transformasi satu peubah acak (lanjutan)stat.ipb.ac.id/en/uploads/ks/s1 - teori statistika i/12 -...
TRANSCRIPT
Transformasi Satu Peubah Acak
(Lanjutan)
Dr. Kusman Sadik, M.Si
Departemen Statistika IPB, 2016
1
2
Transformasi Peubah Acak (Lanjutan)
B. Metode Penggantian Peubah
Metode ini merupakan pengembangan dari metode fungsi
sebaran. Misalkan diketahui fkp bagi p.a. X adalah fX(x). Jika
didefinisikan p.a. lainnya yaitu Y = h(x), maka ingin diketahui
fkp bagi Y yaitu fY(y).
3
Perhatikan bahwa dalam transformasi p.a. fungsinya, yaitu
h(x), harus fungsi satu-satu (one-to-one).
Y = h(X) X = h-1(Y)
FY(y) = P(Y y) = P(h(X) y) = P(X h-1(y)) = FX(h-1(y))
FY(y) = FX(h-1(y))
4
FY(y) = FX(h-1(y))
selanjutnya tentukan turunan dari FY(y) di atas untuk
mendapatkan fY(y):
fY(y) = dy
yhd
yhd
yhdF
dy
yhdF
dy
ydF XXY )]([
)]([
)]([)]([)( 1
1
11
karena X = h-1(Y) , maka persamaan di atas menjadi:
fY(y) = dy
dxxf
dy
dx
dx
xdF
dy
yhd
yhd
yhdFX
XX )()()]([
)]([
)]([ 1
1
1
5
fY(y) = dy
dxxf
dy
dx
dx
xdF
dy
yhd
yhd
yhdFX
XX )()()]([
)]([
)]([ 1
1
1
atau
fY(y) = dy
ydhyhfX
)())((
11
6
Teorema:
Misalkan X adalah p.a. dengan fkp fX(x) pada gugus S R, dan
didefinisikan fungsi h : S T sebagai tranformasi satu-satu
(one-to-one), sehingga inversnya x = h-1(y), y T. Anggap
bahwa untuk y T, turunan (dh-1(y))/dy ada, kontinu dan
tidak sama dengan 0. Maka fungsi kepekatan peluang bagi
p.a. yang didefinisikan Y = h(X) adalah:
fY(y) = dy
ydhyhfX
)())((
11
, y T
Catatan : dy
ydh )(1
disebut sebagai Jacobi atau disingkat J.
7
Kasus 1
Misalkan p.a. kontinu X mempunyai fkp sebagai berikut:
fX(x) = 2x, 0 < x < 1
Jika didefinisikan p.a. Y = 8X3, ingin diketahui fkp bagi Y yaitu
fY(y).
Perhatikan bahwa dalam transformasi p.a. fungsinya harus
fungsi satu-satu (one-to-one). Pada transformasi di atas, Y =
X3, merupakan fungsi satu-satu.
Y = h(X) = 8X3 X = h-1(Y) = 3/1
8
Y=
2
3/1Y
dan karena 0 < x < 1 maka 0 < y < 8.
8
Y = h(X) = 8X3 X = h-1(Y) = 3/1
8
Y=
2
3/1Y
dan karena 0 < x < 1 maka 0 < y < 8.
J = dy
ydh )(1
=62
3/23/1
yy
dy
d
9
J = dy
ydh )(1
=62
3/23/1
yy
dy
d
fY(y) =
6))((2
)())((
3/21
11 y
yhdy
ydhyhfX
fY(y) 3/1
3/23/1
6
1
622
y
yy
Sehingga fkp bagi p.a. Y adalah
3/16
1)(
yyfY , 0 < y < 8
Coba cek bahwa fY(y) tersebut merupakan fkp !
10
Kasus 2
Misalkan p.a. kontinu X U(, ). Jika kemudian
didefinisikan p.a. Y = eX, akan ditentukan fkp bagi Y yaitu
fY(y).
Karena X U(, ) maka < x < dan e < y < e
Y = h(X) = eX X = h-1(Y) = ln(Y)
J = dy
ydh )(1
=ydy
yd 1)ln(
11
J = dy
ydh )(1
=ydy
yd 1)ln(
fY(y) = yydy
ydhyhfX
)(
111)())((
11
Sehingga fkp bagi p.a. Y adalah
)(yfYy)(
1
, e < y < e
Coba cek bahwa fY(y) tersebut merupakan fkp !
12
Kasus 3
Misalkan p.a. kontinu X U(0, 1). Jika kemudian
didefinisikan p.a. Y = -2ln(X), akan ditentukan fkp bagi Y
yaitu fY(y).
Karena X U(0, 1) maka 0 < x < 1 dan y > 0
Y = h(X) = -2ln(X) X = h-1(Y) = e-y/2
J = dy
ydh )(1
= 2/2/2/
2
1
2
1 yyy
eedy
de
13
J = dy
ydh )(1
= 2/2/2/
2
1
2
1 yyy
eedy
de
fY(y) = 2/2/1
1
2
1
2
1.1
)())(( yy
X eedy
ydhyhf
Sehingga fkp bagi p.a. Y adalah
2/
2
1)( y
Y eyf , y > 0
Coba cek bahwa fY(y) tersebut merupakan fkp. Catatan, fkp
ini merupakan sebaran 2 dengan derajat bebas 2.
