2. analisis peubah acak diskrit_3 sept 14

ANALISIS PEUBAH ACAK DISKRIT

(ANALYSIS OF DISCRETE RANDOM VARIABLE)

2b

TUJUAN PELAJARAN

Menentukan peluang dari probability mass function dan sebaliknya; Menentukan peluang dari cumulative distribution function dan

cumulative distribution function dari probability mass function dan sebaliknya;

Menghitung rata-rata dan variansi dari peubah acak diskrit; Memahami asumsi untuk setiap distribusi peluang diskrit yang

disampaikan Memilih distribusi peluang diskrit yang tepat untuk menghitung

peluang dalam aplikasi-aplikasi khusus Menghitung peluang, menentukan rata-rata dan variansi dari setiap

distribusi peluang diskrit.

PROBABILITY DISTRIBUTIONS AND PROBABILITY MASS FUNCTIONS

4

Probability distribution dari suatu peubah acak X adalah suatu deskripsi peluang-peluang yang terkait dengan nilai X.

Untuk suatu peubah acak diskrit, distribusi selalu dinyatakan dengan suatu daftar nilai bersama dengan peluang dari masing-masing nilai tersebut. Penyataan distribusi dapat juga dinyatakan dengan persamaan peluang. Contoh: P( X=0 ) = 0.65, P( X=1 ) = 0.66, f(x) = (8/7)X

Untuk suatu peubah acak diskrit X dengan nilai yang mungkin x1, x2, …, xn, probability mass function adalah suatu fungsi:

PROBABILITY DISTRIBUTIONS ANDPROBABILITY MASS FUNCTIONS

5

Contoh Soal:Di pagi hari 3 orang petani A, B, C menitipkan peci kepada seorang anak.Di sore hari, anak tersebut mengembalikan peci secara acak kepada para petani.Bila urutan petani dalam menerima peci adalah A, B, C:a. Tentukan ruang sampel urutan kemungkinan susunan peci di petani;b. Cari nilai c dari random variable C yang menyatakan jumlah susunan yang

cocok. c. Tentukan kemungkinan nilai c dan peluangnya (distribusi peluang)


6

Jawab

Ruang sampel:

Peluang (distribusi Peluang):


Ruang Sampel c (Kesesuaian Peci)ABC 3ACB 1BAC 1BCA 0CAB 0CBA 1

c 0 1 3P(C=c) 1/3 1/2 1/6

7


8

CUMULATIVE DISTRIBUTION FUNCTION

Cumulative distribution function dari suatu peubah acak diskrit X, yang dinyatakan dengan F(x), adalah jumlah kumulatif dari probability mass function, dan dapat dirumuskan dengan:

dimana suatu fungsi cumulative distribution function memiliki karakteristik sebagai berikut:

9


10


11


12


13


14

MEANS & VARIANSOF A DISCRETE RANDOM VARIABLE

Mean atau disebut juga dengan expected value dari suatu peubah acak X, dilambangkan dengan µ atau E(X) adalah nilai rata-rata :

Varians dari X, dilambangkan dengan 𝜎2 atau V(X) adalah

Sedangkan standar deviasi dari X adalah

15


Mean atau disebut juga dengan expected value dari suatu peubah acak X, dilambangkan dengan µ atau E(X) adalah suatu nilai rata-rata dari nilai yang mungkin dari X, dengan berat yang sama dengan peluang.

16


Contoh suatu distribusi peluang:

17


Varians dari X, dilambangkan dengan 𝜎2 atau V(X) adalah suatu ukuran sebaran nilai yang mungkin dari X.

18

MEANS & VARIANSOF A DISCRETE RANDOM VARIABLEContoh:

Dalam suatu distribusi peluang, gambar a dan b memiliki rata-rata yang sama namun varians pada gambar a lebih besar dari varians pada gambar b.

19


20


X X-65.7 (X-65.7)2x1 35 -30.7 943.4x2 46 -19.7 388.7x3 57 -8.7 75.9x4 68 2.3 5.2x5 72 6.3 39.5x6 87 21.3 453.1x7 95 29.3 857.7

460 2763.465.7 394.8

Distance from the mean

Squared distance from the mean

Sum of squared distances from the mean

Average of the squared distances from the mean= Variance

21


Jika X adalah suatu peubah acak sebagai suatu fungsi h(x) dengan probability mass function f(x), maka:

Contoh:

22


Mean /Expectation

Variance

Data Mean: the average of the actually obtained data

How dispersed the data points are

A random variable

Expectation: the average of the values to be obtained

How dispersed the values are to be

23

CONTOH SOAL

Buktikan bahwa jika Fξ(x) memiliki distribusi diskrit dengan nilai x1,x2,.... maka adalah konstanta dengan ukuran P{ξ = xi} untuk masing-masing xi. (Petunjuk: Increment Fξ(t) - Fξ(s) sebanding dengan total masa dari xi yang termasuk dalam interval [s,t]

24

CONTOH SOAL

Solusi 1.6 Misalkan bahwa Fξ(x) memiliki distribusi diskrit dengan nilai x1,x2,.... Jika s < t adalah bilangan riil sehingga xi ∈ (s,t) untuk setiap i, maka

Fξ (t) - Fξ (s) = P{ξ ≤ t} - P{ξ ≤ s} = P{ξ ∈ (s,t)}, Sebagai contoh Fξ(s) = Fξ(t) = 0. Tapi jika terdapat tepat satu i sehingga xi ∈ (s,t), sehingga

Fξ(t) - Fξ (s) = P{ξ ≤ t} - P{ξ ≤ s} = P{ξ ∈ (s,t)} = P{ξ = xi}.

