stokastik SIR disimulasikan dengan mengambil laju kontak , laju kesembuhan , dan

ABSTRAK

Felin Yunita. 2013. MODEL STOKASTIK SUSCEPTIBLE INFECTEDRECOVERED (SIR). Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Uni-versitas Sebelas Maret.

Model susceptible infected recovered (SIR) menjelaskan penyebaran penya-kit dari individu susceptible menjadi infected, kemudian individu infected akansembuh (recovered) dan tidak terinfeksi kembali karena memiliki kekebalan. Pe-nyebaran penyakit dapat dipandang sebagai kejadian random yang bergantungpada variabel waktu sehingga disebut proses stokastik. Perubahan banyaknyaindividu susceptible, infected, dan recovered merupakan proses stokastik dalamselang waktu dan variabel random kontinu sehingga dapat dijelaskan dengan mo-del stokastik SIR.

Tujuan penulisan ini adalah menurunkan model stokastik SIR. Penyelesa-ian model stokastik SIR diperoleh dengan formula Ito dan fungsi probabilitasvariabel random dari model stokastik SIR harus memenuhi persamaan diferensialKolmogorov maju.

Model stokastik SIR disimulasikan dengan mengambil laju kontak β, lajukesembuhan γ, dan individu awal yang terinfeksi I(0) yang berbeda. Hasil simu-lasi menunjukkan bahwa jika semakin besar nilai β maka puncak epidemi semakintinggi dan semakin besar nilai I(0) maka puncak epidemi juga semakin tinggi.Akan tetapi jika semakin besar nilai γ maka puncak epidemi semakin rendah.Kata kunci : formula Ito, model SIR, model stokastik, persamaan diferensial

Kolmogorov

iii

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

Page 4: MODEL STOKASTIK SUSCEPTIBLE INFECTED …eprints.uns.ac.id/12159/1/333791712201310132.pdf · Model stokastik SIR disimulasikan dengan mengambil laju kontak , laju kesembuhan , dan

ABSTRACT

Felin Yunita, 2013. SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED (SIR)STOCHASTIC MODEL. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, SebelasMaret University.

The susceptible infected recovered (SIR) model explains the spread of adisease from the susceptible individuals become infected individuals, then theinfected individuals will be recovered and will be not re-infected because theyhave immunity. The spread of disease is considered as random events whichdepend on the time variable so it is called a stochastic process. The changes ofthe number of susceptible, infected, and recovered individuals are a stochasticprocess with continuous time interval and random variable that can be explainedby a SIR stochastic model

The purpose of this research is to construct the SIR stochastic model. Thesolution of the SIR stochastic model is obtained by the Ito formula and theprobability function of random variables from the SIR stochastic model mustsatisfy the Kolmogorov forward differential equations.

The SIR stochastic model is simulated by taking the various values of thecontact rate β, the recovery rate γ, and the initial value of infected I(0). Theresults of simulation show the more value of β, the higher of outbreak, and themore value of I(0), the higher of outbreak. On the other hand the more value ofγ, the lower of outbreak.Key words : Ito formula, Kolmogorov differential equations, SIR model, sto-

chastic model

iv

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

Page 5: MODEL STOKASTIK SUSCEPTIBLE INFECTED …eprints.uns.ac.id/12159/1/333791712201310132.pdf · Model stokastik SIR disimulasikan dengan mengambil laju kontak , laju kesembuhan , dan

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk

Bapak dan Ibu atas doa, cinta dan pengorbanan yang diberikan

v

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

Page 6: MODEL STOKASTIK SUSCEPTIBLE INFECTED …eprints.uns.ac.id/12159/1/333791712201310132.pdf · Model stokastik SIR disimulasikan dengan mengambil laju kontak , laju kesembuhan , dan

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, yang telah

melimpahkan kasih dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skrip-

si ini. Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak, oleh

karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang

telah membantu dalam penulisan skripsi ini, khususnya kepada

1. Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc sebagai Pembimbing 1 yang telah

memberikan bimbingan dan arahan baik penulisan skripsi maupun materi

dalam hal penurunan model stokastik SIR dan simulasi numerik,

2. Dra. Respatiwulan, M.Si sebagai Pembimbing II yang telah memberikan

bimbingan dan arahan baik penulisan skripsi maupun materi dalam hal

penurunan model stokastik SIR dan penyelesaian model,

3. Sri Kuntari, M.Si yang telah memberikan masukan dan saran dalam hal

penyelesaian model, dan

4. Silvia Kristanti, Dyah Wardiyani, dan Maftuhah Qurrotul Aini atas kerja-

sama dan masukan dalam hal penurunan model.

Semoga skripsi ini dapat bermanfaat.

Surakarta, Juli 2013

Penulis

vi

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

Page 7: MODEL STOKASTIK SUSCEPTIBLE INFECTED …eprints.uns.ac.id/12159/1/333791712201310132.pdf · Model stokastik SIR disimulasikan dengan mengambil laju kontak , laju kesembuhan , dan

Daftar Isi

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II LANDASAN TEORI 4

2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1 Model SIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.2 Proses Stokastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.3 Proses Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.4 Model Stokastik SIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.5 Persamaan Diferensial Kolmogorov Maju . . . . . . . . . . 9

2.3 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

IIIMETODE PENELITIAN 11

vii

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

Page 8: MODEL STOKASTIK SUSCEPTIBLE INFECTED …eprints.uns.ac.id/12159/1/333791712201310132.pdf · Model stokastik SIR disimulasikan dengan mengambil laju kontak , laju kesembuhan , dan

IVPEMBAHASAN 12

4.1 Model Stokastik SIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.2 Penyelesaian Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3 Penerapan dan Simulasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

V PENUTUP 26

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

DAFTAR PUSTAKA 28

viii

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

Page 9: MODEL STOKASTIK SUSCEPTIBLE INFECTED …eprints.uns.ac.id/12159/1/333791712201310132.pdf · Model stokastik SIR disimulasikan dengan mengambil laju kontak , laju kesembuhan , dan

Daftar Gambar

2.1 Skema Model SIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.1 Banyaknya individu infected pada selang waktu 0 ≤ t ≤ 40 . . . . 22

4.2 Banyaknya individu infected dengan I(0) = 2, γ = 0.3, dan β =

0.55 (biru), 0.65 (merah), dan 0.75 (hijau) pada selang waktu 0 ≤

t ≤ 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3 Banyaknya individu infected dengan I(0) = 2, γ = 0.2(biru),

0.3(merah), 0.4(hijau) dan β = 0.65 pada selang waktu 0 ≤ t ≤ 40 24

4.4 Banyaknya individu infected dengan I(0) = 2 (biru), 5 (merah), 8

(hijau), γ = 0.3, dan β = 0.65 pada selang waktu 0 ≤ t ≤ 40 . . . 25

ix

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user