14
Kasus 4
Misalkan p.a. kontinu X mempunyai fkp sebagai berikut:
fX(x) = )2/(12 2
2
1 xex
, - < x <
Jika didefinisikan p.a. Y = X
1, tunjukkan bahwa fkp bagi Y
adalah Normal(0, 1).
15
Kasus 5
Misalkan p.a. kontinu X N(, 2). Jika kemudian
didefinisikan p.a. Y = aX - b, akan ditentukan fkp bagi Y yaitu
fY(y).
Karena X N(, 2) maka - < x < dan - < y <
Y = h(X) = aX - b X = h-1(Y) = a
bY
J = dy
ydh )(1
=aaa
bY
dy
d 11
16
J = dy
ydh )(1
=aaa
bY
dy
d 11
fY(y) = a
a
by
dy
ydhyhfX
1.
2exp
2
1)())((
2
2
11
2
2
)(2
)(exp
2
1
a
bay
a
Sehingga fkp bagi p.a. Y = aX - b adalah Normal(a - b, (a)2)
17
Kasus 6 (Bukan Fungsi Satu-Satu)
Misalkan p.a. kontinu X menyebar Normal(0, 1) yaitu
fX(x) = 2
2
1
2
1 x
e
, - < x <
Jika didefinisikan p.a. Y = X2, ingin diketahui fkp bagi Y yaitu
fY(y).
Perhatikan bahwa dalam transformasi di atas, Y = X2, bukan fungsi satu-satu (one-to-one). Sehingga transformasi tersebut harus dipecah dulu agar menjadi fungsi satu-satu, yaitu: - < x 0 dan 0 < x < .
18
Untuk - < x 0
Y = h(X) = X2 X = h-1(Y) = Y
dan karena - < x 0 maka 0 y < .
J = dy
ydh )(1
= 2/12/1
2
1
2
1 yyydy
d
2/2/1
2/12
111
22
1
2
1.
2
1)())(()(
2
y
y
XY
ey
yedy
ydhyhfyf
19
Untuk 0 < x <
Y = h(X) = X2 X = h-1(Y) = Y
dan karena 0 < x < maka 0 < y < .
J = dy
ydh )(1
= 2/12/1
2
1
2
1 yyydy
d
2/2/1
2/12
111
22
1
2
1.
2
1)())(()(
2
y
y
XY
ey
yedy
ydhyhfyf
20
Sehingga fkp bagi p.a. Y adalah
0 ,2
1
22
1
22
1)(
2/2/1
2/2/12/2/1
yey
eyeyyf
y
yy
Y
Perhatikan bahwa fkp p.a. Y tersebut merupakan sebaran
Khai-Kuadrat dengan derajat bebas 1 yaitu 2(1).
Jadi jika X N(0, 1) maka Y = X2 2(1).
21
Catatan : sebaran Khai-Kuadrat dengan derajat bebas r dapat
dinyatakan sebagai berikut:
0 ,2)2/(
1)( 2/1)2/(
2/
yey
ryf yr
r
untuk r = 1 maka (r/2) = , sehingga
0 ,2
1
2.
1)( 2/2/12/1)2/1( yeyeyyf yy
22
Kasus 7 (Peubah Acak Diskret)
Untuk transformasi peubah acak diskret dilakukan seperti
pada peubah acak kontinu di atas, hanya saja untuk peubah
acak diskret Jacobi selalu sama dengan satu (J = 1), yaitu
fY(y) = ))(( 1 yhfX
, y T
23
Dr. Kusman Sadik
Dept. Statistika IPB, 2016
Misalkan p.a. diskret X mempunyai sebaran Poisson(),
yaitu:
fX(x) = !x
ex
, x = 0, 1, 2, ...
Jika didefinisikan p.a. Y = 5X, akan ditentukan fkp bagi Y
yaitu fY(y).
Y = h(X) = 5X X = h-1(Y) = Y/5
karena X merupakan p.a. diskret maka Jacobian = 1, sehingga
fY(y) = ))(( 1 yhfX
= fX(y/5) = )!5/(
5/
y
ey
, y = 0, 5, 10, ....
24
1. Roussas, G. 2003. Introduction to Probability and Statistical Inference. Academic Press
2. Nasoetion, A. H. dan Rambe, A. 1984. Teori Statistika untuk Ilmu-Ilmu Kuantitatif. Bhratara Karya Aksara, Jakarta.
3. Hoog RV , McKean JW, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistics 6th Edition. Pearson Prentice Hall.
4. Wackerly D, Mendenhall W, Scheaffer RL. 2007. Mathematical Statistics with Applications 7th Edition, Duxbury Thomson Learning
5. Pustaka lain yang relevan.
25
Bisa di-download di
http://www.stat.ipb.ac.id/en/index.php?page=dr-kusman-sadik
26