model epidemi stokastik - eprints.uns.ac.id · model epidemi stokastik sis dan simulasi, 2. dra....

perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id

commit to user

MODEL EPIDEMI STOKASTIK

SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS)

oleh

SILVIA KRISTANTI

M0109060

SKRIPSI

ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar

Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SEBELAS MARET

SURAKARTA

2013

i


commit to user

ii


commit to user

ABSTRAK

Silvia Kristanti, 2013. MODEL EPIDEMI STOKASTIK SUSCEPTIBLEINFECTED SUSCEPTIBLE (SIS). Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahu-an Alam, Universitas Sebelas Maret.

Model epidemi susceptible infected susceptible (SIS ) merupakan model yangmenggambarkan penyebaran penyakit dengan karakteristik setiap individu sem-buh dapat terinfeksi kembali karena tidak memiliki sistem kekebalan tubuh per-manen. Penyebaran penyakit dapat dipandang sebagai kejadian random yangbergantung pada variabel waktu sehingga disebut proses stokastik. Perubahanbanyaknya individu terinfeksi dipandang sebagai proses stokastik dalam selangwaktu kontinu sehingga dapat digambarkan dengan model stokastik SIS.

Tujuan penulisan ini adalah menurunkan model stokastik SIS. Penyelesaianmodel stokastik SIS diperoleh dengan menggunakan formula Ito dan fungsi proba-bilitas variabel random dari banyaknya individu terinfeksi memenuhi persamaandiferensial Kolmogorov maju. Selanjutnya, model stokastik SIS diterapkan un-tuk penyebaran penyakit pertussis. Model disimulasikan dengan mengambil lajukontak β yang berbeda. Berdasarkan hasil simulasi diperoleh jika nilai parame-ter β > γ, maka semakin cepat peningkatan penyebaran penyakit dan semakinbanyak juga individu yang terinfeksi. Tetapi jika nilai parameter β < γ, makasemakin cepat penurunan penyebaran penyakit dan individu yang terinfeksi men-capai nol artinya tidak terjadi penularan penyakit lagi.

Kata kunci: formula Ito, model stokastik SIS, persamaan diferensial Kolmogo-rov maju.

iii


commit to user

ABSTRACT

Silvia Kristanti, 2013. SUSCEPTIBLE INFECTED SUSCEPTIBLE (SIS)STOCHASTIC EPIDEMIC MODEL. Faculty of Mathematics and Natural Sci-ences, Sebelas Maret University.

The susceptible infected susceptible SIS epidemic model is a model thatexplained the spread of disease which characteristics of each individual can bereinfected because it has no permanent immune system. The spread of diseaseare considered as a random events which depend on the time variable so it iscalled stochastic processes. The changes of the number of infected individualsare a stochastic process in continuous time interval that can be explained by SISstochastic model.

The purpose of this research is to construct the SIS stochastic model. Thesolution of the SIS stochastic model is obtained by Ito’s formula and probabilityfunction of random variables from the number of infected individuals satisfy for-ward Kolmogorov differential equations. The SIS stochastic model is applied tothe spread of pertussis disease. Model is simulated by taking a different valuesof the contacts rate β. The results of simulation show that the if value of β isgreater than γ, then the more rapid increase in the spread of disease and themore number of infected individuals. But if the value of β is smaller than γ, thenthe more rapid decrease in the spread of disease and the infected individuals iszero means no disease transmission occurs again.

Keywords : Forward Kolmogorov differential equations, Ito’s formula, SIS sto-chastic model.

iv


commit to user

PERSEMBAHAN

Karya ini kupersembahkan untuk

Bapak, Ibu, dan Mbak Dina

atas segala doa dan semangat yang telah diberikan

v


commit to user

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT, yang telah melimpah-

kan rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak, oleh karena itu

penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah mem-

bantu dalam penulisan skripsi ini, khususnya kepada

1. Sri Kuntari, S.Si., M.Si. Pembimbing I yang telah memberikan bimbingan

dan saran baik dalam hal penulisan maupun materi dalam hal penyelesaian

model epidemi stokastik SIS dan simulasi,

2. Dra. Respatiwulan, M.Si. Pembimbing II yang telah memberikan bimbing-

an dan saran baik dalam hal penulisan maupun materi dalam hal penurunan

dan penyelesaian model epidemi stokastik SIS,

3. Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc. yang telah memberikan saran

dalam hal simulasi numerik, dan

4. semua pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini.

Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca.

Surakarta, Juli 2013

Penulis

vi


commit to user

Daftar Isi

ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix

I PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II LANDASAN TEORI 4

2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Teori Penunjang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1 Model SIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.2 Proses Stokastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.3 Proses Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2.4 Model Stokastik SIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2.5 Persamaan Diferensial Kolmogorov Maju . . . . . . . . . . 8

2.3 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

IIIMETODE PENELITIAN 10

vii


commit to user

IVPEMBAHASAN 11

4.1 Model Stokastik SIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.2 Penyelesaian Model Stokastik SIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.3 Penerapan dan Simulasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

V PENUTUP 20

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

DAFTAR PUSTAKA 22

viii


commit to user

Daftar Gambar

2.1 Skema Model SIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.1 Banyaknya individu terinfeksi pada selang waktu 0 ≤ t ≤ 70 . . . 17

4.2 Banyaknya individu terinfeksi dengan β = 0.25, 0.3, 0.4, 0.55 dan

γ = 0.04 pada selang waktu 0 ≤ t ≤ 100 . . . . . . . . . . . . . . 18

4.3 Banyaknya individu terinfeksi dengan β = 0.025, 0.01, 0.0075, 0.005

dan γ = 0.04 pada selang waktu 0 ≤ t ≤ 30 . . . . . . . . . . . . . 19

ix

model epidemi stokastik - eprints.uns.ac.id · model epidemi stokastik sis dan simulasi, 2. dra....

Documents