peubah acak (lanjutan) - lelah...

Learning OutcomesSebaran Diskret

Nilai HarapanRagam

Beberapa Sebaran PA Diskret

Peubah Acak (Lanjutan)

Julio Adisantoso

13 April 2014

Julio Adisantoso Peubah Acak (Lanjutan)


Nilai HarapanRagam


Learning Outcome

Mahasiswa dapat mengerti dan menentukan peubah acak diskretMahasiswa dapat memahami dan menghitung nilai harapanMahasiswa dapat memahami dan menghitung ragamMahasiswa dapat mengenal dan memahami beberapa sebaran peubahacak diskret

OutlinePeubah Acak DiskretNilai Harapan



Nilai HarapanRagam


DefinisiPeubah acak dimana semua nilai yang mungkin adalah tercacah, makapeubah acak disebut sebagai peubah acak diskret.

Untuk peubah acak X diskret, dapat ditentukan fungsi massa peluang ataudisingkat fmp, p(a), dari peubah acak X, yaitu

p(a) = P(X = a)

Untuk setiap nilai peubah acak X = {x1, x2, ...}, maka berlaku

p(xi) ≤ 0 untuk setiap i = 1, 2, ...p(x) = 0 untuk nilai x lainnya

∞∑i=1

p(xi) = 1



Nilai HarapanRagam


Sebaran Diskret

Berikut adalah contoh fungsi massa peluang dari peubah acak X

x 0 1 2p(x) 1

412

14

Fungsi sebaran dari peubah acak X tersebut adalah

F(x) =

0 x < 014 0 ≤ x < 134 1 ≤ x < 21 2 ≤ x

yang merupakan fungsi tangga.



Nilai HarapanRagam


Latihan

ContohDiketahui fungsi massa peluang peubah acak X sebagai berikut:

p(i) =cλi

i!untuk i = 0, 1, 2, ... dan λ > 0

Dapatkan P(X = 0) dan P(X > 2).

ContohDiketahui fungsi massa peluang dari peubah acak X

x 1 2 3 4p(x) 1

412

18

18

Tentukan fungsi sebaran F(X).



Nilai HarapanRagam


Nilai Harapan

DefinisiJika X adalah peubah acak diskret yang mempunyai fungsi massa peluangp(x), maka nilai harapan dari X, dinotasikan dengan E(X), didefinisikansebagai

E(X) =∑

x;p(x)>0

xp(x)

Sebagai contoh, jika p(0) = p(1) = 12 maka

E(X) = 0p(0) + 1p(1) = 0(12) + 1(

12) =

12

yang merupakan rata-rata dari kemunculan 0 dan 1. Namun demikian, jikap(0) = 1

3 dan p(1) = 23 maka

E(X) = 0p(0) + 1p(1) = 0(13) + 1(

23) =

23

dan ini merupakan rata-rata terboboti dari kemunculan 0 dan 1.Julio Adisantoso Peubah Acak (Lanjutan)


Nilai HarapanRagam


Latihan

Contoh

Dapatkan E(X) jika X adalah peubah acak pelemparan sebuah daduseimbang.

ContohKita sebut I sebagai fungsi indikator untuk kejadian A jika

I(x) ={

1 jika kejadian A muncul0 jika kejadian Ac muncul

Dapatkan E(I).



Nilai HarapanRagam


Latihan

ContohKontestan quiz diberi dua pertanyaan 1 dan 2 yang harus dijawab secaraberurutan, tetapi boleh mulai dari mana saja, dengan syarat pertanyaanberikutnya boleh dijawab jika sebelumnya dijawab dengan benar. Kontestanakan menerima uang 1 dollar jika dapat menjawab soal ke-i, i = 1, 2. Jikapeluang kontestan dapat menjawab soal ke-i sebesar pi, berapa harapan diamendapatkan uang paling banyak jika dia memilih soal 1 sebagai soal yangpertama? Bagaimana kalau dia memilih soal 2 sebagai soal pertama?

ContohSebanyak 120 siswa sekolah menaiki 3 bus menuju tempat konser musikklasik: 36 siswa di salah satu bus, 40 siswa di bus lainnya, dan 44 siswa dibus yang lain lagi. Ketika bus tiba, 1 dari 120 siswa dipilih secara acak. JikaX adalah peubah acak banyaknya siswa dalam bus dimana 1 siswanyaterpilih, dapatkan E(X).



