1

Teori Statistika I (STK501) – S2 STK

Dr. Kusman Sadik, M.Si

Program Studi Pascasarjana

Departemen Statistika IPB, 2018/2019

Karakteristik Contoh AcakProperties of a Random Sample

(Bagian II)

2

Sebaran t-Student

3

Sebaran t-Student

𝐂𝐚𝐭𝐚𝐭𝐚𝐧 ∶(𝑛 − 1)𝑆2

𝜎2~ 𝜒(𝑛−1)

2

4

Sebaran t-Student

Misalkan X dan Y adalah dua p.a. yang saling bebas dengan

fkp sebagai berikut: X N(0, 1) dan Y 2(r). Jika kemudian

didefinisikan p.a. lainnya T = rYX // maka p.a. T memiliki

sebaran t-Student dengan derajat bebas r.

Contoh Kasus (1):

5

Karena X N(0, 1) dan Y 2(r) maka dapat dinyatakan

sebagai berikut:

xexf x

X - ,2

1)(

2)2/1(

yeyr

yf yr

rY 0 ,2)2/(

1)( 2/1)2/(

)2/1(

kemudian didefinisikan p.a. lainnya T = rYX //

6

Perlu didefinisikan satu peubah acak lain agar transformasi

terjadi dari ruang berdimensi dua ke ruang berdimensi dua.

Misalkan U = Y, sehingga diperoleh sepasang transformasi

yaitu t = ryx // dan u = y. Trasformasi ini bersifat satu-

satu untuk seluruh daerah fungsi.

t = ryx // dan u = y

Melalui metode substitusi ataupun eliminasi dari persamaan

di atas, akan diperoleh persamaan berikut:

x = r

ut dan y = u

7

x = r

ut dan y = u

x/t = r

u; x/u =

rut

2

1;

y/t= 0; y/u = 1;

r

uru

t

r

u

J

10

2

8

Selanjutnya menentukan batas nilai bagi t dan u yaitu :

karena - < x < , 0 < y < , dan 0 < r < maka dapat

dinyatakan bahwa 0 < ry / < , sehingga

- < (t = ryx // ) < - < t <

0 < (u = y) < 0 < u <

9

Berdasarkan hasil di atas, maka fungsi kepekatan peluang

bersama bagi p.a. T dan U adalah

r

tuu

rr

r

ueu

re

r

uuf

r

utf

JyfxfJyxfutf

r

r

ur

r

rut

YX

YXYXUT

21)1)(2/1(

2/

2/1)2/(

2/

2/

,,

12

exp2)2/(2

1

2)2/(

1

2

1

).().(

).().().,( ),(

2

dimana

- < t < dan 0 < u <

10

Sebaran marginal bagi p.a. T adalah

dur

tuu

rrtf r

rT

0

21)1)(2/1(

2/1

2exp

2)2/(2

1 )(

misalkan

zr

tu

2

12

sehingga

dzrt

durt

z

r

tzu

)/(1

2 ,

)/(1

212

22

12

11

dzrt

durt

z

r

tzu

)/(1

2 ,

)/(1

212

22

12

dur

tuu

rrtf r

rT

0

21)1)(2/1(

2/1

2exp

2)2/(2

1 )(

dzrt

ert

z

rrtf z

r

rT

0

2

1)1)(2/1(

22/ )/(1

2

)/(1

2

2)2/(2

1)(

dzezrtrr

zr

r

r

r

0

1)1)(2/1(

)1)(2/1(2

)1)(2/1(

2/ )]/(1[

2

2)2/(2

1

12

dzezrtrr

zr

r

r

r

0

1)1)(2/1(

)1)(2/1(2

)1)(2/1(

2/ )]/(1[

2

2)2/(2

1

Karena zr ezr

1)1)(2/1(

]2/)1[(

1untuk z > 0 merupakan fkp

Gamma dengan = (r +1)/2 dan = 1, maka persamaan di

atas dapat dinyatakan sebagai berikut:

trtrr

r

rrtrr

tf

r

rT

- ,)]/(1[

1

)2/(

]2/)1[(

]2/)1[()]/(1[

1

)2/(

1)(

)1)(2/1(2

)1)(2/1(2

13

trtrr

r

rrtrr

tf

r

rT

- ,)]/(1[

1

)2/(

]2/)1[(

]2/)1[()]/(1[

1

)2/(

1)(

)1)(2/1(2

)1)(2/1(2

)(tfT tersebut dikenal sebagai fungsi kepekatan peluang

t-Student dengan derajat bebas r.

14

Karakteristik Sebaran t-Student

15

Sebaran F

16

Contoh Kasus (2):

Misalkan X dan Y adalah dua p.a. yang saling bebas dengan

fkp sebagai berikut: X 2

)( 1r dan Y 2

)( 2r . Jika kemudian

didefinisikan p.a. lainnya F = 2

1

/

/

rY

rX maka p.a. F memiliki

sebaran F dengan derajat bebas r1 dan r2 yaitu:

f

rrfrr

f

rr

rrrrff

rr

F

0 dimana

,))(2/1]()/(1[)2/()2/(

)/](2/)[()(

2121

1)2/(

21

2/

212111

17

Sebaran F untuk Perbandingan Ragam

18

Karakteristik Sebaran F

19

20

Materi Responsi

21

Misalkan X dan Y adalah dua p.a. yang saling bebas dengan

fkp sebagai berikut: X 2

)( 1r dan Y 2

)( 2r . Jika kemudian

didefinisikan p.a. lainnya F = 2

1

/

/

rY

rX , buktikan bahwa p.a. F

memiliki sebaran F dengan derajat bebas r1 dan r2 yaitu:

f

rrfrr

f

rr

rrrrff

rr

F

0 dimana

,))(2/1]()/(1[)2/()2/(

)/](2/)[()(

2121

1)2/(

21

2/

212111

Materi Responsi (1)

22

Jika diketahui bahwa peubah acak X memiliki sebaran

t-Student dengan derajat bebas r, buktikan bahwa:

𝐸(𝑋) = 0, 𝑟 > 1; dan 𝑉(𝑋) =𝑟

𝑟 − 2, 𝑟 > 2

Materi Responsi (2)

23

Jika diketahui bahwa peubah acak Y memiliki sebaran F dengan

derajat bebas r1 dan r2, buktikan bahwa:

𝐸(𝑌) =𝑟2

𝑟2 − 2, 𝑟2 > 2;

𝑉(𝑌) = 2 𝑟2

𝑟2 − 2

2 (𝑟1 + 𝑟2 − 2)

𝑟1(𝑟2 − 4), 𝑟2 > 4

Materi Responsi (3)

24

Materi Responsi (4)

25

Materi Responsi (5)

26

Pustaka

1. Casella, B. and R.L. Berger. 2002. Statistical Inference,

2nd Edition. Duxbury.

2. Hogg, R., Mc Kean, and Craig, A. 2005. Introduction to

Mathematical Statistics, 6th Edition. Prentice Hall.

3. Pustaka lain yang relevan.

27

Catatan Kuliah

Bisa di-download di

kusmansadik.wordpress.com

28

Terima Kasih