Hal ini berarti bahwa Fξ adalah konstanta pada sembarang interval yang tidak mengandung setiap nomer x1,x2,... dan melakukan lompatan dengan ukuran P{ξ = xi} pada setiap xi.

25

DISCRETE UNIFORM DISTRIBUTION

Suatu peubah acak X memiliki suatu discrete uniform distribution jika nilai dari setiap n dalam rentangnya, misalnya x1, x2, … , xn memiliki peluang yang sama.

Probability mass function f(x) akan bernilai:

26


27


28


29

BINOMIAL DISTRIBUTION

Suatu percobaan seringkali hanya memiliki 2 keluaran. Percobaan dengan 2 keluaran yang mungkin dan dilakukan berulang kali dalam suatu percobaan acak disebut dengan Bernoulli Trial.

Suatu percobaan acak yang terdiri dari n Bernoulli trial memiliki karakteristik: Percobaan terdiri dari n usaha yang berulang; Percobaan-percobaan bersifat independen; Setiap hasil percobaan hanya memiliki 2 kemungkinan keluaran

seperti sukses atau gagal; Peluang sukses dari setiap percobaan dinyatakan dengan p dan

selalu bernilai konstan.

30

BINOMIAL DISTRIBUTION Contoh Percobaan Bernoulli:Suatu usaha pengambilan 3 bahan secara acak dari suatu hasil pabrik yang menghasilkan 25% bahan cacat, dimana pengambilan bahan yang cacat disebut sukses (mendapatkan bahan yang cacat).

Banyaknya sukses merupakan merupakan suatu peubah acak X dengan nilai 0 – 3. Hasil yang mungkin:

P(C) = ¼P(T) = ¾

P(TCT) = 3/4*1/4*3/4P(TCT) = 9/64

Hasil xTTT 0TCT 1TTC 1CTT 1TCC 2CTC 2CCT 2CCC 3

x 0 1 2 3

f(x) 27/64 27/64 9/64 1/64

31

BINOMIAL DISTRIBUTION Dalam n percobaan, peluang sukses dari x percobaan: p Peluang gagal (q) dari n-x percobaan adalah 1-p; Peluang untuk urutan tertentu dengan kejadian bebas: Jumlah titik pada ruang sampel adalah

Suatu peubah acak X yang bernilai sama dengan jumlah dari percobaan yang menghasilkan keluaran sukses, memiliki peubah acak binomial dengan parameter 0 < p < 1 dan n = 1,2, … , dan probability mass function dari X adalah:

32

GEOMETRIC BINOMIAL DISTRIBUTION

Dalam deretan percobaan Bernoulli, untuk suatu peubah acak X yang menunjukkan sejumlah percobaan sampai sukses yang pertama, disebut dengan peubah acak geometrik dengan parameter 0 < p < 1 dan

33

NEGATIVE BINOMIAL DISTRIBUTION

Dalam deretan percobaan Bernoulli, untuk suatu peubah acak X yang menunjukkan sejumlah percobaan sampai r sukses terjadi, disebut dengan peubah acak binomial negatif dengan parameter 0 < p < 1 dan r = 1,2,3, …

34

HYPERGEOMETRIC DISTRIBUTION

Terdapat suatu himpunan yang terdiri N objek, dengan K objek yang digolongkan sebagai sukses dan N-K objek yang digolongkan sebagai gagal.

Suatu sampel berukuran N objek yang dipilih secara acak dari N objek dimana K ≤ N dan n ≤ N, dan suatu peubah acak X yang menunjukkan jumlah sukses dalam sampel, maka X disebut hypergeometric random variable dengan

35

DISTRIBUSI POISSON Untuk suatu rentang bilangan real, dengan asumsi perhitungan

terjadi secara acak dalam rentang tersebut, maka rentang tersebut dapat dibagi menjadi bagian rentang dengan: Peluang lebih dari satu kali perhitungan dalam bagian rentang

adalah 0; Peluang dari satu perhitungan dalam bagian rentang adalah

sama untuk semua bagian rentang dan sebanding dengan panjang dari bagian rentang tersebut;

Perhitungan dalam bagian rentang adalah bebas dan terlepas dari bagian rentang lainnya dimana percobaan secara acak disebut dengan proses poisson.

Peluang acak X yang sama dengan jumlah dari perhitungan dalam rentang disebut dengan peubah acak poisson dengan parameter 0 < λ dan probability mass function dari X adalah

2. analisis peubah acak diskrit_3 sept 14

Documents