Nilai HarapanRagam


Proposisi

Proposisi

Jika X adalah peubah acak diskret yang mempunyai fungsi massa peluangp(x), dan g(X) adalah fungsi dari peubah acak X, maka nilai harapan darig(X) adalah

E {g(X)} =∑

i

g(xi)p(xi)

ContohMisalkan X adalah peubah acak dengan nilai -1, 0, dan 1 dengan peluangmasing-masing adalah P(X=-1)=0.2, p(X=0)=0.5, dan P(X=1)=0.3.Hitunglah E(X2).



Nilai HarapanRagam


Proposisi

Solusi

E(X2) = (−1)2P(X = −1) + (0)2P(X = 0) + (1)2P(X = 1)= (−1)2(0.2) + (0)2(0.5) + (1)2(0.3)= 0.2 + 0 + 0.3 = 0.5 6= (E(X))2

= (0.1)2 = 0.01

Corollary

Jika X adalah peubah acak dan a dan b adalah konstanta, maka

E(aX + b) = aE(X) + b



Nilai HarapanRagam


Ragam

Definisi

Jika X adalah adalah peubah acak dengan nilai tengah E(X) = µ, makaragam atau variance dari X, dinotasikan dengan Var(X), didefinisikansebagai

Var(X) = E(X − µ)2 = E(X2)− {E(X)}2

Contoh

Hitung Var(X) jika X menunjukkan kemunculan sisi dari pelemparan sebuahdadu seimbang.



Nilai HarapanRagam


Ragam

Corollary

Jika X adalah peubah acak dan a dan b adalah konstanta, maka

Var(aX + b) = a2Var(X)

Definisi

Standard deviasi dari peubah acak X, dinotasikan dengan SD(X)didefinisikan sebagai

SD(X) =√

Var(X)



Nilai HarapanRagam


Peubah Acak Bernoulli (p)

Misalnya ada tindakan melempar satu kali sekeping mata uang dimanapeluang munculnya sisi muka, P({M}) = p, 0 ≤ p ≤ 1. Dengan demikianS = {M,B}. Jika X adalah banyaknya sisi muka yang muncul dari satu kalipelemparan tersebut, maka

P(X = 0) = P({B}) = 1− p

P(X = 1) = P({M}) = p

P(X /∈ {0, 1}) = 0

Oleh karena itu, fmp dari peubah acak X adalah

f (x) = P(X = x) =

1− p , untuk x = 0p , untuk x = 10 , untuk x lainnya



Nilai HarapanRagam


Peubah Acak Bernoulli (p)

TeoremaFmp dari peubah acak Bernoulli(p) adalah

f (x) ={

px(1− p)1−x , untuk x = 0, 10 , untuk x lainnya

Bukti

P(X ∈ S) = P(X ∈ {0, 1}) = P(X = 0) + P(X = 1) = (1− p) + p = 1



Nilai HarapanRagam


Peubah Acak Binomial (n, p)

TeoremaMisalnya ada tindakan melempar n kali sekeping mata uang dimana peluangmunculnya sisi muka, P({M}) = p, 0 ≤ p ≤ 1. Jika X adalah banyaknyasisi muka yang muncul dari n kali pelemparan tersebut, maka

f (x) = P(X = x) =

(

nx

)px(1− p)n−x , untuk x = 0, 1, ..., n

0 , untuk x lainnya



Nilai HarapanRagam


Peubah Acak Binomial (n, p)

Penting

Kejadian Binomial merupakan kejadian Bernoulli yang diulang sebanyak nkali dan saling bebas.

Bukti

P(X ∈ S) = P(X ∈ {0, 1, ..., n})

=

n∑x=0

P(X = x) =n∑

x=0

(nx

)px(1− p)n−x

= (p + 1− p)n = 1



Nilai HarapanRagam


Peubah Acak Uniform Diskret (N)

TeoremaMisalnya ada tindakan mengambil satu bola secara acak dari wadah yangberisi N bola yang diberi nomor 1, 2, ..,N dengan peluang masing-masingbola terambil adalah sama. Jika X adalah nomor atau nilai bola yangterambil, maka

f (x) = P(X = x) ={

1/N , untuk x = 1, 2, ...,N0 , untuk x lainnya



Nilai HarapanRagam


Peubah Acak Geometrik (p)

