TEORI PERRON-FROBENIUS UNTUK MATRIKS STOKASTIK

Diajukan sebagai syarat mengikuti sidang Sarjana Matematika Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung

disusun oleh:

Madona Yunita Wijaya 10103035

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

2007

TEORI PERRON-FROBENIUS UNTUK MATRIKS STOKASTIK

Diajukan sebagai syarat mengikuti sidang Sarjana Matematika Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung

Bandung, Juni 2007

Telah diperiksa dan disetujui oleh Dosen Pembimbing

Dr. Irawati

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

ABSTRACT

Perron-Frobenius Theory is one of the most elegant theory in algebra about the

characteristic of nonnegative matrices based on its spectral property. Its application

can be obtained for stochastic matrix. Through this theory, we can derive and proof

some properties of the limiting distribution of stochastic matrix. Specifically, we will

see the limiting distribution of transition matrix of Markov chain. Besides, we can

also interpret its meaning of the limiting distribution.

ABSTRAK

Teori Perron-Frobenius adalah salah satu teori yang paling terkenal dalam aljabar,

yaitu teori mengenai matriks nonnegatif berdasarkan sifat spektralnya. Aplikasi dari

teori ini bisa kita lihat pada matriks stokastik, karena matriks stokastik merupakan

matriks nonnegatif. Melalui teori ini, kita bisa menurunkan dan membuktikan

beberapa sifat dari matriks stokastik untuk mencari distribusi limit Lebih khususnya

lagi, kita akan melihat bentuk dari distribusi limit matriks transisi rantai Markov.

Selain itu, kita bisa menginterpretasikan arti dari bentuk distribusi limit tersebut.

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan

rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini tepat

pada waktunya.

Tugas akhir yang berjudul “Teori Perron-Frobenius untuk Matriks Stokastik” ini

disusun untuk memenuhi salah satu syarat dalam menyelesaikan pendidikan S1

Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung. Selain itu, pemilihan topik

ini sebagai tugas akhir penulis adalah untuk menunjukkan keistimewaan salah satu

teori yang ada dalam aljabar, yaitu Teori Perron-Frobenius. Keistimewaan ini

ditunjang dengan sifat-sifatnya yang aplikatif dalam statistika, terutama dalam

matriks transisi rantai Markov yang dikenal pula dengan matriks stokastik.

Dalam penyusunan tugas akhir ini, penulis memperoleh banyak bantuan serta

bimbingan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis menyampaikan ucapan

terima kasih kepada

1. Bu Ira selaku dosen pemimbing yang telah bersedia memberikan arahan dan

bimbingan selama satu tahun terakhir ini.

2. Bu Ria yang telah meluangkan waktunya sebagai dosen penguji, memberikan

banyak masukan dalam perbaikan tugas akhir penulis, dan pembelajaran materi

statistika yang digunakan dalam tugas akhir ini.

3. Pak Muchlis dan Bu Hanni selaku dosen penguji yang telah memberikan kritik

dan saran perbaikan untuk tugas akhir ini.

4. Pak Maman yang telah banyak memberikan petuah dan pembelajaran sehingga

penulis bisa lebih termotivasi lagi, salah satunya adalah untuk menyenangi ilmu

aljabar.

iv

5. Keluarga penulis, terutama kedua orangtua yang telah memberikan dukungan dan

motivasi baik berupa material maupun spiritual untuk keberhasilan penulis dalam

menyelesaikan tugas akhir.

6. Erma, Amru, Stefanus, Edi, dan Acung yang telah membantu penulis dalam

arahan pembuktian beberapa teorema serta pemahaman beberapa teori dalam

tugas akhir ini.

7. Wita, Uma, Anggun, Intan, Eka, Vonny, Rahma, Yo, Lido, Helni, Manes, Heti,

Mega, Riswan, Cima, Onta, Opik, Andrew, Adan, Hendrik, serta teman-teman

2003 lainnya yang telah memberikan motivasi secara langsung maupun tidak

langsung dan telah menjadi teman seperjuangan dari TPB.

8. Arie dan Dian yang telah memberikan dukungan sehingga penulis dapat

menyelesaikan tugas akhir ini.

Penulis menyadari bahwa tulisan dalam tugas akhir ini masih jauh dari sempurna.

Oleh karena itu, penulis sangat mengharapkan kritik dan saran dalam penyempurnaan

tulisan ini di masa yang akan datang. Semoga tulisan ini dapat bermanfaat bagi teman

sejawat maupun para pembaca.

Bandung, Juni 2007

Penulis

v

DAFTAR ISI Lembar Pengesahan ................................................................................................ i

Abstract ................................................................................................................... ii

Abstrak .................................................................................................................... iii

Prakata..................................................................................................................... iv

Daftar Isi .................................................................................................................vi

BAB I : PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ..................................................................................................1

1.2 Rumusan Masalah .............................................................................................2

1.3 Tujuan ...............................................................................................................2

1.4 Manfaat .............................................................................................................3

1.5 Sumber Data dan Teknik Penelitian..................................................................3

1.6 Sistematika Penulisan .......................................................................................3

BAB II : LANDASAN TEORI

2.1 Subruang Invarian dan Matriks Representasi ...................................................5

2.2 Proyektor ...........................................................................................................9

2.3 Indeks Matriks...................................................................................................10

2.4 Dekomposisi Core-Nilpotent ............................................................................11

2.5 Norm dari Vektor dan Matriks ..........................................................................13

2.6 Properti dari Nilai Karakteristik........................................................................18

2.7 Matriks Jordan...................................................................................................20

2.8 Limit dari Matriks .............................................................................................27

2.9 Cesaro Summable .............................................................................................29

vi

BAB III : TEORI PERRON-FROBENIUS

3.1 Matriks Positif...................................................................................................36

3.2 Matriks Nonnegatif ...........................................................................................42

BAB IV : APLIKASI PADA MATRIKS STOKASTIK

4.1 Matriks Stokastik dan Rantai Markov ..............................................................56

4.2 Vektor Distribusi Peluang.................................................................................58

4.3 Distribusi Limit dari Rantai Markov.................................................................60

4.3.1 Distribusi Limit dari Matriks Stokastik Tak Tereduksi ...........................60

4.3.2 Distribusi Limit dari Matriks Stokastik Tereduksi ..................................64

4.4 Contoh Kasus dalam Menghitung Distribusi Limit dari Rantai Markov..........70

4.4.1 Kasus 1 : Matriks Stokastik Tak Tereduksi .............................................71

4.4.2 Kasus 2 : Matriks Stokastik Tereduksi.....................................................72

BAB V : KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan .......................................................................................................75

4.2 Saran..................................................................................................................76

Daftar Pustaka .........................................................................................................77

Lampiran .................................................................................................................78

vii