Teorema

Misalnya ada tindakan melempar sekeping mata uang dengan P({M}) = p(0 ≤ p ≤ 1) berkali-kali sampai muncul sisi muka (M). Jika X adalahbanyaknya lemparan yang diperlukan sampai muncul sisi M, maka

f (x) = P(X = x) ={

(1− p)x−1p , untuk x = 1, 2, ...0 , untuk x lainnya



Nilai HarapanRagam


Peubah Acak Binomial Negatif (r, p)

Misalnya ada tindakan melempar sekeping mata uang dengan P({M}) = p(0 ≤ p ≤ 1) berkali-kali sampai muncul sisi muka (M) sebanyak r kali. JikaX adalah banyaknya lemparan yang diperlukan sampai muncul sisi Msebanyak r kali (r = 1, 2, 3, ...), maka

f (x) = P(X = x) =

(

x− 1r − 1

)pr(1− p)x−r , untuk x = r, r + 1, r + 2, ...

0 , untuk x lainnya

Ambil y = x− r atau x = y + r maka diperoleh

f (y) =

(

y + r − 1y

)pr(1− p)y , untuk y = 0, 1, 2, ...

0 , untuk y lainnya



Nilai HarapanRagam


Peubah Acak Hipergeometrik

Misalkan ada tindakan mengambil secara acak (tanpa pemulihan) n bola dariwadah yang megandung N bola yang terdiri atas m bola warna putih (danN −m bola warna lainnya). Jika X adalah peubah acak banyaknya bola putihyang terambil, maka

f (x) = P(X = x) =

mx

N − mn− x

N

n

, untuk x = 0, 1, 2, ...n

0 , untuk x lainnya



Nilai HarapanRagam


Peubah Acak Poisson (λ)

Misalnya ada tindakan melempar sekeping mata uang denganP({M}) = p→ 0 sebanyak n kali (n→∞). Jika X adalah banyaknya sisimuka yang muncul dari takhingga kali pelemparan tersebut, maka

f (x) =

limn→∞

(nx

)px(1− p)n−x , untuk x = 0, 1, ..., n

0 , untuk x lainnya

Misalkanlim

n→∞,p→0np = λ

maka dapat dibuktikan bahwa

limn→∞

(nx

)px(1− p)n−x =

e−λλx

x!

sehingga diperoleh fungsi massa peluang

f (x) ={

e−λλx

x! , untuk x = 0, 1, 2, ...0 , untuk x lainnya



Nilai HarapanRagam


Latihan

ContohLima koin dilempar. Jika kemunculan masing-masing koin saling bebas,tentukan fungsi massa peluang kemunculan sisi muka.

ContohDiketahui bahwa sekrup yang diproduksi pabrik tertentu akan rusak denganpeluang 0.01, bebas satu sama lain. Pabrik menjual sekrup dalam satu kotakberisi 10. Jika sedikitnya 1 dari 10 sekrup tersebut rusak, pabrik bersediamenggantinya. Berapa peluang sekrup yang dijual akan dikembalikan olehpembeli?



Nilai HarapanRagam


Latihan

ContohMisalkan banyaknya salah ketik pada buku ini menyebar Poisson denganparameter λ = 1

2 . Hitung peluang terdapat sedikitnya 1 salah ketik dihalaman ini.

ContohPeluang suatu barang yang diproduksi oleh pabrik tertentu rusak sebesar 0.1.Dapatkan peluang 10 contoh barang yang diproduksi paling banyak ada 1yang rusak.



Nilai HarapanRagam


Latihan

ContohDiketahui gempa bumi terjadi di bagian timur Indonesia dengan λ = 2 perminggu. Dapatkan peluang sedikitnya terjadi 3 kali gempa bumi selama duaminggu berikutnya.

ContohSeuatu perusahaan membeli 10 lot komponen elektronik. Sudah menjadiprosedur baku, perusahaan akan memeriksa barang yang dibeli denganmengambil 3 komponen secara acak, dan dapat menerima barang tersebutjika semuanya dari 3 komponen tersebut tidak ada yang rusak. Jika diketahui30 persen dari lot terdapat 4 komponen yang rusak, dan 70 persen lot hanyaada 1 yang rusak, tentukan peluang komponen elektronik yang dibeli ditolakoleh perusahaan.


peubah acak (lanjutan) - lelah...

Documents